还剩25页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题17方差、极差、标准差综合题(原卷版+解析)
展开
这是一份八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题17方差、极差、标准差综合题(原卷版+解析)，共28页。
专题17 方差、极差、标准差（综合题）易错点拨知识点：极差、方差和标准差1.极差一组数据中 ，称为极差，极差＝ 细节剖析：极差是 ，它受 的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越 2.方差方差是 .方差的计算公式是：，其中，是，，…的 细节剖析：（1）方差反映的是一组数据 的情况.方差越大，数据的 越大；方差越小，数据的波动 .（2）一组数据的每一个数都 同一个常数，所得的一组新数据的方差 （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.3.标准差方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： ；标准差的数量单位与原数据一致.4.极差、方差和标准差的联系与区别联系：极差与方差、标准差都是表示 ．区别：极差表示 ，它受 的影响较大；方差反映了 ．方差越大，稳定性也 ；反之，则稳定性 ．所以一般情况下只求 用极差，在考虑到 时用方差.易错题专训一．选择题1．（2023秋•汝州市期末）描述一组数据的离散程度，我们还可以用“平均差”．在一组数x1、x2、x3、…、xn中，各数据与它们的平均数x的差的绝对值的平均数，即T＝（|x1﹣x|+|x2﹣x|+…+|xn﹣x|）叫做这组数据的“平均差”．“平均差”也能描述一组数据的离散程度，“平均差”越大说明数据的离散程度越大，稳定性越小．现有甲、乙两组数据，如表所示，则下列说法错误的是（ ）A．甲、乙两组数据的平均数相同 B．乙组数据的平均差为4 C．甲组数据的平均差是2 D．甲组数据更加稳定2．（2023秋•青羊区期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．（2022春•定海区期末）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（ ）A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，34．（2023秋•历下区期中）在2020东京奥运会女子10米气步枪的项目中，杨倩以251.8环的好成绩一举夺冠，为中国体育代表团斩获奥运首金．现将决赛淘汰阶段中国选手杨倩每一轮（两轮之和）的数据进行汇总，并进行一定的数据处理作出以下表格．根据表格信息可以得到杨倩在决赛淘汰阶段成绩的极差和中位数分别为多少（ ）A．1.1，20.6 B．1.2，20.6 C．1.2，21.0 D．1.1，21.35．（2020秋•泰山区期末）甲，乙两个班参加了学校组织的“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（ ）A．甲、乙两班的平均水平相同 B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定 D．甲班成绩优异的人数比乙班多6．（2023•天心区模拟）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示．今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二．填空7．（2023秋•开江县期末）某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是92分，则该班50人的数学测试成绩的方差 （填“变小”、“不变”、“变大”）．8．（2023秋•福田区期末）新兴农场果农随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 ．9．（2023秋•巨野县期末）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝，由公式提供的信息，①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是3.5，则说法错误的是 （填序号）10．（2022春•黄陵县期末）甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为S甲2 S乙2（填＞或＜）11．（2023秋•莱州市期中）跳远运动员李强在一次训练中，先跳了6次的成绩如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9（单位：m）．这六次成绩的平均数为7.8，方差为．如果李强再跳两次，成绩分别为7.6，8.0，则李强这8次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差 ．（填“变大”、“不变”或“变小”）12．（2023秋•海曙区校级期末）已知一组数据的方差s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为 ．三．解答题13．（2023秋•中牟县期末）为增强防疫意识，某初中在元旦举行了疫情防控知识竞赛活动，现从本校甲、乙两班中各随机抽取10名同学的测试成绩进行整理、描述和分析，如图所示：请将乙班学生成绩按从小到大的顺序写在横线上 ．（1）两组数据的平均数、中位数、众数、方差如上表所示，请补充完整．（2）根据上述数据，请从两个不同角度评价甲班与乙班掌握防疫知识的情况．14．（2023秋•平顶山期末）某校为了改善学生伙食，准备午餐为学生提供鸡腿．现有A、B两家副食品厂可以提供规格为75g的鸡腿，而且它们的价格相同，品质也相近．质检人员分别从两家随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：g）如下：A加工厂74 74 74 75 73 77 78 72 76 77B加工厂78 74 77 73 75 75 74 74 75 75并对以上数据进行整理如下：根据以上分析，回答下列问题：（1）统计表中a＝ ；b＝ ；c＝ ；（2）根据以上信息估计B加工厂加工的100个鸡腿中，质量为75g的鸡腿有多少个？（3）如果考虑鸡腿的规格，学校应该选购哪家加工厂的鸡腿？说明理由．15．（2023秋•渭城区期末）某学校从九年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．甲组成绩统计表请根据上面的信息，解答下列问题：（1）m＝ ，甲组成绩的众数是 ，乙组成绩的中位数是 ；（2）已知甲组成绩的方差s＝0.81，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？16．（2023秋•乾县期末）某中学开展“唱歌”比赛活动，八（1），八（2）班各选出5名选手参加复赛，5名选手的复赛成绩（满分为100分），如图所示：（1）根据图示填写下表：（2）通过计算得知八（2）的平均成绩为85分，请计算八（1）的平均成绩．（3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好．（4）经计算八（1）班复赛成绩的方差为70，请计算八（2）班复赛成绩的方差，并说明哪个班学生的成绩比较稳定．17．（2023秋•新民市期末）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．18．（2022春•宁武县期末）市体校射击队要从甲、乙两名射击队员中挑选一人参加省级比赛，因此，让他们在相同条件下各射击10次，成绩如图所示．为分析成绩，教练根据统计图算出了甲队员成绩的平均数为8.5环、方差为1.05，请观察统计图，解答下列问题：（1）先写出乙队员10次射击的成绩，再求10次射击成绩的平均数和方差；（2）根据两人成绩分析的结果，若要选出总成绩高且发挥稳定的队员参加省级比赛，你认为选出的应是 ，理由是： ．19．（2023秋•驻马店期末）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多少排列名次，在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个），经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题：（1）根据上表提供的数据填写下表：（2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述理由．20．（2023•锡林浩特市校级模拟）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示计算出a、b、c的值；（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 甲121311151314乙10161018177甲乙丙丁平均数9.79.69.69.7方差0.250.250.270.28姓名第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮第6轮第7轮总计杨倩20.921.721.020.621.121.320.5147.1参加人数平均数中位数方差甲4093925.2乙4093944.7甲乙丙丁24242320S21.92.121.9甲乙丙444442S21.71.51.7班级平均数/分中位数/分众数/分方差乙班83.782 46.21甲班83.7 8613.21平均数中位数众数方差A加工厂a74.5c3.4B加工厂75b752成绩78910人数1955班级中位数/分众数/分八（1）班85 八（2）班 100平均数/分中位数/分众数/分A校 85 B校85 1001号2号3号4号5号总分甲班1009811089103500乙班861009811997500班 级参加人数优秀率中位数方 差甲5 乙5 平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部a85bs初中2高中部85c100160 专题17 方差、极差、标准差（综合题）易错点拨知识点：极差、方差和标准差1.极差一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据.细节剖析：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.2.方差方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是：，其中，是，，…的平均数. 细节剖析：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.3.标准差方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： ；标准差的数量单位与原数据一致.4.极差、方差和标准差的联系与区别联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.易错题专训一．选择题1．（2023秋•汝州市期末）描述一组数据的离散程度，我们还可以用“平均差”．在一组数x1、x2、x3、…、xn中，各数据与它们的平均数x的差的绝对值的平均数，即T＝（|x1﹣x|+|x2﹣x|+…+|xn﹣x|）叫做这组数据的“平均差”．“平均差”也能描述一组数据的离散程度，“平均差”越大说明数据的离散程度越大，稳定性越小．现有甲、乙两组数据，如表所示，则下列说法错误的是（ ）A．甲、乙两组数据的平均数相同 B．乙组数据的平均差为4 C．甲组数据的平均差是2 D．甲组数据更加稳定【易错思路引导】根据平均差的定义列出算式，求出平均差，再比较即可．【规范解答】解：∵甲组数据的平均数是（12+13+11+15+13+14）÷6＝13，乙组数据的平均数是（10+16+10+18+17+7）÷5＝13，∴T甲＝×（1+0+2+2+0+1）＝1；T乙＝×（3+3+3+5+4+6）＝4，乙的平均差较大，因此样本乙的稳定性小，甲的稳定性大；∵S2甲＝×[（12﹣13）2+（13﹣13）2+（11﹣13）2+（15﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2]＝，S2乙＝×[（10﹣13）2+（16﹣13）2+（10﹣13）2+（18﹣13）2+（17﹣13）2+（7﹣13）2]＝，∴乙的方差较大，∴样本乙的波动较大．甲组数据更加稳定．故选：C．【考察注意点】本题考查方差和平均差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．2．（2023秋•青羊区期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【易错思路引导】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【规范解答】解：∵甲的平均分最高，方差最小，最稳定，∴应选甲．故选：A．【考察注意点】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．3．（2022春•定海区期末）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（ ）A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3【易错思路引导】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．【规范解答】解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；故选：B．【考察注意点】本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b，方差为a2S2．4．（2023秋•历下区期中）在2020东京奥运会女子10米气步枪的项目中，杨倩以251.8环的好成绩一举夺冠，为中国体育代表团斩获奥运首金．现将决赛淘汰阶段中国选手杨倩每一轮（两轮之和）的数据进行汇总，并进行一定的数据处理作出以下表格．根据表格信息可以得到杨倩在决赛淘汰阶段成绩的极差和中位数分别为多少（ ）A．1.1，20.6 B．1.2，20.6 C．1.2，21.0 D．1.1，21.3【易错思路引导】根据极差的定义，中位数的定义判断即可．【规范解答】解：成绩从小到大依次为：20.5，20.6，20.9，21.0，21.1，21.3，21.7，∴极差＝21.7﹣20.5＝1.2，中位数为：21.0，故选：C．【考察注意点】本题考查极差，中位数的定义，解题的关键是理解极差，中位数的定义，属于中考常考题型．5．（2020秋•泰山区期末）甲，乙两个班参加了学校组织的“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（ ）A．甲、乙两班的平均水平相同 B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定 D．甲班成绩优异的人数比乙班多【易错思路引导】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【规范解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同，此选项正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数无法判断，此选项不正确；C、甲班的方差大于乙班，乙班的成绩比甲班的成绩稳定，此选项不正确；D、乙班成绩的中位数大于甲班，所以乙班成绩优异的人数比甲班多，此选项不正确；故选：A．【考察注意点】本题考查了平均数，众数，中位数，方差，正确理解题意是解题的关键．6．（2023•天心区模拟）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示．今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【易错思路引导】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到甲组的状态稳定，据此求解即可．【规范解答】解：∵甲的平均数最大，方差最小，最稳定．∴应选的品种是甲．故选：A．【考察注意点】本题主要考查方差，关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．二．填空题7．（2023秋•开江县期末）某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是92分，则该班50人的数学测试成绩的方差 变小 （填“变小”、“不变”、“变大”）．【易错思路引导】根据平均数，方差的定义计算即可．【规范解答】解：∵小颖的成绩和其他49人的平均数相同，都是92分，∴该班50人的测试成绩的平均分为92分，方差变小，故答案为：变小．【考察注意点】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（2023秋•福田区期末）新兴农场果农随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 乙 ．【易错思路引导】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到乙比较稳定．【规范解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又乙的方差比甲小，所以乙的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是乙；故答案为：乙．【考察注意点】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．9．（2023秋•巨野县期末）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝，由公式提供的信息，①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是3.5，则说法错误的是 ④ （填序号）【易错思路引导】先根据小华所列方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再分别根据样本容量的概念、中位数、众数及平均数的定义逐一判断即可．【规范解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，样本容量为4，故①说法正确；样本的中位数是＝3，故②说法正确；样本的众数为3，故③说法正确；样本的平均数为＝3，故④说法错误；故答案为：④．【考察注意点】本题主要考查方差，解题的关键是掌握样本容量的概念、方差、中位数、众数及平均数的定义．10．（2022春•黄陵县期末）甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为S甲2 ＞ S乙2（填＞或＜）【易错思路引导】根据气温统计图可知：乙的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小．【规范解答】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；则乙地的日平均气温的方差小，故S2甲＞S2乙．故答案为：＞．【考察注意点】本题考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．11．（2023秋•莱州市期中）跳远运动员李强在一次训练中，先跳了6次的成绩如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9（单位：m）．这六次成绩的平均数为7.8，方差为．如果李强再跳两次，成绩分别为7.6，8.0，则李强这8次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差 变大 ．（填“变大”、“不变”或“变小”）【易错思路引导】先由平均数的公式计算出李强第二次的平均数，再根据方差的公式进行计算，然后比较即可得出答案．【规范解答】解：∵李强再跳两次，成绩分别为7.6，8.0，∴这组数据的平均数是＝7.8（m），∴这8次跳远成绩的方差是：S2＝[2×（7.6﹣7.8）2+2×（7.8﹣7.8）2+（7.7﹣7.8）2+2×（8.0﹣7.8）2+（7.9﹣7.8）2]＝0.0225，∵0.0225＞，∴方差变大；故答案为：变大．【考察注意点】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．12．（2023秋•海曙区校级期末）已知一组数据的方差s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为 24 ．【易错思路引导】根据方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和．【规范解答】解：∵s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，∴这组数据的总和为4×6＝24；故答案为：24．【考察注意点】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．三．解答题13．（2023秋•中牟县期末）为增强防疫意识，某初中在元旦举行了疫情防控知识竞赛活动，现从本校甲、乙两班中各随机抽取10名同学的测试成绩进行整理、描述和分析，如图所示：请将乙班学生成绩按从小到大的顺序写在横线上 72，76，81，81，81，83，87，89，91，96 ．（1）两组数据的平均数、中位数、众数、方差如上表所示，请补充完整．（2）根据上述数据，请从两个不同角度评价甲班与乙班掌握防疫知识的情况．【易错思路引导】根据折线统计图即可将乙班学生成绩按从小到大的顺序写出来．（1）根据众数的定义可得乙班成绩的众数；将甲班成绩重新排列，根据中位数的定义可得甲班成绩的中位数；（2）从方差、众数、中位数及平均数的意义求解即可．【规范解答】解：将乙班学生成绩按从小到大的顺序为72，76，81，81，81，83，87，89，91，96．故答案为：72，76，81，81，81，83，87，89，91，96；（1）乙班成绩的众数为81，将甲班学生成绩按从小到大的顺序为75，81，82，83，84，85，86，86，86，89，则中位数为（84+85）÷2＝84.5．填表如下：故答案为：81，84.5；（2）答案不唯一，合理即可．如：①因为甲班学生成绩的方差大于乙班学生成绩的方差，所以乙班学生的成绩相对稳定；②因为甲班与乙班的平均成绩相同，所以两班的水平相当．【考察注意点】本题考查折线统计图、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（2023秋•平顶山期末）某校为了改善学生伙食，准备午餐为学生提供鸡腿．现有A、B两家副食品厂可以提供规格为75g的鸡腿，而且它们的价格相同，品质也相近．质检人员分别从两家随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：g）如下：A加工厂74 74 74 75 73 77 78 72 76 77B加工厂78 74 77 73 75 75 74 74 75 75并对以上数据进行整理如下：根据以上分析，回答下列问题：（1）统计表中a＝ 75 ；b＝ 75 ；c＝ 74 ；（2）根据以上信息估计B加工厂加工的100个鸡腿中，质量为75g的鸡腿有多少个？（3）如果考虑鸡腿的规格，学校应该选购哪家加工厂的鸡腿？说明理由．【易错思路引导】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；（2）用总数量乘以样本中质量为75g的鸡腿数所占比例即可；（3）根据中位数、众数和方差的意义求解即可．【规范解答】解：（1）a＝×（74+74+74+75+73+77+78+72+76+77）＝75，将B加工厂数据重新排列为73，74，74，74，75，75，75，75，77，78，∴其中位数b＝＝75，c＝74，故答案为：75、75、74；（2）估计B加工厂质量为75g的鸡腿有100×＝40（个）；（3）应该选择B加工厂的鸡腿，由以上分析可知：B加工厂的鸡腿与A加工厂的鸡腿的质量的平均数都是75g，但B加工厂鸡腿的中位数，众数都是75g，而且比A加工厂的鸡腿的中位数，众数大，说明B加工厂的鸡腿质量多集中在75g附近，而且B加工厂鸡腿的方差还比A加工厂的鸡腿的方差小，说明B加工厂鸡腿的质量波动小，所以选择B加工厂．【考察注意点】本题考查了中位数、众数和平均数，熟悉计算公式和意义是解题的关键．15．（2023秋•渭城区期末）某学校从九年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．甲组成绩统计表请根据上面的信息，解答下列问题：（1）m＝ 3 ，甲组成绩的众数是 8分 ，乙组成绩的中位数是 分 ；（2）已知甲组成绩的方差s＝0.81，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？【易错思路引导】（1）用总人数减去其他成绩的人数，求出m，再根据中位数和众数的定义即可求出甲组成绩的众数和乙组成绩的中位数；（2）先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案【规范解答】解：（1）m＝20﹣2﹣9﹣6＝3（人），把甲组成绩出现次数最多的是8分，所以甲组成绩的众数是8分，乙组成绩的中位数是第10、11个数的平均数，则中位数是＝8（分），故答案为：3，8分，8分；（2）乙组平均成绩是：（2×7+9×8+6×9+3×10）＝8.5（分），乙组的方差是：×[2×（7﹣8.5）2+9×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]＝0.75；∵s乙2＜s，∴乙组的成绩更加稳定．【考察注意点】此题考查了平均数、众数和方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图．16．（2023秋•乾县期末）某中学开展“唱歌”比赛活动，八（1），八（2）班各选出5名选手参加复赛，5名选手的复赛成绩（满分为100分），如图所示：（1）根据图示填写下表：（2）通过计算得知八（2）的平均成绩为85分，请计算八（1）的平均成绩．（3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好．（4）经计算八（1）班复赛成绩的方差为70，请计算八（2）班复赛成绩的方差，并说明哪个班学生的成绩比较稳定．【易错思路引导】（1）根据众数和中位数的概念求解；（2）根据算术平均数的概念求解；（3）从平均数和中位数的意义求解可得；（4）计算出方差，再利用方差的意义求解可得．【规范解答】解：（1）八（1）众数为85分，八（2）班的中位数为80分，故答案为：85，80；（2）八（1）的平均成绩是：＝85（分）；（3）从平均数上看，均为85分，水平相当，从中位数上看，八（1）班85分，八（2）班80分，（1）班好于（2）班，所以八（1）班较好．（4）八（2）的方差是：×[（70−85）2+（75−85）2+（80−85）2+（100−85）2+（100−85）2]＝×800＝160，∵70＜160，∴八（1）班学生的成绩比较稳定．【考察注意点】此题考查了平均数、方差、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式是S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．17．（2023秋•新民市期末）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．【易错思路引导】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；（3）分别求出A校、B校的方差即可．【规范解答】解：（1）A校平均数为：×（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；B校中位数80（分）．填表如下：故答案为：85；85；80．（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．（3）∵A校的方差s12＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，B校的方差s22＝×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．∴s12＜s22，因此，A校代表队选手成绩较为稳定．【考察注意点】此题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．18．（2022春•宁武县期末）市体校射击队要从甲、乙两名射击队员中挑选一人参加省级比赛，因此，让他们在相同条件下各射击10次，成绩如图所示．为分析成绩，教练根据统计图算出了甲队员成绩的平均数为8.5环、方差为1.05，请观察统计图，解答下列问题：（1）先写出乙队员10次射击的成绩，再求10次射击成绩的平均数和方差；（2）根据两人成绩分析的结果，若要选出总成绩高且发挥稳定的队员参加省级比赛，你认为选出的应是 甲 ，理由是： 平均数高，且成绩稳定 ．【易错思路引导】（1）根据平均数的公式：平均数＝所有数之和再除以数的个数；方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可；（2）根据甲和乙的平均数和方差，选择平均数和方差较小的同学即可．【规范解答】解；（1）乙队员10次射击的成绩分别为6，7，7，8，8，8，9，9，10，10；乙10次射击成绩的平均数＝（6+2×7+3×8+2×9+2×10）÷10＝8.2，方差＝[（6﹣8.2）2+2×（7﹣8.2）2+3×（8﹣8.2）3+2×（9﹣8.2）2+2×（10﹣8.2）2]＝1.56；（2）∵8.5＞8.2，S2甲＝1.05，S2乙＝1.56，∴S2甲＜S2乙，∴甲的平均数高，且成绩稳定，∴选择甲同学参加射击比赛；故答案为：甲；平均数高，且成绩稳定．【考察注意点】本题考查平均数、方差的定义和公式；熟练掌握平均数和方差的计算是解决问题的关键．19．（2023秋•驻马店期末）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多少排列名次，在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个），经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题：（1）根据上表提供的数据填写下表：（2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述理由．【易错思路引导】（1）甲的优秀率为＝60%，将数据由小到大排列，则中位数是100，平均数为＝100，方差为＝＝46.8；乙的优秀率为＝40%，中位数为98，平均分为＝100，方差为＝114．（2）根据计算的结果分析．【规范解答】解：（1）（2）应该把冠军奖状发给甲班．理由：根据以上信息，甲班的优秀率和中位数都比乙班高，而方差却比乙班小，说明甲班参赛学生的整体水平比乙班好，所以应该把冠军奖状发给甲班．【考察注意点】本题考查了中位数、方差的概念．掌握运用它们分析问题解决问题．20．（2023•锡林浩特市校级模拟）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示计算出a、b、c的值；（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．【易错思路引导】（1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可；（2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好；（3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．【规范解答】解：（1）初中5名选手的平均分，众数b＝85，高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c＝80；（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好；（3），∵，∴初中代表队选手成绩比较稳定．【考察注意点】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立 甲121311151314乙10161018177甲乙丙丁平均数9.79.69.69.7方差0.250.250.270.28姓名第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮第6轮第7轮总计杨倩20.921.721.020.621.121.320.5147.1参加人数平均数中位数方差甲4093925.2乙4093944.7甲乙丙丁24242320S21.92.121.9甲乙丙444442S21.71.51.7班级平均数/分中位数/分众数/分方差乙班83.782 81 46.21甲班83.7 84.5 8613.21班级平均数/分中位数/分众数/分方差乙班83.78281 46.21甲班83.784.5 8613.21平均数中位数众数方差A加工厂a74.5c3.4B加工厂75b752成绩78910人数1955班级中位数/分众数/分八（1）班85 85 八（2）班 80 100平均数/分中位数/分众数/分A校 85 85 85 B校85 80 100平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校85801001号2号3号4号5号总分甲班1009811089103500乙班861009811997500班 级参加人数优秀率中位数方 差甲5 乙5 班 级参加人数优秀率中位数方 差甲560%10046.8乙540%98114平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部a85bs初中2高中部85c100160
专题17 方差、极差、标准差（综合题）易错点拨知识点：极差、方差和标准差1.极差一组数据中 ，称为极差，极差＝ 细节剖析：极差是 ，它受 的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越 2.方差方差是 .方差的计算公式是：，其中，是，，…的 细节剖析：（1）方差反映的是一组数据 的情况.方差越大，数据的 越大；方差越小，数据的波动 .（2）一组数据的每一个数都 同一个常数，所得的一组新数据的方差 （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.3.标准差方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： ；标准差的数量单位与原数据一致.4.极差、方差和标准差的联系与区别联系：极差与方差、标准差都是表示 ．区别：极差表示 ，它受 的影响较大；方差反映了 ．方差越大，稳定性也 ；反之，则稳定性 ．所以一般情况下只求 用极差，在考虑到 时用方差.易错题专训一．选择题1．（2023秋•汝州市期末）描述一组数据的离散程度，我们还可以用“平均差”．在一组数x1、x2、x3、…、xn中，各数据与它们的平均数x的差的绝对值的平均数，即T＝（|x1﹣x|+|x2﹣x|+…+|xn﹣x|）叫做这组数据的“平均差”．“平均差”也能描述一组数据的离散程度，“平均差”越大说明数据的离散程度越大，稳定性越小．现有甲、乙两组数据，如表所示，则下列说法错误的是（ ）A．甲、乙两组数据的平均数相同 B．乙组数据的平均差为4 C．甲组数据的平均差是2 D．甲组数据更加稳定2．（2023秋•青羊区期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．（2022春•定海区期末）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（ ）A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，34．（2023秋•历下区期中）在2020东京奥运会女子10米气步枪的项目中，杨倩以251.8环的好成绩一举夺冠，为中国体育代表团斩获奥运首金．现将决赛淘汰阶段中国选手杨倩每一轮（两轮之和）的数据进行汇总，并进行一定的数据处理作出以下表格．根据表格信息可以得到杨倩在决赛淘汰阶段成绩的极差和中位数分别为多少（ ）A．1.1，20.6 B．1.2，20.6 C．1.2，21.0 D．1.1，21.35．（2020秋•泰山区期末）甲，乙两个班参加了学校组织的“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（ ）A．甲、乙两班的平均水平相同 B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定 D．甲班成绩优异的人数比乙班多6．（2023•天心区模拟）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示．今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二．填空7．（2023秋•开江县期末）某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是92分，则该班50人的数学测试成绩的方差 （填“变小”、“不变”、“变大”）．8．（2023秋•福田区期末）新兴农场果农随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 ．9．（2023秋•巨野县期末）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝，由公式提供的信息，①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是3.5，则说法错误的是 （填序号）10．（2022春•黄陵县期末）甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为S甲2 S乙2（填＞或＜）11．（2023秋•莱州市期中）跳远运动员李强在一次训练中，先跳了6次的成绩如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9（单位：m）．这六次成绩的平均数为7.8，方差为．如果李强再跳两次，成绩分别为7.6，8.0，则李强这8次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差 ．（填“变大”、“不变”或“变小”）12．（2023秋•海曙区校级期末）已知一组数据的方差s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为 ．三．解答题13．（2023秋•中牟县期末）为增强防疫意识，某初中在元旦举行了疫情防控知识竞赛活动，现从本校甲、乙两班中各随机抽取10名同学的测试成绩进行整理、描述和分析，如图所示：请将乙班学生成绩按从小到大的顺序写在横线上 ．（1）两组数据的平均数、中位数、众数、方差如上表所示，请补充完整．（2）根据上述数据，请从两个不同角度评价甲班与乙班掌握防疫知识的情况．14．（2023秋•平顶山期末）某校为了改善学生伙食，准备午餐为学生提供鸡腿．现有A、B两家副食品厂可以提供规格为75g的鸡腿，而且它们的价格相同，品质也相近．质检人员分别从两家随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：g）如下：A加工厂74 74 74 75 73 77 78 72 76 77B加工厂78 74 77 73 75 75 74 74 75 75并对以上数据进行整理如下：根据以上分析，回答下列问题：（1）统计表中a＝ ；b＝ ；c＝ ；（2）根据以上信息估计B加工厂加工的100个鸡腿中，质量为75g的鸡腿有多少个？（3）如果考虑鸡腿的规格，学校应该选购哪家加工厂的鸡腿？说明理由．15．（2023秋•渭城区期末）某学校从九年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．甲组成绩统计表请根据上面的信息，解答下列问题：（1）m＝ ，甲组成绩的众数是 ，乙组成绩的中位数是 ；（2）已知甲组成绩的方差s＝0.81，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？16．（2023秋•乾县期末）某中学开展“唱歌”比赛活动，八（1），八（2）班各选出5名选手参加复赛，5名选手的复赛成绩（满分为100分），如图所示：（1）根据图示填写下表：（2）通过计算得知八（2）的平均成绩为85分，请计算八（1）的平均成绩．（3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好．（4）经计算八（1）班复赛成绩的方差为70，请计算八（2）班复赛成绩的方差，并说明哪个班学生的成绩比较稳定．17．（2023秋•新民市期末）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．18．（2022春•宁武县期末）市体校射击队要从甲、乙两名射击队员中挑选一人参加省级比赛，因此，让他们在相同条件下各射击10次，成绩如图所示．为分析成绩，教练根据统计图算出了甲队员成绩的平均数为8.5环、方差为1.05，请观察统计图，解答下列问题：（1）先写出乙队员10次射击的成绩，再求10次射击成绩的平均数和方差；（2）根据两人成绩分析的结果，若要选出总成绩高且发挥稳定的队员参加省级比赛，你认为选出的应是 ，理由是： ．19．（2023秋•驻马店期末）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多少排列名次，在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个），经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题：（1）根据上表提供的数据填写下表：（2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述理由．20．（2023•锡林浩特市校级模拟）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示计算出a、b、c的值；（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 甲121311151314乙10161018177甲乙丙丁平均数9.79.69.69.7方差0.250.250.270.28姓名第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮第6轮第7轮总计杨倩20.921.721.020.621.121.320.5147.1参加人数平均数中位数方差甲4093925.2乙4093944.7甲乙丙丁24242320S21.92.121.9甲乙丙444442S21.71.51.7班级平均数/分中位数/分众数/分方差乙班83.782 46.21甲班83.7 8613.21平均数中位数众数方差A加工厂a74.5c3.4B加工厂75b752成绩78910人数1955班级中位数/分众数/分八（1）班85 八（2）班 100平均数/分中位数/分众数/分A校 85 B校85 1001号2号3号4号5号总分甲班1009811089103500乙班861009811997500班 级参加人数优秀率中位数方 差甲5 乙5 平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部a85bs初中2高中部85c100160 专题17 方差、极差、标准差（综合题）易错点拨知识点：极差、方差和标准差1.极差一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据.细节剖析：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.2.方差方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是：，其中，是，，…的平均数. 细节剖析：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.3.标准差方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： ；标准差的数量单位与原数据一致.4.极差、方差和标准差的联系与区别联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.易错题专训一．选择题1．（2023秋•汝州市期末）描述一组数据的离散程度，我们还可以用“平均差”．在一组数x1、x2、x3、…、xn中，各数据与它们的平均数x的差的绝对值的平均数，即T＝（|x1﹣x|+|x2﹣x|+…+|xn﹣x|）叫做这组数据的“平均差”．“平均差”也能描述一组数据的离散程度，“平均差”越大说明数据的离散程度越大，稳定性越小．现有甲、乙两组数据，如表所示，则下列说法错误的是（ ）A．甲、乙两组数据的平均数相同 B．乙组数据的平均差为4 C．甲组数据的平均差是2 D．甲组数据更加稳定【易错思路引导】根据平均差的定义列出算式，求出平均差，再比较即可．【规范解答】解：∵甲组数据的平均数是（12+13+11+15+13+14）÷6＝13，乙组数据的平均数是（10+16+10+18+17+7）÷5＝13，∴T甲＝×（1+0+2+2+0+1）＝1；T乙＝×（3+3+3+5+4+6）＝4，乙的平均差较大，因此样本乙的稳定性小，甲的稳定性大；∵S2甲＝×[（12﹣13）2+（13﹣13）2+（11﹣13）2+（15﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2]＝，S2乙＝×[（10﹣13）2+（16﹣13）2+（10﹣13）2+（18﹣13）2+（17﹣13）2+（7﹣13）2]＝，∴乙的方差较大，∴样本乙的波动较大．甲组数据更加稳定．故选：C．【考察注意点】本题考查方差和平均差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．2．（2023秋•青羊区期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【易错思路引导】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【规范解答】解：∵甲的平均分最高，方差最小，最稳定，∴应选甲．故选：A．【考察注意点】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．3．（2022春•定海区期末）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（ ）A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3【易错思路引导】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．【规范解答】解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；故选：B．【考察注意点】本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b，方差为a2S2．4．（2023秋•历下区期中）在2020东京奥运会女子10米气步枪的项目中，杨倩以251.8环的好成绩一举夺冠，为中国体育代表团斩获奥运首金．现将决赛淘汰阶段中国选手杨倩每一轮（两轮之和）的数据进行汇总，并进行一定的数据处理作出以下表格．根据表格信息可以得到杨倩在决赛淘汰阶段成绩的极差和中位数分别为多少（ ）A．1.1，20.6 B．1.2，20.6 C．1.2，21.0 D．1.1，21.3【易错思路引导】根据极差的定义，中位数的定义判断即可．【规范解答】解：成绩从小到大依次为：20.5，20.6，20.9，21.0，21.1，21.3，21.7，∴极差＝21.7﹣20.5＝1.2，中位数为：21.0，故选：C．【考察注意点】本题考查极差，中位数的定义，解题的关键是理解极差，中位数的定义，属于中考常考题型．5．（2020秋•泰山区期末）甲，乙两个班参加了学校组织的“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（ ）A．甲、乙两班的平均水平相同 B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定 D．甲班成绩优异的人数比乙班多【易错思路引导】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【规范解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同，此选项正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数无法判断，此选项不正确；C、甲班的方差大于乙班，乙班的成绩比甲班的成绩稳定，此选项不正确；D、乙班成绩的中位数大于甲班，所以乙班成绩优异的人数比甲班多，此选项不正确；故选：A．【考察注意点】本题考查了平均数，众数，中位数，方差，正确理解题意是解题的关键．6．（2023•天心区模拟）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示．今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【易错思路引导】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到甲组的状态稳定，据此求解即可．【规范解答】解：∵甲的平均数最大，方差最小，最稳定．∴应选的品种是甲．故选：A．【考察注意点】本题主要考查方差，关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．二．填空题7．（2023秋•开江县期末）某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是92分，则该班50人的数学测试成绩的方差 变小 （填“变小”、“不变”、“变大”）．【易错思路引导】根据平均数，方差的定义计算即可．【规范解答】解：∵小颖的成绩和其他49人的平均数相同，都是92分，∴该班50人的测试成绩的平均分为92分，方差变小，故答案为：变小．【考察注意点】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（2023秋•福田区期末）新兴农场果农随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 乙 ．【易错思路引导】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到乙比较稳定．【规范解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又乙的方差比甲小，所以乙的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是乙；故答案为：乙．【考察注意点】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．9．（2023秋•巨野县期末）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝，由公式提供的信息，①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是3.5，则说法错误的是 ④ （填序号）【易错思路引导】先根据小华所列方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再分别根据样本容量的概念、中位数、众数及平均数的定义逐一判断即可．【规范解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，样本容量为4，故①说法正确；样本的中位数是＝3，故②说法正确；样本的众数为3，故③说法正确；样本的平均数为＝3，故④说法错误；故答案为：④．【考察注意点】本题主要考查方差，解题的关键是掌握样本容量的概念、方差、中位数、众数及平均数的定义．10．（2022春•黄陵县期末）甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为S甲2 ＞ S乙2（填＞或＜）【易错思路引导】根据气温统计图可知：乙的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小．【规范解答】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；则乙地的日平均气温的方差小，故S2甲＞S2乙．故答案为：＞．【考察注意点】本题考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．11．（2023秋•莱州市期中）跳远运动员李强在一次训练中，先跳了6次的成绩如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9（单位：m）．这六次成绩的平均数为7.8，方差为．如果李强再跳两次，成绩分别为7.6，8.0，则李强这8次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差 变大 ．（填“变大”、“不变”或“变小”）【易错思路引导】先由平均数的公式计算出李强第二次的平均数，再根据方差的公式进行计算，然后比较即可得出答案．【规范解答】解：∵李强再跳两次，成绩分别为7.6，8.0，∴这组数据的平均数是＝7.8（m），∴这8次跳远成绩的方差是：S2＝[2×（7.6﹣7.8）2+2×（7.8﹣7.8）2+（7.7﹣7.8）2+2×（8.0﹣7.8）2+（7.9﹣7.8）2]＝0.0225，∵0.0225＞，∴方差变大；故答案为：变大．【考察注意点】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．12．（2023秋•海曙区校级期末）已知一组数据的方差s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为 24 ．【易错思路引导】根据方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和．【规范解答】解：∵s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，∴这组数据的总和为4×6＝24；故答案为：24．【考察注意点】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．三．解答题13．（2023秋•中牟县期末）为增强防疫意识，某初中在元旦举行了疫情防控知识竞赛活动，现从本校甲、乙两班中各随机抽取10名同学的测试成绩进行整理、描述和分析，如图所示：请将乙班学生成绩按从小到大的顺序写在横线上 72，76，81，81，81，83，87，89，91，96 ．（1）两组数据的平均数、中位数、众数、方差如上表所示，请补充完整．（2）根据上述数据，请从两个不同角度评价甲班与乙班掌握防疫知识的情况．【易错思路引导】根据折线统计图即可将乙班学生成绩按从小到大的顺序写出来．（1）根据众数的定义可得乙班成绩的众数；将甲班成绩重新排列，根据中位数的定义可得甲班成绩的中位数；（2）从方差、众数、中位数及平均数的意义求解即可．【规范解答】解：将乙班学生成绩按从小到大的顺序为72，76，81，81，81，83，87，89，91，96．故答案为：72，76，81，81，81，83，87，89，91，96；（1）乙班成绩的众数为81，将甲班学生成绩按从小到大的顺序为75，81，82，83，84，85，86，86，86，89，则中位数为（84+85）÷2＝84.5．填表如下：故答案为：81，84.5；（2）答案不唯一，合理即可．如：①因为甲班学生成绩的方差大于乙班学生成绩的方差，所以乙班学生的成绩相对稳定；②因为甲班与乙班的平均成绩相同，所以两班的水平相当．【考察注意点】本题考查折线统计图、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（2023秋•平顶山期末）某校为了改善学生伙食，准备午餐为学生提供鸡腿．现有A、B两家副食品厂可以提供规格为75g的鸡腿，而且它们的价格相同，品质也相近．质检人员分别从两家随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：g）如下：A加工厂74 74 74 75 73 77 78 72 76 77B加工厂78 74 77 73 75 75 74 74 75 75并对以上数据进行整理如下：根据以上分析，回答下列问题：（1）统计表中a＝ 75 ；b＝ 75 ；c＝ 74 ；（2）根据以上信息估计B加工厂加工的100个鸡腿中，质量为75g的鸡腿有多少个？（3）如果考虑鸡腿的规格，学校应该选购哪家加工厂的鸡腿？说明理由．【易错思路引导】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；（2）用总数量乘以样本中质量为75g的鸡腿数所占比例即可；（3）根据中位数、众数和方差的意义求解即可．【规范解答】解：（1）a＝×（74+74+74+75+73+77+78+72+76+77）＝75，将B加工厂数据重新排列为73，74，74，74，75，75，75，75，77，78，∴其中位数b＝＝75，c＝74，故答案为：75、75、74；（2）估计B加工厂质量为75g的鸡腿有100×＝40（个）；（3）应该选择B加工厂的鸡腿，由以上分析可知：B加工厂的鸡腿与A加工厂的鸡腿的质量的平均数都是75g，但B加工厂鸡腿的中位数，众数都是75g，而且比A加工厂的鸡腿的中位数，众数大，说明B加工厂的鸡腿质量多集中在75g附近，而且B加工厂鸡腿的方差还比A加工厂的鸡腿的方差小，说明B加工厂鸡腿的质量波动小，所以选择B加工厂．【考察注意点】本题考查了中位数、众数和平均数，熟悉计算公式和意义是解题的关键．15．（2023秋•渭城区期末）某学校从九年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．甲组成绩统计表请根据上面的信息，解答下列问题：（1）m＝ 3 ，甲组成绩的众数是 8分 ，乙组成绩的中位数是 分 ；（2）已知甲组成绩的方差s＝0.81，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？【易错思路引导】（1）用总人数减去其他成绩的人数，求出m，再根据中位数和众数的定义即可求出甲组成绩的众数和乙组成绩的中位数；（2）先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案【规范解答】解：（1）m＝20﹣2﹣9﹣6＝3（人），把甲组成绩出现次数最多的是8分，所以甲组成绩的众数是8分，乙组成绩的中位数是第10、11个数的平均数，则中位数是＝8（分），故答案为：3，8分，8分；（2）乙组平均成绩是：（2×7+9×8+6×9+3×10）＝8.5（分），乙组的方差是：×[2×（7﹣8.5）2+9×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]＝0.75；∵s乙2＜s，∴乙组的成绩更加稳定．【考察注意点】此题考查了平均数、众数和方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图．16．（2023秋•乾县期末）某中学开展“唱歌”比赛活动，八（1），八（2）班各选出5名选手参加复赛，5名选手的复赛成绩（满分为100分），如图所示：（1）根据图示填写下表：（2）通过计算得知八（2）的平均成绩为85分，请计算八（1）的平均成绩．（3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好．（4）经计算八（1）班复赛成绩的方差为70，请计算八（2）班复赛成绩的方差，并说明哪个班学生的成绩比较稳定．【易错思路引导】（1）根据众数和中位数的概念求解；（2）根据算术平均数的概念求解；（3）从平均数和中位数的意义求解可得；（4）计算出方差，再利用方差的意义求解可得．【规范解答】解：（1）八（1）众数为85分，八（2）班的中位数为80分，故答案为：85，80；（2）八（1）的平均成绩是：＝85（分）；（3）从平均数上看，均为85分，水平相当，从中位数上看，八（1）班85分，八（2）班80分，（1）班好于（2）班，所以八（1）班较好．（4）八（2）的方差是：×[（70−85）2+（75−85）2+（80−85）2+（100−85）2+（100−85）2]＝×800＝160，∵70＜160，∴八（1）班学生的成绩比较稳定．【考察注意点】此题考查了平均数、方差、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式是S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．17．（2023秋•新民市期末）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．【易错思路引导】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；（3）分别求出A校、B校的方差即可．【规范解答】解：（1）A校平均数为：×（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；B校中位数80（分）．填表如下：故答案为：85；85；80．（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．（3）∵A校的方差s12＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，B校的方差s22＝×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．∴s12＜s22，因此，A校代表队选手成绩较为稳定．【考察注意点】此题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．18．（2022春•宁武县期末）市体校射击队要从甲、乙两名射击队员中挑选一人参加省级比赛，因此，让他们在相同条件下各射击10次，成绩如图所示．为分析成绩，教练根据统计图算出了甲队员成绩的平均数为8.5环、方差为1.05，请观察统计图，解答下列问题：（1）先写出乙队员10次射击的成绩，再求10次射击成绩的平均数和方差；（2）根据两人成绩分析的结果，若要选出总成绩高且发挥稳定的队员参加省级比赛，你认为选出的应是 甲 ，理由是： 平均数高，且成绩稳定 ．【易错思路引导】（1）根据平均数的公式：平均数＝所有数之和再除以数的个数；方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可；（2）根据甲和乙的平均数和方差，选择平均数和方差较小的同学即可．【规范解答】解；（1）乙队员10次射击的成绩分别为6，7，7，8，8，8，9，9，10，10；乙10次射击成绩的平均数＝（6+2×7+3×8+2×9+2×10）÷10＝8.2，方差＝[（6﹣8.2）2+2×（7﹣8.2）2+3×（8﹣8.2）3+2×（9﹣8.2）2+2×（10﹣8.2）2]＝1.56；（2）∵8.5＞8.2，S2甲＝1.05，S2乙＝1.56，∴S2甲＜S2乙，∴甲的平均数高，且成绩稳定，∴选择甲同学参加射击比赛；故答案为：甲；平均数高，且成绩稳定．【考察注意点】本题考查平均数、方差的定义和公式；熟练掌握平均数和方差的计算是解决问题的关键．19．（2023秋•驻马店期末）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多少排列名次，在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个），经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题：（1）根据上表提供的数据填写下表：（2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述理由．【易错思路引导】（1）甲的优秀率为＝60%，将数据由小到大排列，则中位数是100，平均数为＝100，方差为＝＝46.8；乙的优秀率为＝40%，中位数为98，平均分为＝100，方差为＝114．（2）根据计算的结果分析．【规范解答】解：（1）（2）应该把冠军奖状发给甲班．理由：根据以上信息，甲班的优秀率和中位数都比乙班高，而方差却比乙班小，说明甲班参赛学生的整体水平比乙班好，所以应该把冠军奖状发给甲班．【考察注意点】本题考查了中位数、方差的概念．掌握运用它们分析问题解决问题．20．（2023•锡林浩特市校级模拟）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示计算出a、b、c的值；（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．【易错思路引导】（1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可；（2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好；（3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．【规范解答】解：（1）初中5名选手的平均分，众数b＝85，高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c＝80；（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好；（3），∵，∴初中代表队选手成绩比较稳定．【考察注意点】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立 甲121311151314乙10161018177甲乙丙丁平均数9.79.69.69.7方差0.250.250.270.28姓名第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮第6轮第7轮总计杨倩20.921.721.020.621.121.320.5147.1参加人数平均数中位数方差甲4093925.2乙4093944.7甲乙丙丁24242320S21.92.121.9甲乙丙444442S21.71.51.7班级平均数/分中位数/分众数/分方差乙班83.782 81 46.21甲班83.7 84.5 8613.21班级平均数/分中位数/分众数/分方差乙班83.78281 46.21甲班83.784.5 8613.21平均数中位数众数方差A加工厂a74.5c3.4B加工厂75b752成绩78910人数1955班级中位数/分众数/分八（1）班85 85 八（2）班 80 100平均数/分中位数/分众数/分A校 85 85 85 B校85 80 100平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校85801001号2号3号4号5号总分甲班1009811089103500乙班861009811997500班 级参加人数优秀率中位数方 差甲5 乙5 班 级参加人数优秀率中位数方 差甲560%10046.8乙540%98114平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部a85bs初中2高中部85c100160
相关资料
更多
