人教版九年级数学上册同步压轴题专题10与圆有关的最值问题（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步压轴题专题10与圆有关的最值问题（原卷版+解析），共16页。
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆

若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径

固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
例1．如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为( )
A．2B．C．3D．
例2．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为( )
A．B．2C．D．
【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为( )
A．2B．3C．D．
【变式训练2】如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是___．
【变式训练3】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在点P的运动过程中，线段DE的最小值为( )
A．3﹣3B．C．4﹣6D．2
【变式训练4】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为( )
A．B．C．D．
课后训练
1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为( )
A．6B．8C．4D．10
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为( )
A．B．C．D．1
3．如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为( )
A．3B．4C．5D．6
4．如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段的中点，连接，则的最大值为( )
A．B．C．D．2
5．如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为(3，5)，点C是⊙D上的任意一点，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为( )
A．14B．C．D．
6．如图，的半径是6，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是( )
A．B．C．D．
专题10与圆有关的最值问题
隐圆模型汇总

固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆

若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径

固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
例1．如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为( )
A．2B．C．3D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，∵PE⊥AC，∴是直角三角形，
∵D为AP的中点，∴DE=AP，∴当AP最小时，DE最小．
∵是等边三角形，∴∠1+∠PBC=60º，
∵∠1=∠2，∴∠2+∠PBC=60º，∴∠BPC=180º-(∠2+PBC)=120º，
∴点P在的外接圆的上，
找出的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是，
∴当时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F，
此时∠PFC=90º，∠PBC=∠PCB=30º，FC=BC==3，∴PF=FC·tan∠PFC=3×=，
AF===3，∴AP的最小值=AF-PF=3-=2，
∴DE的最小值=AP=×2=．故选：D．
例2．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为( )
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】，，
，，，
取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，
，点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在中，，，，，
，最小值为
故选：D．
【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为( )
A．2B．3C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，∵BE⊥CP，∴点E在以BC为直径的圆上，
作点E关于AB的对称点F，∴QE=QF，∴QD+QE= QD+QF，
连接DF，当Q为DF与AB交点时，QD+QE最小．
作半圆Ｈ与以BC为直径的半圆关于AB对称，连接DH，交半圆Ｈ与Ｆ，此时DF＝QD+QE,且为最小值，此时CD=2，BH=1，HC=3，在中，，．
故选：D
【变式训练2】如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是___．
【答案】
【详解】解：正方形ABCD中，BC=CD=8，，连接BD，交EF于点O，如图所示：
则，
在中，由勾股定理，得：，
∵EF平分正方形ABCD的面积，∴EF一定经过正方形得中心，即点O是正方形的中心，
∴,
∵EF⊥BP交BP于G，∴，
∴以OB为直径作，如上图，则点G在上，,
∴连接CM，如上图，则点G在CM与的交点处时，CG的值最小，此时，,
过点M 作MN⊥BC于点N，如上图，则，
在中，，，
∴,
在中，由勾股定理，得：，
∴，即的最小值是．故答案为：．
【变式训练3】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在点P的运动过程中，线段DE的最小值为( )
A．3﹣3B．C．4﹣6D．2
【答案】B
【详解】解：如下图所示，以AP为直径作，连接OD，过D作DM⊥AP于M．
∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，∴∠ADP＝90°，∠AEP＝90°．
∴∠ADP+∠AEP＝180°．∴A、D、P、E四点共圆，且直径为AP．
∵∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，∴∠BAC＝60°．
∴DE是中60°圆周角所对的弦．∴当直径最小时，DE取得最小值．
∴当AP⊥BC时，DE取得最小值．
∵∠ABC＝45°，∴∠BAP=45°．∴∠APE=45°，∠ABC=∠BAP．∴∠BAP=∠APE，AP=BP．∴AE=PE．
∵∠ADE和∠APE都是所对的圆周角，∴∠ADE＝∠APE＝45°．∴∠ADE＝∠ABC＝45°．
∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB．∴＝．
设AE＝2x，则PE＝2x．∴．∴OA＝OD＝x，．
∴．
∵∠BAC=60°，∠BAP=45°，∴∠DAP＝∠BAC﹣∠BAP＝15°．
∵∠DOP和∠DAP分别是所对的圆心角和圆周角，∴∠DOP＝2∠DAP＝30°．
∴DM＝OD＝．∴．∴AM＝OA+OM＝．
∴AD＝＝．
∵，∴．∴DE＝．∴线段DE的最小值为．故选：B．
【变式训练4】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，延长AE交BD于点F，连接BE，

∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE∥CD，AC＝ED，∠EAC＝∠CDE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∠BDC＝90°，
∴ED＝AB＝AC＝2，∠BAF+∠CAE＝90°，∠CDE+∠EDF＝90°，∠AFB＝∠CDB＝∠DFE＝90°，
∴BC＝AB＝2，∴∠BAF＝∠EDF，
在△AFB和△DFE中，，
∴△AFB≌△DFE(AAS)，∴BF＝EF，∴∠BEF＝45°，∴∠AEB＝135°，
∴点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，
连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，
则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：CE′即为CE的最小值，如图，

∴∠AMB＝90°，∵AM＝BM，AB＝2，∴∠MBA＝45°，BM＝AB＝，∴∠MBC＝90°，
∴在Rt△MBC中，MC＝＝＝，
∴CE′＝CM﹣ME′＝﹣．即CE的最小值为﹣．故选：A．
课后训练
1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为( )
A．6B．8C．4D．10
【答案】B
【详解】解：∵EF=4，点G为EF的中点，∴DG=2，
∴G点的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆弧(一部分)，
作A关于BC的对称点，连接，交BC于P，当G点刚好在直线上时，此时PA+PG的值最小，最小值为的长；
∵AB=4，AD=6，∴，
∴在Rt△利用勾股定理有，
∴，
∴PA+PG的最小值为8，
故选：B．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为( )
A．B．C．D．1
【答案】A
【详解】解：∵点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，∴，∴G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动．
当F与D点重合时，如图，则G点运动的路径为．
∵AB＝2，点E为AB中点，∴，
∵矩形ABCD，∴，
∵，，，∴，∴．
∵将沿EF折叠，∴，∴，
∵，∴．
故选：A．
3．如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3，
∵∠ACB=90°，即在中，，
∵E是斜边AB上的中点，∴，
∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴，
∴在中，，即；
当C、M、E三点共线时有或者；即，
∴CM最小值为5，故选：C．
4．如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段的中点，连接，则的最大值为( )
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD=OA=3，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM==CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，
∴BD=，∴CD=，∴OM=CD=，即OM的最大值为；故选A
5．如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为(3，5)，点C是⊙D上的任意一点，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为( )
A．14B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图：连接OC
∵ ，是直角三角形
∵点A、点B关于原点O对称，∴AO=BO
∴OC是Rt△ABC的斜边上的中线，∴ ，
故若要使AB最大，则OC需取最大值，连接OD并延长，交⊙D于点C1，C2
当点C位于点C2时，OC最长
过点D作轴于点E
∵点D(3，5)，∴DE=5，OE=3，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：
，
故AB的最大值为 ，故选：D
6．如图，的半径是6，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：设交于，连接、、，过作于，连接，
，，
，是等边三角形，，，
由勾股定理得：．
，．
，，
在中，，，
的最小值是，
故选D．