第4章 导数及其应用 第2节 导数的运算 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
(1)基本初等函数的导数公式
(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]'=__________. ②[f(x)g(x)]'=_________________________,特别地,[cf(x)]'=__________. 
(3)复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=__________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
例1(1)(多选题)(2024·吉林长春模拟)在下列求导运算中,不正确的是(　　)
(2)(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=ex+x3f'(1),则f(1)=(　　)
解析 设x∈(-2π,-π),则x+2π∈(0,π),所以f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)sin x,又因为f(x)=f(x+π)=f(x+2π),所以f(x)=(x+2π)sin x,此时f'(x)=sin x+(x+2π)·cs x,
规律方法函数求导运算的基本原则(1)熟记常见函数的导数公式和四则运算法则,切勿记错记混;(2)求导前,应利用代数、三角恒等变换对函数解析式进行化简,以便减少运算量,减少差错;(3)复合函数求导,要正确分析函数的复合过程,分清内外层函数,按照法则进行求导;(4)求函数在某一点处的导数且解析式未知时,应先 根 据 条 件 求 出 该 点 所 在 区 间 的 解 析 式 再求导;(5)当函数解析式中含有待定系数(如f'(x0)等)时,应将待定系数看成常数进行求解.
考点二 导数运算的应用(多考向探究预测)
规律方法导数新定义问题的求解策略新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情境,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.
解析 由f'(2-x)+f'(x)=2,令x=1,得2f'(1)=2,所以f'(1)=1.由f(x-1)为奇函数,得f(x-1)=-f(-x-1),所以f'(x-1)=f'(-x-1),故f'(x)=f'(-x-2),①又因为f'(2-x)+f'(x)=2,②由①和②得f'(2-x)+f'(-x-2)=2,即f'(4-x-2)+f'(-x-2)=2,所以f'(x)+f'(x+4)=2,③令x=-1,得f'(-1)+f'(3)=2,得f'(3)=0;令x=1,得f'(1)+f'(5)=2,得f'(5)=1.又因为f'(x+4)+f'(x+8)=2,④由③-④得f'(x)-f'(x+8)=0,即f'(x)=f'(x+8),所以函数f'(x)是以8为周期的周期函数,故f'(7)=f'(-1)=2,所以f'(1)+f'(3)+f'(5)+f'(7)=1+0+1+2=4,
=506[f'(1)+f'(3)+f'(5)+f'(7)]=506×4=2 024,故选B.
规律方法函数与导函数性质间的联系(1)一般来说,奇函数、偶函数的导函数分别是偶函数、奇函数,周期函数的导函数还是周期函数;(2)在对抽象函数满足的条件等式两边求导时,注意合理运用复合函数的求导法则.