第4章 导数及其应用 素能培优(四) 公切线问题 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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既与曲线f(x)相切又与曲线g(x)相切的直线称为曲线f(x),g(x)的公切线,利用导数解决公切线问题是近几年高考的热点题型,主要包括以下三个方面的问题:(1)求两曲线的公切线方程;(2)判断两曲线公切线的条数;(3)根据两曲线的公切线方程或条数确定参数的值或取值范围,以下通过例题介绍公切线问题的求解策略.
命题点1 求两曲线的公切线方程
(1)共切点的公切线例1(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=ex-ax+b(a,b∈R),g(x)=x2+x,若这两个函数的图象在公共点A(1,2)处有相同的切线,则公切线方程为__________. 
解析 因为f(x)=ex-ax+b,g(x)=x2+x,所以f'(x)=ex-a,g'(x)=2x+1,因为f(x),g(x)在公共点A(1,2)处有相同的切线,
此时f(x)=ex-(e-3)x-1,f'(x)=ex-e+3,所以f(1)=2,f'(1)=3,于是f(x)图象在点A处的切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1;同理g(1)=2,g'(1)=3,所以g(x)图象在点A处的切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1,故公切线方程为y=3x-1.
规律方法若两曲线在公共点处存在公切线,当求该公切 线方程时,可利用导数的几何意义,求出其中一条 曲线在公共点处的切线方程,再验证其与另一条曲 线相切即可;也可分别求出两条曲线在公共点处的 切线方程进行对照即可.
[对点训练1](2024·福建南平模拟)已知曲线y=aln x和曲线y=x2有唯一公共点,且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l,则l的方程为__________. 
(2)不同切点的公切线例2(2024·安徽合肥联考)已知直线l与曲线y=ex,y=2+ln x都相切,则直线l的方程为_______________. 
y=x+1或y=ex
规律方法当求与两条曲线相切于不同两点的公切线方程时,可以分别设出公切线与两条曲线的切点坐标,利用导数几何意义分别得到两条切线方程,再令它们的斜率与截距分别相等,从而建立关于切点坐标的方程组,解方程组求得切点坐标后即可代入得到公切线方程.
命题点2 判断公切线的条数
例3(2024·安徽滁州模拟)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=ln x,判断f(x)与g(x)图象的公切线条数.
规律方法判断两条曲线的公切线条数时,可以分别设出公切线与两条曲线的切点坐标,利用导数几何意义分别得到两条切线方程,再令它们的斜率与截距分别相等,从而建立关于切点坐标的方程组,则该方程组的解的个数即为两曲线公切线的条数.
[对点训练3](2024·福建宁德模拟)已知函数f(x)=x2,g(x)=aln x(x>1),其中实数a≠0,讨论f(x)与g(x)图象公切线的条数.
当a>2e时,直线y=a与y=h(x)的图象没有交点,所以f(x)与g(x)的图象没有公切线,当a=2e或a≤4(a≠0)时,直线y=a与y=h(x)的图象有1个交点,所以f(x)与g(x)的图象有一条公切线,当4命题点3 根据公切线求参数的值或范围
(2)(2024·浙江余姚模拟)若函数f(x)=ex,g(x)=ax2(a≠0)的图象存在公切线,则实数a的取值范围是_______________. 
规律方法根据两曲线公切线方程或公切线的条数确定参数值或取值范围时,仍然需要首先设出公切线与两条曲线的切点坐标,利用导数几何意义分别得到两条切线方程,再令它们的斜率与截距分别相等,从而建立关于切点坐标的方程组,解方程组即可得参数值,或根据方程组解的个数确定参数范围.
[对点训练4](1)(2024·陕西渭南模拟)已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=ln x+2的公切线,则a+b等于(　　)A.e+2B.3C.e+1D.2
(2)(2024·山东青岛模拟)若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=aex存在公切线,则a的(　　)