高考数学导数专题-32.三角函数与导数综合问题研究

这是一份高考数学导数专题-32.三角函数与导数综合问题研究，共16页。试卷主要包含了以函数零点作为解题突破口，极值点第三充分条件，由泰勒展开公式作分析等内容，欢迎下载使用。
近几年的高考数学试题中频频出现导数与三角函数零点问题的内容，主要包括函数零点个数的确定，根据函数零点个数求参数范围，隐零点问题及零点存在性赋值理论，其形式逐渐多样化、综合化．我们知道，很多函数的解析式含有超越式，通过解方程的方式无法求解出其零点，但是通过观察可以发现其零点，此时往往可以把零点作为解决问题的突破口，使问题迎刃而解．
例1已知函数恒成立，求实数a的取值范围．
解：由题目已知条件结合特殊值赋值法，可令，则恒成立，设，则，所以函数在R上单调递增．又因为，所以．
反之若，则：
．
．
综上所述，．
名师点评：本题中发现函数的零，点为1是一个关键点，从而可得到不等式成立的一个必要条件为；当然，在证明过程中还用到了切线不等式：，合理利用这两个不等式进行放缩．
二、极值点第三充分条件
高中数学中，关于极值点的定义不是很清晰，这是因为严格的极值的定义需要用到高等数学领域中极限等概念·众所周知，可导函数导数值为零仅仅是极值点的一个必要而非充分条件．为了避开极限等概念，高中数学判定极值点往往是先判断出函数在整个区间的单调性，再来确定极值．而当函数比较复杂或者含有参数时，这种方法就很烦琐．下面给出高等数学中的极值点第三充分条件，由于其证明需要用到高等数学知识，因而一般学生不必掌握，但对于学有余力的学生，可以尝试理解并记住结论加以应用．
极值点第三充分条件：若函数在处有连续的n阶导数，且满足
，但，则有：
ⅰ）若n为奇数，不是函数的极值点；
ⅱ）若n为偶数，是函数的极值点．
例2已知函数，若存在，使得当时，有恒成立，求a的值．
解：已知条件有，，，
故有．
因为存在，使得当时，有恒成立，且，显然不是的极值点，由极值点第三充分条件，必有．
名师点评：这个定理给出了在前阶导数值均为0，第n阶导数不为0的情况下，判断极值点的方法．
三、由泰勒展开公式作分析
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近，近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具．泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势．利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用．泰勒公式可以应用于求极限，判断函数极值，求高阶导数在某点的数值，判断广义积分收敛性，近似计算，不等式证明等方面．
泰勒公式：设在含有的区间内有直到阶的连续导数，则可以按的方幂展开为
此式称为按的幂展开的n阶泰勒公式．
常见函数的泰勒展开式
1．
2．
3．
4．
例3
1．已知函数，若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
名师点评：本例中函数是多项式函数，函数是三角函数，运用泰勒展开式公式，我们可以把函数转化为多项式函数，这样研究该函数更加方便，把自变量x定义在区间上，可以很容易得出函数在上恒成立的必要条件．事实上，本例中泰勒展开式为我们探寻参数m的分段点提供了重要参考．
随着高考命题的深入开展，导数压轴题并没有走入桎梏，反而涌现出越来越多的经典题型，这极大丰富了数学教学素材，对培养学生的综合能力起到不可估量的作用．近几年兴起的与三角函数交汇的导数压轴题可谓丰富多彩，常考常新，新高考改革政策的全面落实，目的就是为了培养个性化能力水平强的人才，这需要教师突破各种局限迎接各种挑战，突破传统的育人模式．改革将促进学生健康成长，让每个学生的学习欲望得到全面激发，有利于促进每一个学生终身发展，有利于更好地科学选拔各类人才，有利于更好地维护社会公平．
正所谓“会当凌绝顶，一览众山小”，如果我们站在高等数学知识的高度，就可以轻松地看透问题的本质，不会让学生认为高考压轴题有一种“难于天际”的感觉．当然，以上解法可能或多或少超越教学大纲，但毕竞方法通透简洁，还是有一定可取之处！
参考答案：
1．．
【分析】先求导得，借助进行放缩得到，从而得到时符合题意；
时，取，说明不合题意；时，把导数构造成新的函数，先求得导数的单调性，
再说明在上单减，，不合题意，即可求解.
【详解】，令，，令，则，
所以在上单增，，所以在上单增，，即，
故，
当时，在上恒成立，所以在上单增，；
当时，存在，使得，不恒成立；
当时，令，则，令，
则，令，解得，易知存在，使得，
故当时，单减，当时，单增，又，
故时，单减，所以，即，所以在上单减，
，不恒成立；
综上：．
【点睛】本题关键点在于利用进行放缩得到，从而得到时符合题意，
当时，把导数构造成新的函数，利用求得导数的单调性，
再说明在上单减，，不合题意.
三角函数和导数相结合问题是高考常见的类型，同时，在函数中会涉及三角函数、指数函数和对数函数，类似等类型，这三类广义上被称为超越函数，求解这类题目需要运用放缩、换元、分类讨论等方法．在求导过程中，由于三角函数具有周期性，难以通过多次求导使三角函数消失，这造成学生思维上的障碍．因此，教师有必要通过深入研究和分析出三角函数与导数结合问题的解决方法，建立解决此类问题的数学思维模型，进而更加有效地解决此类问题．下面本文对三角函数与导数结合类型中隐零点问题进行探究．
1三角函数和对数型函数结合的极值与隐零点问题
例1已知函数为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
分析本题考查的是三角函数和对数型函数的综合问题，是一道导数的压轴题．三角函数的出现从已知条件上就让考生产生畏惧心理，达到初步选拔的作用．第（1）问中极大值的唯一性，本质上还是在导数的层面上研究零点问题，零点值不能具体解得，注重考查隐零点的运用，进一步达到区分不同层次考生的目的．第（2）问表面上是常规的零点问题，实际上对考生提出进一步的要求，考查考生在分类讨论的基础上对隐零点问题的掌握和运用的程度，进而更加有效地起到区分和选拔考生的关键作用．
解析（1）由题意知（如图1-甲所示）定义域为且（如图1-乙所示），令，（如图1-丙所示）．
因为函数与在上单调递减，所以在上单调递减．
又，，
所以，使得．
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则为唯一的极大值点，故在区间上存在唯一的极大值点．
（2）将定义域分成四个区间：，进行函数单调性和函数零点存在性的讨论．
当时，在上单调递减，存在唯一零点．
当时，由（1）知在内存在唯一极大值点，
故引入对极值点和零点进行虚设，这种隐零点的使用是对考生数学抽象能力运用在具体题目中的进一步考验．
在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上单调递增，此时，不存在零点．
又因为，所以，使得，所以在上单调递增，在上单调递减．
又因为，，所以在上恒成立，此时不存在零点．
故当时，，从而在上不存在零点．
当时，在上单调递减，，所以在存在唯一零点．
当时，，所以在没有零点．
综上，有且仅有2个零点．
点评本题主要考查导数在函数中的应用，考查考生基础性、综合性、应用性、创新性四个关键能力，同时，对考生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数学分析六个核心素养要求较高，利用导数判断函数的单调性、求解极值和零点问题，重点考查等价转化思想和分类讨论思想．对函数多次求导将极值问题转化成零点问题，需要较强的逻辑推理能力，实质上极值点也是一类零点问题．零点问题主要有四类：零点存在性问题、零点个数问题、零点求解问题、零点应用问题，在求解零点过程中无法具体解得零点时，考生应该引入隐零点，隐零点一般采用设而不求的策略，可以虚设零点，估算零点位置，进而运用代换转化、参数分离、放缩等方法解决问题．
2三角函数和对数函数结合中含有参数的极值与隐零点问题
例2已知函数．若在上有且仅有1个极值点，求a的取值范围．
解析由题知（如图2-甲所示），（如图2-乙所示）．当时，无极值点．
当时，设，则（如图2-丙所示）．
由于，故，使得，即，故．
因为，所以，
无极值点．
当时，无极值点．
当时，易知．因为在上有且仅有1个极值点，
所以，即，故a的取值范围为．
点评本题重点考查三角函数的单调性、有界性、周期性、特殊点和放缩法，先结合参数范围确定单调性，再进行分类讨论．关键是分析函数在内的单调性，通过二次求导得到，然后代入，通过的放缩，确定此区间内无极值点，结合范围进行适当放缩是解决三角函数型导数问题的必要方法，一些结论需要先证后用，对逻辑推理思维能力有较高要求．隐零点的运用要注重三个步骤：1）根据已知条件确定零点的存在范围；2）根据零点的意义进行代数式的替换；3）结合前两步确定目标函数的范围．最后，结合零点存在性定理得到最终结果．
3三角函数和指数函数结合的不等式与隐零点问题
例3已知函数，当时，求证：对任意的，都有．
解析因为（如图3-甲所示），
所以（如图3-乙所示）．设，
则（如图3-丙所示）．
当时，单调递增；当时，单调递减．
因为，，
所以，使得．当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
因为，所以当时，
对任意的，都有．
点评本题是指数函数和三角函数的综合问题，根据型函数的特点，利用其性质、范围、导数等优化函数表达式．同时在已知参数范围的前提下，利用参数边界的特点确定不等式的范围，达到消参或者放缩不等式的目标．运算过程中对结果的估算也是必不可少的，估算可以减少不必要的计算过程，在解题过程中需要使用某个方程的根，当根无法求出时，需要借助隐零点的运用对函数进行分析，让隐零点关联作用得到充分发挥．
4三角函数、对数函数和指数函数结合的恒成立与隐零点问题
1．已知函数．若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
1．利用导数研究三角函数的性质
三角函数的性质主要是指单调性、奇偶性、对称性等，利用导数研究这些性质的途径如下．
1）若函数在上单调递增（或递减），则（或）．
2）可导奇函数的导函数为偶函数，可导偶函数的导函数为奇函数．
3）当为函数的对称轴时，函数取得最大或最小值，此时函数在最高点或最低点处的切线斜率为0，即．
例1设函数，则（ ）．
A．的最大值为
C．在单调递增D．在单调递减
解析
对于A，，A正确．
对于B，令，则，由，得，整理得，解得．
，所以，B错误．
对于C，易知
，
令，则在上单调递减，且，
所以存在唯一的，使得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，C错误．
对于D，在上恒成立，所以在上单调递减，D正确．
综上，选A，D．
点评本题考查三角函数的恒等变换、周期、最单调性等性质及函数零点、导数的应用．考查的知识容量大；需要考生掌握三角函数的恒等变换，熟练运用设参、三角函数的有界性、求导、函数零点判断等知识与方法进行求解，考查的能力素养较全面．
2利用导数求三角函数的最值
要求三角函数的最值通常利用导数先研究函数的单调性，进而求出最值．
例2已知三个内角为A，B，C，且成等差数列，则的最小值为_________，最大值为_______．
解析因为成等差数列，所以，
由正弦定理得．
由余弦定理得．
由基本不等式得，所以．
由B是的内角知，所以．
记，则
．
令，解得，由于，故．
当时，单调递增，故，即．
当时，单调递减，故，即．
因此，当时，取得最大值，且；当时，取得最小值，且．
综上所述，的最小值为，最大值为．
点评该解法首先利用正弦定理、余弦定理、基本不等式求得角B的范围，进而构造函数，并利用导数研究函数的单调性，从而求得最值，体现了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养的渗透与应用．
3利用导数求三角函数的极值点
利用导数求三角函数的极值点问题，常结合函数零点存在定理和三角函数的图象与性质，同时，要紧扣极值点的概念进行求解，即函数在处满足，若导函数的值在该点附近符合“左正右负”，则是极大值点；若符合“左负右正”，则是极小值点．
例3已知函数为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点．
解析的定义域为，因为，
所以．令，
则．
在上恒成立，
故在上单调递减，且，，
所以，使得，所以当时，；
当时，在上单调递增，
在上单调递减，则为唯一的极大值点．
综上所述，在区间存在唯一极大值点．
点评求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，再根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而证得结论．
4借助导数讨论三角函数的零点个数
利用导数考查函数零点问题，经常要使用零点存在定理，证明在某个区间内存在零点．
例4已知函数为的导数．证明：有且仅有2个零点．
解析由题意知的定义域为．当时，
由例3可知在上单调递增，所以，所以在上单调递减．
又，所以为在上的唯一零点．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，所以在上单调递增，
此时，不存在零点．
又，
所以，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，
所以在上恒成立，从而在上不存在零点．
当时，，则在上单调递减．
又，所以在上存在唯一零点．
当时，，，所以，即在上不存在零点．
综上所述，有且仅有2个零点．
点评本题考查了利用导数解决函数零点个数的问题．解决零点问题的关键是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，同时，要利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可．
5利用导数研究三角不等式问题
例5已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）若，求a的值．
解析（1）．
当时，，所以．
当时，，所以单调递减，
而，所以．
当时，．
当时，．
设，则当时，，
所以单调递增，，则．
（2）由已知条件得．设，所以．
由（1）知，当时，，
所以在上单调递增，．
若，则，故存在唯一，使得．
当时，单调递减，
而，所以．
若，故存在唯一，使得．
当时，单调递增，
而，所以．
若．
若，当时，．
当时，单调递增，．
当时，单调递减，
又，故；
当时，单调递增，，
所以．
综上，．
点评本题是三角不等式问题与导数应用的交会问题，在分类讨论的基础上，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性求参数的值，充分考查了数学抽象、数学运算、逻辑推理及数学建模等数学核心素养．
6导数与三角结合的综合问题
例6
1．已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
点评本题是三角函数与导数结合的综合问题，考查了变换、放缩等解题技巧及数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养