第4章一元函数的导数及其应用 第1节导数概念及其意义、导数运算 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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考情分析:1.高考对导数的考查主要涉及导数的运算、导数的几何意义以及导数的应用,其中导数运算渗透在导数应用中考查,导数的几何意义多以客观题形式呈现,难度中等及以下,主要与切线问题有关,分值5分左右;导数应用分为一般应用和综合应用,一般应用主要涉及利用导数研究函数的单调性、极值、最值,以客观题或解答题的形式出现,难度中等,综合应用则以解答题呈现,考查利用导数解决不等式证明、不等式恒成立、函数零点、双变量等问题,难度较大,多为压轴题,分值12分左右.2.高考中的导数考题,通常与参数处理相关,涉及代数推理、数学运算以及数学建模等,渗透了对数学核心素养的考查,对学生的能力要求较高.
复习策略:1.明晰重要概念:导数的几何意义、极值、最值等概念是解题的基础,应明晰这些概念.2.注意数学思想方法的合理运用:由于导数考题往往涉及参数问题,所以经常用到分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法,应在复习中强化这些思想方法的理解与运用.3.重视知识交汇与联系:导数与函数、不等式、方程等都有交汇与联系,应注意它们之间的联系,注意对相关知识的理解与运用.4.善于总结导数综合应用中解决问题的通性通法,做到举一反三.
1.理解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想,体会极限思想.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y 的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数.5.会使用导数公式表.
1.导数的概念(1)平均变化率:对于函数y=f(x),我们把比值 ,即 =　　　　　　　叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 
微思考函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的几何意义是什么?
提示 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率是指其图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.
2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即k0=　　　. 
微思考已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率吗?
提示 不一定,如果点P在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就是曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率,如果点P不在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就不是曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率.
3.导数的运算(1)基本初等函数的导数公式
(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]'=　　　　　　. ②[f(x)g(x)]'=　 , 特别地,[cf(x)]'=　　　. 
④复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=　　　　　,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　
3.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.4.曲线在点P处的切线,则P就是切点,此时切线有且仅有一条;曲线过点P的切线,则P不一定是切点,此时切线可能有多条.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.曲线的切线与曲线不一定仅有一个公共点.(　　)2.若f(x)=ln 3,则f'(x)= .(　　)3.若f(x)=sin 2x,则f'(x)=cs 2x.(　　)
题组二回源教材4.(人教A版选择性必修第二册习题5.2第6题改编)已知函数f(x)满足
5.(人教B版选择性必修第三册6.1.3节练习B第4题改编)已知函数f(x)=x2,若直线l经过点(3,5)且与曲线f(x)=x2相切,则l的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　. 
y=2x-1或y=10x-25　
题组三连线高考6.(2020·全国Ⅰ,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1
解析 f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知函数图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
7.(2019·全国Ⅲ,理6)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　)A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1
解析 ∵y'=aex+ln x+1,∴切线斜率k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.
例1(1)(2024·河南郑州模拟)已知f'(4)=3,则 =(　　)A.-3B.3C.-4D.4
(2)(2024·云南昆明模拟)已知某容器的高度为20 cm,现在向容器内注入液体,且容器内液体的高度h(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为h(t)= t3+t2,当t=t0时,液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s,则当t=t0+1时,液体上升高度的瞬时变化率为(　　)A.5 cm/sB.6 cm/sC.8 cm/sD.10 cm/s
解析 由h(t)= t3+t2,得h'(t)=t2+2t.由导数的定义知,液体上升高度的瞬时变化率即为函数h(t)的导数,所以当t=t0时, +2t0=3,解得t0=1(t0=-3舍去),因此当t=t0+1=2时,液体上升高度的瞬时变化率为22+2×2=8 cm/s.故选C.
例2(1)(多选题)(2024·吉林长春模拟)下列求导运算中,不正确的是(　 　)A.(e2x)'=2e2x
(2)(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=ex+x3f'(1),则f(1)=(　　)
解析 设x∈(-2π,-π),则x+2π∈(0,π),所以f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)sin x.又因为f(x)=f(x+π)=f(x+2π),所以f(x)=(x+2π)sin x,此时f'(x)=sin x+(x+2π)cs x,
考点三 导数的几何意义(多考向探究预测)
考向1求切线方程例3(1)(2024·山东济南模拟)曲线y=ex-3x的切线中与直线x-2y=0垂直的切线方程为(　　)A.2x+y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0D.2x-y-1=0
解析 由于直线x-2y=0的斜率为 ,因此所求切线的斜率应为-2,又y'=ex-3,设切点为P(x0,y0),所以 -3=-2,解得x0=0,此时y0=1,故所求切线方程为y-1=-2(x-0),即2x+y-1=0.故选C.
(2)(2021·全国甲,理13)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为　 　　　　. 
(3)(2022·新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线的方程为　　　　　　　　,　　　　　　　　. 
因为y=ln|x|是偶函数,图象如下图所示,
考向2求参数的值或取值范围例4(1)(2024·广东惠州模拟)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则实数a=(　　)A.-1B.1C.2D.3
(2)(2024·湖南师大附中检测)已知曲线f(x)=aex+sin x在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-4=0平行,则实数a的值为　　　　. 
解析 因为f(x)=aex+sin x,所以f'(x)=aex+cs x,则f'(0)=a+1,则a+1=-2,解得a=-3.
(3)(2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　 　　　　. 
(-∞,-4)∪(0,+∞)　
变式探究(变条件变结论)本例(3)中,若条件中再增加条件“切点分别为(x1,y1),(x2,y2)”,则(x1-1)(x2-1)=　　　　. 
解析 由(3)的解答过程可知,x1,x2是方程 +ax0-a=0的两个实数根,所以x1+x2=-a,x1x2=-a,因此(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-a-(-a)+1=1.
考向3两曲线的公切线问题例5(1)(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=ln(x+1),g(x)=ln(e2x),若直线y=kx+b为函数f(x)和g(x)图象的公切线,则b等于(　　)A.B.1-ln 2C.2-ln 2D.-ln 2
(2)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=ex-ax+b(a,b∈R),g(x)=x2+x,若这两个函数的图象在公共点A(1,2)处有相同的切线,则a-b=　　　　. 
解析 因为f(x)=ex-ax+b,g(x)=x2+x,所以f'(x)=ex-a,g'(x)=2x+1,因为f(x),g(x)的图象在公共点A(1,2)处有相同的切线,所以所以a-b=e-2.
[对点训练](2024·山东青岛模拟)已知曲线f(x)=ex-1(e为自然对数的底数), g(x)=ln x+1,请写出f(x)与g(x)的一条公切线的方程　 . 
y=ex-1(或y=x)　
解析 设公切线与f(x)相切于点(m,em-1),与g(x)相切于点(n,1+ln n),
∴(m-1)em+1-m=(m-1)(em-1)=0,解得m=1或m=0,∴公切线方程为y=ex-1或y=x.