第4章 导数及其应用 第3节 利用导数研究函数单调性 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
函数的单调性与其导数的关系
微思考“函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件?
提示 充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.
微点拨利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x);(3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.
常用结论1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),则在(a,b)内f'(x)≥0(≤0)恒成立.2.若函数f(x)在区间(a,b)内存在单调递增(减)区间,则在(a,b)内f'(x)>0(<0)有解.3.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,其图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,图象就比较“平缓”.
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f(x)在其定义域上有f'(x)<0,则f(x)在定义域上单调递减.(　　)2.若函数f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递增.(　　)3.如果一个函数在某一范围内变化得越快,则其导数就越大.(　　)4.若函数f(x)=x3+ax2+bx在R上单调递增,则a2-3b<0.(　　)
题组二 回源教材5.(人教B版选择性必修第三册6.2.1练习A第2题改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=2x-1,则f(x)的单调递增区间是__________. 
6.(人教A版选择性必修第二册5.3.1例1(2)改编)函数f(x)=sin x-x在(0,π)内的单调递减区间是__________. 
解析 由于f(x)=sin x-x,所以f'(x)=cs x-1,因为x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)内单调递减,即函数的单调递减区间是(0,π).
题组三 连线高考7.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为(　　)A.e2B.eC.e-1D.e-2
8.(2023·全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是__________. 
考点一 求不含参数函数的单调区间
例1(1)(2024·陕西西安模拟)函数f(x)=x-2ln x的单调递减区间是(　　)A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(0,2)D.(-∞,0)和(0,2)
(2)(2024·河南濮阳模拟)设f(x)=2x2-x3,则f(x)的单调递减区间是_________.
(3)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=e-x·cs x,x∈(0,π)的单调递增区间为__________. 
解析 函数定义域为(0,+∞),
令f'(x)=0得x-1=0或ex-x=0.令g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1>0,所以g(x)>g(0)=1>0,所以f'(x)=0只有一个实根x=1,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故单调递增区间是(1,+∞).
规律方法求不含参数函数单调区间的步骤与注意点(1)步骤:① 求函数的定义域;②求f(x)的导数f'(x);③在定义域内解不等式,f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.(2)注意:①不能忽视函数定义域;②当函数有多个单调递增区间(或递减区间)时,不能用“∪”连接;③当不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)不可解时,可通过二次求导,分析f'(x)的零点情况,借助图象等得到其解集,进而得到单调区间.
考点二 讨论含参函数的单调性
令f'(x)=0,解得x=a或x=-2a.若a<0,则当0-2a时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,-2a)内为减函数,在(-2a,+∞)内为增函数;若a>0,则当0a时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,a)内为减函数,在(a,+∞)内为增函数;若a=0,则f'(x)>0恒成立,因此f(x)在(0,+∞)内是增函数.综上可得,当a<0时,f(x)在(0,-2a)内为减函数,在(-2a,+∞)内为增函数;当a>0时,f(x)在(0,a)内为减函数,在(a,+∞)内为增函数;当a=0时,f(x)在(0,+∞)内是增函数.
规律方法分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间;(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点;(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ 的讨论,对根的大小比较的讨论等;(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述..
[对点训练1](2024·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R),试讨论函数f(x)的单调性.
解 因为f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx,所以f'(x)=6x2+6(1+m)x+6m=6(x+1)(x+m).(1)若m=1,则f'(x)=6(x+1)2≥0在x∈R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增;(2)若-m<-1,此时m>1,当x∈(-∞,-m)∪(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)内单调递增;当x∈(-m,-1)时,f'(x)<0,f(x)在(-m,-1)内单调递减.(3)若-m>-1,此时m<1,当x∈(-∞,-1)∪(-m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)内单调递增,当x∈(-1,-m)时,f'(x)<0,f(x)在(-1,-m)内单调递减.综上可知,当m=1时,f(x)在R上单调递增;当m>1时,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)内单调递增,在(-m,-1)内单调递减;当m<1时,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)内单调递增,在(-1,-m)内单调递减.
考点三 与导数有关的函数单调性的应用(多考向探究预测)
考向1 辨析图象问题例3(1)(2024·广东东莞联考)已知定义在(0,3]上的函数f(x)的图象如图,则不等式f'(x)<0的解集为(　　)
解析 观察图象可知f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,在(2,3]上单调递增,所以当x∈(1,2)时,f'(x)<0,即不等式f'(x)<0的解集为(1,2),故选B.
(2)(多选题)(2024·山东济南模拟)设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一直角坐标系中,可能正确的是(　　)
解析 对选项A,若图中的直线为f'(x)的图象,曲线为f(x)的图象,因为f'(x)的图象先负后正,f(x)的图象先减后增,故A可能正确;对选项B,若图中上面的曲线为f(x)的图象,下面曲线为f'(x)的图象,因为f'(x)的图象在x=0左右先负后正,f(x)的图象在x=0处先减后增,故B可能正确;对选项C,若图中上面的曲线为f'(x)的图象,下面的曲线为f(x)的图象,因为f'(x)>0恒成立,f(x)的图象为增函数,故C可能正确;对选项D,若图中上面的曲线为f'(x)的图象,下面的曲线为f(x)的图象,因为f'(x)的图象先负后正,但f(x)的图象为增函数,不符合,若图中上面的曲线为f(x)的图象,下面的曲线为f'(x)的图象,因为f'(x)<0恒成立,但f(x)的图象为增函数,不符合,故D错误,故选ABC.
规律方法利用单调性辨析函数图象的策略辨析函数与其导函数的图象关系时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考察其图象在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零、小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.
考向2 解不等式或比较大小问题例4(1)(2024·福建南平模拟)已知函数f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f'(x)g(a)B.f(a)g(a)+f(b)D.f(a)+g(b)规律方法利用导数比较大小或解不等式方法点拨(1)当比较大小时,若要比较的是解析式已知的函数值,可通过函数导数的正负确定函数的单调性,然后根据自变量的大小得到函数值的大小关系,如果自变量的值不在同一个单调区间,要先利用函数的奇偶性、对称性等化到同一个区间上再比较.(2)当比较大小时,若只给出了要比较的函数值,则需要根据所给函数值的特征构造函数,将所给函数值视为相应的函数值,再借助导数确定所构造函数的单调性,从而比较大小.(3)当解不等式时,一方面要借助导数确定单调性,另一方面还要巧妙地将常数转化为函数值,同时注意函数定义域对变量的限制.
A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c
考向3 根据单调性求参数的值或范围问题例5(2024·陕西西安模拟)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,则a的取值范围是(　　)A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[3,e2-1]
变式探究2在本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内存在单调递增区间”,则a的取值范围是__________. 
变式探究3在本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内不单调”,则实数a的取值范围是__________. 
规律方法根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法