初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.2 平行四边形同步训练题

这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.2 平行四边形同步训练题，共51页。

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
题型1：平行四边形的判定
1．能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C． ， D． ，
2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对角相等B．对角线互相平分
C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相垂直
3．在四边形中，对角线相交于点O．给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
题型2：添加一个条件构成平行四边形
4．四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是_______（横线只需填一个你认为合适的条件即可）
5．▱ABCD中，E，F为对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BFDE一定为平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为___________ （写一个即可）．
7．如图，点、在的对角线上，连接、、、，请添加一个条件使四边形是平行四边形，那么需要添加的条件是______．（只填一个即可）
8．如图，在中，点D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，连接FD并延长到点G，已知，则添加下列条件，可以使线段AG，DE互相平分的是（ ）
A．B．C．D．
题型3：平行四边形的个数问题
9．如图，在平行四边形中，与相交于点，图中共有个平行四边形( )
A．4个B．5个C．8个D．9个
10．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，剩余一条为边，可以画出________个平行四边形.
题型4：点的坐标与平行四边形
11．已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是( )
A．B．C．D．
题型5：平行四边形的性质与判定
12．四边形ABCD是平行四边形，，BE平分交AD于点E，交BC于点F，则的度数为（ ）
A．55B．50C．40D．35
题型6：平行四边形的判定证明
13．已知：如图，是的一条对角线．延长至F，反向延长至E，使．求证：四边形是平行四边形．
14．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．
15．已知：如图，等边三角形与等边三角形的一边重合．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若的边长为，求所组成的平行四边形各组对边之间的距离．
题型7：全等三角形构成（拼成）平行四边形
16．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
17．如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处）．请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等．
(1)图甲中的格点正方形ABCD；
(2)图乙中的平行四边形ABCD．
注：图甲、图乙在答题卡上，分割线画成实线．
题型8：平行四边形的判定与性质综合解答证明
18．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(1)求证：互相平分；
(2)若，求四边形的周长和面积．
19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
20．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点为线段的中点．
(1)求证：；
(2)若，分别是，的中点．
判断的形状并证明你的结论；
当，且时，求平行四边形的面积．
一、单选题
1．下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD=BCB．AB=CDC．AD∥BCD．∠A=∠C
3．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ ）
A．已知平行四边形的两邻边B．已知平行四边形的相邻两角
C．已知平行四边形的两邻边和一条对角线D．已知平行四边形的两条对角线
4．点A、B、C、D在同一平面内，从（1），（2），（3），（4）这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（ ）种．
A．3B．4C．5D．6
5．如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知：如图，，，给出以下结论：
①；②； ③其中正确的是 （ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
7．如图，在中，E、F分别为边AB、DC的中点，连接AF、CE、DE、BF、EF，AF与DE交于点G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
8．如图1，中，，为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）．
A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是
9．如图，在中，直线，并且与、的延长线分别交于、，交于，交于．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，已知平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EFAB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．则下列结论：①AO⊥BO；②点O是EF的中点；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．平行四边形的判定：
（1）用定义判定______________________________________．
（2）两组对边分别____________的四边形是平行四边形．
（3）一组对边_______________ 的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别____________的四边形是平行四边形．
（5）对角线_________________ 的四边形是平行四边形．
12．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的为__________填序号．
①，；②，ADBC；③，；④ABCD，∠A=∠C．
13．下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是______ 将命题的序号填上即可．
14．已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．
15．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是__________．
16．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________．
17．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 _____秒．
18．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④，
其中正确的有_______个．
三、解答题
19．已知，如图，E、F分别为▱ABCD的对边AB、CD的中点．
（1）求证：DE=FB；
（2）若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB=BG．
20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
21．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(1)求证：互相平分；
(2)若，求四边形的周长和面积．
22．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值
23．在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2．
①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长．
②探究BH与AF的数量关系，并给予证明．
24．在中，，点P为所在平面内的一点，过点P分别作交于点，交于点，交于点．
(1)如图1，若点在边上，此时，直接写出、、与满足的数量关系；
(2)如图2，当点P在内，猜想并写出、、与满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(3)如图3，当点P在外，猜想并写出、、与满足的数量关系．（不用说明理由）
取BD中点O，作，
作于N，于M
作AN，CM分别平分，，交BD于点N，M
22.2.2 平行四边形的判定
平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
题型1：平行四边形的判定
1．能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【解析】解：A、，，不能判定四边形为平行四边形；
B、，，不能判定四边形为平行四边形；
C、，，能判定四边形为平行四边形；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对角相等B．对角线互相平分
C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相垂直
【答案】B
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，据此进行判断即可．
【解析】解：如图：

A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
B、∵、，∴四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意；
C、“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平形四边形，例如：筝形，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理得应用，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目．
3．在四边形中，对角线相交于点O．给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．
【解析】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理，难度一般．
题型2：添加一个条件构成平行四边形
4．四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是_______（横线只需填一个你认为合适的条件即可）
【答案】ABCD（答案不唯一）
【分析】根据平行四边形的判定解答即可．
【解析】解：由题意得当ABCD时，四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：ABCD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
5．▱ABCD中，E，F为对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BFDE一定为平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解析】解：如图，连接BD与AC相交于O，
A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
由BE=DF，无法判断OE=OF，故本选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴∠OBF=∠ODE，
在△BOF和△DOE中，，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=CB，ADCB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明OE=OF是解题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为___________ （写一个即可）．
【答案】ABDC(答案不唯一)
【分析】根据平行四边形的判定条件解答即可．
【解析】解：∵AB=DC，
再加ABDC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：ABDC(答案不唯一)
【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7．如图，点、在的对角线上，连接、、、，请添加一个条件使四边形是平行四边形，那么需要添加的条件是______．（只填一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解．
【解析】解：添加：，理由如下：
连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵，
∴OE=OF，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
8．如图，在中，点D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，连接FD并延长到点G，已知，则添加下列条件，可以使线段AG，DE互相平分的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过分析线段AG，DE互相平分，得四边形ADGE是平行四边形，结合选项，利用平行四边形的判定定理即可求解．
【解析】若线段AG，DE互相平分，则四边形ADGE是平行四边形，
添加，
又∵，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴线段AG，DE互相平分，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型3：平行四边形的个数问题
9．如图，在平行四边形中，与相交于点，图中共有个平行四边形( )
A．4个B．5个C．8个D．9个
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
，
∴，，，，
∴四边形BCFE，四边形ADFE，四边形ABHG，四边形CDGH，四边形AEOG，四边形BEOH，四边形DFOG，四边形CFOH均为平行四边形，
∴图中共有个平行四边形9个．
故选：D
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，剩余一条为边，可以画出________个平行四边形.
【答案】2
【分析】根据平行四边形性质得出OA=OC= AC，BO =OD=BD，分为三种情况：①AC=10，BD=14，AB=20时，②AC=10，BD=20，AB=14时，③AC=20，BD=14，AB=10时，求出AO和BO的值，根据三角形的三边关系定理看看△AOB是否存在即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，BO=OD=BD，
分为三种情况：
①AC=10，BD=14，AB=20时，AO=5，BO=7，
则5+7＜20，不符合三角形三边关系定理；不能组成平行四边形；
②AC=10，BD=20，AB=14时，AO=5，BO=10，
则5+10＞14，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
③AC=20，BD=14，AB=10时，AO=10，BO=7，
则7+10＞10，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
可以画出不同形状的平行四边形的个数是2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了平行四边形性质和三角形的三边关系定理的应用，能运用定理判断平行四边形是否存在时解此题的关键．
题型4：点的坐标与平行四边形
11．已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系中，分类讨论①当AB，CD为对角线时，②当AC，BD为对角线时和③当BC，AD为对角线时，结合平行四边形的性质画出图形即得出答案．
【解析】①当AB，CD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移4个单位，向左平移2个单位得到，
∴向上平移4个单位，向左平移2个单位得到；
②当AC，BD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移1个单位，向左平移4个单位得到，
∴向上平移1个单位，向左平移4个单位得到；
③当BC，AD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向下平移1个单位，向右平移4个单位得到，
∴向下平移1个单位，向右平移4个单位得到．
综上可知点D的坐标可能是或或，
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
题型5：平行四边形的性质与判定
12．四边形ABCD是平行四边形，，BE平分交AD于点E，交BC于点F，则的度数为（ ）
A．55B．50C．40D．35
【答案】D
【分析】根据已知条件证明四边形EBFD是平行四边形，进而得到，由可得，求出的度数，即可得的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴，
∴，
∵BE平分∠ABC交AD于点E，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，证明四边形EBFD是平行四边形是解答本题的关键．
题型6：平行四边形的判定证明
13．已知：如图，是的一条对角线．延长至F，反向延长至E，使．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】连接，与交于点G，根据得到，根据，得到，从而得到，问题得证．
【解析】证明：如图，连接，与交于点G，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
14．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】首先根据平行四边形的性质得到BC=AD，根据进而可得出AD=CE，结合即可证明．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴且AD=BC，
又∵，
∴AD=CE，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
15．已知：如图，等边三角形与等边三角形的一边重合．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若的边长为，求所组成的平行四边形各组对边之间的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)平行四边形各组对边之间的距离为．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，，进一步可知：，，即可证明四边形是平行四边形；
（2）作，，求出，利用所对的直角边等于斜边的一半即可求出，再利用勾股定理求出，同理可求出．
【解析】（1）证明：∵等边三角形与等边三角形的一边重合．
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：作，，
∵等边的边长为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：∵等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平行四边形各组对边之间的距离为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定定理，等边三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，等边三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理并能够灵活运用．
题型7：全等三角形构成（拼成）平行四边形
16．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可．
【解析】解：如图所示，
∵六个三角形是全等的正三角形，
∴OA=EF，AF=OE，
∵两组对边分别相等，
∴四边形AOEF为平行四边形；
同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键．
17．如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处）．请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等．
(1)图甲中的格点正方形ABCD；
(2)图乙中的平行四边形ABCD．
注：图甲、图乙在答题卡上，分割线画成实线．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）利用三角形的形状以及各边长进而拼出正方形即可；
（2）利用三角形的形状以及各边长进而拼出平行四边形即可．
【解析】（1）如图甲所示：
（2）如图乙所示：
【点睛】本题考查了作图－应用与设计作图，应用与设计作图把简单作图放入实际问题中，解决此类题目的一般思路是首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
题型8：平行四边形的判定与性质综合解答证明
18．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(1)求证：互相平分；
(2)若，求四边形的周长和面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形的周长为12，四边形的面积为
【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明．
（2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）20.
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出平行四边形ABCD的周长．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20．
20．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点为线段的中点．
(1)求证：；
(2)若，分别是，的中点．
判断的形状并证明你的结论；
当，且时，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)的形状为等腰三角形，理由见解析；②24
【分析】（1）由平行四边形的性质易证，再证是等腰三角形，由等腰三角形三线合一性质得出，即可得出结论；
（2）①易证，由为中点，得出，再由、分别是、的中点，得出，由平行四边形的性质得，即可得出，则是等腰三角形；
②先证四边形是平行四边形，得出，，再证、、都是等腰直角三角形，设，则，，由勾股定理求出，得出，，最后由，即可得出答案．
【解析】（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等腰三角形，
点为线段的中点，
，
；
（2）①的形状为等腰三角形，理由如下：
是等腰三角形，是中点，
，
，
为中点，
，
、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
解：四边形是平行四边形，
，，，，
、分别是、的中点，
，是的中位线，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
由得：，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或不合题意，舍去，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
一、单选题
1．下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定逐项分析即可得．
【解析】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD=BCB．AB=CDC．AD∥BCD．∠A=∠C
【答案】A
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【解析】解：A、当AB∥CD，AD=BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；
B、AB∥CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；
C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
3．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ ）
A．已知平行四边形的两邻边B．已知平行四边形的相邻两角
C．已知平行四边形的两邻边和一条对角线D．已知平行四边形的两条对角线
【答案】C
【分析】利用平行四边形的判定定理结合四边形的不稳定性进行判断即可．
【解析】解：A、仅仅知道平行四边形的两邻边根据平行四边形的不稳定性知不能确定其形状和大小；
B、已知平行四边形的相邻两角只能大体确定其形状，但并不能确定其大小，故错误；
C、能确定其形状及大小，故正确；
D、已知平行四边形的两对角线只能确定大小，不能确定形状，故错误．
故选：C．
【点睛】考查了平行四边形的判定和不稳定性，平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
4．点A、B、C、D在同一平面内，从（1），（2），（3），（4）这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（ ）种．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】平行四边形与边相关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上判定方法对条件逐一判断即可得到答案.
【解析】解：如图，
选取（1），（2），
由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
选取（1），（3），
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
选取（2），（4），
由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
选取（3），（4），
由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
故选：
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定方法是解题的关键.
5．如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A不符合题意；根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF=BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意；根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C符合题意；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意．
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故A不符合题意；
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，故B不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
同理，，
∴不能判定四边形为平行四边形；故C符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
6．已知：如图，，，给出以下结论：
①；②； ③其中正确的是 （ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【分析】由，，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解．
【解析】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴①平行四边形的对角相等，即，正确；②平行四边形的对边平行且相等，即，正确； ③平行四边形的对边平行且相等，即，正确．
∴正确的有：①，②， ③，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
7．如图，在中，E、F分别为边AB、DC的中点，连接AF、CE、DE、BF、EF，AF与DE交于点G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，根据E、F分别为边AB、DC的中点，得到AE=BE= AB，CF=DF= CD，推出AE=DF =CF=BE，推出四边形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四边形,得到AE∥CE，DE∥BF，推出四边形EGFH是平行四边形，至此，连原来的平行四边形共有6个．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、DC的中点，
∴AE=BE= AB，CF=DF= CD，
∴AE=DF，AE=CF，BE=CF，BE=DF，
∴四边形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四边形,
∴AE∥CE，DE∥BF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
故平行四边形共有6个．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的定义、判定和性质．
8．如图1，中，，为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）．
A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是
【答案】A
【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙：证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由ANCM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙：证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出ANCM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
【解析】解：方案甲中，连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OB，OM＝OD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，ABCD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴∠ANM＝∠CMN＝90°，∠ANB＝∠CMD＝90°
∴ANCM，
在△ABN和△CDM中，

∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵ANCM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：如图3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，ABCD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠BAD＝∠BCD＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴ANCM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
9．如图，在中，直线，并且与、的延长线分别交于、，交于，交于．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定，性质和三角形全等的判定定理，判断选择即可．
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，MD∥FB，BN∥ED．
因为EF∥BD，
所以四边形BFMD、四边形BNED都是平行四边形，
所以BF=DM，BN=DE，BD=FM=NE，
所以FM-MN=EN-MN即FN=EM，
所以
所以①④正确；
因为AD=BC=AM+MD=AM+BF，
所以③正确；
无法证明，
所以②错误，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定，熟练掌握销售部小的判定和性质是解题的关键．
10．如图，已知平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EFAB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．则下列结论：①AO⊥BO；②点O是EF的中点；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质得到ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB＋∠OBA＝90°，则∠AOB＝90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF得到AE＝OE，BF＝OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE＝BF，所以OE＝OF，则可对②进行判断；设AB＝2x，BC＝3x，则EF＝2x，AD＝3x，EA＝OE＝x，DE＝2x，则可对③进行判断；利用三角形面积公式和平行四边形的面积公式得到S平行四边形ABFE＝S平行四边形FEDC，S△OAB＝S平行四边形ABFE，S△OCD＝S平行四边形FEDC，S△OAB＝S△OCD，S△AOE＝S△OAB，所以S△AOE＝S△OCD，从而可对④进行判断．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，
∴∠OAB＝∠BAD，∠OBA＝∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥BO，所以①正确；
∵EFAB，
∴∠OAE＝∠AOE，∠OBA＝∠BOF，
∴∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF，
∴AE＝OE，BF＝OF，
∵AEBF，ABEF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE＝BF，
∴OE＝OF，即O点为EF的中点，所以②正确；
∵3AB＝2BC，
∴设AB＝2x，BC＝3x，
∴EF＝2x，AD＝3x，
∴EA＝OE＝EF＝x，
∴DE＝AD﹣AE＝3x﹣x＝2x，
∴DE＝2AE，所以③正确；
而AB＝CD，
∴S平行四边形ABFE＝S平行四边形FEDC，
∵S△OAB＝S平行四边形ABFE，S△OCD＝S平行四边形FEDC，
∴S△OAB＝S△OCD，
∵OE＝OF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴S△AOE＝S△OAB，
∴S△AOE＝S△OCD，所以④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．也考查了等腰三角形的判定与性质．
二、填空题
11．平行四边形的判定：
（1）用定义判定______________________________________．
（2）两组对边分别____________的四边形是平行四边形．
（3）一组对边_______________ 的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别____________的四边形是平行四边形．
（5）对角线_________________ 的四边形是平行四边形．
【答案】 两组对边分别平行 平行 平行且相等 相等 互相平分
【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答．
【解析】解：平行四边形的判定方法有：
（1）用定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：（1）两组对边分别平行；（2）平行；（3）平行且相等；（4）相等；（5）互相平分
【点睛】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理即可填空，属于基础题，熟记定理即可．
12．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的为__________填序号．
①，；②，ADBC；③，；④ABCD，∠A=∠C．
【答案】③
【分析】根据所给条件结合平行四边形的判定定理进行分析即可．
【解析】解：①AB＝CD，AD＝BC可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定；
②AD＝BC，ADBC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；
③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形；
④ABCD，∠A＝∠C可证出∠B＝∠D，再根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定；
故答案为：③．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
13．下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是______ 将命题的序号填上即可．
【答案】②③④
【分析】根据平行四边形的判定方法对各选项分别进行判断．
【解析】解：一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以正确；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以正确；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以正确．
故答案为．
【点睛】本题考查了命题、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
14．已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．
【答案】ADCB（答案不惟一）．
【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案．
【解析】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：ADCB，
故答案为：ADCB（答案不惟一）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．
15．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是__________．
【答案】平行四边形
【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，且AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形．
【解析】证明：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF，且AD∥EF，
同理可得BC=EF，且BC∥EF，
∴AD=BC，且AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形．
16．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________．
【答案】（3，6），（-1，-2），（7，2）
【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案．
【解析】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为（3，6），（-1，-2），（7，2），
故答案为：（3，6），（-1，-2），（7，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键要注意分情况求解，不能忽略任何一种可能的情况．
17．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 _____秒．
【答案】或
【分析】由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解析】设点P运动了t秒，
∴，，，，
①当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
∴；
②当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
∴，
综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒或秒，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
18．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④，
其中正确的有_______个．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，即可得BO=DO=AD=BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，
∵BD=2AD，
∴BO=DO=AD=BC，且点E是OC中点，
∴BE⊥AC，
∴①正确；
∵E、F、分别是OC、OD中点，
∴EFDC，CD=2EF，
∵G是AB中点，BE⊥AC，
∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CDAB，
∴BG=EF=GE，EFCDAB，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴②④正确；
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG=EF，GF=BE，且GE=GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），
∴③正确．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
三、解答题
19．已知，如图，E、F分别为▱ABCD的对边AB、CD的中点．
（1）求证：DE=FB；
（2）若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB=BG．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）得出四边形DEBF是平行四边形得出答案即可；
（2）利用AAS证明△GBE≌△BCF，得出答案即可．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∵E、F分别为▱ABCD的对边AB、CD的中点，
∴DF=DC，BE=AB，则DF=BE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=FB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∵E、F分别为▱ABCD的对边AB、CD的中点，
∴BE=CF，∠GBE=∠C，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴BF∥DG，
∴∠CBF=∠G，
在△GBE和△BCF中，，
∴△GBE≌△BCF(AAS)，
∴CB=BG．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，得出△GBE≌△BCF是解题关键．
20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）20.
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出平行四边形ABCD的周长．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20．
21．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(1)求证：互相平分；
(2)若，求四边形的周长和面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形的周长为12，四边形的面积为
【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明．
（2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
22．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值
【答案】（1）证明略；（2）=2
【分析】（1）已知AD=BC，可以通过证明，来证明（ASA）；
（2）连接EF，易证四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，则，即可得=2.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
，
又，
，
，
，
同理可得：，
在和中，
（2）解：连接EF，
，
，
又，
∴四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，
∴，
∴，
设点E到AB的距离为h1，到CD的距离为h2，线段AB到CD的距离为h，
则h= h1+ h2,
∴，
即=2.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相关面积计算，熟练掌握所学性质定理并能灵活运用进行推理计算是解题的关键.
23．在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2．
①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长．
②探究BH与AF的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）详见解析；（2）①4﹣2；②AF＝BH，详见解析
【分析】(1)由“ASA”可得△BOE≌△DOF，可得DF＝BE，可得结论；
(2)①由等腰三角形的性质可得EN＝CN＝2，由勾股定理可求DN，由等腰三角形的性质可求BN的长，即可求解；
②如图，过点H作HM⊥BC于点M，由“AAS”可证△HMC≌△CND，可得HM＝CN，由等腰直角三角形的性质可得BH＝HM，即可得结论．
【解析】(1)证明：∵平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，且∠DOF＝∠BOE，BO＝DO，
∴△BOE≌△DOF（ASA）
∴DF＝BE，且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)①如图2，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN﹣EN＝4；
故答案为：BE＝4.
②AF＝BH，
理由如下：如图，过点H作HM⊥BC于点M，
∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，EC＝2CN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH，且∠HMC＝∠DNC＝90°，∠ECG＝∠CDN，
∴△HMC≌△CND（AAS）
∴HM＝CN，
∵HM⊥BC，∠DBC＝45°，
∴∠BHM＝∠DBC＝45°，
∴BM＝HM，
∴BH＝HM，
∵AD＝BC，DF＝BE，
∴AF＝EC＝2CN，
∴AF＝2HM＝BH．
故答案为：AF＝BH.
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
24．在中，，点P为所在平面内的一点，过点P分别作交于点，交于点，交于点．
(1)如图1，若点在边上，此时，直接写出、、与满足的数量关系；
(2)如图2，当点P在内，猜想并写出、、与满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(3)如图3，当点P在外，猜想并写出、、与满足的数量关系．（不用说明理由）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证平行四边形，推出，，根据等腰三角形性质推出，推出即可；
（2）过点作分别交、于、两点，推出，再推出即可；
（3）过点作分别交、于、两点，推出，再推出即可．
【解析】（1）结论是，
证明：∵，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
．
（2）结论是，
证明：过点作分别交、于、两点，
由（1）得：，
四边形是平行四边形，
，
．
（3）结论是．
证明：过点作分别交、延长线于、两点，
由（1）得：，
四边形是平行四边形，
，
．
即
【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运性质进行推理和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好．
取BD中点O，作，
作于N，于M
作AN，CM分别平分，，交BD于点N，M