第3章 函数与基本初等函数 第10节 函数的应用2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y=f(x),我们把使__________的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 
零点不是点,是一个实数
误区警示求函数的零点不能忽视函数的定义域,零点必须是定义域中的实数,例如,不能说0是函数f(x)= 的零点,事实上该函数不存在零点.
(2)等价关系方程f(x)=0的实数根⇔函数f(x)图象与x轴交点的横坐标⇔函数f(x)的零点.
2.函数零点存在定理
微点拨1.零点存在定理只能判断零点是存在的,但不能确定零点的个数,但如果函数是单调函数,又满足零点存在定理,则函数在该区间上有唯一的零点.2.图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值同号.3.连续不断的函数图象,当曲线通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
微思考如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)在(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)0.事实上,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么“f(a)f(b)f(c)
解析 由f(x)=2x+x+1=0,得2x=-x-1,所以a为y=2x与y=-x-1图象交点的横坐标,同理b为y=lg2x与y=-x-1图象交点的横坐标,c为y=x3与y=-x-1图象交点的横坐标,分别作出y=2x,y=lg2x,y=x3和y=-x-1的图象,则由图象可得af(a),故选B.
考点三 函数模型及其应用(多考向探究预测)
考向1 根据给定的函数模型解决实际问题例5(1)(2024·湖北天门模拟)“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的指数.当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数 描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为(　　)A.5小时B.6小时C.7小时D.8小时
解析 由题意知,当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即当AQI小于等于200时,适宜开展户外活动,即y≤200,
综上,适宜开展户外活动的时间段为9≤t≤16,共计7个小时,故选C.
规律方法根据给定函数模型解决实际问题的技巧(1)认清给定函数模型所对应的解析式,明确其中的变量及其含义,弄清楚其中的待定系数.(2)根据已知条件,求出解析式中的待定系数.(3)分析函数模型,借助函数的性质解决相关问题
考向2 选择恰当的函数模型解决问题例6(2024·安徽蚌埠模拟)某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),每件的销售价格P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=1+ (k为常数,且k>0),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示:
(1)给出以下四个函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=ax+b;④Q(x)=a·lgbx,请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式;(2)已知第1天的日销售收入为244元,设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位:元),求f(x)的最小值.
解 (1)由表格中的数据可知,当x变大时,Q(x)先增后减,①③④函数模型描述的都是单调函数,不符合该数据模型,所以选择模型②:Q(x)=a|x-m|+b.由函数图象的对称性可知m=22,又由表格可知Q(18)=139,Q(14)=135,代入Q(x)=a|x-22|+b,
所以日销售量Q(x)与时间x的变化的关系式为Q(x)=-|x-22|+143(1≤x≤30,x∈N*).
规律方法选择恰当的函数模型解决问题的方法步骤(1)根据给定的各组数据分析变量之间的变化规律及趋势,确定函数模型应该具有的性质.(2)逐一分析给出的各个函数模型,找出具有相应性质的函数模型,必要时用给出的数据进行验证.(3)利用选择的函数模型解决实际问题.
[对点训练3](2024·山西临汾模拟)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数,y(单位:万元)表示x天收取的总费用).
(1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0且p≠1),y2=lga(x+b)(a>0且a≠1),要从这两个函数中选出一个来模拟表中x,y之间的关系,问:选择哪一个函数较好?说明理由.(2)该公司有10个这样的仓库.当每个仓库储存货物时,每天需要2 000元的运营成本,当不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天,设该批货物存放在m个仓库内,其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于43 000元,则m的最小值是多少?(注:收益=收入-成本)
(2)设该公司这7天的仓库收益为f(m)元,由表格数据可知,若货物存放7天,每个仓库收费30 000元,∴f(m)=30 000m-[2 000m+500×(10-m)]×7=19 500m-35 000,由f(m)≥43 000,解得m≥4,∴m的最小值为4.