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初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.4 梯形复习练习题
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这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.4 梯形复习练习题，共47页。试卷主要包含了梯形及梯形的有关概念等内容，欢迎下载使用。
本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．
模块一：梯形及等腰梯形
知识精讲
一、梯形及梯形的有关概念
（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．
腰：不平行的两边叫做腰．
高：梯形两底之间的距离叫做高．
（2）特殊梯形
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．
特殊梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?
交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．
【等腰梯形性质】
等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．
等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等．
另外：等腰梯形是轴对称图形；
【等腰梯形判定】
等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．
例题解析
例1．（2019·上海八年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为( )．
A．4B．6C．43D．33
例2．（2018·上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为 （ ）
A．8B．10C．4D．16
例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为( )
A．30°B．45°C．60°D．75°
例4．（2018·上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是 （ ）
A．等腰梯形的两底平行且相等
B．等腰梯形的两条对角线相等
C．等腰梯形在同一底上的两个角相等
D．等腰梯形是轴对称图形
例5．（2017·上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．等腰梯形或平行四边形
例6．（2019·上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（______）
例7．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在梯形ABCD中，，，，那么梯形ABCD的周长等于__________．
例8．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5，其中一条底边的长为6，那么该梯形的另一条底边的长是__________．
例9．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形中，∥ ，，⊥，则∠=________．
例10．（2019·上海上外附中八年级期中）在梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为__________．
例11．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
例12．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四边形EBCF的面积．
例13.如图，已知梯形ABCD中，BC是下底，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，若梯形周长是30cm，求此梯形的面积．
例14.如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=5，∠D=45°，CD的垂直平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，求BF的长．
例15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°，
求证：AB⊥AC；
若DC=6，求梯形ABCD的面积．
例16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．求证：AB=DC．
．
例17.如图，在等腰三角形ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，联结BE、CD相交于点O，∠1=∠2．
求证：梯形BDEC是等腰梯形．
例18.如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、
（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）设从出发起运动了x秒，当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形?
（2）四边形OPQC能否成为等腰梯形?说明理由．
例19.如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米．（1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；（2）若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米²，求S与x之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并求当S=时x的值．
例20.已知，一次函数的图像与x轴，y轴，分别交于A、B两点，梯形AOBC
（O是原点）的边AC=5，（1）求点C的坐标；（2）如果一个一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图像经过A、C两点，求这个一次函数的解析式．
例21.如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，线段AQ的长度为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．
（1）求y与x的函数关系式，并求出这个函数的定义域；
（2）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积?若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．
模块二：辅助线
知识精讲
解决梯形问题常用的方法
作高法：使两腰在两个直角三角形中；
②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；
③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；
④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；
⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直
的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高
等．
例题解析
例1.如图，已知在梯形中，，，，垂足为
，，则边的长等于（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
例2.已知梯形中，，，，，．求的长．
例3.如图，梯形中，，，，，、分
别为、的中点，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
例4.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O．求证：CO=CD．
例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=60°，
AC=10cm，求梯形的高DE的长．
例6.如图，在梯形ABCD中，，，若AE=10，则CE=__________．
模块三：中位线
知识精讲
三角形中位线的定义和性质：
1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；
2. 三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
3. 梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.
【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．
例题解析
例1（1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；
（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是；
（3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是；
（4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是；
（5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；
（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是；
（7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；
（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；
（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是．
例2．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（ ）
A．4B．3C．2D．5
例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
例4．（2019·上海上外附中）梯形两条对角线互相垂直，且长度分别为，，则梯形的中位线长为_________
例5．（2019·上海上外附中）如图，四边形中，，分别为，中点，且，，则的长度的范围是___________
例6.（2017·上海闵行区·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．
例7.（2018·上海宝山区·八年级期末）如图，将▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为_____．
例8．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若DE的长是6，则AC=____．
例9．（2019·上海上外附中）如图，矩形中，，，点为对角线中点，点为边中点，则四边形的周长为________
例10.（1）点、、分别是三边的中点，的周长为10，则的周长为；
（2）三条中位线的长为3、4、5，则的面积为．
例11.如图，在中，点D是边BC的中点，点E在内，AE平分，点F在边AB上，EF//BC．
求证：四边形BDEF是平行四边形；
线段BF、AB、AC之间有怎么样的数量关系?并证明．
例12.如图所示，在梯形ABCD中，，对角线交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，，求证：AC=MN．
例13.如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分，交BC于点E，交OB于点F，求证：CE=2OF．
例14.如图1所示，已知BD、CE分别是的外角平分线，过点A作，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证．
（1）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；
（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
例15.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，延长AD、BC，分别交FE的延长线于点H、G；求证：．
随堂检测
1.有两个角相等的梯形是（）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．直角梯形或等腰梯形
2.下列命题中，真命题是（）
A．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形
B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形
C．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形
D．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形
3.已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是 ( )
A．78°或120° B．102°或60° C．120°或78° D．60°或120°
4.下列命题，错误命题的个数是 ( )
①若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；
②等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点；
③一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形；
④有两个内角是直角的四边形是直角梯形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图，在中，、分别是、的中点，且，，．求的长．
6.等腰梯形两底之差等于一腰长，求它的底角的度数．
7.如图，四边形中，不平行，现给出三个条件：①，②，③．请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）．
8.如图，在四边形中，、、、分别是、、、上的中点，，．求四边形的周长．
梯形及中位线
本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．
模块一：梯形及等腰梯形
知识精讲
一、梯形及梯形的有关概念
（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．
腰：不平行的两边叫做腰．
高：梯形两底之间的距离叫做高．
（2）特殊梯形
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．
特殊梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?
交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．
【等腰梯形性质】
等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．
等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等．
另外：等腰梯形是轴对称图形；
【等腰梯形判定】
等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．
例题解析
例1．（2019·上海八年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为( )．
A．4B．6C．43D．33
【答案】B
【分析】过点A作AE∥DC，可判断出△ABE是直角三角形，四边形ADCE是菱形，从而求出CE、BE即可得出BC的长度．
【详解】过点A作AE∥DC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵AC平分∠BCD，
∴∠DAC=∠ACE=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形，
∴CE=AD=AE=2，
∵AE∥CD，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
又∵∠B=30°，
∴∠BAE=90°，
∴BE=2AE=4，
∴BC=BE+CE=6.
故答案为：6.
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形.
例2．（2018·上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为 （ ）
A．8B．10C．4D．16
【答案】C
【分析】分析题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，进而求出CD的长度；运用勾股定理得出AE和BF的长度，易证四边形CDEF是平行四边形，得出EF的长度，进而得出AB+CD的长度，由梯形中位线的性质，即可解答本题.
【详解】根据题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°.
因为DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，
所以DE=AD=4，
所以CD=4，AE= =4，同理BF=4.
因为DE⊥AB，CF⊥AB，
所以DE∥CF.
因为CD∥EF，
所以四边形CDEF是平行四边形，
所以EF=CD=4.
因为CD=4cm，AB=AE+EF+FB=4+4+4=8+4，
所以AB+CD=8+4+4=8+8，
所以梯形的中位线长为 (AB+CD)=4+4.
故选C.
【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等知识进行求解.
例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为( )
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】作梯形的两条高线，证明△ABE≌△DCF，则有BE=FC，然后判断△ABE为等腰直角三角形求解．
【详解】如图,作AE⊥BC、DF⊥BC,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC，BC−AD=12，AE=6，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AEFD为矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=FC，
∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，
∴BE=6，
∵AE=6，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°.
故选B.
【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.
例4．（2018·上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是 （ ）
A．等腰梯形的两底平行且相等
B．等腰梯形的两条对角线相等
C．等腰梯形在同一底上的两个角相等
D．等腰梯形是轴对称图形
【答案】A
【分析】本题考查对等腰梯形性质的理解.等腰梯形的性质如下:等腰梯形两腰相等;等腰梯形两底平行;等腰梯形的两条对角线相等;等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形.
【详解】由等腰梯形的性质可知,等腰梯形的对角线相等,其在同一底上的两个角相等,可知B、C不符合题意;
同时等腰梯形关于两底中点的连线成轴对称,即可得到D不符合题意,
而等腰梯形两底平行但不相等,因此A符合题意.
故选A.
【点睛】此题考查等腰梯形性质，解题关键在于对性质的掌握.
例5．（2017·上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．等腰梯形或平行四边形
【答案】D
【解析】根据特殊四边形的性质，分析所给条件，选择正确答案．
解：A、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故A不正确；
B、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故B不正确；
C、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故C不正确；
D、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故D正确．
故选D．
“点睛”本题考查了平行四边形和等腰梯形的性质. 考虑问题时应该全面考虑，不能漏掉任何一种情况，要求培养严谨的态度.
例6．（2019·上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（______）
【答案】错误
【分析】根据题设画出反例图形即可.
【详解】解：反例：如图，已知梯形，，，而梯形不是等腰梯形.
故该命题是假命题，
故答案为：错误.
【点睛】本题考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性质，举出反例是解题的关键.
例7．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在梯形ABCD中，，，，那么梯形ABCD的周长等于__________．
【答案】20
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质列式求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，，
梯形的周长，
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含 的直角三角形的性质是解题的关键．
例8．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5，其中一条底边的长为6，那么该梯形的另一条底边的长是__________．
【答案】
【分析】根据梯形中位线定理解答即可．
【详解】解：设该梯形的另一条底边的长是xcm，根据题意得：，解得：x=4，
即该梯形的另一条底边的长是4cm．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键．
例9．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形中，∥ ，，⊥，则∠=________．
【答案】60°
【分析】利用平行线及∥，证明，再证明，再利用直角三角形两锐角互余可得答案．
【详解】解：因为：∥，所以：
因为：，所以： ，
所以；，
因为：等腰梯形，
所以：，
设： ，所以，
因为：⊥，
所以：，解得：
所以：．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握相关性质是解题关键．
例10．（2019·上海上外附中八年级期中）在梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为__________．
【答案】24
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式即可求得答案．
【详解】解：如图所示，梯形对角线垂直，则．
故答案是：
【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积公式；对角线垂直时，四边形可看成四个直角三角形的面积之和，可得对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半．
例11．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
【答案】（1）8（2）32
【分析】（1）过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得AD＝EC，AE＝DC，证出△ABE是等边三角形，得BE＝AB＝8，则AD＝EC＝4，即可得出答案；
（2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面积公式即可得出答案.
【详解】解：（1）过A作AE∥CD交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC，AE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝8，
∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，
∴梯形ABCD的中位线长＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；
（2）作AF⊥BC于F，
则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，
∴梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32.
【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，梯形中位线的性质，直角三角形30度角的性质.
例12．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四边形EBCF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG，根据平行四边形的性质得到FG=EC=BF，根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】（1）∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF//BC，BE=AB=AC=CF，
∴四边形EBCF是等腰梯形；
（2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG，
∵EF//BC，即EF//CG，且CG=EF，
∴四边形EFGC是平行四边形，
又∵四边形EBCF是等腰梯形，
∴FG=EC=BF，
∵EF=CG，FC=BE，
∴△EFB≌△CGF（SSS），
∴，
∵GC=EF=1，且EF=BC，
∴BC=2，
∴BG=BC+CG=1+2=3．
∵FG//EC，
∴∠GFB=∠BOC=90°，
∴FH=BG=，
∴．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
例13.如图，已知梯形ABCD中，BC是下底，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，若梯形周长是30cm，求此梯形的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°．
∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴AB=AD
∵BD⊥CD，∴∠DCB=60°，∴∠ABC=∠DCB， ∴AB=CD．
设AB = CD = AD = x，
Rt△BCD中，∵∠DBC=30°，∴BC = 2CD = 2x，
∴30 = x+x+x+2x，解得：x=6．
作AE⊥BC，Rt△ABE中，
∵∠BAE=30°， ∴BE=3，AE=．
∴S=（AD+BC）AE=．
【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用．
例14.如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=5，∠D=45°，CD的垂直平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，求BF的长．
【难度】★★
【答案】5
【解析】联结CE
∵EG垂直平分CD，
∴EC=ED，∠ECD=∠D=45°，∴∠CED=90°，
∵∠A=90°，AD∥BC， ∴四边形BAEC是矩形，
∴BC = AE．
设BC=x=AE，∴ED=EC=AB=5-x
∵∠FEA=∠GED=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE=x
∴BF=BA+AF=5-x+x=5．
【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段BF的长．
例15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°，
求证：AB⊥AC；
若DC=6，求梯形ABCD的面积．
【难度】★★
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵AB=CD，∴∠B=∠DCB=60°，∠BAD=∠D=120°
∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=120°- 30°=90°
∴BA⊥AC；
（2）∵AB=AD=DC，DC=6， ∴CD=AD=AB=6
在直角三角形ABC中，∵∠ACB=30°， ∴BC=2AB=12
作AE⊥BC，则AE=，
∴S梯ABCD=．
【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用．
例16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．求证：AB=DC．
【难度】★★
【解析】∵AC平分∠BCD
∴∠BCA=∠ACD=∠DCB
∵DE//AC，∴∠E=∠ACB=∠DCB
∵∠B=2∠E，∴∠B=∠DCB
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB=CD
【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用．
例17.如图，在等腰三角形ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，联结BE、CD相交于点O，∠1=∠2．
求证：梯形BDEC是等腰梯形．
【难度】★★
【解析】∵， ∴∠DBC=∠ECB
在△BCD与△ECB中，∠1=∠2，BC=BC
∴△BCD≌△ECB，∴BD=CE
∵AB=AC， ∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED==∠ABC=∠ACB
∴DE//BC， 又∵BD与CE不平行
∴四边形BDEC是梯形，且BD=CE，∴梯形BDEC是等腰梯形
【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结．
例18.如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、
（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）设从出发起运动了x秒，当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形?
（2）四边形OPQC能否成为等腰梯形?说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）x=5； （2）不能．
【解析】（1）由题可知：OC=5，BC=10，OA=14．
∵BC//OA
∴当Q点在BC上，且OP=CQ时，四边形OPQC是平行四边形
即2x-5= x，解得：x = 5；
（2）作点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥OP与点F
∵AO//BC，∴CE=QF
当OE=PF=4时，△OCE≌△PQF，此时四边形OPQC为等腰梯形，
即OP=OE+CQ+PF，∴x=4+（2x-5）+4，解得：x=-3（舍），
∴四边形OPQC不能成为等腰梯形．
【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用．
例19.如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米．（1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；（2）若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米²，求S与x之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并求当S=时x的值．
【难度】★★★
【答案】（1）BC=40-2x；（2）（），x=4．
【解析】（1）等腰梯形ABCD中，AB=CD=x，∴BC=40-x-x=40-2x；
（2）作BE⊥AD，CF⊥AD
在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°， ∴AE=．
同理FD=AE=， ∴BE=CF=．
∴EF=BC=40-2x， ∴AD=40-x
∴=（），
当时，代入解析式，解得：x=4或（舍）
∴当S=时x的值为4．
【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义．
例20.已知，一次函数的图像与x轴，y轴，分别交于A、B两点，梯形AOBC
（O是原点）的边AC=5，（1）求点C的坐标；（2）如果一个一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图像经过A、C两点，求这个一次函数的解析式．
【难度】★★★
【答案】（1）C（13，4）或（19，4）或（16，5）； （2）或．
【解析】由题可知：A（16，0），B（0，4）．
当OB∥AC时，点C坐标为（16，5），
当BC∥AO时，点C坐标为（13，4）或（19，4）；
（2）∵一次函数的图像经过A、C两点，∴C点坐标不能为（16，5），
当A（16，0），C（13，4）时，利用待定系数法可得解析式为：；
当A（16，0），C（19，4）时，利用待定系数法可得解析式为：．
【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强．
例21.如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，线段AQ的长度为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．
（1）求y与x的函数关系式，并求出这个函数的定义域；
（2）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积?若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）；
（2）x=3时，PQ平分梯形面积．
【解析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，则CD=AE=3，CE=4，
可得：BC=5，所以梯形ABCD的周长是18．
∵PQ平分梯形ABCD的周长，
∴x+y=9， ∵， ∴，
∴；
（2）由题可知，梯形ABCD的面积是18．
因为P不在BC上，所以．
当3≤x＜4时，P在AD上，此时，
∵线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有
可得方程组，解得：或（舍）；
当4≤x≤7时，点P在CD上，此时
∵线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有
可得方程组，方程组无解，
∴当x=3时，线段PQ能平分梯形ABCD的面积．
【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算．
模块二：辅助线
知识精讲
解决梯形问题常用的方法
作高法：使两腰在两个直角三角形中；
②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；
③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；
④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；
⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直
的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高
等．
例题解析
例1.如图，已知在梯形中，，，，垂足为
，，则边的长等于（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【难度】★★
【答案】D
【解析】∵，，， ∴BE = 5．
∵梯形中，，，，
∴， 故选D．
【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用．
例2.已知梯形中，，，，，．求的长．
【难度】★★
【答案】CD = 8．
【解析】作DE//AB，则四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE=2，∠DEC=∠B=70°．
在△DEC中，∠C=40°，∴∠EDC=180°-40°-70°=70°，∴CD=CE=BC-BE=10-2=8．
【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形．
例3.如图，梯形中，，，，，、分
别为、的中点，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】分别过点F做FG//AD，FH//BC，分别交BA于点G，H
可得平行四边形DFGA与平行四边形FCBH
∴AG=FD=CF=BH=，∴GH=b-a
∵∠A+∠B=90°， ∴可得直角△FGH，E是GH中点
∴EF=， 故选C．
【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加．
例4.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O．求证：CO=CD．
【难度】★★
【解析】作AF⊥BC，DE⊥BC，∵AD//BC，∴AF=DE．
在Rt△ABC中，AB=AC， ∴AF=．∵BC=BD， ∴DE=．
∴在Rt△BDE中，∠DBC=30°，∴∠BCD=∠BDC=75°
∴∠DOC=∠DBC+∠ACB=75°，∴∠CDO=∠COD=75°， ∴CD=CO．
【总结】本题考查梯形的常用辅助线—做梯形的高，把梯形问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形性质解题．
例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=60°，
AC=10cm，求梯形的高DE的长．
【难度】★★
【答案】cm．
【解析】等腰梯形ABCD中，
∵OB=OC，∠BOC=60°，可得等边△OCB，
∴∠DBC=∠ACB=60°
∵AC=BD=10，∴在直角△BDE中，BE=，
∴cm．
【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用．
例6.如图，在梯形ABCD中，，，若AE=10，则CE=__________．
【难度】★★★
【答案】4或6．
【解析】过点B作DA的垂线交DA延长线于M，M为垂足,
延长DM到G，使得MG=CE，联结BG，
可得四边形BCDM是正方形．
∴BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM， ∴△BEC≌△BMG， ∴∠MBG=∠CBE
∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，
∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10
设CE=x，则AM=10x，∴AD=12（10x）=2+x，DE=12x．
在Rt△ADE中，由AE2=AD2+DE2，解得：x=4或x=6．
故CE的长为4或6．
【总结】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，注意辅助线的添加方法，将问题转化为解直角三角形的问题．
模块三：中位线
知识精讲
三角形中位线的定义和性质：
1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；
2. 三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
3. 梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.
【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．
例题解析
例1（1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；
（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是；
（3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是；
（4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是；
（5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；
（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是；
（7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；
（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；
（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是．
【难度】★
【答案】（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形；
（6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形．
【解析】利用三角形中位线性质可证明．
【总结】本题考查中位线性质和四边形判定方法，注意对相关规律的总结．
例2．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（ ）
A．4B．3C．2D．5
【答案】B
【分析】根据三角形的中位线的定理即可求出答案．
【详解】∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，∴DE=3，故选B．
【点睛】此题考查三角形的中位线，解题的关键是熟练运用三角形的中位线定理，本题属于基础题型．
例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
【答案】C
【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，HG，FG，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．
【详解】如图所示，因为E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，因为E、F分别是AB、BC的中点，
所以EF=AC，同理可得HG=AC，FG=BD，EH=BD，
又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD，因此有EF=FG=GH=HE，
所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形.
故选C.
【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题关键在于画出图形.
例4．（2019·上海上外附中）梯形两条对角线互相垂直，且长度分别为，，则梯形的中位线长为_________
【答案】
【分析】作交延长线于点，得到直角三角形，和平行四边形，运用平行四边形的性质和勾股定理求得的长度，依据梯形中位线等于上下底和的一半即可.
【详解】解：如图，梯形,,,,，
作交延长线于点,
∴四边形是平行四边形，,
∴,,,
∴,
∴梯形的中位线长为. 故答案为：.
【点睛】本题考查了梯形的中位线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是通过作平行线把上下底的和看成一个整体.
例5．（2019·上海上外附中）如图，四边形中，，分别为，中点，且，，则的长度的范围是___________
【答案】
【分析】连接BD，取BD的中点G，连接，得到是的中位线，是的中位线，依据三角形中位线的性质求出，，分，不平行时，两种情况讨论，依据三角形三边关系即可.
【详解】解：连接BD，取BD的中点G，连接，
又∵，分别为，中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
①当时，
；
②当不平行时，
∵，
∴；
综上所述：，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角形三边大小关系，构造三角形的中位线、分类讨论是解题的关键.
例6.（2017·上海闵行区·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．
【答案】AD=BC．
【解析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．
解：条件是AD=BC．
∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，
∴EH∥=BC，GF∥=BC，
∴EH∥=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，
∴GH=GF，
∴四边形EFGH是菱形．
例7.（2018·上海宝山区·八年级期末）如图，将▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为_____．
【答案】4
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF＝BC＝×8＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．
例8．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若DE的长是6，则AC=____．
【答案】12．
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴AC=2DE=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
例9．（2019·上海上外附中）如图，矩形中，，，点为对角线中点，点为边中点，则四边形的周长为________
【答案】18
【分析】根据题意可知OM是的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
【详解】解：∵矩形中，，，
，
为AC的中点，M为AD的中点，
为的中位线，，
，
，
四边形ABOM的周长，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大.
例10.（1）点、、分别是三边的中点，的周长为10，则的周长为；
（2）三条中位线的长为3、4、5，则的面积为．
【难度】★
【答案】（1）20；（2）24．
【解析】（1）．
∵三条中位线的长为3、4、5， 且，
∴可知△ABC是直角三角形，
∴．
【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用．
例11.如图，在中，点D是边BC的中点，点E在内，AE平分，点F在边AB上，EF//BC．
求证：四边形BDEF是平行四边形；
线段BF、AB、AC之间有怎么样的数量关系?并证明．
【难度】★★
【答案】（1）见解析；（2）2BF+AC=AB．
【解析】（1）延长CE交AB于点G
∵AE⊥CG，AE平分∠BAC
∴△AEG与△ACE中，∠GAE=∠CAE，AE=AE，∠AEG=∠AEC
∴△AGE≌△ACE∴AG=AC，即△AGC是等腰三角形，∴E是GC的中点．
∵D是CB的中点，∴DE//BA， ∵EF//BD， ∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）∵ED是△BCG的中位线， ∴ED=．
又∵平行四边形BDEF，∴ED=BF，∴BF=，即BG=2BF．
∵AG=AC， ∴2BF+AC=BG+AG=BA．
【总结】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，用中位线的性质解题．
例12.如图所示，在梯形ABCD中，，对角线交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，，求证：AC=MN．
【难度】★★
【解析】∵AD//BC， ∴∠ADO=∠DBC=30°．
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，
∴AC=OA+OC=．
∵MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN=， ∴AC=MN．
【总结】本题考查梯形中位线的性质和直角三角形中性质的综合运用．
例13.如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分，交BC于点E，交OB于点F，求证：CE=2OF．
【难度】★★
【解析】取AE的中点G，联结OG
∵正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∴OG//CE，CE=2OG
∴∠AOG=∠ACB=45°，∠GOB=∠OBC=45°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=22.5°，
∴∠EGO=∠EAC+∠AOG=22.5°+45°=67.5°，
∴△OFG中，∠OFG=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠OFG=∠EGO，
∴OG=OF， ∴CE=2OF．
【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用，注意利用角度得到等腰三角形．
例14.如图1所示，已知BD、CE分别是的外角平分线，过点A作，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证．
（1）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；
（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
【难度】★★★
【答案】（1） （2）．
【解析】（1）图2中，分别延长AG、AF交BC于H、K，
易证△BAF与△BKF全等．
∴AF=KF，AB=KB，同理可证AG=HG，AC=HC，∴FG=
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC，∴；
（2）图3中，分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
易证△BAF与△BKF全等
∴AF=KF，AB=KB，同理可证AG=HG，AC=HC
∴FG=
又∵HK=BH-BK=BC+AC-AB
∴．
【总结】本题考查直角三角形性质，等腰三角形性质，角平分线性质以及全等三角形的判定等知识点的综合运用．
例15.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，延长AD、BC，分别交FE的延长线于点H、G；求证：．
【难度】★★★
【解析】联结AC，取AC中点M，联结EM、FM
∵E是CD的中点，M是AC中点
∴EM=，EM//AD
∵M是AC的中点，F是AB的中点
∴MF//BC，MF=
∵AD=BC，∴EM=MF， ∴∠MEF=∠MFE
∵EM//AH，∴∠MEF=∠AHF，
∵FM//BG，∴∠MFE=∠BGF．
∴∠AHF=∠BGF
【总结】解题此题的关键是掌握分析题中的各种信息条件，此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．
随堂检测
1.有两个角相等的梯形是（）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．直角梯形或等腰梯形
【难度】★
【答案】D
【解析】如果两个相等的角是同一底上，则梯形是等腰梯形，
如果两个相等的角是同旁内角，则梯形是直角梯形．
【总结】本题考查等腰梯形判定方法和梯形性质．
2.下列命题中，真命题是（）
A．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形
B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形
C．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形
D．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形
【难度】★
【答案】B
【解析】等腰梯形两条对角线相等，可以用三角形中位线性质给予证明．
【总结】本题考查中位线性质和菱形判定方法．
3.已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是 ( )
A．78°或120° B．102°或60° C．120°或78° D．60°或120°
【难度】★
【答案】B
【解析】另外两个内角分别是180°-78°=102°，180°-120°=60°．
【总结】本题考查平行线的性质的运用．
4.下列命题，错误命题的个数是 ( )
①若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；
②等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点；
③一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形；
④有两个内角是直角的四边形是直角梯形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★★
【答案】B
【解析】③、④错误．
【总结】本题考查等腰梯形性质，根据四边形以及梯形的性质举例得出是本题解题关键．
5.如图，在中，、分别是、的中点，且，，．求的长．
【难度】★★
【答案】AC=10．
【解析】∵D、E分别是中点，∴DE是△ABC的中位线
∴DE//AB，=3，∠ADE=90°， ∴AE=5， ∴AC=10．
【总结】本题考查中位线性质的运用．
6.等腰梯形两底之差等于一腰长，求它的底角的度数．
【难度】★★
【答案】60°、60°或120°、120°．
【解析】设四边形ABCD是等腰梯形，其中AB//CD，AD=BC，DC-AB=AD，
过点A作AE//BC交CD于点E，可得平行四边形ABCE．
∴AB=CE，AE=BC， ∴AD=BC=AE=CD-AB=DE，
∴△ADE是等边三角形， ∴∠D=60°，
∴梯形的底角度数为60°、60°或120°、120°．
【总结】本题考查等腰梯形性质与等边三角形性质的综合运用．
7.如图，四边形中，不平行，现给出三个条件：①，②，③．请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）．
【难度】★★
【答案】①②或②③．
【解析】由①②或②③均可证明△ADB≌△BCA．
过点D作DE//BC交AB于点E
∴∠DAB=∠CBA=∠DEA，∴AD=DE=BC
又DE//BC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴CD//AB
∵AD不平行BC，∴四边形ABCD是梯形
∵AD=BC，∴梯形ABCD是等腰梯形
【总结】本题主要考查等腰梯形的判定方法，涉及等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰梯形的判定方法是解题关键．
8.如图，在四边形中，、、、分别是、、、上的中点，，．求四边形的周长．
【难度】★★
【答案】12
【解析】∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，
AB=5，CD=7， ∴EF//AB，GH//AB，EH//CD，FG//CD
∴EF=2.5，EH=3.5，∴四边形EFGH是平行四边形
∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=12．
【总结】本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质的综合运用．
本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．
模块一：梯形及等腰梯形
知识精讲
一、梯形及梯形的有关概念
（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．
腰：不平行的两边叫做腰．
高：梯形两底之间的距离叫做高．
（2）特殊梯形
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．
特殊梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?
交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．
【等腰梯形性质】
等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．
等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等．
另外：等腰梯形是轴对称图形；
【等腰梯形判定】
等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．
例题解析
例1．（2019·上海八年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为( )．
A．4B．6C．43D．33
例2．（2018·上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为 （ ）
A．8B．10C．4D．16
例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为( )
A．30°B．45°C．60°D．75°
例4．（2018·上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是 （ ）
A．等腰梯形的两底平行且相等
B．等腰梯形的两条对角线相等
C．等腰梯形在同一底上的两个角相等
D．等腰梯形是轴对称图形
例5．（2017·上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．等腰梯形或平行四边形
例6．（2019·上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（______）
例7．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在梯形ABCD中，，，，那么梯形ABCD的周长等于__________．
例8．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5，其中一条底边的长为6，那么该梯形的另一条底边的长是__________．
例9．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形中，∥ ，，⊥，则∠=________．
例10．（2019·上海上外附中八年级期中）在梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为__________．
例11．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
例12．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四边形EBCF的面积．
例13.如图，已知梯形ABCD中，BC是下底，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，若梯形周长是30cm，求此梯形的面积．
例14.如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=5，∠D=45°，CD的垂直平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，求BF的长．
例15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°，
求证：AB⊥AC；
若DC=6，求梯形ABCD的面积．
例16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．求证：AB=DC．
．
例17.如图，在等腰三角形ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，联结BE、CD相交于点O，∠1=∠2．
求证：梯形BDEC是等腰梯形．
例18.如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、
（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）设从出发起运动了x秒，当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形?
（2）四边形OPQC能否成为等腰梯形?说明理由．
例19.如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米．（1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；（2）若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米²，求S与x之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并求当S=时x的值．
例20.已知，一次函数的图像与x轴，y轴，分别交于A、B两点，梯形AOBC
（O是原点）的边AC=5，（1）求点C的坐标；（2）如果一个一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图像经过A、C两点，求这个一次函数的解析式．
例21.如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，线段AQ的长度为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．
（1）求y与x的函数关系式，并求出这个函数的定义域；
（2）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积?若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．
模块二：辅助线
知识精讲
解决梯形问题常用的方法
作高法：使两腰在两个直角三角形中；
②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；
③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；
④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；
⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直
的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高
等．
例题解析
例1.如图，已知在梯形中，，，，垂足为
，，则边的长等于（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
例2.已知梯形中，，，，，．求的长．
例3.如图，梯形中，，，，，、分
别为、的中点，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
例4.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O．求证：CO=CD．
例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=60°，
AC=10cm，求梯形的高DE的长．
例6.如图，在梯形ABCD中，，，若AE=10，则CE=__________．
模块三：中位线
知识精讲
三角形中位线的定义和性质：
1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；
2. 三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
3. 梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.
【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．
例题解析
例1（1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；
（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是；
（3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是；
（4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是；
（5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；
（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是；
（7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；
（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；
（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是．
例2．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（ ）
A．4B．3C．2D．5
例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
例4．（2019·上海上外附中）梯形两条对角线互相垂直，且长度分别为，，则梯形的中位线长为_________
例5．（2019·上海上外附中）如图，四边形中，，分别为，中点，且，，则的长度的范围是___________
例6.（2017·上海闵行区·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．
例7.（2018·上海宝山区·八年级期末）如图，将▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为_____．
例8．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若DE的长是6，则AC=____．
例9．（2019·上海上外附中）如图，矩形中，，，点为对角线中点，点为边中点，则四边形的周长为________
例10.（1）点、、分别是三边的中点，的周长为10，则的周长为；
（2）三条中位线的长为3、4、5，则的面积为．
例11.如图，在中，点D是边BC的中点，点E在内，AE平分，点F在边AB上，EF//BC．
求证：四边形BDEF是平行四边形；
线段BF、AB、AC之间有怎么样的数量关系?并证明．
例12.如图所示，在梯形ABCD中，，对角线交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，，求证：AC=MN．
例13.如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分，交BC于点E，交OB于点F，求证：CE=2OF．
例14.如图1所示，已知BD、CE分别是的外角平分线，过点A作，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证．
（1）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；
（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
例15.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，延长AD、BC，分别交FE的延长线于点H、G；求证：．
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1.有两个角相等的梯形是（）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．直角梯形或等腰梯形
2.下列命题中，真命题是（）
A．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形
B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形
C．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形
D．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形
3.已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是 ( )
A．78°或120° B．102°或60° C．120°或78° D．60°或120°
4.下列命题，错误命题的个数是 ( )
①若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；
②等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点；
③一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形；
④有两个内角是直角的四边形是直角梯形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图，在中，、分别是、的中点，且，，．求的长．
6.等腰梯形两底之差等于一腰长，求它的底角的度数．
7.如图，四边形中，不平行，现给出三个条件：①，②，③．请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）．
8.如图，在四边形中，、、、分别是、、、上的中点，，．求四边形的周长．
梯形及中位线
本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．
模块一：梯形及等腰梯形
知识精讲
一、梯形及梯形的有关概念
（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．
腰：不平行的两边叫做腰．
高：梯形两底之间的距离叫做高．
（2）特殊梯形
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．
特殊梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?
交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．
【等腰梯形性质】
等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．
等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等．
另外：等腰梯形是轴对称图形；
【等腰梯形判定】
等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．
例题解析
例1．（2019·上海八年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为( )．
A．4B．6C．43D．33
【答案】B
【分析】过点A作AE∥DC，可判断出△ABE是直角三角形，四边形ADCE是菱形，从而求出CE、BE即可得出BC的长度．
【详解】过点A作AE∥DC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵AC平分∠BCD，
∴∠DAC=∠ACE=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形，
∴CE=AD=AE=2，
∵AE∥CD，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
又∵∠B=30°，
∴∠BAE=90°，
∴BE=2AE=4，
∴BC=BE+CE=6.
故答案为：6.
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形.
例2．（2018·上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为 （ ）
A．8B．10C．4D．16
【答案】C
【分析】分析题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，进而求出CD的长度；运用勾股定理得出AE和BF的长度，易证四边形CDEF是平行四边形，得出EF的长度，进而得出AB+CD的长度，由梯形中位线的性质，即可解答本题.
【详解】根据题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°.
因为DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，
所以DE=AD=4，
所以CD=4，AE= =4，同理BF=4.
因为DE⊥AB，CF⊥AB，
所以DE∥CF.
因为CD∥EF，
所以四边形CDEF是平行四边形，
所以EF=CD=4.
因为CD=4cm，AB=AE+EF+FB=4+4+4=8+4，
所以AB+CD=8+4+4=8+8，
所以梯形的中位线长为 (AB+CD)=4+4.
故选C.
【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等知识进行求解.
例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为( )
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】作梯形的两条高线，证明△ABE≌△DCF，则有BE=FC，然后判断△ABE为等腰直角三角形求解．
【详解】如图,作AE⊥BC、DF⊥BC,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC，BC−AD=12，AE=6，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AEFD为矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=FC，
∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，
∴BE=6，
∵AE=6，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°.
故选B.
【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.
例4．（2018·上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是 （ ）
A．等腰梯形的两底平行且相等
B．等腰梯形的两条对角线相等
C．等腰梯形在同一底上的两个角相等
D．等腰梯形是轴对称图形
【答案】A
【分析】本题考查对等腰梯形性质的理解.等腰梯形的性质如下:等腰梯形两腰相等;等腰梯形两底平行;等腰梯形的两条对角线相等;等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形.
【详解】由等腰梯形的性质可知,等腰梯形的对角线相等,其在同一底上的两个角相等,可知B、C不符合题意;
同时等腰梯形关于两底中点的连线成轴对称,即可得到D不符合题意,
而等腰梯形两底平行但不相等,因此A符合题意.
故选A.
【点睛】此题考查等腰梯形性质，解题关键在于对性质的掌握.
例5．（2017·上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．等腰梯形或平行四边形
【答案】D
【解析】根据特殊四边形的性质，分析所给条件，选择正确答案．
解：A、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故A不正确；
B、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故B不正确；
C、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故C不正确；
D、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故D正确．
故选D．
“点睛”本题考查了平行四边形和等腰梯形的性质. 考虑问题时应该全面考虑，不能漏掉任何一种情况，要求培养严谨的态度.
例6．（2019·上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（______）
【答案】错误
【分析】根据题设画出反例图形即可.
【详解】解：反例：如图，已知梯形，，，而梯形不是等腰梯形.
故该命题是假命题，
故答案为：错误.
【点睛】本题考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性质，举出反例是解题的关键.
例7．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在梯形ABCD中，，，，那么梯形ABCD的周长等于__________．
【答案】20
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质列式求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，，
梯形的周长，
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含 的直角三角形的性质是解题的关键．
例8．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5，其中一条底边的长为6，那么该梯形的另一条底边的长是__________．
【答案】
【分析】根据梯形中位线定理解答即可．
【详解】解：设该梯形的另一条底边的长是xcm，根据题意得：，解得：x=4，
即该梯形的另一条底边的长是4cm．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键．
例9．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形中，∥ ，，⊥，则∠=________．
【答案】60°
【分析】利用平行线及∥，证明，再证明，再利用直角三角形两锐角互余可得答案．
【详解】解：因为：∥，所以：
因为：，所以： ，
所以；，
因为：等腰梯形，
所以：，
设： ，所以，
因为：⊥，
所以：，解得：
所以：．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握相关性质是解题关键．
例10．（2019·上海上外附中八年级期中）在梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为__________．
【答案】24
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式即可求得答案．
【详解】解：如图所示，梯形对角线垂直，则．
故答案是：
【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积公式；对角线垂直时，四边形可看成四个直角三角形的面积之和，可得对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半．
例11．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
【答案】（1）8（2）32
【分析】（1）过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得AD＝EC，AE＝DC，证出△ABE是等边三角形，得BE＝AB＝8，则AD＝EC＝4，即可得出答案；
（2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面积公式即可得出答案.
【详解】解：（1）过A作AE∥CD交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC，AE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝8，
∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，
∴梯形ABCD的中位线长＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；
（2）作AF⊥BC于F，
则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，
∴梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32.
【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，梯形中位线的性质，直角三角形30度角的性质.
例12．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四边形EBCF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG，根据平行四边形的性质得到FG=EC=BF，根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】（1）∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF//BC，BE=AB=AC=CF，
∴四边形EBCF是等腰梯形；
（2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG，
∵EF//BC，即EF//CG，且CG=EF，
∴四边形EFGC是平行四边形，
又∵四边形EBCF是等腰梯形，
∴FG=EC=BF，
∵EF=CG，FC=BE，
∴△EFB≌△CGF（SSS），
∴，
∵GC=EF=1，且EF=BC，
∴BC=2，
∴BG=BC+CG=1+2=3．
∵FG//EC，
∴∠GFB=∠BOC=90°，
∴FH=BG=，
∴．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
例13.如图，已知梯形ABCD中，BC是下底，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，若梯形周长是30cm，求此梯形的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°．
∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴AB=AD
∵BD⊥CD，∴∠DCB=60°，∴∠ABC=∠DCB， ∴AB=CD．
设AB = CD = AD = x，
Rt△BCD中，∵∠DBC=30°，∴BC = 2CD = 2x，
∴30 = x+x+x+2x，解得：x=6．
作AE⊥BC，Rt△ABE中，
∵∠BAE=30°， ∴BE=3，AE=．
∴S=（AD+BC）AE=．
【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用．
例14.如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=5，∠D=45°，CD的垂直平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，求BF的长．
【难度】★★
【答案】5
【解析】联结CE
∵EG垂直平分CD，
∴EC=ED，∠ECD=∠D=45°，∴∠CED=90°，
∵∠A=90°，AD∥BC， ∴四边形BAEC是矩形，
∴BC = AE．
设BC=x=AE，∴ED=EC=AB=5-x
∵∠FEA=∠GED=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE=x
∴BF=BA+AF=5-x+x=5．
【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段BF的长．
例15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°，
求证：AB⊥AC；
若DC=6，求梯形ABCD的面积．
【难度】★★
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵AB=CD，∴∠B=∠DCB=60°，∠BAD=∠D=120°
∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=120°- 30°=90°
∴BA⊥AC；
（2）∵AB=AD=DC，DC=6， ∴CD=AD=AB=6
在直角三角形ABC中，∵∠ACB=30°， ∴BC=2AB=12
作AE⊥BC，则AE=，
∴S梯ABCD=．
【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用．
例16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．求证：AB=DC．
【难度】★★
【解析】∵AC平分∠BCD
∴∠BCA=∠ACD=∠DCB
∵DE//AC，∴∠E=∠ACB=∠DCB
∵∠B=2∠E，∴∠B=∠DCB
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB=CD
【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用．
例17.如图，在等腰三角形ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，联结BE、CD相交于点O，∠1=∠2．
求证：梯形BDEC是等腰梯形．
【难度】★★
【解析】∵， ∴∠DBC=∠ECB
在△BCD与△ECB中，∠1=∠2，BC=BC
∴△BCD≌△ECB，∴BD=CE
∵AB=AC， ∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED==∠ABC=∠ACB
∴DE//BC， 又∵BD与CE不平行
∴四边形BDEC是梯形，且BD=CE，∴梯形BDEC是等腰梯形
【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结．
例18.如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、
（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）设从出发起运动了x秒，当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形?
（2）四边形OPQC能否成为等腰梯形?说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）x=5； （2）不能．
【解析】（1）由题可知：OC=5，BC=10，OA=14．
∵BC//OA
∴当Q点在BC上，且OP=CQ时，四边形OPQC是平行四边形
即2x-5= x，解得：x = 5；
（2）作点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥OP与点F
∵AO//BC，∴CE=QF
当OE=PF=4时，△OCE≌△PQF，此时四边形OPQC为等腰梯形，
即OP=OE+CQ+PF，∴x=4+（2x-5）+4，解得：x=-3（舍），
∴四边形OPQC不能成为等腰梯形．
【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用．
例19.如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米．（1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；（2）若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米²，求S与x之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并求当S=时x的值．
【难度】★★★
【答案】（1）BC=40-2x；（2）（），x=4．
【解析】（1）等腰梯形ABCD中，AB=CD=x，∴BC=40-x-x=40-2x；
（2）作BE⊥AD，CF⊥AD
在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°， ∴AE=．
同理FD=AE=， ∴BE=CF=．
∴EF=BC=40-2x， ∴AD=40-x
∴=（），
当时，代入解析式，解得：x=4或（舍）
∴当S=时x的值为4．
【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义．
例20.已知，一次函数的图像与x轴，y轴，分别交于A、B两点，梯形AOBC
（O是原点）的边AC=5，（1）求点C的坐标；（2）如果一个一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图像经过A、C两点，求这个一次函数的解析式．
【难度】★★★
【答案】（1）C（13，4）或（19，4）或（16，5）； （2）或．
【解析】由题可知：A（16，0），B（0，4）．
当OB∥AC时，点C坐标为（16，5），
当BC∥AO时，点C坐标为（13，4）或（19，4）；
（2）∵一次函数的图像经过A、C两点，∴C点坐标不能为（16，5），
当A（16，0），C（13，4）时，利用待定系数法可得解析式为：；
当A（16，0），C（19，4）时，利用待定系数法可得解析式为：．
【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强．
例21.如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，线段AQ的长度为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．
（1）求y与x的函数关系式，并求出这个函数的定义域；
（2）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积?若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）；
（2）x=3时，PQ平分梯形面积．
【解析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，则CD=AE=3，CE=4，
可得：BC=5，所以梯形ABCD的周长是18．
∵PQ平分梯形ABCD的周长，
∴x+y=9， ∵， ∴，
∴；
（2）由题可知，梯形ABCD的面积是18．
因为P不在BC上，所以．
当3≤x＜4时，P在AD上，此时，
∵线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有
可得方程组，解得：或（舍）；
当4≤x≤7时，点P在CD上，此时
∵线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有
可得方程组，方程组无解，
∴当x=3时，线段PQ能平分梯形ABCD的面积．
【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算．
模块二：辅助线
知识精讲
解决梯形问题常用的方法
作高法：使两腰在两个直角三角形中；
②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；
③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；
④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；
⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直
的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高
等．
例题解析
例1.如图，已知在梯形中，，，，垂足为
，，则边的长等于（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【难度】★★
【答案】D
【解析】∵，，， ∴BE = 5．
∵梯形中，，，，
∴， 故选D．
【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用．
例2.已知梯形中，，，，，．求的长．
【难度】★★
【答案】CD = 8．
【解析】作DE//AB，则四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE=2，∠DEC=∠B=70°．
在△DEC中，∠C=40°，∴∠EDC=180°-40°-70°=70°，∴CD=CE=BC-BE=10-2=8．
【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形．
例3.如图，梯形中，，，，，、分
别为、的中点，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】分别过点F做FG//AD，FH//BC，分别交BA于点G，H
可得平行四边形DFGA与平行四边形FCBH
∴AG=FD=CF=BH=，∴GH=b-a
∵∠A+∠B=90°， ∴可得直角△FGH，E是GH中点
∴EF=， 故选C．
【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加．
例4.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O．求证：CO=CD．
【难度】★★
【解析】作AF⊥BC，DE⊥BC，∵AD//BC，∴AF=DE．
在Rt△ABC中，AB=AC， ∴AF=．∵BC=BD， ∴DE=．
∴在Rt△BDE中，∠DBC=30°，∴∠BCD=∠BDC=75°
∴∠DOC=∠DBC+∠ACB=75°，∴∠CDO=∠COD=75°， ∴CD=CO．
【总结】本题考查梯形的常用辅助线—做梯形的高，把梯形问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形性质解题．
例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=60°，
AC=10cm，求梯形的高DE的长．
【难度】★★
【答案】cm．
【解析】等腰梯形ABCD中，
∵OB=OC，∠BOC=60°，可得等边△OCB，
∴∠DBC=∠ACB=60°
∵AC=BD=10，∴在直角△BDE中，BE=，
∴cm．
【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用．
例6.如图，在梯形ABCD中，，，若AE=10，则CE=__________．
【难度】★★★
【答案】4或6．
【解析】过点B作DA的垂线交DA延长线于M，M为垂足,
延长DM到G，使得MG=CE，联结BG，
可得四边形BCDM是正方形．
∴BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM， ∴△BEC≌△BMG， ∴∠MBG=∠CBE
∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，
∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10
设CE=x，则AM=10x，∴AD=12（10x）=2+x，DE=12x．
在Rt△ADE中，由AE2=AD2+DE2，解得：x=4或x=6．
故CE的长为4或6．
【总结】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，注意辅助线的添加方法，将问题转化为解直角三角形的问题．
模块三：中位线
知识精讲
三角形中位线的定义和性质：
1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；
2. 三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
3. 梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.
【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．
例题解析
例1（1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；
（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是；
（3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是；
（4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是；
（5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；
（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是；
（7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；
（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；
（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是．
【难度】★
【答案】（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形；
（6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形．
【解析】利用三角形中位线性质可证明．
【总结】本题考查中位线性质和四边形判定方法，注意对相关规律的总结．
例2．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（ ）
A．4B．3C．2D．5
【答案】B
【分析】根据三角形的中位线的定理即可求出答案．
【详解】∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，∴DE=3，故选B．
【点睛】此题考查三角形的中位线，解题的关键是熟练运用三角形的中位线定理，本题属于基础题型．
例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
【答案】C
【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，HG，FG，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．
【详解】如图所示，因为E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，因为E、F分别是AB、BC的中点，
所以EF=AC，同理可得HG=AC，FG=BD，EH=BD，
又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD，因此有EF=FG=GH=HE，
所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形.
故选C.
【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题关键在于画出图形.
例4．（2019·上海上外附中）梯形两条对角线互相垂直，且长度分别为，，则梯形的中位线长为_________
【答案】
【分析】作交延长线于点，得到直角三角形，和平行四边形，运用平行四边形的性质和勾股定理求得的长度，依据梯形中位线等于上下底和的一半即可.
【详解】解：如图，梯形,,,,，
作交延长线于点,
∴四边形是平行四边形，,
∴,,,
∴,
∴梯形的中位线长为. 故答案为：.
【点睛】本题考查了梯形的中位线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是通过作平行线把上下底的和看成一个整体.
例5．（2019·上海上外附中）如图，四边形中，，分别为，中点，且，，则的长度的范围是___________
【答案】
【分析】连接BD，取BD的中点G，连接，得到是的中位线，是的中位线，依据三角形中位线的性质求出，，分，不平行时，两种情况讨论，依据三角形三边关系即可.
【详解】解：连接BD，取BD的中点G，连接，
又∵，分别为，中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
①当时，
；
②当不平行时，
∵，
∴；
综上所述：，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角形三边大小关系，构造三角形的中位线、分类讨论是解题的关键.
例6.（2017·上海闵行区·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．
【答案】AD=BC．
【解析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．
解：条件是AD=BC．
∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，
∴EH∥=BC，GF∥=BC，
∴EH∥=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，
∴GH=GF，
∴四边形EFGH是菱形．
例7.（2018·上海宝山区·八年级期末）如图，将▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为_____．
【答案】4
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF＝BC＝×8＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．
例8．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若DE的长是6，则AC=____．
【答案】12．
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴AC=2DE=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
例9．（2019·上海上外附中）如图，矩形中，，，点为对角线中点，点为边中点，则四边形的周长为________
【答案】18
【分析】根据题意可知OM是的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
【详解】解：∵矩形中，，，
，
为AC的中点，M为AD的中点，
为的中位线，，
，
，
四边形ABOM的周长，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大.
例10.（1）点、、分别是三边的中点，的周长为10，则的周长为；
（2）三条中位线的长为3、4、5，则的面积为．
【难度】★
【答案】（1）20；（2）24．
【解析】（1）．
∵三条中位线的长为3、4、5， 且，
∴可知△ABC是直角三角形，
∴．
【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用．
例11.如图，在中，点D是边BC的中点，点E在内，AE平分，点F在边AB上，EF//BC．
求证：四边形BDEF是平行四边形；
线段BF、AB、AC之间有怎么样的数量关系?并证明．
【难度】★★
【答案】（1）见解析；（2）2BF+AC=AB．
【解析】（1）延长CE交AB于点G
∵AE⊥CG，AE平分∠BAC
∴△AEG与△ACE中，∠GAE=∠CAE，AE=AE，∠AEG=∠AEC
∴△AGE≌△ACE∴AG=AC，即△AGC是等腰三角形，∴E是GC的中点．
∵D是CB的中点，∴DE//BA， ∵EF//BD， ∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）∵ED是△BCG的中位线， ∴ED=．
又∵平行四边形BDEF，∴ED=BF，∴BF=，即BG=2BF．
∵AG=AC， ∴2BF+AC=BG+AG=BA．
【总结】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，用中位线的性质解题．
例12.如图所示，在梯形ABCD中，，对角线交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，，求证：AC=MN．
【难度】★★
【解析】∵AD//BC， ∴∠ADO=∠DBC=30°．
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，
∴AC=OA+OC=．
∵MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN=， ∴AC=MN．
【总结】本题考查梯形中位线的性质和直角三角形中性质的综合运用．
例13.如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分，交BC于点E，交OB于点F，求证：CE=2OF．
【难度】★★
【解析】取AE的中点G，联结OG
∵正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∴OG//CE，CE=2OG
∴∠AOG=∠ACB=45°，∠GOB=∠OBC=45°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=22.5°，
∴∠EGO=∠EAC+∠AOG=22.5°+45°=67.5°，
∴△OFG中，∠OFG=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠OFG=∠EGO，
∴OG=OF， ∴CE=2OF．
【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用，注意利用角度得到等腰三角形．
例14.如图1所示，已知BD、CE分别是的外角平分线，过点A作，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证．
（1）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；
（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
【难度】★★★
【答案】（1） （2）．
【解析】（1）图2中，分别延长AG、AF交BC于H、K，
易证△BAF与△BKF全等．
∴AF=KF，AB=KB，同理可证AG=HG，AC=HC，∴FG=
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC，∴；
（2）图3中，分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
易证△BAF与△BKF全等
∴AF=KF，AB=KB，同理可证AG=HG，AC=HC
∴FG=
又∵HK=BH-BK=BC+AC-AB
∴．
【总结】本题考查直角三角形性质，等腰三角形性质，角平分线性质以及全等三角形的判定等知识点的综合运用．
例15.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，延长AD、BC，分别交FE的延长线于点H、G；求证：．
【难度】★★★
【解析】联结AC，取AC中点M，联结EM、FM
∵E是CD的中点，M是AC中点
∴EM=，EM//AD
∵M是AC的中点，F是AB的中点
∴MF//BC，MF=
∵AD=BC，∴EM=MF， ∴∠MEF=∠MFE
∵EM//AH，∴∠MEF=∠AHF，
∵FM//BG，∴∠MFE=∠BGF．
∴∠AHF=∠BGF
【总结】解题此题的关键是掌握分析题中的各种信息条件，此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．
随堂检测
1.有两个角相等的梯形是（）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．直角梯形或等腰梯形
【难度】★
【答案】D
【解析】如果两个相等的角是同一底上，则梯形是等腰梯形，
如果两个相等的角是同旁内角，则梯形是直角梯形．
【总结】本题考查等腰梯形判定方法和梯形性质．
2.下列命题中，真命题是（）
A．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形
B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形
C．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形
D．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形
【难度】★
【答案】B
【解析】等腰梯形两条对角线相等，可以用三角形中位线性质给予证明．
【总结】本题考查中位线性质和菱形判定方法．
3.已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是 ( )
A．78°或120° B．102°或60° C．120°或78° D．60°或120°
【难度】★
【答案】B
【解析】另外两个内角分别是180°-78°=102°，180°-120°=60°．
【总结】本题考查平行线的性质的运用．
4.下列命题，错误命题的个数是 ( )
①若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；
②等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点；
③一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形；
④有两个内角是直角的四边形是直角梯形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★★
【答案】B
【解析】③、④错误．
【总结】本题考查等腰梯形性质，根据四边形以及梯形的性质举例得出是本题解题关键．
5.如图，在中，、分别是、的中点，且，，．求的长．
【难度】★★
【答案】AC=10．
【解析】∵D、E分别是中点，∴DE是△ABC的中位线
∴DE//AB，=3，∠ADE=90°， ∴AE=5， ∴AC=10．
【总结】本题考查中位线性质的运用．
6.等腰梯形两底之差等于一腰长，求它的底角的度数．
【难度】★★
【答案】60°、60°或120°、120°．
【解析】设四边形ABCD是等腰梯形，其中AB//CD，AD=BC，DC-AB=AD，
过点A作AE//BC交CD于点E，可得平行四边形ABCE．
∴AB=CE，AE=BC， ∴AD=BC=AE=CD-AB=DE，
∴△ADE是等边三角形， ∴∠D=60°，
∴梯形的底角度数为60°、60°或120°、120°．
【总结】本题考查等腰梯形性质与等边三角形性质的综合运用．
7.如图，四边形中，不平行，现给出三个条件：①，②，③．请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）．
【难度】★★
【答案】①②或②③．
【解析】由①②或②③均可证明△ADB≌△BCA．
过点D作DE//BC交AB于点E
∴∠DAB=∠CBA=∠DEA，∴AD=DE=BC
又DE//BC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴CD//AB
∵AD不平行BC，∴四边形ABCD是梯形
∵AD=BC，∴梯形ABCD是等腰梯形
【总结】本题主要考查等腰梯形的判定方法，涉及等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰梯形的判定方法是解题关键．
8.如图，在四边形中，、、、分别是、、、上的中点，，．求四边形的周长．
【难度】★★
【答案】12
【解析】∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，
AB=5，CD=7， ∴EF//AB，GH//AB，EH//CD，FG//CD
∴EF=2.5，EH=3.5，∴四边形EFGH是平行四边形
∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=12．
【总结】本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质的综合运用．
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