高考数学导数专题-26.跨阶同构

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1.指对形式同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题
2.跨阶同构的几个关键环节:
（1）指对各一边，参数是关键，凑形是难点.
（2）凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等.
3.常见同构式:
（1）与型：，；
（2）与型：，.
4.几个常用函数的图象：
【典型题示例】
例1 （2022·江苏天一中学期末·16）已知函数（），若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
A． ； B． ； C． ； D． .
【答案】A
【解析】，即
两边同时除以得
两边同时除以得，即
设函数，易得在单增
所以，易知，故
设，易得
所以，故，选A.
例2 (2022·江苏省G4（扬州中学、苏州中学、盐城中学、常州中学）高三上学期12月阶段检测)若不等式eq 2e\s\up6(x)－2＞－aln(x＋1)＋(a＋2)x对x∈(0，＋∞)恒成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为
A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】B
【分析】运用同构对不等式进行变形，使得两边“结构相同”，由于式子中含有ex、ln（x+1）及关于x的一次式，故应考虑“跨阶同构”，即对不等式变形时，应使得不等式两边一边含ex、另一边含ln（x+1）.
【解析】对eq 2e\s\up6(x)－2＞－aln(x＋1)＋(a＋2)x变形得：2ex－ax＞2（x+1）－aln（x+1）
一方面，2ex－ax＝2ex－a ln ex，
所以问题转化为2ex－a ln ex＞2（x+1）－aln（x+1）对x∈(0，＋∞)恒成立
又因为ex＞x+1，设f(x)=2ex－ax，则f(x) 在(0，＋∞)为增函数
故f/(x)=2ex－a≥0恒成立，故a≤2.
例3 已知函数，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由移项得：
（说明：将变量移至一边的原则进行变形）
即，两边同时加（x－1）得
（说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形）
即
设，则，所以单增
所以，即
设，则，所以在单减，在单增，
所以，所以.
点评：
对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．
例4 设a，b都是正数，若aea+1+b＜blnb（其中e 是自然对数的底数），则（ ）
A.ab＞e； B.b＞ea+1； C.ab＜e； D.b＜ea+1.
【答案】B
【解析】由已知aea+1+b＜blnb移项整理得aea+1＜blnbe，
为了实现“一边一个变量”，两边同时除以e得aea＜belnbe，
为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶”得aea=ea·lnea
故ea·lnea＜belnbe （#）
设fx=x·lnx，（#）即为fea＜ fbe
∵a＞0，∴ea＞1
∵blnb-1＞0，b＞0，∴lnb＞1，故b＞e，be＞1
当x＞1时，f'x=1+lnx＞0，fx单增
∴ea＜ be，即 ea+1＜b，选B.
例5 已知函数（），若恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵
∴
两边加上得
设，则其单增
∴，即
令，则
∵的定义域是
∴当时，，单增；当时，，单减
∴当时，取得极大值即为最大值，且
∴，∴即为所求.
例6 设实数λ>0，若对任意的x∈(0，+∞)，不等式eλx-lnxλ≥0恒成立，则λ的取值范围是 ．
【答案】[1e，+∞)
【解析】由eλx-lnxλ≥0得eλx≥lnxλ，即λxeλx≥lnx∙elnx对任意的x∈(0，+∞)恒成立．
设f(t)=tet，则f(λx)≥f(lnx)对任意的x∈(0，+∞)恒成立，
又f't=tet+et=(t+1)et，
∴当t0，f(t)单调递增．画出图象为
①当x≥1e时，t1=λx>0，t2=lnx>-1，此时函数f(t)单调递增，∴f(t1)>f(t2)，
即f(λx)≥f(lnx)，所以λx≥lnx对任意的x∈(0，+∞)恒成立，∴λ≥lnxx对任意的x∈(0，+∞)恒成立．
设gx=lnxx，x>0，则g'x=1-lnxx2，则当01的情形，亦即λxeλx≥lnx∙elnx.
设f(t)=tet(t>0)，则f't=tet+et=t+1et>0，
ft在t∈(0，+∞)上为增函数.
由fλx≥flnx得，λx≥lnx，即λ≥lnxx，故λ≥lnxxmax
设gx=lnxx，x>0，则g'x=1-lnxx2，
gxmax=ge=1e，∴λ≥1e．
【解析三】由eλx-lnxλ≥0得eλx≥lnxλ，λeλx≥lnx，即（λx）eλx≥xlnx对任意的x∈(0，+∞)恒成立．
当x∈(0，1]时，总有λxeλx>0，xlnx≤0.
只需考虑x>1的情形，亦即eλxlneλx≥xlnx.
设f(t)=tlnt(t>1)，则f't=1+lnt>0，
ft在t∈(1，+∞)上为增函数.
由feλx≥fx得，eλx≥x，即λ≥lnxx，故λ≥lnxxmax
设gx=lnxx，x>0，则g'x=1-lnxx2，
gxmax=ge=1e，∴λ≥1e．
【解析四】由eλx-lnxλ≥0得eλx≥lnxλ，λeλx≥lnx，即（λx）eλx≥xlnx对任意的x∈(0，+∞)恒成立．
当x∈(0，1]时，总有λxeλx>0，xlnx≤0.
只需考虑x>1的情形，得λx+ln⁡(λx)≥ln⁡x+ln⁡(lnx).
设ft=t+lnt(t>1)，则f't=1+1t>0，
ft在t∈(1，+∞)上为增函数.
由fλx≥flnx得，λx≥lnx，即λ≥lnxx，故λ≥lnxxmax
设gx=lnxx，x>0，则g'x=1-lnxx2，
gxmax=ge=1e，∴λ≥1e．
例7 对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析一】将变形为，（说明：将参数移至一边）
两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构）
即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）
设，则，单增
故由（#）得，
再令，则，易知当
所以，即.
【解析二】将变形为，即
设，易知单增
故（以下同解法一，从略）.
点评：
为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：x=elnx(x>0)，x=lnex(x∈R).
xex=ex+lnx；x+lnx=lnxex.
xex=elnx-x； x-lnx=lnexx.
x2ex=ex+2lnx；x+2lnx=lnx2ex.
exx2=ex-2lnx； x-2lnx=lnexx2.
有时也需要对两边同时加、乘某式等.
与为常见同构式：，；与为常见同构式：，.
【巩固训练】
1.设实数，若对任意的，不等式成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ）.

3．若对一切正实数x恒成立,则实数a的取值范围是
B.(-∞,1]C.(-∞,2]D.(-∞,e]
4.已知函数，（其中a为参数），若对任意x(0，)，不等式成立，则正实数a的取值范围是 ．
5. 对于任意实数，不等式恒成立，则的最大值是_____.
6. 关于的不等式对任意（其中）恒成立，则的取值范围是_____.
7. 关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_____.
8.已知函数fx=（x+1x）lnx，gx=memx+m若对任意的x∈(0，+∞)，不等式2fx-gx≤0恒成立，则m的取值范围是 ．
9.( 2022·江苏数学基地校联考·22改编)已知函数eq f(x)＝ae\s\up6(x)－lnx－lna，当x＞0时，f(x)≥eq \f(5,2)，则a的取值范围是 .
10.（2022·江苏天一中学）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________．
【答案与提示】
1.【答案】D
【分析】把不等式成立，转化为恒成立，设函数，进而转化为恒成立，得出恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【解析】因为，不等式成立，即成立，即，
进而转化为恒成立，
构造函数，可得，
当，，单调递增，
则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，
进而转化为恒成立，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当，函数取得最大值，最大值为，
所以，即实数m的取值范围是. 故选：D.
2. 【答案】
【提示】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为.
3.【答案】B
【解析】（利用同构）由得，两边同时加
即
设，则，单增
，即，故恒成立
恒成立
设，易得，所以.
4.【答案】
【解析】构建同构式处理不等式
由得，即，
两边同时加得
令,则，
∵为单调增函数 ∴，即，
令,则
∴在上单调递减，在上单调递增，∴，
∴，解得．
5.【答案】e
【提示】变形为.
6.【答案】
【提示】变形为.
7.【答案】
【提示】变形为，利用.
8.【答案】[2e，+∞)
【解析】2fx-gx≤0转化为（x2+1）lnx2≤mxemx+mx，即x2lnx2+lnx2≤mxemx+mx，设ft=tet+t，则flnx2≤f(mx)对任意的x∈(0，+∞)恒成立，
又f't=tet+et+1=t+1et+1>0，f(t)单调递增
所以lnx2≤mx，m≥2lnxx，易求得m≥2e
∴实数m的取值范围是[2e，+∞)．
9.【答案】
10.【答案】（，）
【分析】由题可得，可构造函数则，再求函数的最大值即可.
【解析】关于的不等式在上恒成立，则，
设，∴
∵，
∴在上单调递增，
∴即，
设，
∴，令，得，
当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
∴，
∴
故答案为：（，）.函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点