高考数学导数专题-31.同构携手放缩

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考法一：部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）
[规律方法] 在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1）当且时，有
（2）当且时，有
再结合指数与对数运算法则
可以得到下述结论（其中）（“ex”三兄弟与“”三姐妹）
（3），
（4），
（6），
再结合常用的切线不等式：，，，等
可以得到更多的结论
（7），．
，．
（8），
，
（9），
，
例1．已知，则函数的最大值为______．
解析：
（当且仅当取等号）．
例2．已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是______．
解析：
由于
当且仅当等号成立，所以．
例3．已知函数．
（1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
解析：（1）定义域是，
①当时，，在定义域上单调递增，不可能有两个零点
②当时，由，得
当时，，在定义域上单调递增
当时，，在定义域上单调递减
所以当时，取得极大值．
当时，，当时，
因为有两个零点，所以
解得．
（2）要使恒成立，只要恒成立
只要恒成立，令，则
当且仅当时取等号，所以恒成立，实数a的取值范围为．
【点睛】本题难点在第2问，由所求不等式出发，经参变分离将问题转化为恒成立，引入函数，通过结论的放缩，巧妙地得出的最小值，进而求出参数a的取值范围.
【针对训练】
1．函数的最小值是______．
【答案】1
【分析】先利用导数证明在R上恒成立，再构造函数，结合放缩法即可求出函数的最小值.
【详解】令，
则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即在R上恒成立，
所以，
故
当且仅当取等号.
故答案为：1.
2．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.
【详解】
由于，，两者都是当且仅当x＝1等号成立，则
所以．
故答案为：．
3．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围.
【详解】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根．
故答案为：.
考法二：整体同构携手脱衣法
[规律方法] 在能成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若能等价变形为，然后利用的单调性，如递增，再转化为，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．
1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）
（1）为增函数
（2）为减函数
含有地位同等的两个变量，或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）
2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）
（1）积型：
如
后面的转化同（1）
说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知，
（2）商型：
（3）和差：
如．
3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）
（1）
后面的转化同2（1）
（2）
（3）．
后面的转化同2（1）
例4．已知，在区间内任取两实数p，q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．
解析：①当时，
即
令，则
∴在递减，即
∴在上恒成立
∴在上恒成立
∴在上恒成立
∴．
②当时，同理可得出，综上所述
例5．对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为______．
解析：
（积型同构）
令，则，
易知在上递减，在上递增
所以，所以在上单调递增
则，
由导数法易证，所以．
例6．已知函数．
（1）判断在上的单调性；
（2）若，证明：．
解析：（1）
令，
∴在上单调递减，∴，即
∴在上单调递减．
（2）要证，即证：
即证：，即证：
令，即证：
由（1），在上单调递减，即证：
令，
∴在上单调递增，∴
∴，即．
【点睛】本题利用分析法将所证不等式转化为，通过同构变形，构造函数，借助（1）问中在上单调递减，将命题转证为，简化所证命题.
【针对训练】
4．已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意可得，，即，构造函数，由其在上为增函数，，则，再构造函数，利用导数求出其最大值即可
【详解】因为，对恒成立，
所以，，
所以，
所以，
所以，
令，则
因为在上为增函数，
所以，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，即，
所以，所以，
所以a的取值范围是
故答案为：
5．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得，令，则问题等价于，即，再由，即可得到，即可得到参数的取值范围；
【详解】解：，
，
令，显然为增函数，
则原命题等价于
，
又令，则，
所以时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，
所以，即恒成立，
所以，
所以，即得．
故选：B
6．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
故选：C
【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.
【强化训练】
7．函数的最小值为______．
【答案】1
【分析】先证明出成立，对原函数进行同构构造后直接求解.
【详解】记.
因为.令，解得：；令，解得：；
所以在上单减，在上单增，所以.
所以，即.
所以，当且仅当时等号成立．
记.
因为在上单增，在上单增，所以在上单增.
又，，
所以有且只有一个实根.
而存在唯一一个使得.
即存在唯一一个使得.
所以函数的最小值为1.
故答案为：1
8．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.
【详解】
由于，
两者都是当且仅当x＝1等号成立
则
所以．
故答案为：．
9．已知a，b分别满足，，则ab＝______．
【答案】
【分析】同构化处理，构造函数并利用函数的单调性确定答案．
【详解】
，且，令，，该函数在单调递增，可得，即，则．
故答案为：.
10．已知是函数的零点，则_______．
【答案】2
【分析】根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解.
【详解】根据题意可得，
整理可得，
可得当，即成立，
又，
代入可得.
故答案为：.
11．已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】令，进而原题等价于在单调递增，从而转化为，在上恒成立，参变分离即可求出结果.
【详解】由得，
令，∴
∴在单调递增，
又∵
∴，在上恒成立，即
令，则
∴在单调递减，又因为，
∴．
故答案为：.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
12．设实数，若对于任意，不等式恒成立，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】将给定的不等式作等价变形，按分段讨论，并借助导数求出最值作答.
【详解】，，，
当时，，而，即恒成立，
因此，恒成立，当且仅当时，恒成立，
令，求导得，即函数在上单调递增，
因此，，
令，求导得，当时，，当时，
即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，则
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：不等式恒成立问题，把恒成立问题转化为求解函数的最值是解答的关键.
13．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先不等式变形为，，不等式等价于，然后利用函数的单调性可得对任意恒成立，再利用参变分离恒成立，转化为求函数的最小值.
【详解】不等式变形为 ，
即，设，
则不等式对任意的实数恒成立，
等价于对任意恒成立，
，则在上单调递增，
，即对任意恒成立，
恒成立，即，
令 ，则 ，
当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
时，取得最小值 ，
，即，
的最小值是.
故选：D
【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形，并能构造函数并转化为对任意恒成立.
14．已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分析，易得恒成立，再分析，
将问题转化为，恒成立，再构造函数，
即，恒成立，可利用的单调性，
转化为则恒成立，再转化为得恒成立，
再构造函数，利用导数得到，则.
【详解】当，时，显然恒成立；
当 时，由题，则恒成立，
得，恒成立，
令，则恒成立，
则，故在递增，
则恒成立，得恒成立，
令，则，即在递增，
故，故，
综合得.
故选：B.
【点睛】本题考查了分析观察能力，利用导数研究函数的性质，反复构造函数利用函数的单调性转化恒成立问题是解决问题的关键.