【中考二轮】2024年中考数学（四川成都专用）热点03 尺规作图问题（命题趋势+2类热考题型+限时检测）-专题训练.zip

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尺规作图问题是四川成都中考数学的必考考点，常见以填空题的形式，主要是考查角平分线、垂直平分线性质等问题，一般出现在中考的第13题，以简单题为主，思路相对比较固定，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。
【题型1 角平分线问题】
【例1】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为 ．

【答案】
【分析】根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得，
∴，
∴，
∵与四边形的面积比为，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式1-1】（2023·四川成都·统考一模）如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，则 ．
【答案】
【分析】利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以．
【详解】解：由作法得，平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．
【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于 cm．
【答案】8
【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
【详解】解：根据题意，
在中，，，
由角平分线的性质，得，
∴的周长为：
；
故答案为：8
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
【变式1-3】（2022·四川成都·统考二模）如图，在平行四边形ABCD中按以下步骤作图：①以点B为圆心，BA长为半径作弧，交BC于点E；②分别以A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F；③连接BF并延长交AD于点G．若，则 °．
【答案】130
【分析】根据基本作图，∠ABG=∠CBG，根据平行四边形的性质，得到∠AGB=∠CBG，利用平行线的同旁内角互补计算即可．
【详解】∵根据基本作图，BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AGB=∠CBG=25°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC=50°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=130°，
故答案为：130．
【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式1-4】（2022·四川成都·统考二模）如图，的顶点，按下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E；②分别以点D、E为圆心，大于DE的一半长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线OF，交边AC于点G．则AG的长度为 ．
【答案】
【分析】如图，先利用勾股定理计算出OA＝，再利用基本作图和平行线的性质得到∠AOG＝∠AGO，则AG＝AO＝，从而求解．
【详解】解：如图，∵▱AOBC的顶点A的坐标为，
∴ACOB，OA＝，
由作法得OG平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠BOG，而ACOB，
∴∠AGO＝∠BOG，
∴∠AOG＝∠AGO，∴AG＝AO＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图−基本作图，解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
【题型2 中垂线问题】
【例2】（2023·四川成都·统考一模）如图，已知，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线，分别交，于点E，D，连接；③过C作交于点F，连接．则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【分析】先根据作图①得直线是线段的垂直平分线，从而得到，，根据作图③得到，从而证明，进而证明四边形是平行四边形，结合即可证明平行四边形是菱形．
【详解】解：由作图①得直线是线段的垂直平分线，
∴，，
由作图③得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
故选：C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟知菱形的判定定理，根据题意得到直线是线段的垂直平分线是解题关键．
【变式2-1】（2023·四川达州·统考一模）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线交、于点、，连接、，则 ．
【答案】
【分析】根据题目作图方法可得为的垂直平分线，所以进一步求得和，再根据勾股定理求出的值．
【详解】解：由题得为的垂直平分线，
∴，，，
又∵，，
，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是垂直平分线的尺规作图，相似三角形的知识，解题的关键是根据题意推断线段之间的关系，往所求线段上靠．
【变式2-2】（2020·四川成都·树德中学校考二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为 ．
【答案】
【分析】利用基本作法得到得MN垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，再利用菱形的性质得到AD＝CD＝AB＝4，CD∥AB，则利用勾股定理先计算出AE，然后计算出BE．
【详解】解：由作法得MN垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝AB＝4，CD∥AB，
∴DE＝2，AE⊥AB，
在Rt△ADE中，AE＝，
在Rt△ABE中，BE＝＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【变式2-3】（2023·四川成都·统考模拟预测）如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E，过点C作，垂足为点D，与相交于点F，若，则的度数为 ．
【答案】/106度
【分析】由作图可知，是的垂直平分线，则为的中点，如图，连接，则，，，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，
∴为的中点，
如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作垂线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【变式2-4】（2023·四川达州·统考一模）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ．
【答案】/50度
【分析】根据作图可知，，根据直角三角形两个锐角互余，可得，根据即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由作图可知是的垂直平分线，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出是的垂直平分线，是解题的关键．
（建议用时：30分钟）
1．（2023·四川乐山·统考二模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题目作图知，是的平分线，过点D作，则，进而求解．
【详解】解：过点D作于点H，则， 由题目作图知，是的平分线，

则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
2．（2023·四川广元·统考一模）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；作射线交于点H．若，则的长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】如图所示，过点H作于M，由作图方法可知，平分，即可证明，得到，从而求出，的长，进而求出的长，即可利用勾股定理求出的长．
【详解】解：如图所示，过点H作于M，
由作图方法可知，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，特殊角的三角函数的应用等，正确求出 的长是解题的关键．
3．（2021·四川成都·三模）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，交AD于点M、AB于点N，再分别以点M、N为圆心大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O；再分别以点A、C为圆心，大于AC，两弧相交于P、Q两点，连接PQ并延长，则图中= ．
【答案】56°
【分析】先利用平行线的性质得到∠DAC＝68°，再根据基本作图得到AO平分∠DAC，则∠DAO＝∠CAO＝34°，根据基本作图得到PQ垂直平分AC，所以∠ 1＝90°，然后利用互余计算出∠2，从而得到∠α的度数．
【详解】解：如下图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴∠DAC＝∠BCA＝68°，
由作法得AO平分∠DAC，
∴∠DAO＝∠CAO＝×68°＝34°，
由作法得PQ垂直平分AC，
∴∠1＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠CAO＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝∠2＝56°．
故答案为：56°．
【点睛】本题考查了角平分线及垂直平分线的作图法，要由题目的作法理解AO是角平分线，PQ是垂直平分线，也考查了对顶角相等、互余、矩形的性质等，灵活运用知识是解题关键．
4．（2022·四川成都·统考二模）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于和，再分别以点为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作于．若，则的面积为 ．
【答案】5
【分析】作GM⊥AB于M，先利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到GM=GH=2，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：作GM⊥AB于M，
由作法得AG平分∠BAC，
而GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM=GH=2，
∴,
故答案为：5．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，还考查了角平分线的作图方法，正确理解题意得到AG平分∠BAC是解题的关键．
5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了作图基本作图，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质．过作交的延长线于，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：过作交的延长线于，
则，
由作图知，平分，
，
，
，
∵，
，
，
，
．
故答案为：5．
6．（2023·四川广元·统考三模）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，，在边上分别截取，使，分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，作射线交边于点F．若，则点F到的距离为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的尺规作图是解题的关键．
根据作图过程可知：平分，如图：过点F作，再根据角平分线的性质解答即可．
【详解】解：根据作图过程可知：平分，
过点F作，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴点F到的距离为2．
故答案为：2．
8．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于M，N；分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点G；作射线交于E；作交于F．若，则四边形的面积等于 ．
【答案】24
【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是判定四边形是菱形．连接交于点O，证明四边形是平行四边形，根据作图过程可得AE平分，然后证明四边形是菱形，进而可得四边形的面积．
【详解】解：如图，连接交于点O，
∵，
∴四边形是平行四边形，
根据作图过程可知：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴OB＝＝4，
∴，
∴四边形的面积等于．
故答案为：24．
9．（2023·四川成都·统考二模）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则 ．
【答案】22
【分析】由题意可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，即可得，，根据求出，由可得答案．
【详解】解：由题意可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
，，，
，
，
，
．
故答案为：22．
【点睛】本题考查作图基本作图、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线与角平分线的作图方法及性质、三角形内角和定理是解答本题的关键．
10．（2023·四川成都·统考一模）如图，的周长为，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交边于点，连接，则的周长为______．
【答案】
【分析】根据题意求出，再利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
【详解】解：的周长为，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图——基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．（2023·四川成都·成都实外校考一模）如图，矩形中，连接．按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别交边，于点，；③以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，；④分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；⑤作射线交边于点．则 ．
【答案】/60度
【分析】根据作图是线段的垂直平分线，得到，平分，得到，利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．
【详解】∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线和角的平分线的尺规作图，熟练掌握基本作图，直角三角形的两个锐角互余，矩形的性质是解题的关键．
满分技巧
1、掌握角平分线的性质与判定，理解如何通过尺规作图画出角平分线．
2、三角形、四边形的基本性质与判定，几何中的边角问题．
满分技巧
1、掌握角中垂线的性质与判定，理解如何通过尺规作图画出角平分线．
2、特殊三角形、四边形的基本性质与判定，几何中的边角问题．