【中考二轮】2024年中考数学（四川成都专用）热点02 二次函数图像与系数a，b，c之间关系（命题趋势+2类热考题型+限时检测）-专题训练.zip

这是一份【中考二轮】2024年中考数学（四川成都专用）热点02 二次函数图像与系数a，b，c之间关系（命题趋势+2类热考题型+限时检测）-专题训练.zip，文件包含热点02二次函数图像与系数abc之间关系四川成都专用原卷版docx、热点02二次函数图像与系数abc之间关系四川成都专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

二次函数图像与性质是四川成都中考数学的必考考点，常见以选填的形式，主要是函数与其系数之间关系等问题，一般出现在中考的第8题，以简单题为主，思路相对比较固定，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。
【题型1 图像与系数之间关系】
【例1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为D．
【答案】D
【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键．
【变式1-1】（2021·四川成都·统考一模）二次函数的图象如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．3个C．2个D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点即可求解．
【详解】解：①由图可得，∵抛物线开口向下，
，
故①正确；
②∵该抛物线的对称轴，
，
故②正确；
③∵抛物线与x轴的交点有2个，
，
故③不正确；
④由图可得，当时，，
，
故④不正确；
综上所述，正确的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与坐标轴的交点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式1-2】（2024·四川凉山·统考模拟预测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的其中一个交点在与之间，以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
由抛物线开口向上判断a的符号；由抛物线与y轴的交点判断c的符号；由抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点情况，判断b的符号；分别观察， ， 时的函数值对所得结论进行判断即可．
【详解】抛物线开口向上，
；
抛物线的对称轴为直线，
，
，，
抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
，
，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
抛物线对称轴为直线，与x轴的其中一个交点在与之间，
抛物线与x轴的另一个交点在与之间，
当时，，则，
当时，，则，
，
，故C选项正确，不符合题意；
当时，，，
，
，故D选项错误，符合题意；
故选：D
【变式1-3】（2023·四川广安·统考一模）如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，则以下结论：①，；②当时，直线与抛物线的函数值都随着x的增大而增大；③的长度可以等于5；④连接，，有可能是等边三角形；⑤当时，，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②⑤C．②③④D．①②④⑤
【答案】B
【分析】①由抛物线的开口向上，一次函数与轴的交点位置，即可判断；②观察图象，即可判断；③由点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，若，可得出直线与轴平行，即可判断；④若，可得直线与轴平行，即可判断；⑤直线与关于轴对称，结合图象即可判断．
【详解】解：①抛物线的开口向上，
，
一次函数与轴的交点在轴的正半轴，
，
故①正确；
②由图象得，
一次函数的函数值都随着x的增大而增大；
抛物线的对称轴为轴，，
当时，抛物线的函数值都随着x的增大而增大；
故②正确；
③点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，
若，可得出直线与轴平行，
即，
与已知矛盾，
故不可能为，
故③不正确；
④若，
直线与轴平行，
即，与已知矛盾，
，
即不可能为等边三角形，
故④不正确；
⑤直线与关于轴对称，如图所示：
直线与抛物线交点C、D横坐标分别为，，
由图象可得：当时，
，
即
故⑤正确；
综上所述：正确的结论是：①②⑤；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数图象与系数的关系，等边三角形的判定与性质，掌握二次函数与不等式（组），以及二次函数图象与系数的关系，用数形结合思想求解是解题的关键．
【变式1-4】（2023·四川南充·统考三模）如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为其中下列结论： 其中，结论正确的个数有（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴，
∵抛物线对称轴所在的直线在y轴和直线之间，
∵，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵当时，，
∴，故③正确；
∵抛物线顶点纵坐标大于2，
∵，
∴，故④错误；
当时，，
∴,
∵当时，，当时，,
∴，，
∴,
∴，，
∴，
∴，故⑤错误；
综上，①②③正确，共3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
【题型2 二次函数与其他函数图像综合】
【例2】（2023·四川成都·统考二模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由二次函数的图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
【变式2-1】在同一坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可．
【详解】A．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a>0，b<0，故A选项不可能．
B．由一次函数图像可得：a>0，b<0；由二次函数图像可得：a>0，b>0，故B选项不可能．
C．由一次函数图像可得：a<0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b>0，故C选项可能．
D．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b<0，故D选项不可能．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键．
【变式2-2】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b＞0，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y＝ax+b的图象经过第一二四象限，反比例函数图象在第一三象限，
只有B选项图象符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
【变式2-3】已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标为（﹣，0）或点（1，a+b），然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，进一步即可判断﹣与a+b的正负情况，进而可得答案．
【详解】解：解方程组：，得：或，
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．
在A选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；
在B选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数图象的性质．
【变式2-4】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，不符合题意；
B．二次函数的图象没有过原点，不符合题意；
C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，不符合题意；
D．由一次函数图象可得，，则二次函数图象开口向下，对称轴应在x轴正半轴，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．
（建议用时：30分钟）
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：
①．
②．
③．
④．
⑤．
其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴，
∵抛物线对称轴所在的直线在y轴和直线之间，
∵，
又∵，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵当时，，
∴，故③正确；
∵抛物线顶点纵坐标大于2，
∵，
∴，故④错误；
当时，，
∴,
∵当时，，当时，,
∴，，
∴,
∴，，
∴，
∴，故⑤错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
2．（2023·四川成都·校考三模）已知抛物线，且，．则下列结论中错误的是（ ）
A．点和在抛物线上B．抛物线与x轴负半轴必有一个交点
C．D．当时，y的最大值为
【答案】C
【分析】根据当时，，当时，，即可判断A；联立，得出，即可判断B、C、D．
【详解】解：A、∵当时，，当时，，
∴点和在抛物线上，故A正确，不符合题意；
B、，
得：，
整理得：．
得：，
解得：，
∴，
∵，，
∴函数开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴抛物线与x轴负半轴必有一个交点，故B正确，不符合题意；
C、∵，，，
∴，故C不正确，符合题意；
D、∵对称轴在y轴左侧，
∴当时，y随x增大而增大，
∴当时，y有最大值，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识，会根据图象判断各个系数和式子的符号．
3．（2023·四川成都·统考二模）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．B．函数的最小值为
C．当时，D．
【答案】B
【分析】利用抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称性得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，则可对A进行判断；利用二次函数的最值问题可对B进行判断；利用抛物线与轴的交点与图象可对C进行判断；利用，可对D进行判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点坐标在轴下方，
，
，所以A不符合题意；
当时，函数的最小值为：，故B符合题意；
由图可知，抛物线与轴的另一交点为，所以时，，故C不符合题意；
当时，，
所以，，
即，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，对称轴可知，，由此即可判断①②；再根据，，得到，即可推出，即可判断③；根据对称性求出，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵点A到直线的距离大于1，
∴点B到直线的距离大于1，
即点B在的右侧，
∴当时，，
即，
∴，所以②错误；
∵，，
∴，
∴，即，所以③错误；
∵点A与点B关于直线对称，
∴，
∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确．
故选：B．
5．（2023·四川攀枝花·校考一模）抛物线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．当时y随x的增大而增大
C．图象的对称轴是直线D．不等式的解集是
【答案】D
【分析】根据抛物线与y轴的交点位置即可判断A；求出抛物线对称轴为直线，再根据抛物线开口向下，即可判断B、C；根据函数图象即可判断D．
【详解】解：A、抛物线与y轴的交点在x轴上方，则，故A选项不符合题意，
B、因为抛物线过，则抛物线的对称轴为直线，而抛物线开口向下，所以当时y随x的增大而减小，故B选项不符合题意，
C、抛物线的对称轴为直线，故C选项不符合题意，
D、当时，，即，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
6．（2023·四川巴中·统考一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤直线（，，，，，）与抛物线所有交点的横坐标之和为；其中正确结论的个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴的性质，依次判断，即可．
【详解】∵二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点为：，
∴当时，，
∴当时，，
故错误；
∵二次函数的图象与轴有两个交点，
∴，
∴，
∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∴，
∴，
∴正确；
∵二次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵二次函数的图象与轴的交点在和之间，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正确；
∵，，，
∴，
∴正确；
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴正确；
∴正确的为：．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
7．（2023·四川成都·统考二模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，对称轴是直线，根据图像判断以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．当，则y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】A.根据函数与x轴交点个数，可转化为函数时有两个不相等的实数根，来判断大于零；B.能灵活找出所求式子是当自变量取何值时对应的函数值大小；C.已知函数值取值范围求对应的自变量取值范围即在图中找出函数的部分，直接写出对应的自变量取值范围即可；D.此题函数开口方向朝下，那么对称轴左侧的部分是y随x的增大而增大．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴交于点，
对称轴是直线，
∴与x轴交于点
∴，故A错误；
∴，即，
∴，
令，则，故B错误；
∵，函数图像在轴上方，
∴，故C正确；
当时，则y随x的增大而增大，故D错误．
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数与一元二次方程，解题关键是利用二次函数的对称性找出对称点的坐标和增减性．
8．（2023·四川广元·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）．下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，．正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据图像判断出， ，利用对称轴判断出即可判断出①错误；根据两根之积得出，再结合即可得出结论；根据条件得到当时，有，可得即可求解；把化为即可求解．
【详解】解：由函数图像可知，， ，
∵，
∴，
∴：故①错误，
∵抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，
∴抛物线与x轴的令一交点为，
∴，
∴
∵．
∴．
∴，故②正确；
∵顶点坐标为，
∴其对称轴．即．
∵抛物线与x轴交于点，
∴，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在和两点之间，
∴．
∵顶点坐标为，即当时，有，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．故③正确；
∵一元二次方程可化为，
又∵．∴可有，
解方程，得，，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、运用数形结合思想分析问题是解题的关键．
9．（2023·四川南充·统考一模）二次函数图象如图，下列结论：
；
；
当时，；
；
若，且，则．
其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④⑤D．②③⑤
【答案】D
【分析】利用抛物线开口方向确定，利用抛物线的对称轴得到，利用抛物线与轴的交点位置确定，从而可对①②进行判断；利用二次函数的最值问题可对③进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则时，，即，则可对④进行判断；利用抛物线的对称性可对⑤进行判断．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
∴，，，
∴，
∴①错误，故不符合要求；
∵，
∴，
∴②正确，故符合要求；
由二次函数的性质可知，当时，有最大值，
当时，，
即当时，，
∴③正确；故符合要求；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点的左侧，
∴抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
时，，
即，
∴④错误，故不符合要求；
若，即，且，
则当和时，函数值相等，
∴与关于直线对称，
∴，
∴⑤正确，故符合要求；
综上，正确的有②③⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合并灵活运用知识．
10．（2023·四川绵阳·统考一模）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（ ）
①；
②函数的最大值为；
③若关于x的方程无实数根，则；
④代数式．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最大值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项．
【详解】解：由图象可知，图象开口向下，，
对称轴为，故，即，则，故①正确；
由图象可知当时，函数取最大值，
将，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为，
设函数解析式为：，
故化简得：，
将，代入可得：，故函数的最大值为，故②正确；
变形为：，
要使方程无实数根，则，
将，代入得：，
因为，则，则，综上所述，故③正确；
因为，
所以，
因为，
所以，即，故④错误；
则①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．
11．（2023·四川成都·校考三模）如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（ ）

A．B．当时，的值随值的增大而减小
C．D．函数值有最小值
【答案】B
【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断、、的符号，把两根关系与抛物线与轴的交点情况结合起来分析问题．
【详解】解：抛物线的开口方向下，
．故A错误；
二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限，
对称轴，
当时，的值随值的增大而减小，
故B正确；
的图象与轴有两个交点，
，故C不正确；
，对称轴，
时，函数值有最大值，
故D不正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性，对称性，根据图象确定各项系数的符号以及式子的正负．
12．（2023·四川成都·统考一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A．①③B．②④C．①④D．②③
【答案】D
【分析】①由抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点B的范围，即可得出，进而可得出，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为，进而可得出，结论②正确；③由点B的范围可得出抛物线顶点纵坐标，结合可得出，结论③正确；④由抛物线对称轴为可得出，结论④错误．综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），
∴，﹣，，
∴，
∴，结论①错误；
②∵二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线，
∴二次函数的图像与x轴的另一个交点为，
∴9a+3b+c＝0，结论②正确；
③∵二次函数的图像与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），
∴抛物线顶点纵坐标，
∵，
∴，结论③正确；
④∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，结论④错误．
综上所述，正确的结论有：②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
13．（2023·四川成都·校考二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）．
A．B．当时，随的增大而减小
C．点的坐标为D．
【答案】D
【分析】由题意可得出该二次函数对称轴为直线，再根据点A坐标为，即得出，可判断C；结合A，B，C三点坐标可判断其图象开口向上，可判断A；根据对称轴为直线，图象开口向上，即得出当时，随的增大而增大，可判断B；根据图象开口向上，与轴交于点和点，即得出当时，，代入，即得出，可判断D．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∴，故C错误，不合题意；
∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴抛物线开口向上，
∴，故A错误，不合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，随的增大而增大，故B错误，不合题意；
∵二次函数的图象开口向上，与轴交于点和点，
∴时，，∴，故D正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
14．（2023·四川成都·统考二模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为．则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质逐个判断即可．
【详解】解：由图象开口向上，可知，
与y轴的交点在x轴的上方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
∴，故A不符合题意；
∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，
∴，
∴，故B不符合题意；
∵当时，，故C不符合题意；
∵当时，，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
15．（2023·四川成都·统考模拟预测）如图，二次函数 的图像与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，与 轴的交点在 ，之间（包含端点），下列结论正确的是（ ）
①；② ；③；④；⑤对于任意都有 ．
A．①②⑤B．②③④C．②④D．②④⑤
【答案】D
【分析】①由函数图像可判断 ， ， 的符号，则①是否正确即可判断；
②由抛物线的对称轴为直线 ，一个交点 ，得到另一个交点坐标，利用图像即可对于选项②作出判断；
③根据抛物线开口方向判定 的符号，由对称轴方程求得 与 的关系是 ，将其代入 ，并判定其符号；
④根据两根之积 ，得到 ，然后根据 的取值范围利用不等式的性质来求 的取值范围；
⑤利用二次函数的性质可对⑤进行判断．
【详解】解：由函数图像可 ， ， ，
∴ ，故①错误；
∵抛物线与轴交于点 ，对称轴直线是 ，
∴该抛物线与轴的另一个交点的坐标是 ，
∴当 ， ，
即 ，故②正确；
根据图示知，抛物线开口方向向下，则 ．
∵对称轴 ，
∴ ，
∴，即 ，故③错误；
∵抛物线与轴的两个交点坐标分别是 ， ，
∴ ， ，则 ．
∵抛物线与轴的交点在 ，之间（包含端点），
∴ ，
∴ ，即 ，故④正确；
∵抛物线的顶点坐标 ，
∴时，二次函数值有最大值 ，
∴ ．
即 ，所以⑤正确．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题的关键是结合图像以及给定条件逐个分析5条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．
16．（2023·四川眉山·校考三模）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：①， ②， ③， ④（m为任意实数），其中正确的结论有 ．（请把正确结论的序号填在横线上）

【答案】②④
【分析】由抛物线开口向上，交y的负半轴即可判断①：由抛物线与x轴的交点可判断②；由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③；由时y取最小值可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，交y的负半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴，故③错误；
∵时函数取最小值，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：②④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质．
17．（2022·四川成都·校考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤b2＞4ac．其中正确的（填序号）
【答案】①③⑤
【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴x=1和当x=-1时，y的值，即可判断结论②；由对称轴x=1和当x=2时，y的值，即可判断结论③；由抛物线的增减性可判断结论④；由抛物线与x轴的交点可判断结论⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下、顶点在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴−=1，
∴b=-2a，
∵当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故②错误；
∵抛物线的对称轴直线x=1，一个交点在-1和0之间，
∴另一个交点在2和3之间，
∴当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故③正确；
∵抛物线开口向下，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，故④错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
综上，正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．
18．（2022·四川成都·统考一模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论正确的有 ．①；②；③对于任意实数，恒成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．（填编号）
【答案】①②③
【分析】根据抛物线开口向下判断出a<0，再根据顶点横坐标用a表示出b，根据与y轴的交点求出c的取值范围，然后判断出①正确；根据点A的坐标用c表示出a，再根据c的取值范围解不等式，可得②正确，根据顶点坐标判断出③正确，④错误，从而得解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵顶点坐标(1,n)，
∴对称轴为直线x=1，
∴，
∴b=−2a>0，
∵与y轴的交点在(0,3)，(0,4) (包含端点)，
∴3⩽c⩽4，
3a+b=3a+(−2a)=a<0，故①正确，
∵与x轴交于点A(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴a−(−2a)+c=0，
∴c=−3a，
∴3⩽−3a⩽4，
∴，故②正确，
∵顶点坐标为(1,n)，
∴当x=1时，函数有最大值n，
∴a+b+c⩾am2+bm+c，
∴a+b⩾am2+bm，故③正确，
∵抛物线的顶点坐标(1,n)，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+5没有交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n+5没有实数根，故④错误，
综上所述，结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．
满分技巧
与图像与系数之间关系有关问题的解题策略
1、二次函数各项系数的正负判断，特殊点取值，函数与方程不等式之间关系要掌握．
2、二次函数对称性，代数式之间整体的代换思路需要熟练．
满分技巧
判断二次函数图像与其他函数图像是否一致，可以假设其他函数图像正确从而推到系数范围，然后带入到二次函数来验证（反过来也是成立）。