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专题1.7 数据的分析章末重难点题型（举一反三）（北师大版）（解析版）学案
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这是一份数学八年级上册本册综合学案设计，共36页。学案主要包含了北师大版，方法点拨，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。
专题1.7 数据的分析章末重难点题型【举一反三】
【北师大版】
【考点1 平均数的计算】
【方法点拨】平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数.
【例1】（2019春•琼中县期末）如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x为（ ）
A．22 B．11 C．8 D．5
【分析】根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【答案】解：由平均数的计算公式得：（﹣3+x+0+1+x+6+9+5）＝5
解得：x＝11，
故选：B．
【点睛】考查算术平均数的计算方法，利用方程求解，熟记计算公式是解决问题的前提，是比较基础的题目．
【变式1-1】（2019•邵阳县模拟）如果两组数据x1，x2、……xn；y1，y2……yn的平均数分别为和，那么新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数是（ ）
A．2 B．2 C．2+ D．
【分析】均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
【答案】解：由已知，（x1+x2+…+xn）＝n，
（y1+y2+…+yn）＝n，
新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数为
（2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn）÷n
＝[2（x1+x2+…+xn）+（y1+y2+…+yn）]÷n
＝（）÷n
＝2+
故选：C．
【点睛】本题考查平均数的计算，可以先把它们都加起来，再除以数据的个数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
【变式1-2】（2019春•永春县期中）已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为5，则另一组数据a1+5，a2﹣5，a3+5，a4﹣5，a5+5的平均数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】根据平均数的性质，所有数之和除以总个数即可得出平均数．
【答案】解：依题意得：a1+5+a2﹣5+a3+5+a4﹣5+a5+5
＝a1+a2+a3+a4+a5+5
＝30，
所以平均数为6．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平均数的定义，本题利用了整体代入的思想，解题的关键是了解算术平均数的定义，难度不大．
【变式1-3】（2018春•南宁期末）x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（ ）
A．a+b B． C． D．
【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．
【答案】解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，50个数的平均数为．
故选：D．
【点睛】正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
【考点2 加权平均数的计算】
【方法点拨】在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，如果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，这组数据的加权平均数就有可能随之改变.
【例2】（2019•恩施州）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（ ）
A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5
【分析】直接利用每部分分数所占百分比进而计算得出答案．
【答案】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是：
95×20%+90×30%+85×50%＝19+27+42.5＝88.5（分）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了加权平均数，正确理解各部分所占百分比是解题关键．
【变式2-1】（2019春•红河州期末）某居民小区10户家庭5月份的用水情况统计结果如表所示：
月用水量/m3
4
5
6
8
9
户数
2
3
3
1
1
这10户家庭的月平均用水量是（ ）
A．2m3 B．3.2m3 C．5.8m3 D．6.4m3
【分析】加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
【答案】解：这10户家庭的月平均用水量（4×2+5×3+6×3+8×1+9×1）＝5.8（m3），
故选：C．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练运用加权平均数公式计算是解题的关键．
【变式2-2】（2019春•门头沟区期末）两位应聘者进行某公司一个英文翻译岗位，以下是两位应聘者的英语听、说、译、写四方面水平测试成绩，公司决定在考虑整体水平的基础上，侧重对“听说能力”的考查，赋予了四方面水平的权重，其中合理的是（ ）
应聘者
面试
笔试
平均
成绩
听
说
译
写
甲
97
90
94
87
92
乙
85
94
97
92
92
A．0.2，0.2，0.3，0.3 B．0.25，0.25，0.25，0.25
C．0.3，0.3，0.2，0.2 D．0.5，0.5，0.0，0.0
【分析】因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重．
【答案】解：因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重，
故选：C．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练运用加权平均数公式是解题的关键．
【变式2-3】（2019秋•河西区期末）某城市2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩＝笔试成绩×60%+面试成绩×40%，小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是88分，小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（ ）
A．4.8分 B．6分 C．9分 D．12分
【分析】设未知数，根据加权平均数的计算方法分别表示各自的最后总分，让总分相等，求出两个面试成绩的差即可．
【答案】解：设小红的姐姐和对手的面试成绩分布为y1、y2，由题意得：
82×60%+y1×40%＝88×60%+y2×40%
y1﹣y2＝（88×60%﹣82×60%）÷40%＝9，
故选：C．
【点睛】考查加权平均数的计算方法，权重的不同会对结果造成很大的影响．
【考点3 中位数和众数的认识】
【方法点拨】中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数.
【例3】（2019春•开福区校级月考）某次数学趣味竞赛共有10组题目，某班得分情况如下表．全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ）
人数
2
5
13
10
7
3
成绩（分）
50
60
70
80
90
100
A．75，70 B．70，70 C．80，80 D．75，80
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【答案】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第20、21个数的平均数，
∴全班40名同学的成绩的中位数是：＝75；
70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；
故选：A．
【点睛】此题考查了中位数和众数众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
【变式3-1】（2019春•永嘉县月考）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，则这40名同学购买课外书花费的众数和中位数分别为（ ）
A．30元，30元 B．30元，50元 C．50元，50元 D．50元，80元
【分析】众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断．
【答案】解：∵购买课外书花费30元的有12人，人数最多，
∴众数是30元；
把这些数从小到大排列，最中间的数是20和21个数的平均数，
则中位数是＝50元；
故选：B．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
【变式3-2】（2019•深圳模拟）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【分析】根据众数的意义求出x的值，再根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可．
【答案】解：一组数据3，4，x，6，7的众数是3，因此x＝3，
将一组数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，因此中位数是4．
故选：B．
【点睛】考查众数、中位数的意义和求法，众数指在一组数据中出现次数最多的数，而中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，理解众数、中位数的意义是正确解答的前提．
【变式3-3】（2019春•庐阳区期末）某篮球队10名队员的年龄结构如表：
年龄/岁
19
20
21
22
24
26
人数
1
1
x
y
2
1
已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数是（ ）
A．21 岁 B．22 岁 C．23 岁 D．24 岁
【分析】先根据数据的总个数及中位数定义得出x＝3、y＝2，再利用众数的定义求解可得．
【答案】解：∵共有10个数据，
∴x+y＝5，
又该队队员年龄的中位数为21.5，即＝21.5，
∴x＝3、y＝2，
则这组数据的众数为21，
故选：A．
【点睛】本题主要考查中位数、众数，解题的关键是根据中位数的定义得出x、y的值．
【考点4 平均数和中位数结合】
【例4】（2019•眉山）某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，x，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
【分析】直接利用已知求出x的值，再利用中位数求法得出答案．
【答案】解：∵5，6，6，x，7，8，9，这组数据的平均数是7，
∴x＝7×7﹣（5+6+6+7+8+9）＝8，
∴这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9
则最中间为7，即这组数据的中位数是7．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中位数，正确得出x的值是解题关键．
【变式4-1】（2019•株洲）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．
【答案】解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当1＜x＜3时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2；
当3≤x＜6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）．
所以x的值为2．
故选：A．
【点睛】本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题．
【变式4-2】（2018•武昌区校级模拟）某中学篮球队16名队员的年龄如表：
年龄（岁）
13
14
x
16
人数
2
6
5
3
若这16名队员年龄的中位数是14.5，则16名队员年龄的平均数是（精确到0.1）（ ）
A．14.5 B．14.6 C．14 D．14.7
【分析】根据中位数的意义和求法，可以推断第9个数据是15，然后根据平均数的求法计算出结果，做出判断．
【答案】解：16名队员的中位数是排序后的第8个和第9个数的平均数，而第8个数是14岁，中位数是14.5，因此第9个数一定是15，表格中的x是15，
＝≈14.6
故选：B．
【点睛】考查中位数、平均数的意义和求法，掌握方法和准确计算是解决问题的前提．
【变式4-3】（2018•正阳县二模）某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是（ ）
A．4.8 B．4.8或5
C．4.6或4.8 D．4.6或4.8或5
【分析】根据1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数知x＝4或x＝5或x＝6，在根据平均数的定义分别计算可得．
【答案】解：∵在1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数，
∴x＝4或x＝5或x＝6，
当x＝4时，平均数为＝4.6；
当x＝5时，平均数为＝4.8；
当x＝6时，平均数为＝5；
故选：D．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数，解题的关键是根据中位数的定义得出x的值．
【考点5 从扇形统计图分析数据】
【例5】（2019春•西湖区校级月考）右图是某种学生快餐（共400g）营养成分扇形统计图，已知其中表示脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，蛋白质含量比碳水化合物多40g．有关这份快餐，下列说法正确的是（ ）
A．表示维生素和矿物质的扇形的圆心角为20°
B．脂肪有44g，含量超过10%
C．表示碳水化合物的扇形的圆心角为135°
D．蛋白质的含量为维生素和矿物质的9倍
【分析】根据脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，可求出维生素和矿物质含量所对应扇形的圆心角为18°，进而求出各个部分所占整体的百分比，各个部分的具体数量是多少克，均可以求出，然后做出选项判断，
【答案】解：∵脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，
∴维生素和矿物质含量所对应扇形的圆心角为18°，
因此A选项不符合题意；
∵脂肪的扇形的圆心角为36°，占整体的＝10%，400×10%＝40克，
∴B选项不符合题意，
∵400×（1﹣10%﹣5%）＝340g，蛋白质含量比碳水化合物多40g，
∴蛋白质190g，碳水化合物为150g，
∴碳水化合物对应圆心角为360°×＝135°
因此C选项符合题意，
维生素和矿物质的含量为400×5%＝20g，蛋白质190g，9倍多，
因此D选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】考查扇形统计图的意义和制作方法，扇形统计图表示各个数据所占整体的百分比，根据总体和部分的关系，可以对数量进行计算，理解各个数据之间的关系是解决问题的前提．
【变式5-1】（2019春•石景山区期末）如图是某学校高中两个班的学生上学时步行、骑车、乘公交、乘私家车人数的扇形
统计图，已知乘公交人数是乘私家车人数的2倍．若步行人数是18人，则下列结论正确的是（ ）
A．被调查的学生人数为90人
B．乘私家车的学生人数为9人
C．乘公交车的学生人数为20人
D．骑车的学生人数为16人
【分析】由步行人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以对应的比例可得乘私家车、公交车、骑自行车的人数．
【答案】解：被调查的学生人数为18÷30%＝60（人），A选项错误；
乘私家车的学生人数60×（1﹣25%﹣30%）×＝9（人），B选项正确；
乘公交车的学生人数60×（1﹣25%﹣30%）×＝18（人），C选项错误；
骑车的学生人数为60×25%＝15（人），D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查扇形统计图．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．
【变式5-2】（2019春•东城区期末）下面两个统计图反映的是甲、乙两所学校三个年级的学生在各校学生总人数中的占比情况，下列说法错误的是（ ）
A．甲校中七年级学生和八年级学生人数一样多
B．乙校中七年级学生人数最多
C．乙校中八年级学生比九年级学生人数少
D．甲、乙两校的九年级学生人数一样多
【分析】扇形统计图反映的部分与整体的关系，即各个部分占的比例大小关系，在一个扇形统计图中，可以直观的得出各个部分所占的比例，得出各部分的大小关系，但在不同的几个扇形统计图中就不能直观看出各部分的大小关系，虽然比例较大，代表的数量不一定就多，还与总体有关．
【答案】解：甲校中七年级学生占全校的35%，和八年级学生人数也占全校的35%，由于甲校的人数是一定的，因此甲校中七年级学生和八年级学生人数一样多是正确的；
乙校中七年级占45%，而其他两个年级分别占25%，30%，因此B是正确的；
乙校中八年级学生占25%，比九年级学生人数占30%由于整体乙校的总人数是一定的，所以C是正确的；
两个学校九年级所占的比都是30%，若两个学校的总人数不同．他们也不相等，故D是错误的，
故选：D．
【点睛】考查对扇形统计图所反映的各个部分所占整体的百分比的理解，扇形统计图只反映部分占总体的百分比，百分比相同，代表的数量不一定相等．
【变式5-3】（2019•江西）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．
【答案】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为1﹣40%＝60%，超过50%，此选项正确；
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%，此选项错误；
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360°×（1﹣40%﹣10%﹣20%）＝108°，此选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．
【考点6 从条形统计图分析数据】
【例6】（2018秋•蚌埠期末）根据条形统计图，下面说法正确的是（ ）
A．步行人数为50人
B．步行与骑自行车的人数和比坐公共汽车的人要少
C．坐公共汽车的人占总数的50%
D．骑自行车的人数最少只有90人
【分析】从图中可获取步行人数、骑自行车的人数、做公共汽车的人数，进而求得初一学生的总人数，以及步行人数、坐公共汽车的人数占总数的比值．再进行判断．
【答案】解：A、从图中可以发现：步行人数是60人；
B、步行与骑自行车的人数和与坐公共汽车的人相等，都是150人；
C、坐公共汽车的人数占总数的150÷（60+90+150）＝50%；
D、骑自行车的人数是90人．
故选：C．
【点睛】本题考查了条形统计图，条形统计图能清楚地表示各个项目的具体数目．能够读懂统计图，根据图中的数据进行正确计算．
【变式6-1】（2019春•西湖区期末）如图是甲，乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则（ ）
A．甲的平均成绩比乙好
B．乙的平均成绩比甲好
C．甲、乙两人的平均成绩一样
D．无法确定谁的平均成绩好
【分析】从统计图中，能够得到10个人的平均成绩，通过计算甲、乙的平均成绩进行比较即可．
【答案】解：甲的平均数为：＝9环，乙的平均数为：＝9环，
因此甲、乙的平均成绩一样．
故选：C．
【点睛】考查条形统计图的制作方法，从条形统计图中获取各自的成绩是解决问题的前提．
【变式6-2】（2019春•海淀区期末）博物馆作为征集、典藏、陈列和研究代表自然和人类文化遗产实物的场所，其存在的目的是为众提供知识、教育及欣赏服务．近年来，人们到博物馆学习参观的热情越来越高，2012﹣2018年我国博物馆参观人数统计如下：
小明研究了这个统计图，得出四个结论：
①2012年到2018年，我国博物馆参观人数持续增
②2019年末我国博物馆参观人数估计将达到1082亿人次
③2012年到2018年，我国博物馆参观人数年增幅最大的是2017年；
④2016年到2018年，我国博物馆参观人数平均年增长率超过10%
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②
【分析】根据条形统计图中的信息对4个结论矩形判断即可．
【答案】解：①2012年到2018年，我国博物馆参观人数持续增，正确；
②10.08×（1+）＝10.45，故2019年末我国博物馆参观人数估计将达到10.45亿人次；故错误；
③2012年到2018年，我国博物馆参观人数年增幅最大的是2017年；正确；
④设平均年增长率为x，则8.50（1+x）2＝10.08，
解得：x＝0.0889，
故2016年到2018年，我国博物馆参观人数平均年增长率是8.89%，故错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了条形统计图，弄清题中图形中的数据是解本题的关键．
【变式6-3】（2019•通州区二模）甲，乙，丙三种作物，分别在山脚，山腰和山顶三个试验田进行试验，每个试验田播种二十粒种子，农业专家将每个试验田成活的种子个数统计如条形统计图，如图所示，下面有四个推断：
①甲种作物受环境影响最小；
②乙种作物平均成活率最高；
③丙种作物最适合播种在山腰；
④如果每种作物只能在一个地方播种，那么山脚，山腰和山顶分别播种甲，乙，丙三种作物能使得成活率最高．
其中合理的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据条形统计图中提供的数据进行计算，即可得到农作物的成活数量以及三种作物平均成活率，根据农作物的成活数量判断播种的位置即可．
【答案】解：由图可得，乙种作物受环境影响最小，故①错误；
甲种作物平均成活率为15，乙种作物平均成活率为16，丙种作物平均成活率约为15.67，故乙种作物平均成活率最高，故②正确；
丙种作物最适合播种在山脚，故③错误；
如果每种作物只能在一个地方播种，那么山脚，山腰和山顶分别播种甲，乙，丙三种作物能使得成活率最高，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，解题时注意：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
【考点7 从折线统计图分析数据】
【例7】（2019春•西湖区校级月考）如图，王老师将某班近三个月跳跃类项目的训练情况做了统计，并绘制了折线统计图，则根据图中信息，以下判断错误的是（ ）
A．男女生5月份的平均成绩一样
B．4月到6月，女生平均成绩一直在进步
C．4月到5月，女生平均成绩的增长率约为8.5%
D．5月到6月女生平均成绩比4月到5月的平均成绩增长快
【分析】男女生5月份的平均成绩均为8.9，据此判断A选项；4月到6月，女生平均成绩依次为8.8、8.9、9.2，据此可判断B选项；根据增长率的概念，结合折线图的数据计算，从而判断C选项；根据女生平均成绩两端折线的上升趋势可判断D选项．
【答案】解：A．男女生5月份的平均成绩一样，都是8.9，此选项正确，不符合题意；
B．4月到6月，女生平均成绩依次为8.8、8.9、9.2，其平均成绩一直在进步，此选项正确，不符合题意；
C．4月到5月，女生平均成绩的增长率为×100%≈1.14%，此选项错误，符合题意；
D．5月到6月女生平均成绩比4月到5月的平均成绩增长快，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，解题的关键是根据折线图得出解题所需的数据及增长率的概念．
【变式7-1】（2019•海淀区校级三模）太阳能是来自太阳的辐射能量，对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源，因此许多国家都在大力发展太阳能．如图是2013﹣2017年我国光伏发电装机容量统计图．根据统计图提供的信息，判断下列说法不合理的是（ ）
A．截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦
B．2017年我国光伏发电新装机容量占当年累计装机容量的50%
C．2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2500万千瓦
D．2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量先减少后增加
【分析】依据折线统计图中的数据进行判断，即可得出结论．
【答案】解：A．截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦，故本选项正确；
B.2017年我国光伏发电新装机容量约占当年累计装机容量的40.6%，故本选项错误；
C.2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2500万千瓦，故本选项正确；
D.2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量先减少后增加，故本选项正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
【变式7-2】（2019春•鹿邑县期末）甲、乙两家公司在去年1﹣8月份期间的盈利情况，统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ）
A．甲公司的盈利正在下跌
B．乙公司的盈利在1﹣4月间上升
C．在8月，两家公司获得相同的盈利
D．乙公司在9月份的盈利一定比甲的多
【分析】根据折线统计图中所反映的数据增减变化情况，这个做出判断即可，
【答案】解：由折线统计图可以看出：甲公司1﹣8月份的盈利的曲线呈下降趋势，因此盈利在逐月下跌，A的判定是正确的，
乙公司1﹣4月份盈利曲线是上升的，因此B的判定是正确的
8月时，甲、乙公司的盈利是一样的，因此C的判定是正确的，
9月的盈利很难取得谁的多、谁的少，不确定因此D的判定是错误的，
故选：D．
【点睛】考查从折线统计图中获取数据做出分析的能力，正确识别图中的数据是解题的关键．
【变式7-3】（2019春•文登区期末）如图是甲、乙两超市1月份到8月份的赢利情况统计图，下列结论不正确的是（ ）
A．甲超市5月份的利润为30万元
B．甲超市的利润逐月减少
C．乙超市4月份的利润最大
D．乙超市9月份的利润将超过甲超市
【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
【答案】A、甲超市5月份的利润为30万元，此选项正确；
B、甲超市的利润逐月减少，此项错误；
C、乙超市4月份的利润最大，此选项正确；
D、乙超市9月份的利润将超过甲超市，此选项正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
【考点8 统计图的选择】
【例8】（2018秋•龙华区期末）金庸先生笔下的“五岳剑派”就是在以下五大名山中：
山名
“东岳泰山”
“西岳华山”
“南岳衡山”
“北岳恒山”
“中岳嵩山”
海拔（米）
1545
2155
1300
2016
1491
若想根据表中数据绘制统计图，以便更清楚的比较这五座山的高度，最合适的是（ ）
A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．以上都可以
【分析】条形统计图便于比较各个数据的大小多少，折线统计图则比较直观的反映数据增减变化情况，扇形统计图反映各个部分占整体的百分比，从各个统计图的特点做出选择．
【答案】解：因为条形统计图比较直观的反映各个数据的大小多少，因此比较五座山的高度，采用条形统计图较好，
故选：C．
【点睛】考查各种统计图的特点，掌握条形统计图、折线统计图、扇形统计图所反映数据的特点是就问题的关键．
【变式8-1】（2019春•大名县期末）要反映我区12月11日至17日这一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）
A．条形统计图 B．折线统计图
C．扇形统计图 D．频数分布统计图
【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【答案】解：根据题意，要求直观反映我市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．
故选：B．
【点睛】此题主要考查统计图的选择，根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
【变式8-2】（2018秋•双峰县期末）空气是由多种气体混合而成的．为了简明扼要地介绍空气的组成情况．较好地描述数据，最适合使用的统计图是（ ）
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．直方图
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．
【答案】解：根据题意，得
要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
故选：C．
【点睛】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
【变式8-3】（2019秋•太原期末）小颖调查该校九年级一班全体学生某周完成部分学科作业的时间，并把平均时间统计如下：
学科
语文
数学
英语
物理
化学
平均时间/时
4
2
3
1.5
1
为了更清楚地描述上述数据，还可以选择（ ）
A．条形统计图
B．扇形统计图
C．折线统计图或扇形统计图
D．条形统计图或扇形统计图
【分析】根据题意的要求，结合统计图的特点，折线统计图表示的是事物的变化情况，条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．易得答案．
【答案】解：根据题意，为了更清楚地描述全体学生某周完成部分学科作业的时间，
而条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，符合要求，
故选：A．
【点睛】本题主要考查统计图的选择，统计图的选择要根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．
【考点9 极差的计算】
【例9】（2018秋•高邮市期末）一组数据：1，5，﹣2，0，﹣1的极差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据极差的定义即可求得．
【答案】解：数据：1，5，﹣2，0，﹣1的极差是：5﹣（﹣2）＝7；
故选：C．
【点睛】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
【变式9-1】（2019秋•赣榆区期末）赣榆一月份某日的最高气温是8°C，最低气温是﹣1°C，这天气温的极差是（ ）
A．﹣7°C B．7°C C．﹣9°C D．9°C
【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可．
【答案】解：这天气温的极差是：8﹣（﹣1）＝9（℃）．
故选：D．
【点睛】本题考查了极差的知识，解答本题的关键是掌握极差的定义．极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．极差＝最大值﹣最小值．
【变式9-2】（2019秋•沂源县期中）数据﹣1、0、3、5、x的极差为7，那么x等于（ ）
A．6 B．﹣2 C．6或﹣2 D．不能确定
【分析】根据极差的公式：极差＝最大值﹣最小值求解即可．
【答案】解：根据题意：x﹣（﹣1）＝7或5﹣x＝7，
∴x＝6或x＝﹣2．
故选：C．
【点睛】考查了极差，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．此题注意：①x是最大值；②x是最小值．
【变式9-3】（2019秋•阜宁县期中）学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我阜宁，唱我阜宁”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如表：
成绩（分）
9.40
9.50
9.60
9.70
9.80
9.90
人数
2
3
5
4
3
1
则入围同学决赛成绩的极差是（ ）
A．0.5 B．9.60 C．9.40 D．9.90
【分析】根据极差的定义即可求得．
【答案】解：入围同学决赛成绩的极差是：9.90﹣9.40＝0.5；
故选：A．
【点睛】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
【考点10 标准差的计算】
【例10】（2019•铁西区校级模拟）已知一组数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，另有一组数据y1，y2，…，yn，其中yk＝6xk+5（k＝1，2，…，n），其标准差是S2，则正确的是（ ）
A．S2＝6S1+5 B．S2＝6S1 C．S2＝S1 D．S2＝S1+5
【分析】根据已知条件即可得到结论．
【答案】解：∵数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，数据y1，y2，…，yn，其中yk＝6xk+5（k＝1，2，…，n），其标准差是S2，
∴第二组数据的标准差是第一组数据的6倍，
∴S2＝6S1，
故选：B．
【点睛】本题考查了标准差，熟练掌握标准差的概念是解题的关键．
【变式10-1】（2019•南京校级模拟）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A． B． C．3 D．
【分析】先根据表中所给的数据求出平均数，再根据方差公式求出方差，然后根据标准差的计算公式即可求出答案．
【答案】解：这组数据的平均数是：（5×20+4×10+3×30+2×30+1×10）÷100＝3，
方差＝[20×（5﹣3）2+10×（4﹣3）2+30×（2﹣3）2+10×（1﹣3）2]＝；
则则这100人成绩的标准差为＝；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平均数、方差、标准差的概念，掌握标准差的计算公式即方差的算术平方根是解题的关键；注意标准差和方差一样都是非负数．
【变式10-2】（2019春•宁波月考）一组数据：1，3，2，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差为（ ）
A．2 B．4 C． D．﹣2
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，根据方差的公式计算出方差，再计算出标准差．
【答案】解：由题意知：x＝15﹣（1+3+2+5）＝4
方差S2＝[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（4﹣3）2]＝2
故五个数据的标准差是S＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数、标准差，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：
（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；
（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；
注意标准差和方差一样都是非负数．
【变式10-3】（2019春•营口期末）设S是数据x1，x2，…，xn的标准差，S1是x1﹣2.5，x2﹣2.5，…xn﹣2.5的标准差，则有（ ）
A．S＝S1 B．S1＝S﹣2.5
C．S1＝（S﹣2.5）2 D．S1＝
【分析】根据方差的意义，新数据的方差不变，这样可求出其标准差与方差的关系．
【答案】解：∵S是数据x1，x2，…，xn的标准差，S1是x1﹣2.5，x2﹣2.5，…xn﹣2.5的标准差，利用一组数据同时加减一个数，方差不变，
∴S＝S1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了标准差的意义，利用方差的性质得出S，1的关系是解题关键．
【考点11 方差的计算】
【方法点拨】计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：
【例11】（2019秋•萧山区校级月考）已知一组数据x1，x2，x3，平均数为2，方差为3，那么另一组数2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1 的平均数和方差分别是（ ）
A．2， B．3，3 C．3，12 D．3，4
【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【答案】解：∵数据x1，x2，x3，平均数是2，
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的平均数是2×2﹣1＝3；
∵数据x1，x2，x3的方差是3，
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的方差是3×22＝12，
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数与方差，关键是掌握平均数与方差的计算公式和变化规律，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【变式11-1】（2019春•海阳市期中）若一组数据a1，a2，……，an的平均数为10，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是（ ）
A．13，4 B．23，8 C．23，16 D．23，19
【分析】根据平均数的概念、方差的性质解答．
【答案】解：数据a1，a2，……，an的平均数为10，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数为2×10+3＝23，
数据a1，a2，……，an，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的方差为4×22＝16，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平均数和方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍．
【变式11-2】（2019春•自贡期末）若一组数据1，1，x，3，3的平均数为x，则这组数据的方差是（ ）
A．4 B． C． D．2
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
【答案】解：∵数据1，1，x，3，3的平均数为x，
∴（1+1+x+3+3）＝x，
解得：x＝2，
则这组数据的方差是S2＝[（1﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（3﹣2）2]＝；
故选：B．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【变式11-3】（2019春•莒南县期末）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（ ）
A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3
【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【答案】解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，
∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，
∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；
故选：B．
【点睛】本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b，方差为a2S2．
【考点12 方差的意义】
【方法点拨】方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，方差越小越稳定.
【例12】（2019秋•乐清市校级月考）甲，乙，丙，丁四名同学在学校演讲选拔赛的成绩平均数x与方差S2如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
8.0
8.0
8.5
8.5
方差s2
3.5
15.5
3.5
16.5
根据表中数据，要从中选一名成绩好又发挥稳定的同学参加市演讲比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据平均数和方差的意义解答．
【答案】解：从平均数看，成绩最好的是丙、丁同学，
从方差看，甲、丙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加市级比赛，应该选择丙，
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
【变式12-1】（2019春•乐清市期中）甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.0
9.0
9.0
9.0
方差
0.25
1.00
2.50
3.00
则成绩发挥最不稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越大数据越不稳定，从而得出答案．
【答案】解：由于S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，则成绩发挥最不稳定的是丁；
故选：D．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【变式12-2】（2019•河南模拟）某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这四名学生进行了10次数学测试，经过数据分析4人的平均成绩均为95分，S甲2＝0.028，S乙2＝0.06，S丙2＝0.015，S丁2＝0.32．则应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解可得．
【答案】解：∵这4人的平均成绩相等，而S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，
∴这4人中丙的成绩最稳定，
∴应该选择丙，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方差的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【变式12-3】（2019春•西城区期末）12名同学分成甲、乙两队参加播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身高（单位：cm）如表所示：
队员1
队员2
队员3
队员4
队员5
队员6
甲队
176
175
174
172
175
178
乙队
170
176
173
174
180
177
设这两队队员平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系中，完全正确的是（ ）
A．甲＞乙，S2甲＞S2乙 B．甲＜乙，S2甲＜S2乙
C．甲＝乙，S2甲＞S2乙 D．甲＝乙，S2甲＜S2乙
【分析】根据平均数的计算公式先分别算出甲和乙的平均数，再根据方差公式算出甲和乙的方差，然后进行比较即可．
【答案】解：∵＝（176+175+174+172+175+178）÷6＝175（cm），
＝（170+176+173+174+180+177）÷6＝175（cm），
∴＝，
∵S2甲＝[（176﹣175）2+2×（175﹣175）2+（174﹣175）2+（172﹣175）2+（178﹣175）2]＝，
S2乙＝[（170﹣175）2+（176﹣175）2+（173﹣175）2+（174﹣175）2+（180﹣175）2+（177﹣175）2]＝10，
∴S2甲＜S2乙．
故选：D．
【点睛】本题考查方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【考点13 平均数、中位数、众数、方差的命题判断】
【方法点拨】平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息.
平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.
中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.
中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.
众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多.
众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.
【例13】（2019•上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙稳定
B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大
D．甲的成绩的中位数比乙大
【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．
【答案】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，
则其中位数为8，平均数为8，方差为×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；
乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，
则其中位数为8，平均数为8，方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，
∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数．
【变式13-1】（2019春•门头沟区期末）某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如图所示：根据图判断正确的是（ ）
A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分
B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数
C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数
D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差
【分析】通过计算甲、乙的平均数可对A进行判断；利用中位数的定义对B进行判断；利用众数的定义对C进行判断；根据方差公式计算出甲、乙的方差，则可对D进行判断．
【答案】解：A、甲的平均数＝（7+8+8+9+8）＝8（分），乙的平均数＝（10+7+9+4+10）＝8（分），所以A选项错误；
B、甲的中位数为8（分），乙的中位数为9（分），所以B选项错误；
C、甲的众数为8（分），乙的众数为10，所以C选项错误；
D、甲的方差＝[（7﹣8）2+3（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝；乙的方差＝[2（10﹣8）2+（7﹣8）2+（4﹣8）2+（9﹣8）2]＝，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数和众数．
【变式13-2】（2019•甘肃）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（ ）
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
45
94
93
5.3
乙
45
94
95
4.8
A．甲、乙两班的平均水平相同
B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
D．甲班成绩优异的人数比乙班多
【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．
【答案】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；
B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；
C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；
D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．
【变式13-3】（2019•麒麟区模拟）为积极响应曲靖市政府“举全市之力，集全民之智，力争2020年夺得全国文明城市桂冠”的号召，麒麟区某校举办了一次创文知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了甲、乙两组学生成绩作为样本进行统计，绘制了如下统计图表：
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
6.8
a
3.76
90%
30%
乙组
b
7.5
1.96
80%
20%
则下列说法错误的是（ ）
A．a＝6，b＝7.2
B．甲组的众数是5，乙组的众数是3
C．小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中上游略偏上观察上面的表格可以判断，小英属于甲组
D．从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩
【分析】根据中位数的定义求出a，根据平均数的定义求出b，即可判断A；根据众数的定义分别求出甲、乙两组的众数，即可判断B；根据表格中的数据即可判断C；比较甲、乙两组的平均数和方差，即可判断D．
【答案】解：A、由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10，
∴其中位数a＝6，
乙组学生成绩的平均分b＝（5×2+6×1+7×2+8×3+9×2）＝7.2．
故本选项说法正确；
B、甲组的众数为6，乙组的众数为8，
故本选项说法错误；
C、∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，
而小英得了7分，在小组中排名属中上游略偏上，
∴小英属于甲组学生．
故本选项说法正确；
D、从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩．
故本选项说法正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查折线统计图、加权平均数、中位数及方差，熟练掌握加权平均数、中位数及方差的定义是解题的关键．
【考点14 平均数、中位数、众数、方差的综合应用】
【例14】（2019秋•沙坪坝区校级月考）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生假期向的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100分．现从两个班分别随机抽取了20名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：
A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x＜100），下面给出了部分信息：
甲班20名学生的成绩为：
甲组
82
85
96
73
91
99
87
91
86
91
87
94
89
96
96
91
100
93
94
99
乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：93，91，92，94，92，92，92
甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表
班级
甲组
乙组
平均数
91
92
中位数
91
b
众数
c
92
方差
41.2
27.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若甲、乙两班总人数为125，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
【分析】（1）根据D组数据求得D组所占的百分比求出a，根据中位数和众数的概念求出c、d；
（2）根据平均数和中位数的性质解答；
（3）用样本估计总体，得到答案．
【答案】解：（1）1﹣5%﹣10%﹣10%﹣＝40%，
∴a＝40；
由统计表中的数据可知b＝＝92.5，
c＝91；
故答案为：40，92.5，91；
（2）乙班的学生基础知识背诵情况较好，理由：乙班的平均分，中位数都高于甲班；
（3）125×≈44，
答：估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是44人．
【点睛】本题考查的方差、平均数、中位数、众数、用样本估计总体，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
【变式14-1】（2019•九龙坡区校级三模）炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
男生15名学生测试成绩统计如下：
68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80
女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
组别
频数
65.5～70.5
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
男生
2
2
4
5
1
1
女生
1
1
5
6
2
0
【分析数据】
（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
男生
80
x
80
47.6
女生
80
80
y
26.2
在表中：x＝ ．y＝ ；
（2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有 人；
（3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）用总人数乘以样本中合格人数所占比例可得；
（3）根据平均数与方差的意义说明即可．
【答案】解：（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，
众数是x＝85，
67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，
中位数是y＝80；
（2）2400×＝1200（人），
即估计全校学生中消防安全知识合格的学生有1200人；
（3）女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，
∵平均数相等，男生的方差＞女生的方差，
∴女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好．
故答案为：85，80；1200．
【点睛】本题考查了频数分布直方表，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键．
【变式14-2】（2019•河南模拟）随着2019年全国两会的隆重召开，中学生对时事新闻的关注空前高涨，某校为了解中学生对时事新闻的关注情况，组织全校九年级学生开展“时事新闻大比拼”比赛，随机抽取九年级的25名学生的成绩（满分为100分）整理统计如下：
收集数据：25名学生的成绩（满分为100分）统计如下（单位；分）：
90，74，88，65，98，75，81，44，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100
整理数据：按如下分组整理样本数据并补全表格：
成绩x（分）
90≤x≤100
75≤x＜90
60≤x＜75
x＜60
人数
10
8
分析数据：补充完成下面的统计分析表：
平均数
中位数
方差
76
190.88
得出结论
（1）若全校九年级有1000名学生，请估计全校九年级有多少学生成绩达到90分及以上；
（2）若八年级的平均数为76分，中位数为80分，方差为102.5，请你分别从平均数，中位数和方差三个方面做出评价，你认为哪个年级的成绩较好？
【分析】整理数据：根据已知数据按分组计数可得，再根据中位数的概念可补全统计分析表；
得出结论：（1）总人数乘以样本中成绩达到90分及以上的学生人数所占比例；
（2）分别从平均数和中位数及方差的意义逐一分析可得．
【答案】解：整理数据：补全表格如下
成绩x（分）
90≤x≤100
75≤x＜90
60≤x＜75
x＜60
人数
4
10
8
3
分析数据：补充完成下面的统计分析表：
平均数
中位数
方差
76
76
190.88
得出结论
（1）估计全校九年级成绩达到90分及以上的学生人数为1000×＝160（人）；
（2）从平均数看，八年级和九年级平均数相等，两个年级的平均成绩相等；
从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，所以八年级高分的人数多于九年级高分人数，八年级的成绩较好；
从方差看，八年级的方差小于九年级的方差，所以八年级的成绩比九年级的成绩稳定，八年级的成绩较好；
综上可知，八年级的成绩较好．
【点睛】考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解决问题的前提．
【变式14-3】（2019•九龙坡区校级模拟）甲、乙两校各有200名体训队队员，为了解这两校体训队员的体能，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据：从甲、乙两个学校各随机抽取20名体训队员．进行了体能测试，测试成绩（百分制）如下：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x人数
40≤x≤49
50≤x59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤10
甲校
0
0
1
11
7
1
乙校
1
0
0
7
10
2
（说明：成绩80分及以上为体能优秀，70～79分为体能良好，60～69分为体能合格，60分以下为体能不合格）
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学校
平均数
中位数
众教
优秀率
甲
78.3
77.5
b
40%
乙
78
a
81
c
问题解决：
（1）本次调查的目的是 ；
（2）直接写出a，b，c的值；
（3）得出结论：通过以上数据的分析，你认为哪个学校的体训队学生的体能水平更高，并从两个不同的角度说明推断的合理性．
【分析】（1）通过题干可知本次调查的目的是“为了了解两校体训队员的体能状况“，
（2）将每组数据整理排序，依据中位数、众数的意义、以及优秀率的求法，可以得到答案，求出a、b、c，
（3）可以通过平均、中位数、众数、优秀率中两个方面进行分析，做出判断．
【答案】解：（1）本次调查的目的是：“为了了解这两校体训队员的体能状况”
（2）a＝80.5，b＝75，c＝60%
（3）中位数、众数、优秀率乙校都比甲校的高，因此乙校的体训队的体能水平更高．
【点睛】考查平均数、中位数、众数、优秀率的意义和求法等知识，体会各个统计量反映数据的特点，同时体会和应用样本估计总体的统计思想．
专题1.7 数据的分析章末重难点题型【举一反三】
【北师大版】
【考点1 平均数的计算】
【方法点拨】平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数.
【例1】（2019春•琼中县期末）如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x为（ ）
A．22 B．11 C．8 D．5
【分析】根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【答案】解：由平均数的计算公式得：（﹣3+x+0+1+x+6+9+5）＝5
解得：x＝11，
故选：B．
【点睛】考查算术平均数的计算方法，利用方程求解，熟记计算公式是解决问题的前提，是比较基础的题目．
【变式1-1】（2019•邵阳县模拟）如果两组数据x1，x2、……xn；y1，y2……yn的平均数分别为和，那么新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数是（ ）
A．2 B．2 C．2+ D．
【分析】均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
【答案】解：由已知，（x1+x2+…+xn）＝n，
（y1+y2+…+yn）＝n，
新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数为
（2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn）÷n
＝[2（x1+x2+…+xn）+（y1+y2+…+yn）]÷n
＝（）÷n
＝2+
故选：C．
【点睛】本题考查平均数的计算，可以先把它们都加起来，再除以数据的个数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
【变式1-2】（2019春•永春县期中）已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为5，则另一组数据a1+5，a2﹣5，a3+5，a4﹣5，a5+5的平均数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】根据平均数的性质，所有数之和除以总个数即可得出平均数．
【答案】解：依题意得：a1+5+a2﹣5+a3+5+a4﹣5+a5+5
＝a1+a2+a3+a4+a5+5
＝30，
所以平均数为6．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平均数的定义，本题利用了整体代入的思想，解题的关键是了解算术平均数的定义，难度不大．
【变式1-3】（2018春•南宁期末）x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（ ）
A．a+b B． C． D．
【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．
【答案】解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，50个数的平均数为．
故选：D．
【点睛】正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
【考点2 加权平均数的计算】
【方法点拨】在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，如果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，这组数据的加权平均数就有可能随之改变.
【例2】（2019•恩施州）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（ ）
A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5
【分析】直接利用每部分分数所占百分比进而计算得出答案．
【答案】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是：
95×20%+90×30%+85×50%＝19+27+42.5＝88.5（分）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了加权平均数，正确理解各部分所占百分比是解题关键．
【变式2-1】（2019春•红河州期末）某居民小区10户家庭5月份的用水情况统计结果如表所示：
月用水量/m3
4
5
6
8
9
户数
2
3
3
1
1
这10户家庭的月平均用水量是（ ）
A．2m3 B．3.2m3 C．5.8m3 D．6.4m3
【分析】加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
【答案】解：这10户家庭的月平均用水量（4×2+5×3+6×3+8×1+9×1）＝5.8（m3），
故选：C．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练运用加权平均数公式计算是解题的关键．
【变式2-2】（2019春•门头沟区期末）两位应聘者进行某公司一个英文翻译岗位，以下是两位应聘者的英语听、说、译、写四方面水平测试成绩，公司决定在考虑整体水平的基础上，侧重对“听说能力”的考查，赋予了四方面水平的权重，其中合理的是（ ）
应聘者
面试
笔试
平均
成绩
听
说
译
写
甲
97
90
94
87
92
乙
85
94
97
92
92
A．0.2，0.2，0.3，0.3 B．0.25，0.25，0.25，0.25
C．0.3，0.3，0.2，0.2 D．0.5，0.5，0.0，0.0
【分析】因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重．
【答案】解：因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重，
故选：C．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练运用加权平均数公式是解题的关键．
【变式2-3】（2019秋•河西区期末）某城市2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩＝笔试成绩×60%+面试成绩×40%，小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是88分，小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（ ）
A．4.8分 B．6分 C．9分 D．12分
【分析】设未知数，根据加权平均数的计算方法分别表示各自的最后总分，让总分相等，求出两个面试成绩的差即可．
【答案】解：设小红的姐姐和对手的面试成绩分布为y1、y2，由题意得：
82×60%+y1×40%＝88×60%+y2×40%
y1﹣y2＝（88×60%﹣82×60%）÷40%＝9，
故选：C．
【点睛】考查加权平均数的计算方法，权重的不同会对结果造成很大的影响．
【考点3 中位数和众数的认识】
【方法点拨】中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数.
【例3】（2019春•开福区校级月考）某次数学趣味竞赛共有10组题目，某班得分情况如下表．全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ）
人数
2
5
13
10
7
3
成绩（分）
50
60
70
80
90
100
A．75，70 B．70，70 C．80，80 D．75，80
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【答案】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第20、21个数的平均数，
∴全班40名同学的成绩的中位数是：＝75；
70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；
故选：A．
【点睛】此题考查了中位数和众数众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
【变式3-1】（2019春•永嘉县月考）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，则这40名同学购买课外书花费的众数和中位数分别为（ ）
A．30元，30元 B．30元，50元 C．50元，50元 D．50元，80元
【分析】众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断．
【答案】解：∵购买课外书花费30元的有12人，人数最多，
∴众数是30元；
把这些数从小到大排列，最中间的数是20和21个数的平均数，
则中位数是＝50元；
故选：B．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
【变式3-2】（2019•深圳模拟）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【分析】根据众数的意义求出x的值，再根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可．
【答案】解：一组数据3，4，x，6，7的众数是3，因此x＝3，
将一组数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，因此中位数是4．
故选：B．
【点睛】考查众数、中位数的意义和求法，众数指在一组数据中出现次数最多的数，而中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，理解众数、中位数的意义是正确解答的前提．
【变式3-3】（2019春•庐阳区期末）某篮球队10名队员的年龄结构如表：
年龄/岁
19
20
21
22
24
26
人数
1
1
x
y
2
1
已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数是（ ）
A．21 岁 B．22 岁 C．23 岁 D．24 岁
【分析】先根据数据的总个数及中位数定义得出x＝3、y＝2，再利用众数的定义求解可得．
【答案】解：∵共有10个数据，
∴x+y＝5，
又该队队员年龄的中位数为21.5，即＝21.5，
∴x＝3、y＝2，
则这组数据的众数为21，
故选：A．
【点睛】本题主要考查中位数、众数，解题的关键是根据中位数的定义得出x、y的值．
【考点4 平均数和中位数结合】
【例4】（2019•眉山）某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，x，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
【分析】直接利用已知求出x的值，再利用中位数求法得出答案．
【答案】解：∵5，6，6，x，7，8，9，这组数据的平均数是7，
∴x＝7×7﹣（5+6+6+7+8+9）＝8，
∴这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9
则最中间为7，即这组数据的中位数是7．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中位数，正确得出x的值是解题关键．
【变式4-1】（2019•株洲）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．
【答案】解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当1＜x＜3时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2；
当3≤x＜6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）．
所以x的值为2．
故选：A．
【点睛】本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题．
【变式4-2】（2018•武昌区校级模拟）某中学篮球队16名队员的年龄如表：
年龄（岁）
13
14
x
16
人数
2
6
5
3
若这16名队员年龄的中位数是14.5，则16名队员年龄的平均数是（精确到0.1）（ ）
A．14.5 B．14.6 C．14 D．14.7
【分析】根据中位数的意义和求法，可以推断第9个数据是15，然后根据平均数的求法计算出结果，做出判断．
【答案】解：16名队员的中位数是排序后的第8个和第9个数的平均数，而第8个数是14岁，中位数是14.5，因此第9个数一定是15，表格中的x是15，
＝≈14.6
故选：B．
【点睛】考查中位数、平均数的意义和求法，掌握方法和准确计算是解决问题的前提．
【变式4-3】（2018•正阳县二模）某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是（ ）
A．4.8 B．4.8或5
C．4.6或4.8 D．4.6或4.8或5
【分析】根据1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数知x＝4或x＝5或x＝6，在根据平均数的定义分别计算可得．
【答案】解：∵在1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数，
∴x＝4或x＝5或x＝6，
当x＝4时，平均数为＝4.6；
当x＝5时，平均数为＝4.8；
当x＝6时，平均数为＝5；
故选：D．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数，解题的关键是根据中位数的定义得出x的值．
【考点5 从扇形统计图分析数据】
【例5】（2019春•西湖区校级月考）右图是某种学生快餐（共400g）营养成分扇形统计图，已知其中表示脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，蛋白质含量比碳水化合物多40g．有关这份快餐，下列说法正确的是（ ）
A．表示维生素和矿物质的扇形的圆心角为20°
B．脂肪有44g，含量超过10%
C．表示碳水化合物的扇形的圆心角为135°
D．蛋白质的含量为维生素和矿物质的9倍
【分析】根据脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，可求出维生素和矿物质含量所对应扇形的圆心角为18°，进而求出各个部分所占整体的百分比，各个部分的具体数量是多少克，均可以求出，然后做出选项判断，
【答案】解：∵脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，
∴维生素和矿物质含量所对应扇形的圆心角为18°，
因此A选项不符合题意；
∵脂肪的扇形的圆心角为36°，占整体的＝10%，400×10%＝40克，
∴B选项不符合题意，
∵400×（1﹣10%﹣5%）＝340g，蛋白质含量比碳水化合物多40g，
∴蛋白质190g，碳水化合物为150g，
∴碳水化合物对应圆心角为360°×＝135°
因此C选项符合题意，
维生素和矿物质的含量为400×5%＝20g，蛋白质190g，9倍多，
因此D选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】考查扇形统计图的意义和制作方法，扇形统计图表示各个数据所占整体的百分比，根据总体和部分的关系，可以对数量进行计算，理解各个数据之间的关系是解决问题的前提．
【变式5-1】（2019春•石景山区期末）如图是某学校高中两个班的学生上学时步行、骑车、乘公交、乘私家车人数的扇形
统计图，已知乘公交人数是乘私家车人数的2倍．若步行人数是18人，则下列结论正确的是（ ）
A．被调查的学生人数为90人
B．乘私家车的学生人数为9人
C．乘公交车的学生人数为20人
D．骑车的学生人数为16人
【分析】由步行人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以对应的比例可得乘私家车、公交车、骑自行车的人数．
【答案】解：被调查的学生人数为18÷30%＝60（人），A选项错误；
乘私家车的学生人数60×（1﹣25%﹣30%）×＝9（人），B选项正确；
乘公交车的学生人数60×（1﹣25%﹣30%）×＝18（人），C选项错误；
骑车的学生人数为60×25%＝15（人），D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查扇形统计图．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．
【变式5-2】（2019春•东城区期末）下面两个统计图反映的是甲、乙两所学校三个年级的学生在各校学生总人数中的占比情况，下列说法错误的是（ ）
A．甲校中七年级学生和八年级学生人数一样多
B．乙校中七年级学生人数最多
C．乙校中八年级学生比九年级学生人数少
D．甲、乙两校的九年级学生人数一样多
【分析】扇形统计图反映的部分与整体的关系，即各个部分占的比例大小关系，在一个扇形统计图中，可以直观的得出各个部分所占的比例，得出各部分的大小关系，但在不同的几个扇形统计图中就不能直观看出各部分的大小关系，虽然比例较大，代表的数量不一定就多，还与总体有关．
【答案】解：甲校中七年级学生占全校的35%，和八年级学生人数也占全校的35%，由于甲校的人数是一定的，因此甲校中七年级学生和八年级学生人数一样多是正确的；
乙校中七年级占45%，而其他两个年级分别占25%，30%，因此B是正确的；
乙校中八年级学生占25%，比九年级学生人数占30%由于整体乙校的总人数是一定的，所以C是正确的；
两个学校九年级所占的比都是30%，若两个学校的总人数不同．他们也不相等，故D是错误的，
故选：D．
【点睛】考查对扇形统计图所反映的各个部分所占整体的百分比的理解，扇形统计图只反映部分占总体的百分比，百分比相同，代表的数量不一定相等．
【变式5-3】（2019•江西）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．
【答案】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为1﹣40%＝60%，超过50%，此选项正确；
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%，此选项错误；
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360°×（1﹣40%﹣10%﹣20%）＝108°，此选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．
【考点6 从条形统计图分析数据】
【例6】（2018秋•蚌埠期末）根据条形统计图，下面说法正确的是（ ）
A．步行人数为50人
B．步行与骑自行车的人数和比坐公共汽车的人要少
C．坐公共汽车的人占总数的50%
D．骑自行车的人数最少只有90人
【分析】从图中可获取步行人数、骑自行车的人数、做公共汽车的人数，进而求得初一学生的总人数，以及步行人数、坐公共汽车的人数占总数的比值．再进行判断．
【答案】解：A、从图中可以发现：步行人数是60人；
B、步行与骑自行车的人数和与坐公共汽车的人相等，都是150人；
C、坐公共汽车的人数占总数的150÷（60+90+150）＝50%；
D、骑自行车的人数是90人．
故选：C．
【点睛】本题考查了条形统计图，条形统计图能清楚地表示各个项目的具体数目．能够读懂统计图，根据图中的数据进行正确计算．
【变式6-1】（2019春•西湖区期末）如图是甲，乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则（ ）
A．甲的平均成绩比乙好
B．乙的平均成绩比甲好
C．甲、乙两人的平均成绩一样
D．无法确定谁的平均成绩好
【分析】从统计图中，能够得到10个人的平均成绩，通过计算甲、乙的平均成绩进行比较即可．
【答案】解：甲的平均数为：＝9环，乙的平均数为：＝9环，
因此甲、乙的平均成绩一样．
故选：C．
【点睛】考查条形统计图的制作方法，从条形统计图中获取各自的成绩是解决问题的前提．
【变式6-2】（2019春•海淀区期末）博物馆作为征集、典藏、陈列和研究代表自然和人类文化遗产实物的场所，其存在的目的是为众提供知识、教育及欣赏服务．近年来，人们到博物馆学习参观的热情越来越高，2012﹣2018年我国博物馆参观人数统计如下：
小明研究了这个统计图，得出四个结论：
①2012年到2018年，我国博物馆参观人数持续增
②2019年末我国博物馆参观人数估计将达到1082亿人次
③2012年到2018年，我国博物馆参观人数年增幅最大的是2017年；
④2016年到2018年，我国博物馆参观人数平均年增长率超过10%
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②
【分析】根据条形统计图中的信息对4个结论矩形判断即可．
【答案】解：①2012年到2018年，我国博物馆参观人数持续增，正确；
②10.08×（1+）＝10.45，故2019年末我国博物馆参观人数估计将达到10.45亿人次；故错误；
③2012年到2018年，我国博物馆参观人数年增幅最大的是2017年；正确；
④设平均年增长率为x，则8.50（1+x）2＝10.08，
解得：x＝0.0889，
故2016年到2018年，我国博物馆参观人数平均年增长率是8.89%，故错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了条形统计图，弄清题中图形中的数据是解本题的关键．
【变式6-3】（2019•通州区二模）甲，乙，丙三种作物，分别在山脚，山腰和山顶三个试验田进行试验，每个试验田播种二十粒种子，农业专家将每个试验田成活的种子个数统计如条形统计图，如图所示，下面有四个推断：
①甲种作物受环境影响最小；
②乙种作物平均成活率最高；
③丙种作物最适合播种在山腰；
④如果每种作物只能在一个地方播种，那么山脚，山腰和山顶分别播种甲，乙，丙三种作物能使得成活率最高．
其中合理的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据条形统计图中提供的数据进行计算，即可得到农作物的成活数量以及三种作物平均成活率，根据农作物的成活数量判断播种的位置即可．
【答案】解：由图可得，乙种作物受环境影响最小，故①错误；
甲种作物平均成活率为15，乙种作物平均成活率为16，丙种作物平均成活率约为15.67，故乙种作物平均成活率最高，故②正确；
丙种作物最适合播种在山脚，故③错误；
如果每种作物只能在一个地方播种，那么山脚，山腰和山顶分别播种甲，乙，丙三种作物能使得成活率最高，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，解题时注意：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
【考点7 从折线统计图分析数据】
【例7】（2019春•西湖区校级月考）如图，王老师将某班近三个月跳跃类项目的训练情况做了统计，并绘制了折线统计图，则根据图中信息，以下判断错误的是（ ）
A．男女生5月份的平均成绩一样
B．4月到6月，女生平均成绩一直在进步
C．4月到5月，女生平均成绩的增长率约为8.5%
D．5月到6月女生平均成绩比4月到5月的平均成绩增长快
【分析】男女生5月份的平均成绩均为8.9，据此判断A选项；4月到6月，女生平均成绩依次为8.8、8.9、9.2，据此可判断B选项；根据增长率的概念，结合折线图的数据计算，从而判断C选项；根据女生平均成绩两端折线的上升趋势可判断D选项．
【答案】解：A．男女生5月份的平均成绩一样，都是8.9，此选项正确，不符合题意；
B．4月到6月，女生平均成绩依次为8.8、8.9、9.2，其平均成绩一直在进步，此选项正确，不符合题意；
C．4月到5月，女生平均成绩的增长率为×100%≈1.14%，此选项错误，符合题意；
D．5月到6月女生平均成绩比4月到5月的平均成绩增长快，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，解题的关键是根据折线图得出解题所需的数据及增长率的概念．
【变式7-1】（2019•海淀区校级三模）太阳能是来自太阳的辐射能量，对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源，因此许多国家都在大力发展太阳能．如图是2013﹣2017年我国光伏发电装机容量统计图．根据统计图提供的信息，判断下列说法不合理的是（ ）
A．截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦
B．2017年我国光伏发电新装机容量占当年累计装机容量的50%
C．2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2500万千瓦
D．2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量先减少后增加
【分析】依据折线统计图中的数据进行判断，即可得出结论．
【答案】解：A．截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦，故本选项正确；
B.2017年我国光伏发电新装机容量约占当年累计装机容量的40.6%，故本选项错误；
C.2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2500万千瓦，故本选项正确；
D.2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量先减少后增加，故本选项正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
【变式7-2】（2019春•鹿邑县期末）甲、乙两家公司在去年1﹣8月份期间的盈利情况，统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ）
A．甲公司的盈利正在下跌
B．乙公司的盈利在1﹣4月间上升
C．在8月，两家公司获得相同的盈利
D．乙公司在9月份的盈利一定比甲的多
【分析】根据折线统计图中所反映的数据增减变化情况，这个做出判断即可，
【答案】解：由折线统计图可以看出：甲公司1﹣8月份的盈利的曲线呈下降趋势，因此盈利在逐月下跌，A的判定是正确的，
乙公司1﹣4月份盈利曲线是上升的，因此B的判定是正确的
8月时，甲、乙公司的盈利是一样的，因此C的判定是正确的，
9月的盈利很难取得谁的多、谁的少，不确定因此D的判定是错误的，
故选：D．
【点睛】考查从折线统计图中获取数据做出分析的能力，正确识别图中的数据是解题的关键．
【变式7-3】（2019春•文登区期末）如图是甲、乙两超市1月份到8月份的赢利情况统计图，下列结论不正确的是（ ）
A．甲超市5月份的利润为30万元
B．甲超市的利润逐月减少
C．乙超市4月份的利润最大
D．乙超市9月份的利润将超过甲超市
【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
【答案】A、甲超市5月份的利润为30万元，此选项正确；
B、甲超市的利润逐月减少，此项错误；
C、乙超市4月份的利润最大，此选项正确；
D、乙超市9月份的利润将超过甲超市，此选项正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
【考点8 统计图的选择】
【例8】（2018秋•龙华区期末）金庸先生笔下的“五岳剑派”就是在以下五大名山中：
山名
“东岳泰山”
“西岳华山”
“南岳衡山”
“北岳恒山”
“中岳嵩山”
海拔（米）
1545
2155
1300
2016
1491
若想根据表中数据绘制统计图，以便更清楚的比较这五座山的高度，最合适的是（ ）
A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．以上都可以
【分析】条形统计图便于比较各个数据的大小多少，折线统计图则比较直观的反映数据增减变化情况，扇形统计图反映各个部分占整体的百分比，从各个统计图的特点做出选择．
【答案】解：因为条形统计图比较直观的反映各个数据的大小多少，因此比较五座山的高度，采用条形统计图较好，
故选：C．
【点睛】考查各种统计图的特点，掌握条形统计图、折线统计图、扇形统计图所反映数据的特点是就问题的关键．
【变式8-1】（2019春•大名县期末）要反映我区12月11日至17日这一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）
A．条形统计图 B．折线统计图
C．扇形统计图 D．频数分布统计图
【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【答案】解：根据题意，要求直观反映我市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．
故选：B．
【点睛】此题主要考查统计图的选择，根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
【变式8-2】（2018秋•双峰县期末）空气是由多种气体混合而成的．为了简明扼要地介绍空气的组成情况．较好地描述数据，最适合使用的统计图是（ ）
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．直方图
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．
【答案】解：根据题意，得
要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
故选：C．
【点睛】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
【变式8-3】（2019秋•太原期末）小颖调查该校九年级一班全体学生某周完成部分学科作业的时间，并把平均时间统计如下：
学科
语文
数学
英语
物理
化学
平均时间/时
4
2
3
1.5
1
为了更清楚地描述上述数据，还可以选择（ ）
A．条形统计图
B．扇形统计图
C．折线统计图或扇形统计图
D．条形统计图或扇形统计图
【分析】根据题意的要求，结合统计图的特点，折线统计图表示的是事物的变化情况，条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．易得答案．
【答案】解：根据题意，为了更清楚地描述全体学生某周完成部分学科作业的时间，
而条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，符合要求，
故选：A．
【点睛】本题主要考查统计图的选择，统计图的选择要根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．
【考点9 极差的计算】
【例9】（2018秋•高邮市期末）一组数据：1，5，﹣2，0，﹣1的极差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据极差的定义即可求得．
【答案】解：数据：1，5，﹣2，0，﹣1的极差是：5﹣（﹣2）＝7；
故选：C．
【点睛】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
【变式9-1】（2019秋•赣榆区期末）赣榆一月份某日的最高气温是8°C，最低气温是﹣1°C，这天气温的极差是（ ）
A．﹣7°C B．7°C C．﹣9°C D．9°C
【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可．
【答案】解：这天气温的极差是：8﹣（﹣1）＝9（℃）．
故选：D．
【点睛】本题考查了极差的知识，解答本题的关键是掌握极差的定义．极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．极差＝最大值﹣最小值．
【变式9-2】（2019秋•沂源县期中）数据﹣1、0、3、5、x的极差为7，那么x等于（ ）
A．6 B．﹣2 C．6或﹣2 D．不能确定
【分析】根据极差的公式：极差＝最大值﹣最小值求解即可．
【答案】解：根据题意：x﹣（﹣1）＝7或5﹣x＝7，
∴x＝6或x＝﹣2．
故选：C．
【点睛】考查了极差，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．此题注意：①x是最大值；②x是最小值．
【变式9-3】（2019秋•阜宁县期中）学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我阜宁，唱我阜宁”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如表：
成绩（分）
9.40
9.50
9.60
9.70
9.80
9.90
人数
2
3
5
4
3
1
则入围同学决赛成绩的极差是（ ）
A．0.5 B．9.60 C．9.40 D．9.90
【分析】根据极差的定义即可求得．
【答案】解：入围同学决赛成绩的极差是：9.90﹣9.40＝0.5；
故选：A．
【点睛】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
【考点10 标准差的计算】
【例10】（2019•铁西区校级模拟）已知一组数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，另有一组数据y1，y2，…，yn，其中yk＝6xk+5（k＝1，2，…，n），其标准差是S2，则正确的是（ ）
A．S2＝6S1+5 B．S2＝6S1 C．S2＝S1 D．S2＝S1+5
【分析】根据已知条件即可得到结论．
【答案】解：∵数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，数据y1，y2，…，yn，其中yk＝6xk+5（k＝1，2，…，n），其标准差是S2，
∴第二组数据的标准差是第一组数据的6倍，
∴S2＝6S1，
故选：B．
【点睛】本题考查了标准差，熟练掌握标准差的概念是解题的关键．
【变式10-1】（2019•南京校级模拟）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A． B． C．3 D．
【分析】先根据表中所给的数据求出平均数，再根据方差公式求出方差，然后根据标准差的计算公式即可求出答案．
【答案】解：这组数据的平均数是：（5×20+4×10+3×30+2×30+1×10）÷100＝3，
方差＝[20×（5﹣3）2+10×（4﹣3）2+30×（2﹣3）2+10×（1﹣3）2]＝；
则则这100人成绩的标准差为＝；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平均数、方差、标准差的概念，掌握标准差的计算公式即方差的算术平方根是解题的关键；注意标准差和方差一样都是非负数．
【变式10-2】（2019春•宁波月考）一组数据：1，3，2，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差为（ ）
A．2 B．4 C． D．﹣2
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，根据方差的公式计算出方差，再计算出标准差．
【答案】解：由题意知：x＝15﹣（1+3+2+5）＝4
方差S2＝[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（4﹣3）2]＝2
故五个数据的标准差是S＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数、标准差，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：
（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；
（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；
注意标准差和方差一样都是非负数．
【变式10-3】（2019春•营口期末）设S是数据x1，x2，…，xn的标准差，S1是x1﹣2.5，x2﹣2.5，…xn﹣2.5的标准差，则有（ ）
A．S＝S1 B．S1＝S﹣2.5
C．S1＝（S﹣2.5）2 D．S1＝
【分析】根据方差的意义，新数据的方差不变，这样可求出其标准差与方差的关系．
【答案】解：∵S是数据x1，x2，…，xn的标准差，S1是x1﹣2.5，x2﹣2.5，…xn﹣2.5的标准差，利用一组数据同时加减一个数，方差不变，
∴S＝S1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了标准差的意义，利用方差的性质得出S，1的关系是解题关键．
【考点11 方差的计算】
【方法点拨】计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：
【例11】（2019秋•萧山区校级月考）已知一组数据x1，x2，x3，平均数为2，方差为3，那么另一组数2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1 的平均数和方差分别是（ ）
A．2， B．3，3 C．3，12 D．3，4
【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【答案】解：∵数据x1，x2，x3，平均数是2，
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的平均数是2×2﹣1＝3；
∵数据x1，x2，x3的方差是3，
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的方差是3×22＝12，
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数与方差，关键是掌握平均数与方差的计算公式和变化规律，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【变式11-1】（2019春•海阳市期中）若一组数据a1，a2，……，an的平均数为10，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是（ ）
A．13，4 B．23，8 C．23，16 D．23，19
【分析】根据平均数的概念、方差的性质解答．
【答案】解：数据a1，a2，……，an的平均数为10，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数为2×10+3＝23，
数据a1，a2，……，an，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的方差为4×22＝16，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平均数和方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍．
【变式11-2】（2019春•自贡期末）若一组数据1，1，x，3，3的平均数为x，则这组数据的方差是（ ）
A．4 B． C． D．2
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
【答案】解：∵数据1，1，x，3，3的平均数为x，
∴（1+1+x+3+3）＝x，
解得：x＝2，
则这组数据的方差是S2＝[（1﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（3﹣2）2]＝；
故选：B．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【变式11-3】（2019春•莒南县期末）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（ ）
A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3
【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【答案】解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，
∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，
∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；
故选：B．
【点睛】本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b，方差为a2S2．
【考点12 方差的意义】
【方法点拨】方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，方差越小越稳定.
【例12】（2019秋•乐清市校级月考）甲，乙，丙，丁四名同学在学校演讲选拔赛的成绩平均数x与方差S2如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
8.0
8.0
8.5
8.5
方差s2
3.5
15.5
3.5
16.5
根据表中数据，要从中选一名成绩好又发挥稳定的同学参加市演讲比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据平均数和方差的意义解答．
【答案】解：从平均数看，成绩最好的是丙、丁同学，
从方差看，甲、丙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加市级比赛，应该选择丙，
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
【变式12-1】（2019春•乐清市期中）甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.0
9.0
9.0
9.0
方差
0.25
1.00
2.50
3.00
则成绩发挥最不稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越大数据越不稳定，从而得出答案．
【答案】解：由于S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，则成绩发挥最不稳定的是丁；
故选：D．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【变式12-2】（2019•河南模拟）某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这四名学生进行了10次数学测试，经过数据分析4人的平均成绩均为95分，S甲2＝0.028，S乙2＝0.06，S丙2＝0.015，S丁2＝0.32．则应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解可得．
【答案】解：∵这4人的平均成绩相等，而S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，
∴这4人中丙的成绩最稳定，
∴应该选择丙，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方差的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【变式12-3】（2019春•西城区期末）12名同学分成甲、乙两队参加播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身高（单位：cm）如表所示：
队员1
队员2
队员3
队员4
队员5
队员6
甲队
176
175
174
172
175
178
乙队
170
176
173
174
180
177
设这两队队员平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系中，完全正确的是（ ）
A．甲＞乙，S2甲＞S2乙 B．甲＜乙，S2甲＜S2乙
C．甲＝乙，S2甲＞S2乙 D．甲＝乙，S2甲＜S2乙
【分析】根据平均数的计算公式先分别算出甲和乙的平均数，再根据方差公式算出甲和乙的方差，然后进行比较即可．
【答案】解：∵＝（176+175+174+172+175+178）÷6＝175（cm），
＝（170+176+173+174+180+177）÷6＝175（cm），
∴＝，
∵S2甲＝[（176﹣175）2+2×（175﹣175）2+（174﹣175）2+（172﹣175）2+（178﹣175）2]＝，
S2乙＝[（170﹣175）2+（176﹣175）2+（173﹣175）2+（174﹣175）2+（180﹣175）2+（177﹣175）2]＝10，
∴S2甲＜S2乙．
故选：D．
【点睛】本题考查方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【考点13 平均数、中位数、众数、方差的命题判断】
【方法点拨】平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息.
平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.
中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.
中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.
众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多.
众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.
【例13】（2019•上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙稳定
B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大
D．甲的成绩的中位数比乙大
【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．
【答案】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，
则其中位数为8，平均数为8，方差为×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；
乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，
则其中位数为8，平均数为8，方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，
∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数．
【变式13-1】（2019春•门头沟区期末）某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如图所示：根据图判断正确的是（ ）
A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分
B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数
C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数
D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差
【分析】通过计算甲、乙的平均数可对A进行判断；利用中位数的定义对B进行判断；利用众数的定义对C进行判断；根据方差公式计算出甲、乙的方差，则可对D进行判断．
【答案】解：A、甲的平均数＝（7+8+8+9+8）＝8（分），乙的平均数＝（10+7+9+4+10）＝8（分），所以A选项错误；
B、甲的中位数为8（分），乙的中位数为9（分），所以B选项错误；
C、甲的众数为8（分），乙的众数为10，所以C选项错误；
D、甲的方差＝[（7﹣8）2+3（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝；乙的方差＝[2（10﹣8）2+（7﹣8）2+（4﹣8）2+（9﹣8）2]＝，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数和众数．
【变式13-2】（2019•甘肃）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（ ）
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
45
94
93
5.3
乙
45
94
95
4.8
A．甲、乙两班的平均水平相同
B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
D．甲班成绩优异的人数比乙班多
【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．
【答案】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；
B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；
C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；
D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．
【变式13-3】（2019•麒麟区模拟）为积极响应曲靖市政府“举全市之力，集全民之智，力争2020年夺得全国文明城市桂冠”的号召，麒麟区某校举办了一次创文知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了甲、乙两组学生成绩作为样本进行统计，绘制了如下统计图表：
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
6.8
a
3.76
90%
30%
乙组
b
7.5
1.96
80%
20%
则下列说法错误的是（ ）
A．a＝6，b＝7.2
B．甲组的众数是5，乙组的众数是3
C．小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中上游略偏上观察上面的表格可以判断，小英属于甲组
D．从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩
【分析】根据中位数的定义求出a，根据平均数的定义求出b，即可判断A；根据众数的定义分别求出甲、乙两组的众数，即可判断B；根据表格中的数据即可判断C；比较甲、乙两组的平均数和方差，即可判断D．
【答案】解：A、由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10，
∴其中位数a＝6，
乙组学生成绩的平均分b＝（5×2+6×1+7×2+8×3+9×2）＝7.2．
故本选项说法正确；
B、甲组的众数为6，乙组的众数为8，
故本选项说法错误；
C、∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，
而小英得了7分，在小组中排名属中上游略偏上，
∴小英属于甲组学生．
故本选项说法正确；
D、从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩．
故本选项说法正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查折线统计图、加权平均数、中位数及方差，熟练掌握加权平均数、中位数及方差的定义是解题的关键．
【考点14 平均数、中位数、众数、方差的综合应用】
【例14】（2019秋•沙坪坝区校级月考）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生假期向的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100分．现从两个班分别随机抽取了20名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：
A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x＜100），下面给出了部分信息：
甲班20名学生的成绩为：
甲组
82
85
96
73
91
99
87
91
86
91
87
94
89
96
96
91
100
93
94
99
乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：93，91，92，94，92，92，92
甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表
班级
甲组
乙组
平均数
91
92
中位数
91
b
众数
c
92
方差
41.2
27.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若甲、乙两班总人数为125，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
【分析】（1）根据D组数据求得D组所占的百分比求出a，根据中位数和众数的概念求出c、d；
（2）根据平均数和中位数的性质解答；
（3）用样本估计总体，得到答案．
【答案】解：（1）1﹣5%﹣10%﹣10%﹣＝40%，
∴a＝40；
由统计表中的数据可知b＝＝92.5，
c＝91；
故答案为：40，92.5，91；
（2）乙班的学生基础知识背诵情况较好，理由：乙班的平均分，中位数都高于甲班；
（3）125×≈44，
答：估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是44人．
【点睛】本题考查的方差、平均数、中位数、众数、用样本估计总体，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
【变式14-1】（2019•九龙坡区校级三模）炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
男生15名学生测试成绩统计如下：
68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80
女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
组别
频数
65.5～70.5
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
男生
2
2
4
5
1
1
女生
1
1
5
6
2
0
【分析数据】
（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
男生
80
x
80
47.6
女生
80
80
y
26.2
在表中：x＝ ．y＝ ；
（2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有 人；
（3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）用总人数乘以样本中合格人数所占比例可得；
（3）根据平均数与方差的意义说明即可．
【答案】解：（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，
众数是x＝85，
67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，
中位数是y＝80；
（2）2400×＝1200（人），
即估计全校学生中消防安全知识合格的学生有1200人；
（3）女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，
∵平均数相等，男生的方差＞女生的方差，
∴女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好．
故答案为：85，80；1200．
【点睛】本题考查了频数分布直方表，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键．
【变式14-2】（2019•河南模拟）随着2019年全国两会的隆重召开，中学生对时事新闻的关注空前高涨，某校为了解中学生对时事新闻的关注情况，组织全校九年级学生开展“时事新闻大比拼”比赛，随机抽取九年级的25名学生的成绩（满分为100分）整理统计如下：
收集数据：25名学生的成绩（满分为100分）统计如下（单位；分）：
90，74，88，65，98，75，81，44，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100
整理数据：按如下分组整理样本数据并补全表格：
成绩x（分）
90≤x≤100
75≤x＜90
60≤x＜75
x＜60
人数
10
8
分析数据：补充完成下面的统计分析表：
平均数
中位数
方差
76
190.88
得出结论
（1）若全校九年级有1000名学生，请估计全校九年级有多少学生成绩达到90分及以上；
（2）若八年级的平均数为76分，中位数为80分，方差为102.5，请你分别从平均数，中位数和方差三个方面做出评价，你认为哪个年级的成绩较好？
【分析】整理数据：根据已知数据按分组计数可得，再根据中位数的概念可补全统计分析表；
得出结论：（1）总人数乘以样本中成绩达到90分及以上的学生人数所占比例；
（2）分别从平均数和中位数及方差的意义逐一分析可得．
【答案】解：整理数据：补全表格如下
成绩x（分）
90≤x≤100
75≤x＜90
60≤x＜75
x＜60
人数
4
10
8
3
分析数据：补充完成下面的统计分析表：
平均数
中位数
方差
76
76
190.88
得出结论
（1）估计全校九年级成绩达到90分及以上的学生人数为1000×＝160（人）；
（2）从平均数看，八年级和九年级平均数相等，两个年级的平均成绩相等；
从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，所以八年级高分的人数多于九年级高分人数，八年级的成绩较好；
从方差看，八年级的方差小于九年级的方差，所以八年级的成绩比九年级的成绩稳定，八年级的成绩较好；
综上可知，八年级的成绩较好．
【点睛】考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解决问题的前提．
【变式14-3】（2019•九龙坡区校级模拟）甲、乙两校各有200名体训队队员，为了解这两校体训队员的体能，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据：从甲、乙两个学校各随机抽取20名体训队员．进行了体能测试，测试成绩（百分制）如下：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x人数
40≤x≤49
50≤x59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤10
甲校
0
0
1
11
7
1
乙校
1
0
0
7
10
2
（说明：成绩80分及以上为体能优秀，70～79分为体能良好，60～69分为体能合格，60分以下为体能不合格）
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学校
平均数
中位数
众教
优秀率
甲
78.3
77.5
b
40%
乙
78
a
81
c
问题解决：
（1）本次调查的目的是 ；
（2）直接写出a，b，c的值；
（3）得出结论：通过以上数据的分析，你认为哪个学校的体训队学生的体能水平更高，并从两个不同的角度说明推断的合理性．
【分析】（1）通过题干可知本次调查的目的是“为了了解两校体训队员的体能状况“，
（2）将每组数据整理排序，依据中位数、众数的意义、以及优秀率的求法，可以得到答案，求出a、b、c，
（3）可以通过平均、中位数、众数、优秀率中两个方面进行分析，做出判断．
【答案】解：（1）本次调查的目的是：“为了了解这两校体训队员的体能状况”
（2）a＝80.5，b＝75，c＝60%
（3）中位数、众数、优秀率乙校都比甲校的高，因此乙校的体训队的体能水平更高．
【点睛】考查平均数、中位数、众数、优秀率的意义和求法等知识，体会各个统计量反映数据的特点，同时体会和应用样本估计总体的统计思想．
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