高考数学导数专题-17.极值点偏移解题研究

这是一份高考数学导数专题-17.极值点偏移解题研究，共3页。试卷主要包含了构造偏差函数， 比值代换，不等式放缩，二次函数拟合，先给出极值点偏移判定定理等内容，欢迎下载使用。
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
证明：（1）函数的定义域为，又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
（2）因为，故，即，
故，设，由（1）可知不妨设.
因为时，，时，，
故. 下面用不同的方法来证明：.这些方法均是证明极值点偏移的常用方法.
方法1.构造偏差函数.
若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.
设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.
方法2. 比值代换.
令，由，整理得，
于是，欲证只需证. 下面构造函数：
，故只需证明即可，对求二阶导数可证得.
方法3.不等式放缩
由于下面不等式组成立：以及. 下面我们用不等式放缩来完成证明：
，，整理可得：，即证得.
方法4.二次函数拟合
如图，考虑用二次函数拟合上述曲线，只需保证二次函数在顶点处的邻域内拟合即可.可将在处二阶泰勒展开，故只需满足方程组，求得：.即.这样的话，的根为，且，由，得证.
方法5：单调性同构
（2）因为，故，即，
故，设，由（1）可知不妨设.下面我们证明
由于，于是可得：.
构造函数，则上式显然成立，于是可得：
，得证！
方法6.先给出极值点偏移判定定理.
极值点偏移判定定理：若在满足，且满足，为函数的一个极值点，则有：
（1）若，则；
（2）若，则.
反之，若在满足，且满足，为函数的一个极值点，则有：
（3）若，则；
（4）若，则.
证明见第6讲，此处略去！
回到原题，由题知可得，若令，则原命题等价于：已知，证明：. 不妨假设,由于，故,,注意到为函数的极值点，因此此处我们只用判定定理证明.，由于是严格减函数，根据本文所给判定定理之（2）可得，证毕.