高考数学导数专题-18.泰勒展开式及应用

这是一份高考数学导数专题-18.泰勒展开式及应用，共4页。试卷主要包含了1 ；，已知函数．，已知求证，求证，已知函数，设，试比较三个数的大小等内容，欢迎下载使用。
一．基本命题原理
泰勒展开式（泰勒级数）：
多项式：
公式：
泰勒公式时的麦克劳林公式：
几个重要的不等式
由泰勒公式，我们可以得到几个重要的不等式：
3.1 ；
3.2 ；
3.3 .
下面我们尝试对对数的泰勒展开式进行变形处理：
将代入上式，可得：，这就是下面这道高考试题的命题背景.
二．典例分析
例1.（2021八省新高考适应考试）
已知函数，.
（1）略；
（2）若，求.
例2.（2015北京）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：当时，；
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．
由上述结论易得结论，此处不再赘述.下面我们再看几个泰勒展开的应用实例.
例3.证明不等式：≤≥0.
解析：不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 。这时我们可用在的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系. 由于,,,,,,, 当时，的泰勒展式为： ≥0 (≥0, ≤,0＜＜1)所以≥0,，有 ≤.
注：这个不等式实际上就是正弦函数泰勒展开甩掉高阶项得到的.
下来给出两个关于对数的不等式，并用它们来分析一道2017年高考真题.
例4.（1）；（2）
合起来可得：.
上述不等式易证，读者不妨自行尝试.
例5.已知求证：
解析：
所以
例6.（2017全国3卷）求证：
例7.（2021山东模拟）已知函数.
（1）证明：时，；
（2）设，若对任意实数，都有，求的值.
最后看一道利用泰勒展开比较大小的问题.
例8.（2022新高考1卷）设，试比较三个数的大小.