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沪教版 (五四制)八年级下册22.2 平行四边形当堂检测题
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这是一份沪教版 (五四制)八年级下册22.2 平行四边形当堂检测题，共39页。试卷主要包含了判断题，已知等内容，欢迎下载使用。
本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形，以及利用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运用判定定理．
模块一：平行四边形判定
知识精讲
平行四边形判定定理
①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
例题解析
例1.判断题：
（1）夹在两平行线间的平行线段长度相等（）
（2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等（）
（3）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（）
（4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形（）
例2．（2020·山东济宁市·八年级期末）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB＝CD，AD＝BC
例3．（2020·广东佛山市·八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
例4．（2018·河北石家庄市·石家庄二中八年级期中）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件_________（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
例5．（2020·山东德州市·八年级期中）若AD＝8，AB＝4，那么当BC＝___，CD＝___时，四边形ABCD是平行四边形
例6．（2020·农安县小城子乡第三中学八年级月考）如图，在▱ABCD中，EC平分∠BCD，交AD边于点E，AE＝3，BC＝5，则AB的长等于_____．
例7．（2019·河南洛阳市·八年级期末）如图，已知AB//CD，BE丄AD，垂足为点E，CF丄AD，垂足为点F，并且AF=DE．
求证：四边形是平行四边形．
例8．（2020·安阳市第十中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
例9.如图，在平行四边形ABCD中，EF是对角线BD的三等分点．求证：四边形AECF是平行四边形（请用两种方法证明）．
例10.如图，ABCD中，AF=CE，MF∥NE．求证：EF和MN互相平分．
例11.已知四边形ABCD，现有条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D．从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形?请具体写出这些组合．
例12.已知：AC是ABCD的一条对角线，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别是M、N．
求证：四边形BMDN是平行四边形．
例13.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，点E是BC的中点，求证：AB∥DE，∠C=∠AEB．
例14.如图，在ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，
CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
例15.已知在ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，联结GE，EH，HF，FG，求证：四边形GEHF是平行四边形．若G、H分别在线段BA，DC上，其余条件不变，则（1）结论否成立?（说明理由）．
例16.如图所示，平行四边形ABCD中，AE⊥BC、CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．
例17.如图，过ABCD的顶点A的直线（形外），分别过B、C、D作直线的垂线，E、F、G为垂足．求证：CF=BE+DG．
例18.如图，的对角线AC、BD交于点O，E、F分别在BC、AD上，且BE=BC，DF=AD，AE、CF分别交BD于点M、N，求证：四边形AMCN是平行四边形．
例19.如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H．求证：四边形EFGH是平行四边形．
例20.如图，以△ABC的三边分别作等边△DAC、△ABE，△BCF，求证：四边形ADFE是平行四边形．
例21.已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB，交BC于H．求证：CE=BH．
模块二：综合题
例题解析
例1.在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过O点任意作两条直线交ABCD的AB、CD边于E、F，交BC、DA边于G、H，那么四边形EGFH是什么图形?证明你的结论．
例2.如图，ABCD中，DE⊥AB于E，BC=2AB，M是BC的中点．试求∠EMC与∠BEM的数量关系．
例3.平面直角坐标系中有三点A（2，1），B（3，1），C（4，3），求平面内第四点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
例4.已知平面内有两点A（，0）、B（3，0），P点在y轴上，M点在直线上，若以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求M点的坐标．
例5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=6，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，顶点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，联结PQ，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：BQ=___________，PD=__________；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ是平行四边形?若存在，求出t的值，若不存在，试说明理由．
例6.如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且OA=OC，直线交轴于点，边交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）联结，动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点匀速运动，设△的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）．
例7.已知：反比例函数和一次函数，其中一次函数的图形经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点A、P（2，0），平面内存在一点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形，求Q点的坐标．
例8.已知：如图，四边形是平行四边形，AB =BC，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点．
（1）当点在线段上时，求证：；
（2）设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系
式，写出函数的定义域；
（3）联结，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长．
例9.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，联结DE．
（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；
（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段AC之间有怎样的位置关系?请选择其中的一个图形证明你的猜想；
（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论?请直接写出．
随堂检测
1.若AD是△ABC的中线，延长AD到E使DE=AD，联结BE、CE，那么四边形ABEC是_____四边形．
2.如图，直线与双曲线交于A、C两点，将直线绕点O顺时针旋转°（0°＜≤45°），
与双曲线交于D两点，则四边形ABCD的形状一定是_____________，理由是________________________．
3.四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（ ）
A．两组角分别相等的四边形 B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
4.已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列5个条件①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④∠BAD=∠DCB，从这四个条件中任选2个一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有（ ）
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
5.如图，在ABCD中，E、F分别是AB、CD上点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．
6.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，EF∥AC，求证：EB=FC．
7.如图，四边形EFGH是平行四边形ABCD的内接平行四边形，即顶点E、F、G、H分别在平行四边形ABCD的四边上．求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点．
8.如图，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，AE⊥BC，CF⊥AD．求证：四边形AECF是平行四边形．
9.已知平行四边形和平行四边形，求证：．
10.如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，的平分线交于点F，联结EF．求证：．
11.如图，在四边中，形且，，点分别从同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，几秒时，四边形是平行四边形?
12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3, 0)，点B的坐标为A(0, 4)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD 为平行四边形，且BC=BD，求点D坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标．
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC边的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少?
第10讲 平行四边形判定及综合
本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形，以及利用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运用判定定理．
模块一：平行四边形判定
知识精讲
平行四边形判定定理
①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
例题解析
例1.判断题：
（1）夹在两平行线间的平行线段长度相等（）
（2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等（）
（3）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（）
（4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形（）
【难度】★
【答案】（1）正确； （2）正确； （3）错误； （4）错误．
【解析】（1）夹在两平行线间的平行线段组成平行四边形，故长度相等，正确；
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形，对边一定相等，正确；
（3）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形，错误；（4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，错误．
【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用．
例2．（2020·山东济宁市·八年级期末）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB＝CD，AD＝BC
【答案】A
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断；
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．
例3．（2020·广东佛山市·八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论．
【详解】解：∵O是AC、BD的中点，∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
例4．（2018·河北石家庄市·石家庄二中八年级期中）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件_________（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
【答案】BO=DO．
【详解】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为BO=DO．
例5．（2020·山东德州市·八年级期中）若AD＝8，AB＝4，那么当BC＝___，CD＝___时，四边形ABCD是平行四边形
【答案】8 4
【分析】根据平行四边形的判定中两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答即可．
【详解】解：如图，在四边形ABCD中，AB和CD是对边，BC和DA是对边，
∵AD=8，AB=4，
∴当BC=8，CD=4时，四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：8，4．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．
例6．（2020·农安县小城子乡第三中学八年级月考）如图，在▱ABCD中，EC平分∠BCD，交AD边于点E，AE＝3，BC＝5，则AB的长等于_____．
【答案】2
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，且AD＝BC＝5，求出DE＝2，结合角平分线的性质可求得DE＝CD＝2，则可得AB的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，AB＝CD，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，∠DEC＝∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝2，
∴AB＝2；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定，利用平行线的性质及角平分线的性质求得DE＝CD是解题的关键．
例7．（2019·河南洛阳市·八年级期末）如图，已知AB//CD，BE丄AD，垂足为点E，CF丄AD，垂足为点F，并且AF=DE．
求证：四边形是平行四边形．
【分析】通过全等三角形（）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形是平行四边形．
【详解】证明：，，
，
，
，
，即，
在与中，
，
．
，，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的判定与性质掌，握以上知识是解题的关键．
例8．（2020·安阳市第十中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，BE∥DF，证出BE＝DF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EB∥DF，EB＝DF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
例9.如图，在平行四边形ABCD中，EF是对角线BD的三等分点．求证：四边形AECF是平行四边形（请用两种方法证明）．
【难度】★
【解析】（方法一）四边形ABCD是平行四边形，
AD=BC，AD//BC， ∠ADF=∠EBC
E、F三等分BD， BE=EF=FD
易证△AFD与△BEC全等，△ABE与△CDF全等
AE=CF，AF=CE， 四边形AECF是平行四边形；
（方法二）连接AC，与BD交于点O，
平行四边形ABCD， AO=OC，BO=DO
E、F三等分BD， BE=EF=FD
OB-BE=OD-DF， OE=OF，
∵BO=DO， 四边形AECF是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形的判定定理与性质定理的综合运用．
例10.如图，ABCD中，AF=CE，MF∥NE．求证：EF和MN互相平分．
【难度】★
【解析】设AB与CD相交于点O，连接EM、NF
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴．
∵AF=CE， ∴．
∵MF∥NE， ∴．
∵， ∴， ∴．
∵MF∥NE， ∴四边形MFNE是平行四边形，∴EF和MN互相平分．
【总结】本题考查平行四边形判定定理和性质定理的综合运用．
例11.已知四边形ABCD，现有条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；
⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D．从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形?请具体写出这些组合．
【难度】★★
【答案】①②；①③；①⑤；①⑥；②④；③④；③⑤；③⑥；⑤⑥．
【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用．
例12.已知：AC是ABCD的一条对角线，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别是M、N．
求证：四边形BMDN是平行四边形．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD，AB//CD，AB=CD，
∠BAC =∠DCA．BM⊥AC，DN⊥AC， △ABM≌△CND，
BM=DN，BM//DN， 四边形BMDN是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形的判定方法与三角形全等的判定的运用．
例13.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，点E是BC的中点，求证：AB∥DE，∠C=∠AEB．
【难度】★★
【解析】点E是BC中点， BE=CE
BC=2AD， AD=BE=EC， 又AD//BC，
四边形ABED与四边形AECD均为平行四边形
AB//DE，AE//CD， ∠C=∠AEB
【总结】本题考查平行四边形判定方法与性质的综合运用．
例14.如图，在ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，
CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【难度】★★
【解析】（1）平行四边形ABCD，
AB//CD，AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠ABC
AE=AD=BC=CF， △ADE≌△CBF
ED=BF，EC=AF， 四边形EAFC是平行四边形；
（2）成立，证明同上．
【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用．
例15.已知在ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，联结GE，EH，HF，FG，求证：四边形GEHF是平行四边形．若G、H分别在线段BA，DC上，其余条件不变，则（1）结论否成立?（说明理由）．
【难度】★★
【解析】（1）平行四边形ABCD，
AB=CD，AB//CD，∠ABD=∠BDC
AG=CH，BE=DF， BG=DH， △BGE≌△DFH
GE=FH，∠BEG=∠DFH， ∠GED=∠HFE，
GE//FH，四边形GEHF是平行四边形；
（2）成立，证明同（1）
【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的运用．
例16.如图所示，平行四边形ABCD中，AE⊥BC、CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．
【难度】★★
【解析】联结ME，EN，FN，MF
平行四边形ABCD， AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
AE⊥BC、CF⊥AD， △ABE≌△CDF， BE=FD
DN=BM， △BEM≌△FDN， ME=FN
同理可证MF=EN， 四边形MENF是平行四边形， EF与MN互相平分．
【总结】本题考查三角形全等的判定方法与平行四边形性质与判定定理的综合运用．
例17.如图，过ABCD的顶点A的直线（形外），分别过B、C、D作直线的垂线，E、F、G为垂足．求证：CF=BE+DG．
【难度】★★
【解析】过点D作DH⊥CF于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB= CD．
∵，DH⊥CF， ∴．
∵，， ∴，
∵， ∴， ∴， ∴BE = CH．
∵， ∴． ∵， ∴CF=BE+DG．
【总结】本题考查平行四边形性质的运用．
例18.如图，的对角线AC、BD交于点O，E、F分别在BC、AD上，且BE=BC，DF=AD，AE、CF分别交BD于点M、N，求证：四边形AMCN是平行四边形．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD，
BC=AD，OA=OC，OB=OD，，
BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∠BAE=∠DCF， ∴△ABM≌△DNC，
BM=DN，OM=ON， 四边形AMCN是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的运用．
例19.如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H．求证：四边形EFGH是平行四边形．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD
AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠DAC=∠BCA
DH⊥AC，BF⊥AC， △ADH≌△CBF
AH=CF，OH=OF，同理可证OE=OG
四边形EHGF是平行四边形
【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用．
例20.如图，以△ABC的三边分别作等边△DAC、△ABE，△BCF，求证：四边形ADFE是平行四边形．
【难度】★★
【解析】等边△DAC，△ABE，△BCF，
∠EBF=∠ABC，BE=AB，BF=BC， △BEF≌△ABC，
EF=AC=AD，BE=DF=AE， 四边形EFDA是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形判定方法与等边三角形性质的综合运用．
例21.已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB，交BC于H．求证：CE=BH．
【难度】★★★
【解析】做FG//BH，可得平行四边形FHBG， BH=FG．
∠ACB=90°，CD⊥AB， ∠B=∠ACF=∠FGA，
EA平分∠CAB， △ACF≌△AGF， FG=CF．
∠CAE+∠AEC=90°，∠EAB+∠AFD=90°， ∠AFD=∠CEF=∠CFE，
CE=CF， CE=FG， CE=BH．
【总结】本题考查角平分线性质与平行四边形性质的综合运用．
模块二：综合题
例题解析
例1.在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过O点任意作两条直线交ABCD的AB、CD边于E、F，交BC、DA边于G、H，那么四边形EGFH是什么图形?证明你的结论．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD， OA=OC，OB=OD．
∴△AOH≌△OCG，△BEO≌△DOF， OH=OG，OE=OF，
四边形EGFH是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例2.如图，ABCD中，DE⊥AB于E，BC=2AB，M是BC的中点．试求∠EMC与∠BEM的数量关系．
【难度】★★
【答案】∠EMC=3∠BEM．
【解析】延长EM与DC的延长线交于点N，连接DM．
则易得△BEM≌△NCM，所以EM=MN．
又AB//CD，DE⊥AB，则∠EDN=90°，
∵∠BEM=∠N， ∴ME=MN=DM
∴∠EMD=2∠N=2∠BEM
由MC=CD，得∠MDC=∠CMD=∠N，
∴∠EMC=3∠BEM．
【总结】本题主要考查平行四边形性质、直角三角形性质的综合运用．
例3.平面直角坐标系中有三点A（2，1），B（3，1），C（4，3），求平面内第四点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
【难度】★★
【答案】（1，-1）或（3，3）或（5，3）．
【解析】当AB为对角线时，由AC=BD，BC=AD，得：D（1，-1）；
当AC为对角线时，D（3，3）；
当AD为对角线时，D（5，3）．
【总结】本题考查平行四边形性质，注意分类讨论，利用平移的性质去求坐标．
例4.已知平面内有两点A（，0）、B（3，0），P点在y轴上，M点在直线上，若以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求M点的坐标．
【难度】★★
【答案】（2，1）或（-4，-5）或（4，3）．
【解析】当AB为对角线时，M（2，1）；
当AP为对角线时，M（-4，-5）；
当AM为对角线时，M（4，3）．
【总结】本题考查平行四边形性质，注意分类讨论，利用平移的性质去求坐标．
例5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=6，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，顶点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，联结PQ，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：BQ=___________，PD=__________；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ是平行四边形?若存在，求出t的值，若不存在，试说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）BQ=，PD=； （2）t=．
【解析】（1）由题意，可得：AC=6，BC=，AB=12，∠B=30°
CQ=2t，所以BQ=，AP=t，PD=；
（2）∵平行四边形PDBQ， ∴BQ=PD，即，解得：，
t＜，当时，四边形PDBQ是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形性质与直角三角形性质的综合运用，注意分析动点的运动轨迹．
例6.如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且OA=OC，直线交轴于点，边交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）联结，动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点匀速运动，设△的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）A（3，-4），OA=5=OC，C（5，0）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
代入A、C两点的坐标，
得解析式为：；
平行四边形ABCO中，AB=OC=5，
B（2，4）， BC=5=OC．
易知点M坐标为（0，2.5）．
当点P在AB上，即0≤t＜2.5时，
AP=2t，则，
∵HM=4-OM=1.5，
S=×BP×HM=；
当P在BC上，即2.5＜t≤5时，BP=2t-5，
∵平行四边形ABCO中，AB=BC， ∴四边形ABCO是菱形，
∴， ∴，
∴，，
∴S=×BP×BM=，
综上．
【总结】本题主要考查两点之间距离的确定以及平行四边形的性质的运用，由动点引起的三角形的面积，需要分类讨论．
例7.已知：反比例函数和一次函数，其中一次函数的图形经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点A、P（2，0），平面内存在一点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形，求Q点的坐标．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）（3，1）．
【解析】把（a，b），（a+1，b+k）代入y=2x-1，得2a-1=b， 2（a+1）-1=b+k，
则2a+2-1=2a-1+k，解得：k=2，故此反比例函数的解析式是：；
（2）两函数的交点为，解得：A（1，1），
∵平行四边形AOPQ， ∴AQ//OP，AQ=OP， 故Q（3，1）．
【总结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及平行四边形的性质，本题中四边形AOPQ是有顺序的，因此满足条件的Q点只有1个，解题时注意认真审题．
例8.已知：如图，四边形是平行四边形，AB =BC，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点．
（1）当点在线段上时，求证：；
（2）设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系
式，写出函数的定义域；
（3）联结，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）（0＜x＜6）； （3）BE=12．
【解析】（1）联结AC，
易证BA=BC，∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=∠ACD=60°
△ABC是等边三角形，AB=AC
又∠BAE+∠MAC=60°，∠CAF+∠MAC=60°，∠BAE=∠CAF
△ABE≌△ACF， ∴BE=CF；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，
在Rt△ADH中，∠DAH=30°，DH=3，AH=，CF=BE=x，DF=6-x
，y=，
即（0＜x＜6）；
（3）当F点在CD的延长线时，连BD，易得∠ADB=30°．
当四边形BDFA是平行四边形时，AF//BD，
∠FAD=∠ADB=30°，
∠DAE=30°，∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，∠B=60°，∠BEA=30°，AB=6，易得BE=12，
当点F与点C重合时，此时点E与点B重合，不合题意，舍．
【总结】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形判定与性质的综合运用．
例9.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，联结DE．
（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；
（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段AC之间有怎样的位置关系?请选择其中的一个图形证明你的猜想；
（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论?请直接写出．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）DE⊥AC； （3）DE//BC，DE=BC．
【解析】（1）根据要求画图即可．
（2）联结BE，
PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB
PA=BE，∠MPA=∠MEB， PA//BE．
四边形PADC是平行四边形，PA//DC，PA=DC，
BE//CD，BE=DC，
四边形DEBC是平行四边形，DE//BC，DE=BC
∠ACB=90°，BC⊥AC，即DE⊥AC
（3）DE//BC，DE=BC．
【总结】本题考察平行四边形的性质的运用，解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的证明
随堂检测
1.若AD是△ABC的中线，延长AD到E使DE=AD，联结BE、CE，那么四边形ABEC是_____四边形．
【难度】★
【答案】平行四边形
【解析】AE与BC互相平分，所以四边形ABEC是平行四边形
【总结】本题考查平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2.如图，直线与双曲线交于A、C两点，将直线绕点O顺时针旋转°（0°＜≤45°），
与双曲线交于D两点，则四边形ABCD的形状一定是_____________，理由是________________________．
【难度】★
【答案】平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解析】反比例函数图像关于原点对称，OA=OC，OB=OD，
四边形ABCD是平行四边形．
【总结】本题考查了反比例函数的性质及平行四边形的判定方法。
了解和熟练掌握反比例函数的性质是解答此类题目的关键所在，
注意反比例函数图像关于原点对称．
3.四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（ ）
A．两组角分别相等的四边形 B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
【难度】★★
【答案】C
【解析】由可得（a-b）2+（c-d）2=0，即a=b且c=d，所以四边形的两条对角线互相垂直．
【总结】本题考查了因式分解的应用，解题时首先利用因式分解把等式变形，然后利用非负数的性质即可解决问题．
4.已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列5个条件①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④∠BAD=∠DCB，从这四个条件中任选2个一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有（ ）
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
【难度】★★
【答案】C
【解析】根据平行四边形判定方法，能推出四边形为平行四边形的有四组，分别是①②，
①③，①④，②④．
【总结】本题考查平行四边形判定方法的运用．
5.如图，在ABCD中，E、F分别是AB、CD上点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD， AB\\CD，AB=CD．
AE=CF， BE=DF，
四边形EBFD是平行四边形，DE=BF，DE//BF，
又M、N分别是DE、BF的中点， ME=FN，
四边形MENF是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用．
6.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，EF∥AC，求证：EB=FC．
【难度】★★
【解析】BD平分∠ABC，∠ABD=∠CBD，
又ED//BC，∠ABD=∠DBC=∠EDB，EB=ED．
又DE//BC，EF//CD，四边形EFCD是平行四边形，
CF=ED=BE．
【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用．
7.如图，四边形EFGH是平行四边形ABCD的内接平行四边形，即顶点E、F、G、H分别在平行四边形ABCD的四边上．求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点．
【难度】★★
【解析】连接AC，HF交于点O
∵平行四边形ABCD与平行四边形EFGH
∴△AEH≌△CGF， ∴AH=CF．
∵△AHO≌△CFO， ∴M是AC与HF的中点
同理BD，EG也过点M，所以这两个平行四边形的对角线交于同一点．
【总结】本题考查平行四边形的性质的运用，注意认真审题．
8.如图，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，AE⊥BC，CF⊥AD．求证：四边形AECF是平行四边形．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD
AB//CD，AD//BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠CDB
∵AE⊥AD，CF⊥BC，∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△CDF
AE=CF，∠AEB=∠DFC， ∠AEF=∠CFE， AE//CF．
四边形AECF是平行四边形
【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用．
9.已知平行四边形和平行四边形，求证：．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD，平行四边形DCEF，
AB=DC=EF，AB//DC//EF，DE=CF，AD=BC
四边形AEFB是平行四边形
AE=BF，∴△ADE≌△BCF，
∴∠ADE=∠BCF．
【总结】本题考查平行四边形性质的运用．
10.如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，的平分线交于点F，联结EF．求证：．
【难度】★★
【解析】延长AE交BC于点G，延长CF交AD于点H
平行四边形ABCD，∠BAD=∠BCD，AD//BC．
AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∠AEB=∠CFD=90°，∠BAG=∠DAG=∠AGB=∠BCH=∠DCH=∠DHC
AB=BG，CD=DH，CG=AH，即四边形AGCH是平行四边形
易知E、F分别是AG、CH的中点，AH=EF=CG=BC-BG，即EF=BC-AB．
【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用．
11.如图，在四边中，形且，，点分别从同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，几秒时，四边形是平行四边形?
【难度】★★★
【答案】2秒．
【解析】设t秒后，四边形ABQP为平行四边形，
则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t
AD//BC，AP=BQ时，四边形ABQP就是平行四边形，即：t =6-2t，t =2
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合题意，
综上，当t=2时，四边形ABQP是平行四边形．
【总结】本题主要考查平四边形与动点的简单结合，主要利用性质解题即可．
12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3, 0)，点B的坐标为A(0, 4)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD 为平行四边形，且BC=BD，求点D坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）D（，2）；
（3）或或．
【解析】（1）设AB的解析式为y=kx+b，
代入点A（3，0），B（0，4），
得直线AB的解析式为：；
（2）平行四边形BCOD中，BC=BD，
OB垂直平分CD，
点C的纵坐标是2，代入AB的解析式得C（，2），
D（，2）；
（3）当BD为对角线时，；
当BE为对角线时，；
当BP为对角线时，；
综上所述，P点的坐标为或或
【总结】本题考查的综合性很强，第一问待定系数求函数解析式是常考内容，较简单，最后一问需要分类讨论，可以以对角线和边为分类标准进行讨论．
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC边的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少?
【难度】★★★
【答案】100°．
【解析】取AD的中点N，连接MN、MD、NE．
DE⊥AB于点E，NE=ND=
又四边形ABCD是平行四边形，点M为BC中点，
AB//CD//MN， ∠BEM=∠EMN，∠NMD=∠MDC，ED⊥MN，
MN是DE的中垂线， ∠BEM=∠NMD=50°．
BC=2AB，点M是BC的中点， MC=CD， ∠CDM=∠CMD，
∠CMD=∠DMN=50°，∴∠B=∠CMD+∠NMD=100°．
【总结】本题考查平行四边形的性质及直角三角形性质的综合运用．
本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形，以及利用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运用判定定理．
模块一：平行四边形判定
知识精讲
平行四边形判定定理
①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
例题解析
例1.判断题：
（1）夹在两平行线间的平行线段长度相等（）
（2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等（）
（3）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（）
（4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形（）
例2．（2020·山东济宁市·八年级期末）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB＝CD，AD＝BC
例3．（2020·广东佛山市·八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
例4．（2018·河北石家庄市·石家庄二中八年级期中）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件_________（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
例5．（2020·山东德州市·八年级期中）若AD＝8，AB＝4，那么当BC＝___，CD＝___时，四边形ABCD是平行四边形
例6．（2020·农安县小城子乡第三中学八年级月考）如图，在▱ABCD中，EC平分∠BCD，交AD边于点E，AE＝3，BC＝5，则AB的长等于_____．
例7．（2019·河南洛阳市·八年级期末）如图，已知AB//CD，BE丄AD，垂足为点E，CF丄AD，垂足为点F，并且AF=DE．
求证：四边形是平行四边形．
例8．（2020·安阳市第十中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
例9.如图，在平行四边形ABCD中，EF是对角线BD的三等分点．求证：四边形AECF是平行四边形（请用两种方法证明）．
例10.如图，ABCD中，AF=CE，MF∥NE．求证：EF和MN互相平分．
例11.已知四边形ABCD，现有条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D．从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形?请具体写出这些组合．
例12.已知：AC是ABCD的一条对角线，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别是M、N．
求证：四边形BMDN是平行四边形．
例13.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，点E是BC的中点，求证：AB∥DE，∠C=∠AEB．
例14.如图，在ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，
CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
例15.已知在ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，联结GE，EH，HF，FG，求证：四边形GEHF是平行四边形．若G、H分别在线段BA，DC上，其余条件不变，则（1）结论否成立?（说明理由）．
例16.如图所示，平行四边形ABCD中，AE⊥BC、CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．
例17.如图，过ABCD的顶点A的直线（形外），分别过B、C、D作直线的垂线，E、F、G为垂足．求证：CF=BE+DG．
例18.如图，的对角线AC、BD交于点O，E、F分别在BC、AD上，且BE=BC，DF=AD，AE、CF分别交BD于点M、N，求证：四边形AMCN是平行四边形．
例19.如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H．求证：四边形EFGH是平行四边形．
例20.如图，以△ABC的三边分别作等边△DAC、△ABE，△BCF，求证：四边形ADFE是平行四边形．
例21.已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB，交BC于H．求证：CE=BH．
模块二：综合题
例题解析
例1.在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过O点任意作两条直线交ABCD的AB、CD边于E、F，交BC、DA边于G、H，那么四边形EGFH是什么图形?证明你的结论．
例2.如图，ABCD中，DE⊥AB于E，BC=2AB，M是BC的中点．试求∠EMC与∠BEM的数量关系．
例3.平面直角坐标系中有三点A（2，1），B（3，1），C（4，3），求平面内第四点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
例4.已知平面内有两点A（，0）、B（3，0），P点在y轴上，M点在直线上，若以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求M点的坐标．
例5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=6，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，顶点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，联结PQ，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：BQ=___________，PD=__________；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ是平行四边形?若存在，求出t的值，若不存在，试说明理由．
例6.如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且OA=OC，直线交轴于点，边交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）联结，动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点匀速运动，设△的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）．
例7.已知：反比例函数和一次函数，其中一次函数的图形经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点A、P（2，0），平面内存在一点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形，求Q点的坐标．
例8.已知：如图，四边形是平行四边形，AB =BC，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点．
（1）当点在线段上时，求证：；
（2）设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系
式，写出函数的定义域；
（3）联结，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长．
例9.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，联结DE．
（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；
（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段AC之间有怎样的位置关系?请选择其中的一个图形证明你的猜想；
（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论?请直接写出．
随堂检测
1.若AD是△ABC的中线，延长AD到E使DE=AD，联结BE、CE，那么四边形ABEC是_____四边形．
2.如图，直线与双曲线交于A、C两点，将直线绕点O顺时针旋转°（0°＜≤45°），
与双曲线交于D两点，则四边形ABCD的形状一定是_____________，理由是________________________．
3.四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（ ）
A．两组角分别相等的四边形 B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
4.已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列5个条件①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④∠BAD=∠DCB，从这四个条件中任选2个一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有（ ）
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
5.如图，在ABCD中，E、F分别是AB、CD上点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．
6.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，EF∥AC，求证：EB=FC．
7.如图，四边形EFGH是平行四边形ABCD的内接平行四边形，即顶点E、F、G、H分别在平行四边形ABCD的四边上．求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点．
8.如图，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，AE⊥BC，CF⊥AD．求证：四边形AECF是平行四边形．
9.已知平行四边形和平行四边形，求证：．
10.如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，的平分线交于点F，联结EF．求证：．
11.如图，在四边中，形且，，点分别从同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，几秒时，四边形是平行四边形?
12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3, 0)，点B的坐标为A(0, 4)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD 为平行四边形，且BC=BD，求点D坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标．
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC边的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少?
第10讲 平行四边形判定及综合
本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形，以及利用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运用判定定理．
模块一：平行四边形判定
知识精讲
平行四边形判定定理
①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
例题解析
例1.判断题：
（1）夹在两平行线间的平行线段长度相等（）
（2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等（）
（3）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（）
（4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形（）
【难度】★
【答案】（1）正确； （2）正确； （3）错误； （4）错误．
【解析】（1）夹在两平行线间的平行线段组成平行四边形，故长度相等，正确；
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形，对边一定相等，正确；
（3）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形，错误；（4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，错误．
【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用．
例2．（2020·山东济宁市·八年级期末）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB＝CD，AD＝BC
【答案】A
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断；
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．
例3．（2020·广东佛山市·八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论．
【详解】解：∵O是AC、BD的中点，∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
例4．（2018·河北石家庄市·石家庄二中八年级期中）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件_________（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
【答案】BO=DO．
【详解】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为BO=DO．
例5．（2020·山东德州市·八年级期中）若AD＝8，AB＝4，那么当BC＝___，CD＝___时，四边形ABCD是平行四边形
【答案】8 4
【分析】根据平行四边形的判定中两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答即可．
【详解】解：如图，在四边形ABCD中，AB和CD是对边，BC和DA是对边，
∵AD=8，AB=4，
∴当BC=8，CD=4时，四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：8，4．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．
例6．（2020·农安县小城子乡第三中学八年级月考）如图，在▱ABCD中，EC平分∠BCD，交AD边于点E，AE＝3，BC＝5，则AB的长等于_____．
【答案】2
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，且AD＝BC＝5，求出DE＝2，结合角平分线的性质可求得DE＝CD＝2，则可得AB的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，AB＝CD，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，∠DEC＝∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝2，
∴AB＝2；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定，利用平行线的性质及角平分线的性质求得DE＝CD是解题的关键．
例7．（2019·河南洛阳市·八年级期末）如图，已知AB//CD，BE丄AD，垂足为点E，CF丄AD，垂足为点F，并且AF=DE．
求证：四边形是平行四边形．
【分析】通过全等三角形（）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形是平行四边形．
【详解】证明：，，
，
，
，
，即，
在与中，
，
．
，，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的判定与性质掌，握以上知识是解题的关键．
例8．（2020·安阳市第十中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，BE∥DF，证出BE＝DF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EB∥DF，EB＝DF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
例9.如图，在平行四边形ABCD中，EF是对角线BD的三等分点．求证：四边形AECF是平行四边形（请用两种方法证明）．
【难度】★
【解析】（方法一）四边形ABCD是平行四边形，
AD=BC，AD//BC， ∠ADF=∠EBC
E、F三等分BD， BE=EF=FD
易证△AFD与△BEC全等，△ABE与△CDF全等
AE=CF，AF=CE， 四边形AECF是平行四边形；
（方法二）连接AC，与BD交于点O，
平行四边形ABCD， AO=OC，BO=DO
E、F三等分BD， BE=EF=FD
OB-BE=OD-DF， OE=OF，
∵BO=DO， 四边形AECF是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形的判定定理与性质定理的综合运用．
例10.如图，ABCD中，AF=CE，MF∥NE．求证：EF和MN互相平分．
【难度】★
【解析】设AB与CD相交于点O，连接EM、NF
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴．
∵AF=CE， ∴．
∵MF∥NE， ∴．
∵， ∴， ∴．
∵MF∥NE， ∴四边形MFNE是平行四边形，∴EF和MN互相平分．
【总结】本题考查平行四边形判定定理和性质定理的综合运用．
例11.已知四边形ABCD，现有条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；
⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D．从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形?请具体写出这些组合．
【难度】★★
【答案】①②；①③；①⑤；①⑥；②④；③④；③⑤；③⑥；⑤⑥．
【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用．
例12.已知：AC是ABCD的一条对角线，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别是M、N．
求证：四边形BMDN是平行四边形．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD，AB//CD，AB=CD，
∠BAC =∠DCA．BM⊥AC，DN⊥AC， △ABM≌△CND，
BM=DN，BM//DN， 四边形BMDN是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形的判定方法与三角形全等的判定的运用．
例13.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，点E是BC的中点，求证：AB∥DE，∠C=∠AEB．
【难度】★★
【解析】点E是BC中点， BE=CE
BC=2AD， AD=BE=EC， 又AD//BC，
四边形ABED与四边形AECD均为平行四边形
AB//DE，AE//CD， ∠C=∠AEB
【总结】本题考查平行四边形判定方法与性质的综合运用．
例14.如图，在ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，
CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【难度】★★
【解析】（1）平行四边形ABCD，
AB//CD，AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠ABC
AE=AD=BC=CF， △ADE≌△CBF
ED=BF，EC=AF， 四边形EAFC是平行四边形；
（2）成立，证明同上．
【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用．
例15.已知在ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，联结GE，EH，HF，FG，求证：四边形GEHF是平行四边形．若G、H分别在线段BA，DC上，其余条件不变，则（1）结论否成立?（说明理由）．
【难度】★★
【解析】（1）平行四边形ABCD，
AB=CD，AB//CD，∠ABD=∠BDC
AG=CH，BE=DF， BG=DH， △BGE≌△DFH
GE=FH，∠BEG=∠DFH， ∠GED=∠HFE，
GE//FH，四边形GEHF是平行四边形；
（2）成立，证明同（1）
【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的运用．
例16.如图所示，平行四边形ABCD中，AE⊥BC、CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．
【难度】★★
【解析】联结ME，EN，FN，MF
平行四边形ABCD， AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
AE⊥BC、CF⊥AD， △ABE≌△CDF， BE=FD
DN=BM， △BEM≌△FDN， ME=FN
同理可证MF=EN， 四边形MENF是平行四边形， EF与MN互相平分．
【总结】本题考查三角形全等的判定方法与平行四边形性质与判定定理的综合运用．
例17.如图，过ABCD的顶点A的直线（形外），分别过B、C、D作直线的垂线，E、F、G为垂足．求证：CF=BE+DG．
【难度】★★
【解析】过点D作DH⊥CF于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB= CD．
∵，DH⊥CF， ∴．
∵，， ∴，
∵， ∴， ∴， ∴BE = CH．
∵， ∴． ∵， ∴CF=BE+DG．
【总结】本题考查平行四边形性质的运用．
例18.如图，的对角线AC、BD交于点O，E、F分别在BC、AD上，且BE=BC，DF=AD，AE、CF分别交BD于点M、N，求证：四边形AMCN是平行四边形．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD，
BC=AD，OA=OC，OB=OD，，
BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∠BAE=∠DCF， ∴△ABM≌△DNC，
BM=DN，OM=ON， 四边形AMCN是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的运用．
例19.如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H．求证：四边形EFGH是平行四边形．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD
AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠DAC=∠BCA
DH⊥AC，BF⊥AC， △ADH≌△CBF
AH=CF，OH=OF，同理可证OE=OG
四边形EHGF是平行四边形
【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用．
例20.如图，以△ABC的三边分别作等边△DAC、△ABE，△BCF，求证：四边形ADFE是平行四边形．
【难度】★★
【解析】等边△DAC，△ABE，△BCF，
∠EBF=∠ABC，BE=AB，BF=BC， △BEF≌△ABC，
EF=AC=AD，BE=DF=AE， 四边形EFDA是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形判定方法与等边三角形性质的综合运用．
例21.已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB，交BC于H．求证：CE=BH．
【难度】★★★
【解析】做FG//BH，可得平行四边形FHBG， BH=FG．
∠ACB=90°，CD⊥AB， ∠B=∠ACF=∠FGA，
EA平分∠CAB， △ACF≌△AGF， FG=CF．
∠CAE+∠AEC=90°，∠EAB+∠AFD=90°， ∠AFD=∠CEF=∠CFE，
CE=CF， CE=FG， CE=BH．
【总结】本题考查角平分线性质与平行四边形性质的综合运用．
模块二：综合题
例题解析
例1.在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过O点任意作两条直线交ABCD的AB、CD边于E、F，交BC、DA边于G、H，那么四边形EGFH是什么图形?证明你的结论．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD， OA=OC，OB=OD．
∴△AOH≌△OCG，△BEO≌△DOF， OH=OG，OE=OF，
四边形EGFH是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例2.如图，ABCD中，DE⊥AB于E，BC=2AB，M是BC的中点．试求∠EMC与∠BEM的数量关系．
【难度】★★
【答案】∠EMC=3∠BEM．
【解析】延长EM与DC的延长线交于点N，连接DM．
则易得△BEM≌△NCM，所以EM=MN．
又AB//CD，DE⊥AB，则∠EDN=90°，
∵∠BEM=∠N， ∴ME=MN=DM
∴∠EMD=2∠N=2∠BEM
由MC=CD，得∠MDC=∠CMD=∠N，
∴∠EMC=3∠BEM．
【总结】本题主要考查平行四边形性质、直角三角形性质的综合运用．
例3.平面直角坐标系中有三点A（2，1），B（3，1），C（4，3），求平面内第四点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
【难度】★★
【答案】（1，-1）或（3，3）或（5，3）．
【解析】当AB为对角线时，由AC=BD，BC=AD，得：D（1，-1）；
当AC为对角线时，D（3，3）；
当AD为对角线时，D（5，3）．
【总结】本题考查平行四边形性质，注意分类讨论，利用平移的性质去求坐标．
例4.已知平面内有两点A（，0）、B（3，0），P点在y轴上，M点在直线上，若以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求M点的坐标．
【难度】★★
【答案】（2，1）或（-4，-5）或（4，3）．
【解析】当AB为对角线时，M（2，1）；
当AP为对角线时，M（-4，-5）；
当AM为对角线时，M（4，3）．
【总结】本题考查平行四边形性质，注意分类讨论，利用平移的性质去求坐标．
例5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=6，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，顶点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，联结PQ，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：BQ=___________，PD=__________；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ是平行四边形?若存在，求出t的值，若不存在，试说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）BQ=，PD=； （2）t=．
【解析】（1）由题意，可得：AC=6，BC=，AB=12，∠B=30°
CQ=2t，所以BQ=，AP=t，PD=；
（2）∵平行四边形PDBQ， ∴BQ=PD，即，解得：，
t＜，当时，四边形PDBQ是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形性质与直角三角形性质的综合运用，注意分析动点的运动轨迹．
例6.如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且OA=OC，直线交轴于点，边交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）联结，动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点匀速运动，设△的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）A（3，-4），OA=5=OC，C（5，0）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
代入A、C两点的坐标，
得解析式为：；
平行四边形ABCO中，AB=OC=5，
B（2，4）， BC=5=OC．
易知点M坐标为（0，2.5）．
当点P在AB上，即0≤t＜2.5时，
AP=2t，则，
∵HM=4-OM=1.5，
S=×BP×HM=；
当P在BC上，即2.5＜t≤5时，BP=2t-5，
∵平行四边形ABCO中，AB=BC， ∴四边形ABCO是菱形，
∴， ∴，
∴，，
∴S=×BP×BM=，
综上．
【总结】本题主要考查两点之间距离的确定以及平行四边形的性质的运用，由动点引起的三角形的面积，需要分类讨论．
例7.已知：反比例函数和一次函数，其中一次函数的图形经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点A、P（2，0），平面内存在一点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形，求Q点的坐标．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）（3，1）．
【解析】把（a，b），（a+1，b+k）代入y=2x-1，得2a-1=b， 2（a+1）-1=b+k，
则2a+2-1=2a-1+k，解得：k=2，故此反比例函数的解析式是：；
（2）两函数的交点为，解得：A（1，1），
∵平行四边形AOPQ， ∴AQ//OP，AQ=OP， 故Q（3，1）．
【总结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及平行四边形的性质，本题中四边形AOPQ是有顺序的，因此满足条件的Q点只有1个，解题时注意认真审题．
例8.已知：如图，四边形是平行四边形，AB =BC，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点．
（1）当点在线段上时，求证：；
（2）设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系
式，写出函数的定义域；
（3）联结，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）（0＜x＜6）； （3）BE=12．
【解析】（1）联结AC，
易证BA=BC，∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=∠ACD=60°
△ABC是等边三角形，AB=AC
又∠BAE+∠MAC=60°，∠CAF+∠MAC=60°，∠BAE=∠CAF
△ABE≌△ACF， ∴BE=CF；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，
在Rt△ADH中，∠DAH=30°，DH=3，AH=，CF=BE=x，DF=6-x
，y=，
即（0＜x＜6）；
（3）当F点在CD的延长线时，连BD，易得∠ADB=30°．
当四边形BDFA是平行四边形时，AF//BD，
∠FAD=∠ADB=30°，
∠DAE=30°，∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，∠B=60°，∠BEA=30°，AB=6，易得BE=12，
当点F与点C重合时，此时点E与点B重合，不合题意，舍．
【总结】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形判定与性质的综合运用．
例9.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，联结DE．
（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；
（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段AC之间有怎样的位置关系?请选择其中的一个图形证明你的猜想；
（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论?请直接写出．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）DE⊥AC； （3）DE//BC，DE=BC．
【解析】（1）根据要求画图即可．
（2）联结BE，
PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB
PA=BE，∠MPA=∠MEB， PA//BE．
四边形PADC是平行四边形，PA//DC，PA=DC，
BE//CD，BE=DC，
四边形DEBC是平行四边形，DE//BC，DE=BC
∠ACB=90°，BC⊥AC，即DE⊥AC
（3）DE//BC，DE=BC．
【总结】本题考察平行四边形的性质的运用，解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的证明
随堂检测
1.若AD是△ABC的中线，延长AD到E使DE=AD，联结BE、CE，那么四边形ABEC是_____四边形．
【难度】★
【答案】平行四边形
【解析】AE与BC互相平分，所以四边形ABEC是平行四边形
【总结】本题考查平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2.如图，直线与双曲线交于A、C两点，将直线绕点O顺时针旋转°（0°＜≤45°），
与双曲线交于D两点，则四边形ABCD的形状一定是_____________，理由是________________________．
【难度】★
【答案】平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解析】反比例函数图像关于原点对称，OA=OC，OB=OD，
四边形ABCD是平行四边形．
【总结】本题考查了反比例函数的性质及平行四边形的判定方法。
了解和熟练掌握反比例函数的性质是解答此类题目的关键所在，
注意反比例函数图像关于原点对称．
3.四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（ ）
A．两组角分别相等的四边形 B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
【难度】★★
【答案】C
【解析】由可得（a-b）2+（c-d）2=0，即a=b且c=d，所以四边形的两条对角线互相垂直．
【总结】本题考查了因式分解的应用，解题时首先利用因式分解把等式变形，然后利用非负数的性质即可解决问题．
4.已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列5个条件①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④∠BAD=∠DCB，从这四个条件中任选2个一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有（ ）
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
【难度】★★
【答案】C
【解析】根据平行四边形判定方法，能推出四边形为平行四边形的有四组，分别是①②，
①③，①④，②④．
【总结】本题考查平行四边形判定方法的运用．
5.如图，在ABCD中，E、F分别是AB、CD上点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD， AB\\CD，AB=CD．
AE=CF， BE=DF，
四边形EBFD是平行四边形，DE=BF，DE//BF，
又M、N分别是DE、BF的中点， ME=FN，
四边形MENF是平行四边形．
【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用．
6.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，EF∥AC，求证：EB=FC．
【难度】★★
【解析】BD平分∠ABC，∠ABD=∠CBD，
又ED//BC，∠ABD=∠DBC=∠EDB，EB=ED．
又DE//BC，EF//CD，四边形EFCD是平行四边形，
CF=ED=BE．
【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用．
7.如图，四边形EFGH是平行四边形ABCD的内接平行四边形，即顶点E、F、G、H分别在平行四边形ABCD的四边上．求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点．
【难度】★★
【解析】连接AC，HF交于点O
∵平行四边形ABCD与平行四边形EFGH
∴△AEH≌△CGF， ∴AH=CF．
∵△AHO≌△CFO， ∴M是AC与HF的中点
同理BD，EG也过点M，所以这两个平行四边形的对角线交于同一点．
【总结】本题考查平行四边形的性质的运用，注意认真审题．
8.如图，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，AE⊥BC，CF⊥AD．求证：四边形AECF是平行四边形．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD
AB//CD，AD//BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠CDB
∵AE⊥AD，CF⊥BC，∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△CDF
AE=CF，∠AEB=∠DFC， ∠AEF=∠CFE， AE//CF．
四边形AECF是平行四边形
【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用．
9.已知平行四边形和平行四边形，求证：．
【难度】★★
【解析】平行四边形ABCD，平行四边形DCEF，
AB=DC=EF，AB//DC//EF，DE=CF，AD=BC
四边形AEFB是平行四边形
AE=BF，∴△ADE≌△BCF，
∴∠ADE=∠BCF．
【总结】本题考查平行四边形性质的运用．
10.如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，的平分线交于点F，联结EF．求证：．
【难度】★★
【解析】延长AE交BC于点G，延长CF交AD于点H
平行四边形ABCD，∠BAD=∠BCD，AD//BC．
AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∠AEB=∠CFD=90°，∠BAG=∠DAG=∠AGB=∠BCH=∠DCH=∠DHC
AB=BG，CD=DH，CG=AH，即四边形AGCH是平行四边形
易知E、F分别是AG、CH的中点，AH=EF=CG=BC-BG，即EF=BC-AB．
【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用．
11.如图，在四边中，形且，，点分别从同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，几秒时，四边形是平行四边形?
【难度】★★★
【答案】2秒．
【解析】设t秒后，四边形ABQP为平行四边形，
则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t
AD//BC，AP=BQ时，四边形ABQP就是平行四边形，即：t =6-2t，t =2
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合题意，
综上，当t=2时，四边形ABQP是平行四边形．
【总结】本题主要考查平四边形与动点的简单结合，主要利用性质解题即可．
12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3, 0)，点B的坐标为A(0, 4)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD 为平行四边形，且BC=BD，求点D坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）D（，2）；
（3）或或．
【解析】（1）设AB的解析式为y=kx+b，
代入点A（3，0），B（0，4），
得直线AB的解析式为：；
（2）平行四边形BCOD中，BC=BD，
OB垂直平分CD，
点C的纵坐标是2，代入AB的解析式得C（，2），
D（，2）；
（3）当BD为对角线时，；
当BE为对角线时，；
当BP为对角线时，；
综上所述，P点的坐标为或或
【总结】本题考查的综合性很强，第一问待定系数求函数解析式是常考内容，较简单，最后一问需要分类讨论，可以以对角线和边为分类标准进行讨论．
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC边的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少?
【难度】★★★
【答案】100°．
【解析】取AD的中点N，连接MN、MD、NE．
DE⊥AB于点E，NE=ND=
又四边形ABCD是平行四边形，点M为BC中点，
AB//CD//MN， ∠BEM=∠EMN，∠NMD=∠MDC，ED⊥MN，
MN是DE的中垂线， ∠BEM=∠NMD=50°．
BC=2AB，点M是BC的中点， MC=CD， ∠CDM=∠CMD，
∠CMD=∠DMN=50°，∴∠B=∠CMD+∠NMD=100°．
【总结】本题考查平行四边形的性质及直角三角形性质的综合运用．
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