【中考二轮】2024年中考数学（四川成都专用）难点01 几何变换问题综合（四川成都专用）-专题训练.zip

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几何变换是四川成都中考数学的必考考点，常见以B卷填空题的形式，主要是考查几何折叠、平移等变换问题，一般出现在中考的B23题，以难度为主，知识点比较综合，日常练习中多注意新颖题目的考向。
【题型一 几何折叠问题】
【例1】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．

【答案】
【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，

∵平分交于点，
∴,
∴
∴
∵折叠，∴，∴,
又∵，∴，∴，∴
∵，，则，
∴，∴，，
∵，设，，则，则，
∵，∴
在中，，在中，
∴，即，解得：
∴，，则
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式1-1】（2021·四川成都·统考中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为 ；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为 ．
【答案】 1
【分析】第一步：设EF与AA’交于点O，连接AF，易证明△AOE△ADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由对应边成比例可得AE、FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值；
第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设B’N=m，分别在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果．
【详解】如图所示，连接AF，
设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC=90°，CD=AB=4 ，AD∥BC
∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC
∴△AOE△ADC，
∴ ，
∴OA=2OE，
在直角△AOE中，由勾股定理得： ，
∴OE=，∴OA=，
在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC= ，∴OC=，
令BF=x，则FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴ ，
即7AE=3FC，∴3(8-x)=7×3解得：,∴的长为1．
连接NE，NF，如图，
根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，
设B’N=m，则 ，解得：m=3，则NF= ，
∵EF=，∴MF=，∴MN=，
故答案为：1，．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．
【变式1-2】（2023·四川成都·校考三模）如图，在菱形中，，点为边中点，点在边上，将四边形沿直线翻折，使的对应边为，当时，的值为 ．

【答案】/
【分析】过点D作于点K，设与的交点为E，延长交于点L，根据三角函数的意义，菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，勾股定理计算即可．
【详解】过点D作于点K，设与的交点为E，延长交于点L，
∵四边形沿直线翻折，
∴，
∵，，
∴，
∴设，则，
∴，
∵点为边中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴设，
∴，
根据折叠的性质，得，
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角形函数，菱形，折叠，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握锐角三角形函数的运用，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理．
【变式1-3】（2022·四川绵阳·校考二模）如图，在中，，，，点为的中点，点是边上一个动点，将沿着翻折，使得点落在点处，当时，的长为 ．

【答案】或
【分析】根据题意，分两种情况：①当在的右侧时；②当在的左侧时，由翻折性质，结合含的直角三角形边的关系列方程求解即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，点为的中点，
，，
当在的右侧时，延长交于，如图所示：

，
，
由翻折的性质知，，，
设，则，，
，
在直角三角形中，，则，
，
；
当在的左侧时，如图所示：

由翻折性质知，，，，
，
，
，，
在直角三角形中，，
，解得，
故答案为：或．
【点睛】本题考查翻折性质，充分利用翻折性质及含的直角三角形边的关系分情况讨论是解决问题的关键．
【变式1-4】（2023·四川成都·统考二模）如图，中，，，点D，E分别在边上，连接，将沿翻折，点A的对应点为点F，线段恰好经过点C．若，则的值为 ．

【答案】
【分析】设，利用勾股定理及正切函数得出，再由折叠的性质得出，，过点E作于点G，设，由相似三角形的判定和性质得出方程确定，再结合图形求解即可．
【详解】解：∵，，
∴设，
在中，
，
∴，
∵，
∴，
由折叠得：，，
∴，，
如图，过点E作于点G，

∴，
设，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】题目主要考查折叠的性质及相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【题型2 折叠最值问题】
【例2】（2023·四川成都·统考二模）如图，矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点．将沿着翻折，使得点落在点处，若点是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在点为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算答出答案即可．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，
连接，连接，
则，，共线，，
，
，
点是的中点，
，
，


，
由折叠成，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
，
两点间线段最短，
，
即
，
，
则的最小值为．
故答案为：．

【点睛】本题考查了两点之间线段最短的应用，掌握图形的旋转及图形的折叠对称的性质，添加辅助线是解题关键．
【变式2-1】（2023·四川成都·校考三模）如图，在中，，，，，，将绕点旋转，连接、，在上方作交于，连接，当最大时，的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的中位线的性质，圆的切线的性质，过点作，交的延长线于点，连结，作的中点，连结，作以为圆心，为半径的圆，由证明，，得到，，证明，，点在以为圆心为半径的圆上，当最大时，与圆相切，再利用勾股定理即可求解，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形及熟练掌握知识点的应用．
【详解】过点作，交的延长线于点，连结，作的中点，连结，作以为圆心，为半径的圆，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴ ；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴点在以为圆心为半径的圆上，
∴当最大时，与圆相切，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴，故答案为：．
【变式2-2】（2022·四川成都·校考一模）如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ．
【答案】/
【分析】连接，交AC于点O．可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，根据等积法可求出的长，即得出B和的坐标．根据勾股定理可求出A和C的坐标，从而可求出经过A、B的直线解析式和经过、C的直线解析式．故可设P(，)，Q(，)，根据两点的距离公式求出，，根据BP=，即得出m，n的关系．还可求出，结合二次函数的性质求出的最小值即得出PQ的最小值．
【详解】连接，交AC于点O．
由翻折可知，．
故可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图．
∵在中，AB=12，BC=5，
∴．
∵，
∴．
∴B(0，)，(0，)．
∵在中，AB=12，，
∴，
∴，
∴A (，0)，C(，0)．
设经过A、B的直线解析式为，
则，解得：，
∴经过A、B的直线解析式为．
设经过、C的直线解析式为，
则，解得：，
∴经过、C的直线解析式为．
故可设P(，)，Q(，)，
则，，
∵，
∴，整理，得：．
根据所作坐标系可知，．∴．
∵，
将代入，并整理得：，
其对称轴为，且开口向上，
又∵，∴当时，最小，最小值为，
∴此时最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，坐标与图形，两点的距离公式以及二次函数的性质．把几何问题改为二次函数求最值的问题是解题关键．本题数据处理较大，较难．
【变式2-3】（2022·四川成都·四川师范大学实验外国语学校校考二模）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是上一动点．将沿直线折叠，点落在点处，在上任取一点，连接，，，则的周长的最小值为 ．

【答案】
【分析】如图，当点F固定时，连接AC交EF于G，连接，此时△ 的周长最小，最小值=，当最小时，△的周长最小，求出的最小值即可解决问题；
【详解】如图所示，当点F固定时，连接AC交EF于G，连接，
此时△ 的周长最小，
最小值=，
∵ 四边形ABCD 矩形，
∴∠D=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，
∴AC===5，
所以△的周长的最小值=5+，
当最小时，△的周长最小，
∵AE=DE==，
∴CE==，
∵≥EC-，
∴≥-，
∴ △的周长的最小值为5+-= ，
故答案为：．

【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题题型．
【变式2-4】（2022·四川成都·统考二模）如图，在矩形纸片ABCD中，，，按以下步骤操作：第一步，在边AB上取一点M，且满足，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点，则得到的第一条折痕EF的长为 ；第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为，则点和之间的最小距离为 ．
【答案】
【分析】（1）、过点E作EH垂直于CD于H，过点M作MG垂直于CD于点G，连接MD，
根据折叠的性质，设未知数，在、、分别用勾股定理列方程即可；
（2）、根据线段长度可证明是平行四边形，则，则可得则在直线DM上，得到当时，此时最短，再证，对应线段成比例即可求解．
【详解】解：（1）、∵在矩形纸片ABCD中，，，，
， ，
过点E作EH垂直于CD于H，过点M作MG垂直于CD于点G，连接MD，
四边形BCHE，四边形AMGD，四边形EHGM都为矩形，
折叠纸片，点C与点M重合，点B的对应点为点，
∴设 ， ，
在中， ，
解得： ，
，
设 ， ，
在中， ，
解得： ，
，
在中， ；
（2）、过 作DM的垂线，交其延长线于 ，
在中， ，
，
是平行四边形，
，
∵第二条折痕与EF垂直，
∴第二条折痕与MD垂直，
则在直线DM上，
当时，此时最短，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
故答案为： ，
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各项性质和点到直线的距离最短是解题的关键．
【题型三 几何平移问题】
【例3】（2024·四川广元·统考一模）如图，在中，，，，将绕点A旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接，，延长交于点F，则的长为 ．

【答案】
【分析】设，则，由旋转的性质及等腰三角形的性质可证，从而可得，再证，从而可得，即可求解．
【详解】解：，，，
，
由旋转得：，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征等，掌握相关的性质，证出、是解题的关键．
【变式3-1】（2023·四川绵阳·统考二模）中，，把绕点A逆时针旋转度，得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接EC并延长交BD于点P．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】证明，得出，连接，证明即可求解．
【详解】解：∵，绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和解直角三角形，解题关键是利用相似三角形的性质得出，利用相似和三线合一得出．
【变式3-2】（2022·四川成都·成都外国语学校校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ．
【答案】．
【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解决问题．
【详解】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，
又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET=a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝4，
∴a＝，
∴EK＝2a+a＝，
∴AF的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
【变式3-3】（2022·四川绵阳·校考一模）如图，在正方形的边长为4，点是的中点，连接，过点作交于点，将绕顺时针旋转得到．使得点落到线段上，连接交于点，则的长度是 ．
【答案】
【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质可得，，再利用两次相似三角形的判定与性质可得，从而可得点在同一条直线上，然后利用相似三角形的性质求出，，最后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，连接，设与交于点，
四边形是边长为4的正方形，点是的中点，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
由旋转的性质得：，
，
在和中，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
点在同一条直线上，
，
又，
，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
，
，
又，
，即，
解得，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，构造辅助线，并证出点在同一条直线上是解题关键．
【题型四 几何平移最值问题】
【例4】（2023·四川成都·校考三模）如图，正方形的边长为2，点E是边上的动点，连接，，将绕点E顺时针旋转得到，将绕点E逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为 ．

【答案】
【分析】过点M作于点P，过点N作于点Q，过点N作于点F，通过证明，得出，的长度，最后根据勾股定理得出，即可进行解答．
【详解】解：过点M作于点P，过点N作于点Q，过点N作于点F，
设，，
∵绕点E逆时针旋转得到，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，
∴当时，有最小值，，
∵，
∴时，随x的增大而减小；时，随x的增大而增大；
当时，，当时，，
∴∵时，，
∴；
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，二次函数的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
【变式4-1】（2023·四川内江·威远中学校校考二模）如图，等腰直角中，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是 ．
【答案】/
【分析】将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，得出点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理即可得出答案．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，即有，
∴，
，，，
，
随着点的运动，总有，，
，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∴、、三点在同一直线上，
点的运动轨迹为线段，
当时，的长度最小，如图，
在等腰中，，，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2023·四川成都·成都市树德实验中学校考二模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、．则线段长的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM ，可得FM=OE=2，由勾股定理可得OM= ，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【详解】如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵ ∠EDF= ∠ODM=90°，∴ ∠EDO=∠FDM，
在△EDO与△FDM中，
∴ △EDO≌△FDM (SAS) ，∴ FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，AB=4，O是BC边的中点，∴ OC=2，
∴ ∴
∵OF+MF OM，∴
∴线段OF长的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查线段长度最短的问题，考查三角形的三边关系、勾股定理．正方形的性质，灵活的使用三角形的三边关系的不等式解决最值问题是难点也是常考点．
【变式4-3】（2023·四川成都·统考二模）在中，，，，点是直线上一点，连接，将线段绕逆时针旋转120°得到，点、分别是线段、中点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】先利用已知条件求出AB的长，再通过图形判断当P在直线CD上运动是点N的轨迹是一条直线，当MN垂直于N1N2时值最小，然后通过已知条件求值即可．
【详解】解：点P在直线CD上移动时，点N的轨迹是一条直线，当MN垂直于N1N2时值最小，
如图所示：
当P和C重合时N1是CB的中点，当PA′和CD重合时，N2是PA′的中点，
∵AC=CB=4，∠ACB=120°，
∴CD⊥AB，CD=2，AD=2，
则AB=2AD=4，
∵M、N1分别是AC、BC中点，
∴MN1∥AB，MN1=2，DE=1
∵PA′是PA绕点P逆时针旋转120°得到的，当PA′和CD重合时，
PA′=PA，∠APA′=120°，
∴∠APD=60°，
∴，
DP=AP•cs60°=4×=2，
∵N2是PA′的中点，∴PN2=2，EN2=2+2+1=5，
∵MN1∥AB，CD⊥AB，∴MN1⊥CD，
在△MEN2和△N1EN2中，，
∴△MEN2≌△N1EN2，N2M=N2N1，
在Rt△MN2E中，，
∴，
又∵即，∴故答案为：
【点睛】本题主要考查旋转的性质、中位线，三角形全等和垂线段最短等知识，关键是对知识的掌握和运用．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川内江·校考一模）如图，在菱形中，，、分别在边、上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，延长交于点，当时，的值为 ．

【答案】
【分析】由菱形的性质得出，，由垂直定义及同角的余角相等可得，利用折叠的性质，得出，可设，则，，，，由，设，则，，求得，进而得到，，从而可得答案．
【详解】解：菱形，
，，，，
，，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
，即，
由折叠可知，，，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，解得，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，正确表示出和的长是解题关键．
2．（2023·四川泸州·统考二模）在矩形中，点为边上一点（不与端点重合），连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为 ．

【答案】
【分析】连接，证明，可得，设，在中，有，可解得，知，由矩形沿折叠，折叠后点与点重合，得，可得，，故，从而得到 ．
【详解】连接，如图：

四边形是矩形，
，
将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，
，
，
，
，
，
设，则
在中，
，
解得：，
，
，
将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，
，
//，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．
3.（2023·四川成都·统考二模）如图，在矩形纸片中，将和分别沿和折叠（），点A，B重合于点E处；再将沿折叠，点C落在上的点F处，若，且，则的长为 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质得，，设，则有，，由得，由勾股定理得，可得出；证明可得，求得，过点作于，可得，，，利用勾股定理可求出x的值，即可得出、的长，利用勾股定理即可得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
根据折叠的性质可知：，，
∴，P点为中点，
设，则，，
∵，
∴，即
∴，
由勾股定理得，
∵
∴
由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴，即
∴，
过点作于，
∴，
，
，
∴，解得：，（舍去），
∴，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，翻折变换勾股定理及三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ．
【答案】或
【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案．
【详解】∵四边形为矩形，
∴，，
∵沿对角线翻折得到，
∴，，
∵以为折痕，将进行翻折，得到，
∴，，
①当点恰好落在上时，如图，
在和中，
∴
∴，即为等腰三角形，
∵
∴点为中点，
∴，
在中，有，
即，解得
②当点恰好落在上时，如图，
∵
∴四边形为矩形，
∴，
∵沿进行翻折，得到，
∴
在中，，
在和中，
∴≌（）
∴
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了空间想象能力以及分类讨论的思想，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答此题的关键．
5．（2022·四川成都·统考二模）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，若，则 ．
【答案】
【分析】过P作PN⊥BC，垂足为N，根据折叠矩形ABCD得出∠GPE=∠ADG=∠FAD=∠FEP=∠BCD=∠B=90°，再根据三角函数推出，设BE=3x，则BF=4x，EF=5x=AF，根据勾股定理表示AE，进而求出x=2，BC=12=AD=EP，BE=6，EF=10，AB=18，在Rt△EPN中，sin∠PEN=sin∠BFE=，cs∠PEN=cs∠BFE=，求出PN、EN，即可求出面积．
【详解】解：如图，过P作PN⊥BC，垂足为N，
∵折叠矩形ABCD，
∴∠GPE=∠ADG=∠FAD=∠FEP=∠BCD=∠B=90°，
∴∠CGP=90°∠GHP=90°∠EHC=∠HEC=90°∠FEB=∠BFE，
∵tan∠CGP＝，
∴tan∠BFE＝tan∠CGP＝＝，
设BE=3x，则BF=4x，EF=5x=AF，
∴AB=AF+FB=9x，
∴AE=，∴，
∴x=2，BC=12=AD=EP，BE=6，EF=10，AB=18，∴EC=BCBE=6，
在Rt△EPN中，sin∠PEN=sin∠BFE=，cs∠PEN=cs∠BFE=，
∴，，解得PN＝，EN＝，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、矩形、正方形的性质、翻折变换、解直角三角形，熟练掌握这些知识点的综合应用，善于在复杂的图形中找出基本图形是解题关键．
6．（2022·四川成都·模拟预测）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直线PE将△APE对折，点A落在点F处. 已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当△CEF恰为直角三角形时，AP的长度等于 .
【答案】或1
【分析】分∠CFE=90°和∠CEF=90°两种情况根据矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质求解．
【详解】解：①如图，当∠CFE=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边AB的中点，AB=6，AD=4，
∴∠PAE=∠PFE=∠EBC= 90°，AE=EF=BE=3，
∴∠PFE+∠CFE =180°，
∴P、F、C三点一线，
∴△EFC≌△EBC，
∴FC=BC=4，EC==5，∠FEC=∠BEC，
∴∠PEF+∠FEC =90°，
设AP=x，则PC=x+4，
∴,
解得x=；
②如图，当∠CEF=90°
∴∠CEB+2∠PEA =90°，
∴∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，
延长PE、CB，二线交于点G，
∵AE=BE，∠PAE=∠GBE =90°，∠AEP=∠BEG，
∴△PAE≌△GBE，
∴PA=BG，∠AEP=∠BEG，
∴∠G =90°-∠GEB= 90°-∠PEA，∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，
∴∠G =∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，
∴CE=CBC+BG=BC+AP，
∴5=4+AP，
解得PA=1，
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
7．（2022·四川成都·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则 度．
【答案】18
【分析】连接MD，设∠DAF=x，利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可．
【详解】连接MD，设∠DAF=x
根据矩形的基本性质可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90°
∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x
∴∠DMF=2x
∵△DCE折叠得到△DFE
∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE
又MF=AB
∴MF=DF
∴∠MDF=2x
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90°
∴∠CDE=∠ACD=x
∴∠FDE=∠CDE=x
∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90°
∴x=18°
故∠DAF=18°
故答案为18．
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用∠DAF表示出∠ADC是解题关键．
8．（2019·四川成都·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD是△ABC的中线，E是AC上一动点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF线段CD交于点G，若△CEG是直角三角形，则CE＝ ．
【答案】或
【分析】分两种情形：如图1中，当时．如图2中，当时，分别求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，，
，
∴，
∴．
若△CEG是直角三角形，有两种情况：
I．如图1中，当时．
∴，
作于．则，
在中，，，
．
II．如图2中，当时，
∵，∴，
∴，∴，此时点与点重合，
∴，∴，∴，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．（2023·四川成都·统考二模）如图，在矩形中，，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若，则的长为 ．
【答案】或1
【分析】设折叠后，点A的对应点为M点，折痕为，设，分两种情况讨论：当点F在边时，画出图形，过E点作于点N，先证明四边形是矩形，再在中，利用勾股定理即可作答；当点F在边时，如图，过M点作于点H，点B的对应点为G点，同理可求．
【详解】设折叠后，点A的对应点为M点，折痕为，设，
当点F在边时，如图，过E点作于点N，
根据折叠有：，，
∵，，，，
∴，，
∵在矩形中，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，即；
当点F在边时，如图，过M点作于点H，点B的对应点为G点，
根据折叠有：，，，，
∵，，，，
∴，，，
∵在矩形中，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，即；
故答案为：或1．
【点睛】本题是矩形的折叠问题，主要考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论并准确画出相关图形，是解答本题的关键．
满分技巧
1.考查了四边形的性质，相似三角形的判定和性质，翻折变换勾股定理及三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2.考查折叠的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想，分类讨论的思想解决问题．
满分技巧
考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各项性质和点到直线的距离最短是解题的关键．
满分技巧
1.考查了四边形的性质，相似三角形的判定和性质，翻折变换勾股定理及三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2.考查折叠的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想，分类讨论的思想解决问题．
满分技巧
1.考查了四边形的性质，相似三角形的判定和性质，翻折变换勾股定理及三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2.考查折叠的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想，分类讨论的思想解决问题．