高考数学导数专题-33.不等式问题中的同构变形策略

这是一份高考数学导数专题-33.不等式问题中的同构变形策略，共17页。
例如：若，则（ ）．
A． B． C． D．
分析：由于，
设，则，
又在上单调递增，则，故选B．
同构法变形精巧，体现了数学的和谐对称之美，能够有效培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，成为近年数学研究的热点之一．同构法的关键是同构变形，上例中的变形是容易的，对于较为复杂的同构变形，目标应该指向何方？同构变形又有哪些策略呢？一般的，同构变形最终要归结为一些常见的函数模型，如、等．从构造方式来看，它们都是基本初等函数经过四则运算或复合而成，特别是以和为基础构造的系列函数；从特征来看，这些函数的单调性、极值和最值等属性容易讨论同构变形的策略灵活多样，常见的有移项、取对数、幂函数与指数式的互化等，以下举例说明．
策略一：借助移项、四则运算等同构变形
对于较为简单的多项式函数，可根据题设条件，通过移项、四则运算等变形，直至不等式两侧呈现相同的结构，之后引进新函数，利用函数的单调性解决问题．
例1 若，则（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意得．设，则，又在上单调递增，则，则．选A．
例2 已知函数在区间内任取两个实数p、q，且，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
解：不妨设，则不等式变形为．
设，则恒成立，所以在上单调递减，
从而在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，易得．
点评：例2中通过对已知不等式变形，使不等式两边结构相同，适时引入函数，进而将问题转化为不等式恒成立问题，通过分离参数可轻松获解．
策略二：借助取对数运算同构变形
数据处理中，我们经常对原始数据取对数，然后再作出处理．依据主要有二，一是通过取对数可以大幅压缩数据的绝对数值，数据更趋平稳．本质上是：当x的取值很大时，对数函数变化速度非常缓慢；二是通过取对数降低运算的维度．由于，，，，，取对数后，乘方运算转化成了乘法计算，乘法运算则转化成了加法计算．对于两边均是指数型不等式，可考虑通过取对数，将指数问题转化为对数问题，降低思维难度．
例3 已经，求证：．
解：因为，所以，只需证明，即，从而．
设，又，所以在上单调递减，
又，所以，即．所以．
策略三 借助恒等式代换同构变形
由对数的概念易知等式成立，我们常常利用该式简化计算．但逆向观察该式，则有，特殊的，可以发现幂函数式可等价变形为指数式，必要时实施此代换，可将一些结构不良的不等式变形为不等式两边相同的结构特征，然后引入新函数求解．
例4 已知函数．若，求a的取值范围．
解：的定义域是，若，即，
亦即，
从而，
即不等式在上恒成立．
设，则在R上单调递增，
又，所以．从而．
设，，
当时，；当时，，
故当时，有极大值，也是最大值．所以，得．
点评：本题的难点是将不等式进行变形，利用恒等式和代换，实现幂函数、指数函数、对数函数式之间的相互转化，使不等式变形为更协调的形式，然后构造函数，利用的单调性，将问题简化为恒成立问题．
例5 设，若存在，使得不等式成立，求k的取值范围．
解：由得，
不等式的两边同时乘以得，即．
设，则，
又在上单调递增，所以，进而．
设，，
当时，单调递增；当时，单调递减，
故，从而．
点评：利用恒等式，将变形为，此时不等式两边的结构一致，然后引入函数，利用在上单调递增得，通过分离参数转化为函数的最值问题．
例6 设实数，对任意的，不等式恒成立，求的取值氛围；
解：由题意得入，不等式的两边同时乘以得，即，
设，则，又，
当时，单调递增，所以入，进而．
设，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
故，从而．
点评：与例5类似，利用恒等式，将不等式入同构变形为，之后水到渠成的构造函数，利用在上单调递增得，再通过分离参数转化为的最大值问题．
结合上述几例可知，掌握以下要点对于同构变形有益的：第一，“函数模型”要储备完善．同构变形往往归结为一些常见的函数模型，如等．熟练掌握这些函数模型的性质（尤其是单调性），可有效加快解题的进程；第二，熟悉同构变形的常用技巧，如移项、取对数、利用恒等式代换等．特别是取对数和利用恒等式代换，体现了指数函数、对数、幂函数三个基本初等函数之间的内在关联，内涵丰富，意蕴悠长．
然而，同构变形技巧性强，需要学生具备较全面的知识储备、较高的关键能力和素养，而这些显然不是一朝一夕就能轻松练就的．教师要通过典型题目的剖析讲评，结合题设条件将被破坏的结构进行还原变形，直至不等式同构形式，然后选择构造新函数，结合函数的单调性等性质简化不等式，即将原不等式中蕴含的内在规律外显化，揭示问题的丰富背景和内涵，让学生在惊讶于同构法巨大威力的同时，又不会感到其玄妙莫测和出其不意．通过对解题过程的思维分析，留住知识之“根”，方法之“根”，价值之“根”和本质之“根”．
专题强化训练
1．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
2．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知对任意给定的，存在使 成立，则实数的取值范围为：__________．
4．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______．
5．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______.
6．不等式的解集为____．
7．已知函数，，则t的取值范围是 _______．
8．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为__________．
9．如果 ，则的取值范围是___________．
10．已知函数，若，求的取值范围.
11．已知函数，证明：当时，.
12．已知函数，当时，证明：．
13．已知函数，a为正常数，且对任意，都有，求a的取值范围．
14．已知．当时，若恒成立，求实数a的取值范围．
15．解不等式．
16．若对任意恒成立，求的取值范围．
17．已知函数，求t的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】原不等式化为，函数与函数互为反函数，
其图象关于直线对称，要使得恒成立，只需恒成立，即恒成立，利用导数求出的最小值即可得结果.
【详解】
函数的定义域为，由，
得，
函数与函数互为反函数，
其图象关于直线对称，所以要使得恒成立，
只需恒成立，即恒成立，
设，则，
在上递减，在递增，
可知当时，取得最小值，
所以，又因为，所以的取值范围是，故选B．
【点睛】本题主要考查反函数的性质、不等式恒成立问题以及利用导数求函数的最值，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
2．C
【分析】由得，构造函数，利用的单调性可得，转化为 ，构造函数，再利用的单调性可得答案．
【详解】由得，
，
令，则，
因为，所以
在单调递减，
∴，即，
令，
令，得，
当时，，当时，，
∴在单调递增，在上单调递减，
∴，∴，
故选：C．
3．
【分析】通过构造新函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解参数的取值范围
【详解】 ，
当 即时，，∴ 显然成立，
当即时，构造函数，∴
显然在上单调递增，∴
设，令 在上， 上
∴ ∴，故实数m的取值范围为 .
故答案为：
4．
【分析】将不等式化简后，构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解
【详解】，∴，
构造函数，显然在上单调递增，
故等价于，即任意的实数恒成立，．
令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，，得．
故答案为：
5．
【分析】将不等式变形为，构造函数，可知当时，函数在上为减函数，可得出，进而可求得的取值范围.
【详解】由，可得，
构造函数，当且当，，
此时，函数在上为减函数，
由于，则，
所以，，所以，，，.
综上可得的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查恒成立问题，构造函数，判断单调性，结合单调性把抽象不等式转化为具体不等式，侧重考查数学抽象的核心素养.
6．
【详解】不等式，
即，
令,则原不等式等价于，
,求导得恒成立，则函数为增函数，
由得即，
解得−1⩽x⩽2，
所以原不等式的解集为[−1,2].
7．[1，＋∞)
【分析】函数和函数都是定义域上的单调递增函数，将不等式转化为函数的单调性及最值来求得的取值范围.
【详解】原不等式为.注意到函数和函数都是定义域上的单调递增函数，故①为单调递增函数，注意到当时，①式值为零，故当时，①式恒大于或等于零.故的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查利用函数的单调性求解不等式成立的问题，属于中档题.
8．
【分析】由题意可得，可令，则成立，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值．
【详解】法一：（同构法）
令，不等式化为，
令，
由，在上单调递增，
∴有解，
由，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
，
∴，即．
法二：
令，化为不等式有解，
∵与互为反函数，关于对称，
要使有解，则与有公共点，即有解，，
，
由，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
可得即有，
∴，
∴，解得，．
故答案为：.
9．．
【分析】先根据不等式的形式构造新函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式即可
【详解】解：由已知得
令 ，则 对任意恒成立，于是在上单调减．
即
由在上单调递减得 ，解得
所以的取值范围是．
故答案为：
10．.
【分析】将给定不等式等价变形并分离参数，借助不等式“，当且仅当时取等号”，推理计算作答.
【详解】，
，
令，求导得：，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，当时，，即，，
因此，，当且仅当时取“=”，
令，显然在上单调递增，而，
即存在，使得成立，即有最小值1，则有，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
11．证明见解析.
【分析】根据给定条件用替换a，转化为证不含参数的不等式，构造函数并借助函数的单调性推理作答.
【详解】函数的定义域为，
因，有，
令，求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，即，
令，，求导得，则在上单调递增，
当时，，当时，，而，
因此，，成立，从而成立，
因，则，于是得，
所以当时，.
【点睛】思路点睛：某些含参数，并且参数在一指定范围内的不等式证明问题，可以将参数用其端点值替换，转化成证不含参数的不等式.
12．证明见解析
【分析】先化简得到，再构造，利用导函数得到其单调性，从而求出，从而得到的单调区间和最值，不等式得到证明.
【详解】，设，
则，设在上单调递减，上单调递增，
∴，
∴
其中，，
因为，所以，
令得：，令得：，
所以在上单调递减，在上单调递增．
在处取得极小值，也是最小值，
∴，
∴
即．
【点睛】同构法对函数进行变形，常用的变形有，，，等.
13．
【分析】将不等式化简后构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解
【详解】简析：不妨令，
设，则，
得在上单调递增，
，即在上恒成立，
令，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴．
a的取值范围是．
14．．
【分析】，令得，即，且的最小值为，令，结合即可解决.
【详解】，
，
，设的根为，即有可得，
，当时，，递减，
当时，，递增.
，
所以，
①当；
②当时，设，
递增，，所以.
综上，.
15．．
【分析】不等式变形为，将视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函数，然后由函数的单调性解不等式．
【详解】令，易知在R上单调递增．
原不等式变形为，即．
由在R上单调递增得，解得或．
所以原不等式的解集为．
16．．
【分析】依题意显然，则时显然成立，当时可得，，得，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，即可得到，则，参变分离得到对任意恒成立，最后构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解．
【详解】解：因为对任意恒成立，
显然．
当时，显然成立．
当时，由，即，令，得．
令，，则
即在上单调递增．
由即，易知，由在上单调递增得．
由得，于是，所以对任意恒成立．
令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，
于是在上的最大值为．所以．
17．．
【分析】由换元法对不等式化简，构造函数根据单调性转化后求解
【详解】令，
则，．
即，
得．由是奇函数得，
所以．
令，
则对任意实数x恒成立，于是在R上单调递增．
即．由在R上单调递增得，即，解得．
所以t的取值范围是．