2023高考数学二轮专题导数38讲 专题15 导数中同构与放缩的应用

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专题15　导数中同构与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，考点一　部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）【方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a＞0且a≠1时，有，(2)当a＞0且a≠1时，有再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3)，(4)，(6)，再结合常用的切线不等式：，，，等，可以得到更多的结论(7)，．，．(8)，，(9)，，【例题选讲】[例1]　(1)已知，则函数的最大值为________．答案　－2　解析　．(当且仅当x＋lnx＋1＝0取等号)．
(2)函数的最小值是________．答案　1　解析　(当且仅当x＋lnx＝0取等号)．(3)函数的最小值是________．答案　1　解析　(当且仅当x＋2lnx＝0取等号)．[例2]　(1)不等式恒成立，则实数a的最大值是________．答案　1　解析　，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．(2)不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．答案　　解析　，当x＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立，当x＋lnx＋1＞0时，，由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立，所以，故．(3)不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．答案　　解析　．(4)已知函数，其中b＞0，若恒成立，则实数a与b的大小关系是________．答案　　解析　，由于，当且仅当x＋blnx＝0等号成立，所以．(5)已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　　解析　，由于lnx＋1≤x，ex≥ex，两者都是当且仅当x＝1
等号成立，则，所以．(6)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是________．答案　　解析　，由于ex≥ex，lnex≤x，两者都是当且仅当x＝1等号成立，所以，则，所以．(7)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　　解析　，当且仅当－ax＋lnx＝0，即时等号成立，由有解，易得．(8)已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案　　解析　，令，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，令，在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞) 单调递增．，．[例3]　(2020届太原二模)已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．解析　(1)定义域是，，①当时，，在定义域上单调递增，不可能有两个零点；②当时，由，得，当时，，在定义域上单调递增，当时，，在定义域上单调递减，所以当时，取得极大值．当时，，当时，，因为有两个零点，所以，解得．(2)要使恒成立，只要恒成立，只要恒成立，
令，则，当且仅当时取等号．所以恒成立，实数a的取值范围为．【对点精练】1．函数的最小值为________．1．答案　　解析　，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．2．函数的最小值为________．2．答案　1　解析　，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．3．函数的最大值是________．3．答案　0　解析　(当且仅当x＋lnx＝0取等号)．4．已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．4．答案　　解析　，由于，所以．5．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．5．答案　　解析　，当x＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立，当x＋lnx＋1＞0时，，由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立，所以，故．6．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．6．答案　　解析　，由于lnx＋1≤x，e2x≥2ex，两者都是当且仅当x＝1等号成立，则，所以．7．已知a，b分别满足，则ab＝________．
7．答案　e3　解析　同构化处理，并利用函数的单调性．，，令，显然该函数单调递增，即，即，则ab＝e3．8．已知x0是函数的零点，则________．8．答案　2　解析　，所以，即，或，则．考点二　整体同构携手脱衣法【方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1) >k(x1<x2)f(x1)－f(x2)<kx1－kx2f(x1)－kx1<f(x2)－kx2y＝f(x)－kx为增函数；(2) <(x1<x2)f(x1)－f(x2)>＝－f(x1)＋>f(x2)＋y＝f(x)＋为减函数；含有地位同等的两个变x1，x2或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：如，，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．
(2)商型：(3)和差：如；．3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)；(2)；(3)．【例题选讲】[例4]　(1)若，则A．　B．　C．　D．解析　设，则，故在上有一个极值点，即在上不是单调函数，无法判断与的大小，故A、B错；构造函数，，故在上单调递减，所以，选C．(2)若，都有成立，则a的最大值为(　　)A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．e　　　　　　　　D．2e解析　，即，令，则在上为增函数，在上恒成立，，令，解得x＝1，在上为增函数，在上为减函数，，的最大值为1，选B．(3)已知，在区间内任取两实数p，q，且p≠q，不等式
恒成立，则实数a的取值范围为________．解析　①当p>q时，即，令，则，在递减，即，在递减，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，．②当p<q时，同理可得出，综上所述[例5]　对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数(1)解析　，．(2)解析　，．(3)解析　(4)解析　，．(5)解析　，．[例6]　(1)已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　　解析　
(三种模式，只要写一种)，由(3)得，，即，由导数法可得，从而所以．(2)已知函数，若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．解析　(同构)，令，由，且，知在为减函数，所以．故选C．(3)对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________．解析　(积型同构取对数)，令，则为增函数，由，得，即恒成立，令，则，易得，所以实数a的最小值为．(4)已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．解析　(和差型同构)，令，显然为增函数，则原命题等价于，由于，所以，即得．(5)对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________．解析　(积型同构)，令，则，，易知在上递减，在上递增，所以，所以在上单调递增，则
，由导数法易证，所以．(6)已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．解析　，令，则，易知在上递减，在上递增，所以，，．根据选项只讨论a＜0的情况，当a＜0时，，，．令，则，所以在上递增，在上递减，则，即，故选C．[例7]　已知函数.(1)判断在上的单调性；(2)若，证明：．解析　(1)，令，，在上单调递减，，即，在上单调递减．(2)要证，即证：即证：即证：，令，即证：，由(1)，在上单调递减，即证：．令，，在上单调递增，，，即．[例8]　(2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．解析　(1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，∴f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1．∵f(1)＝e＋1，∴切点坐标为(1，1＋e)，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e－1＝(e－1)·(x－1)，即y＝(e－1)x＋2，
∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，，∴所求三角形面积为×2×＝．(2)解法一：∵f(x)＝aex－1－ln x＋lna，∴f′(x)＝aex－1－，且a>0．设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝aex－1＋>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a＝1时，f′(1)＝0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝1，∴f(x)≥1成立；当a>1时，<1，∴<1，∴f′f′(1)＝，∴存在唯一x0>0，使得f′(x0)＝aex0－1－＝0，且当x∈(0，x0)时f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时f′(x)>0，∴ae x0－1＝，∴lna＋x0－1＝－lnx0，因此f(x)min＝f(x0)＝ae x0－1－lnx0＋lna＝＋lna＋x0－1＋lna≥2lna－1＋2＝2lna＋1>1，∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立；当0<a<1时，f(1)＝a＋lna<a<1，∴f(1)<1，f(x)≥1不恒成立．综上所述，a的取值范围是[1，＋∞)．解法二：f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝eln a＋x－1－lnx＋lna≥1等价于eln a＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝eln x＋lnx，令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(lna＋x－1)≥g(lnx)，显然g(x)为单调递增函数，∴又等价于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1，令h(x)＝lnx－x＋1，则h′(x)＝－1＝，在(0，1)上h′(x)>0，h(x)单调递增；在(1，＋∞)上h′(x)<0，h(x)单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝0，ln a≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．【对点精练】1．已知函数，若对任意正数x1，x2，当x1＞x2时，都有成立，则实数m的取值范围是________．1．答案　m≥0　解析　由得，，令，
，在单调递增，又，，在上恒成立，即，令，则，在单调递减，(但取不到)． m≥0．2．已知函数，，当x2＞x1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．2．答案　D　解析　由，得，令，则在上单调递增，又，在上恒成立，即，令，则，令，则在单调递减，在单调递增，，选D．3．对不等式进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．3．答案　　解析　4．对方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．4．答案　　解析　．5．对不等式进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．5．答案　　解析　6．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为________．6．答案　　解析　，令，易知在上递增，所以， ，．令，则，所以在上递增，在上递减，则，即．7．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．
7．答案　　解析　，，令，显然为增函数，则原命题等价于，令，则，所以在上递减，在上递增，则，所以，即得．8．已知对任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为________．8．答案　　解析　，即．令，则在上递增，所以，所以，则，由导数法易证，所以．9．已知，不等式，对任意的实数恒成立，则实数a的最小值是(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．9．答案　C　解析　，即，令，则在单调递增，即，即，．令，由导数法知，．故选C．10．已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为(　　)A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．10．答案　　解析　，即，令，则在单调递增，即，当时，恒成立，当时，，令，则，在上单调递增，．故选B．