专题06 与反比例函数有关问题的压轴题之三大题型(原卷及解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc32567" 【题型一 反比例函数与一次函数综合问题】 PAGEREF _Tc32567 \h 1
\l "_Tc23282" 【题型二 实际问题与反比例函数综合问题】 PAGEREF _Tc23282 \h 9
\l "_Tc6217" 【题型三 反比例函数与几何综合问题】 PAGEREF _Tc6217 \h 14
【典型例题】
【题型一 反比例函数与一次函数综合问题】
例题：（2023·广东深圳·模拟预测）已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示．
(1)一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标）
(2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积．
(3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围．
【答案】(1)
(2)A，B两点的坐标分别为，，的面积为6
(3)
【分析】（1）由题意知，令，求，的值，进而可得结果；
（2）由，可得，联立，求解可得，，由题意知，如图，过作轴，过作于，过作于，则，，，，，根据，计算求解即可；
（3）由题意知，，令，整理得，令，求解即可得的取值范围．
【详解】（1）解：由题意知，
令，即，则，
∴一次函数必定经过点，
故答案为：；
（2）解：∵，则，
联立，解得，，
∴，，
∴，
如图，过作轴，过作于，过作于，
则，，，，，
∴
∴A，B两点的坐标分别为，，的面积为6．
（3）解：由题意知，，
令，整理得，
令，
解得，
∴直线与反比例图象无交点时m的取值范围为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式训练】
1．（2022·广东深圳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标；
(3)当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围为______．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
(3)或
【分析】（1）先把A点坐标代入到反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，从而求出B点坐标，由此利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，设点的坐标为，则，再由进行求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：，两点是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，
，
反比例函数的解析式为，
，解得，
，
把，代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：令，
解得，
，
设点的坐标为，
∴，
∴
解得或，
点的坐标为或．
（3）解：一次函数的值大于反比例函数的值
一次函数的图象在反比例函数图象上方，
由函数图象可知，此时或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，三角形面积，待定系数法求函数解析式等等，熟练掌握一次函数与反比例函数的知识是解题的关键．
2．（2023·广东深圳·一模）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ；
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ；
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【答案】（1）；（2），；（3）80米
【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可；
（2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可；
（3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，先求出直线的解析式，然后求出点A、B的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，过点D作于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）把代入中，得：，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴双曲线的解析式为，
联立，得：，
即，
解得：，，
∴，
∴；
如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，
则，
整理得：，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴直线的解析式为，
由，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：；．
（3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，
则，
∵直线平分第二、四象限角，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
代入，得，
解得：，
∴，
联立得：，
解得：或，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式，准确计算．
【题型二 实际问题与反比例函数综合问题】
例题：（2023·广东深圳·三模）【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______．
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______．
②完成下表：
③在直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②见解析；③见解析
(3)或
【分析】（1）根据公式进行计算即可；
（2）①根据公式即可得到；②根据（2）①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可；
（3）先根据面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴重物B所受拉力为，
故答案为：；
（2）解：①∵，
∴，即，
故答案为：；
②由（2）①得，
填表如下：
③函数图象如下所示：

（3）解：∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，
∴在函数上满足题意的Q的坐标为，
∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L，
∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东深圳·二模）在并联电路中，电源电压为，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：（，）．已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
(1)定值电阻的阻值为__________；
(2)小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出点与R的几组对应值，请写出m，n的值：__________，__________；
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①随R的增大而__________；（填“增大”或“减小”）
②函数的图象是由的图象向__________平移__________个单位而得到．
【答案】(1)6
(2)①2.5，2；②见解析
(3)①减小；②上，1
【分析】（1）根据，，关联两个等式计算即可求解；
（2）①将，分别代入计算即可求解；②根据题（2）①表格数据，先描出各点，顺次连接各点即可画出所求函数图象；
（3）①根据题（2）②所求图象特征即可得到结论；②根据反比例函数平移规律即可求解．
【详解】（1）∵并联电路，，
∴，即，
故答案为：6；
（2）①当时，，即，
当时，，即，
故答案为：2.5，2；
②如图所示：
先描出点（3，3），（4，2.5），（5，2.2），（6，2）,再顺次连接这些点即可画出所求函数图象，
（3）①由题（2）②所求图象可知，是减函数，其函数值随R的增大而减小，
故答案为：减小；
②根据反比例函数平移规律可得：向上平移1个单位可得：，
故答案为：上，1．
【点睛】本题考查函数图象，涉及到画函数图象、函数的性质，解题的关键是掌握函数的研究方法：列表、描点、连线画函数图象，再利用数形结合的思想理解函数的性质．
【题型三 反比例函数与几何综合问题】
例题：（2022·广东深圳·模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程（Pappus，约300﹣350）把△AOB三等分的操作如下：
(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)证明：、、三点共线；
(3)证明：．
【答案】(1)四边形是矩形；证明见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）通过矩形的判定可证四边形是矩形；
（2）根据函数的解析式得出直线的解析式，进而解答即可；
（3）由矩形的性质可得，可得，由，可求，可得结论．
【详解】（1）∵轴，轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵轴轴，轴
∴
∴四边形是矩形
（2）设点，点
∴点，点
∴直线的解析式为：
当时，
∴点在直线上
即、、三点共线
（3）∵、、三点共线
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∵轴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明四边形是矩形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·模拟预测）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：
(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；
(2)证明：．
(3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）由轴，轴，，，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线上；
（2）连接，交于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（3）先求出点，可得，然后分两种情况讨论：当D点在下方时，当D点在上方时，即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，
由题意得：，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，，
把点代入得：，
∴直线的函数表达式为，
∵的坐标满足，
∴点Q在直线上；
（2）解：连接，交于点S，

由题意得四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
∴，
∵轴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵直线与反比例函数交于点C，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴，
当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例与点F，作，连接，与交于点H，，，，
作于I，则，，，
，
则，，
即，
同理，当D点在上方时，有．

【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强．
2．（2023·广东深圳·二模）在四边形中，（E、F分别为边、上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N．
(1)问题证明：如图①，若四边形是正方形，求证：．
(2)拓展应用：如图②所示平面直角坐标系，在中，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图像经过上的点D，且，求k的值．
(3)深入探究：如图③，若四边形是菱形，连接，当时，且，试用关于的式子来表示的值，则__________．（直接写出结果）
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）可证得，，从而证明结论；
（2）过点A分别作轴，轴，垂足分别为E、F，由题意易得是正方形，同理（1）可知，连接，过点D作轴于点G，然后可得，，进而根据k的几何意义可进行求解；
（3）由题意易证，，则有，连接，交于点H，然后可得，进而可得，最后问题可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，，
，，
即：，
是的外角，
，
，
；
（2）解：过点A分别作轴，轴，垂足分别为E、F，如图所示：
∵点A坐标为，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，即，
∴同理（1）可得，
∴，即，
∴，
连接，过点D作轴于点G，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则有，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：四边形是菱形，
，，
，
即：，
，
，
是的外角，
，
，
,
，
，
∵，
，
，
∵，
，
连接，交于点H，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、正方形的性质、菱形的性质、反比例函数的图像与性质及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、正方形的性质、菱形的性质、反比例函数的图像与性质及三角函数是解题的关键．
…
10
20
30
40
50
…
…
8
a
2
b
…
…
10
20
30
40
50
…
…
8
4
2
…
R
…
3
4
5
6
…
…
2
1.5
1.2
1
…
…
3
m
2.2
n
…
（1）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数的图象；
（3）以点为圆心，为半径作弧，交函数；
（4）分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，；
（5）作射线，交于点，得到．