【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题08 导数及其应用小题 （压轴版）

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1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】
专题08 导数及其应用小题压轴练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·福建漳州·统考三模）已知函数和函数，具有相同的零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据零点定义可整理得到，令，利用导数，结合零点存在定理的知识可确定在上单调递减，在上单调递增，并得到，，由可确定，由此化简所求式子即可得到结果.
【详解】由题意知：，，
联立两式可得：，
令，则；
令，则在上单调递增，
又，，
在上存在唯一零点，且，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点、利用导数求解函数单调性的相关问题；解题关键是能够灵活应用零点存在定理确定导函数的正负，并得到隐零点所满足的等量关系式，进而利用等量关系式化简最值和所求式子.
2．（2023·湖南岳阳·统考二模）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为函数与图象有两个不同的交点，根据换元法将函数转化为，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
，
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以，
函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的解，
则，
等价于函数与图象有两个不同的交点.
令，则，，
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且g(1)=e，
所以，
且趋向于0时，趋向于正无穷；趋向于正无穷时，趋向于正无穷，
所以，解得.
故选：A.
【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
3．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.
【详解】因为，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,又因为为偶函数,
所以在上单调递增，
又因为,,
又因为,
因为,，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.
4．（2023·山东青岛·统考一模）已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用奇函数得到，再判断，利用二次求导判断在上单调递增，从而可判断.
【详解】因为，
所以在上是奇函数.所以
对求导得，
令，则
当时，，所以在上单调递增，
则时，，即，
所以在上单调递增.
因为，所以，
因为在上单调递增，
所以.
令，则
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，
而，即，所以，即.
所以，即，则
所以
所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：
构造函数，判断.
5．（2023·广东茂名·统考一模）设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小.
【详解】，，
故可构造函数，，
所以在上单调递增，所以，即.
故选:B.
6．（2023·广东·校联考模拟预测）已知，，，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，，利用导数得出其单调性，进而得出大小关系.
【详解】比较b、c只需比较，
设，则，当时，，
即函数在上单调递减，所以，即，
所以，所以.
比较a、b只需比较，
设，则，因为单调递减，
且，所以当时，，
所以在上单调递减.即，，
所以，即.
综上，.
故选：A
7．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则（ ）
A．13B．16C．25D．51
【答案】C
【分析】根据题意利用赋值法求出、、、的值，推出函数的周期，结合，每四个值为一个循环，即可求得答案.
【详解】由，令，得，所以．
由为奇函数，得，所以，
故①．
又②，
由①和②得，即，
所以，③
令，得，得，
令，得，得．
又④，
由③-④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，
故，
所以，
所以
，
故选：C．
【点睛】方法点睛：解决此类抽象函数的求值问题时，涉及到函数的性质，比如奇偶性和对称轴以及周期性等问题，综合性较强，有一定难度，解答时往往要采用赋值法求得某些特殊值，继而推出函数满足的性质，诸如对称性和周期性等，从而解决问题.
8．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）设函数（）（为自然对数的底数），若恰好存在两个正整数，使得，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，只需考查当时，成立的正整数有且只有两个，再构造函数，探讨其性质即可作答.
【详解】函数中，，而恰好存在两个正整数使得，则，
当时，，因此有且只有两个大于1的正整数使得成立，
令，求导得：，由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则必有，又，因此符合题意的正整数只有2和3两个，
于是得，所以实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.
9．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对求导，得出的单调性，可知，可求出的大小，对两边取对数，则，可得，最后比较与大小，即可得出答案.
【详解】，，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，，则，，
，，∴，排除D．
，则，，，∴，排除B．
比较与大小，先比较与大小，
,，
因为，所以
所以在上单调递增，，
所以，所以，
∴，综上.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题涉及三个量的大小比较，关键点在于构造函数，运用函数的单调性可求出的大小，即可判断的大小，的大小，最后构造函数，比较与的大小即可得出答案.
二、多选题
10．（2023·浙江温州·统考二模）函数，则（ ）
A．，使得在上递减
B．，使得直线为曲线的切线
C．，使得既为的极大值也为的极小值
D．，使得在上有两个零点，且
【答案】BC
【分析】根据函数单调由即可求解A，根据切点为的切线，即可求解B,求导，利用导数的正负确定单调性即可确定极小值，结合对称性即可确定极大值，根据，分情况讨论，即可利用矛盾求解D.
【详解】A．若，使得在上递减，则，代入得，解得 且，故 不存在，因此不存在，使得在上递减，故A错；
B．当时，，当切点为时，则只需，故B对；
C．注意到，令，
另一方面，时，，
当时，，
当时，
此时时，取极小值，此时为极小值，
由，所以函数的图象关于对称，由对称性可知：为的极大值，此时也为极大值．故C对；
对于D，若，则，
所以或，当时，或，此时要使有2个零点，则，
则，不符合题意；当时，，设，
所以，当时，，当时，，所以在递减，在上递增，所以可设，设，
所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以，即，而在上单调递减，所以，故D不正确；
故选：BC
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
11．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ）
A．B．
C．的最大值为0D．当时，
【答案】AB
【分析】先利用导数几何意义求出切线方程，利用切线斜率和截距相等建立方程，然后利用指对互化判断A、B，由数量积坐标运算化简，判断函数值符号即可判断C，构造函数，利用导数法研究函数的单调性，判断D
【详解】因为，所以，又，所以，
切线：，即，
因为，所以，又，所以，
切线：，即，
由题意切线重合，所以，所以，即，A正确；
当时，两切线不重合，不合题意，
所以，，，
所以，，B正确；
，
当时，，，则，当时，，，
则，，所以，C错误；
设，则，
所以函数在上单调递增，所以，所以，
所以，∴，
记，则，
所以函数在上单调递增，则，所以，D错误.
故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数或对数，朝目标化简.
12．（2023·江苏南通·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】证明，放缩可判断A，由，放缩可判断B，先证出，再放缩，根据再放缩即可判断C，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D.
【详解】由，可得，
，
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，即，
由知，A正确；
由可得，可得（时取等号），
因为，所以，B正确；
时，，则，
，C错误；
，
令，则，
，
在单调递增，，，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：比较式子的的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可.
13．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及进行求解.
【详解】设，，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的最大值为，即.
因为，所以.
设，，所以当时，为减函数；
因为，，所以.
由可得，所以，故B正确.
设，，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的最大值为，所以，即.
.
设，易知为增函数，由可得，故C正确.
因为为单调递减函数，在上是增函数，在上是减函数，且的图象经过图象的最高点，所以当时，的大小无法得出，故A不正确.
令，则，得，易知在为增函数，所以，
所以不成立，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的常用方法：
（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；
（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；
（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；
（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如，等.
14．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数，是的导数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有唯一极小值
C．函数在上有且只有一个零点，且
D．对于任意的，，恒成立
【答案】ABD
【分析】对函数求导，利用二次导函数的正负判断导函数函数的单调性，进而判断选项；构造函数，利用导数求解函数的单调性并证明不等式，进而判断选项.
【详解】，
，则，
设，
，
则函数在上单调递增，，因此对任意的恒成立，所以在上单调递增，故选项正确；
又，所以，则存在，使得．在时，；时，；
所以函数在单调递减，在单调递增，
故有唯一极小值，故选项正确；
令，，
则，
所以函数在单调递减，在单调递增，
且，则有．
又，
因此存在，使得，
当时，，当时，，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则．
又，
从而存在唯一，使得．
显然当时，，当时，．
又，令，
，
因此函数在上单调递减，，
有，，则，
即，从而函数在上有唯一零点，
函数在上有且只有一个零点，且，故选项C错误；
，，
，
设，，
则
由选项知，在上单调递增，而，则，
即有，因此函数在上单调递增，
，即有，
所以对任意的，，总满足，故选项正确．
故选：.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结论构造辅助函数.
15．（2023·湖南·模拟预测）函数（e为自然对数的底数），则下列选项正确的有（ ）
A．函数的极大值为1
B．函数的图象在点处的切线方程为
C．当时，方程恰有2个不等实根
D．当时，方程恰有3个不等实根
【答案】BD
【分析】求出函数的导数，利用导数探讨极大值判断A；利用导数的几何意义求出切线方程判断B；分析函数性质并结合函数图象判断CD作答.
【详解】对于A：，
在区间，上，，单调递增，在区间上，，单调递减，
所以的极大值为，A错误；
对于B：，，则函数图象在点处的切线方程为，即，B正确；
对于C、D：因为在上递增，在上递减，，，
在上递增，且在上的取值集合为，在上的取值集合为，
因此函数在上的取值集合为，的极大值为，的极小值为，
作出函数的部分图象，如图，
观察图象知，当或时，有1个实数根；当或时有2个实数根；
当时，有3个实数根，C错误，D正确.
故选：BD
【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
16．（2023·广东肇庆·统考二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】将已知转化为，通过构造函数法，结合导数判断当时，，进而构造函数，根据单调性即可判断选项CD；同理利用构造函数和求导即可判断AB.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
构造
，
所以，
当，即时，
分析即可，
所以在上单调递减，
所以，所以，
所以，
所以，
由，
所以，
构造，，
则，
所以在上单调递增，
所以由得，
所以，
故此时， D选项错误；
当时，，此时，
所以可能成立，故C选项可能正确，
由，即，
构造，
所以，设，
当时，，所以在单调递减，在上单调递增，
且，所以当时，
即，
所以，
构造，
则，所以在上单调递增，
所以，故A可能正确，B项错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想与逻辑推理能力，属于难题.注意事项：利用构造法，关键在于构造函数以及，利用导数以及参数的范围进行判断.
17．（2023·广东佛山·统考一模）若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】依题意可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再令，利用导数说明，即，从而得到，当且仅当时取等号，即可判断.
【详解】解：因为，所以，
因为，所以，则，
令，，则，
所以在上单调递增，
由，可得，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即当且仅当时取等号，
即当且仅当时取等号，
又，所以，当且仅当时取等号，
当时或，
结合与的图象也可得到
所以或.
故选：AC
18．（2023·浙江·校联考三模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对于A、B选项，利用条件构造，比值换元将问题转化为单变量函数求值域问题；
对于C、D选项，构造函数通过分析单调性判断即可.
【详解】∵，∴
∴
令，因为，所以，
即，则
当时，；
当且时，令，
则
综上，，即B正确；
又因为，所以
令，
显然在上单调递增，）的零点y满足
∴，解得.
所以要证，即证
因为在上单调递增，所以即证
而
所以成立，即成立，C正确
因为，所以当时，，AD错误.
故选：B、C．
19．（2023·浙江·校联考三模）已知函数，则（ ）
A．有一个零点B．在上单调递减
C．有两个极值点D．若，则
【答案】BD
【分析】，，求出时，，并证明此解为的唯一解，则可判断A,B,C，对D选项，通过构造函数，利用导数证明其大于0,即可证明D选项正确.
【详解】对A, B,C选项，
令，因为，
，，
所以在上单调递减，
所以，即
所以当时，，且为唯一解，
所以单调递减；单调递增，
所以，即在上无零点，
同时表明在上有唯一极值点，故A,C错误，B正确；
对D，若，设，则，
要证，即证，
因为在上单调递增，所以即证，
因为，所以即证，
令，
，其中在上单调递增，
所以，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以成立，即成立，故D正确.
故选：BD．
20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知函数．以下说法正确的是（ ）
A．若在处取得极值，则函数在上单调递增
B．若恒成立，则
C．若仅有两个零点，则
D．若仅有1个零点，则
【答案】AB
【分析】求出函数的导数，求出a值，再探讨单调性判断A；变形给定不等式，利用同构思想等价转化，分离参数再构造函数，利用导数求出最大值判断B；利用选项B中构造的函数，探讨函数的值域，进而求出a值或范围判断CD作答.
【详解】函数的定义域为，
对于A，，因为在处取得极值，则，解得，
，因为函数在上都单调递增，则在上单调递增，
当时，，当时，，因此是函数的极小值点，且在上单调递增，A正确；
对于B，，
成立，令，显然函数在R上都是增函数，
于是在R上单调递增，即有，成立，
因此，成立，
令，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
则当时，，从而，解得，
所以当恒成立时，，B正确；
对于C，函数仅有两个零点，等价于方程有两个不等根，
由选项B知，方程有两个不等根，
由选项B知，函数的图象与直线有两个公共点，
而函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，函数的取值集合是，函数的取值集合是，
因此函数在的取值集合是，
当时，令，，即函数在上单调递减，
，即当时，，因此，
而函数在上单调递减，其取值集合是，无最小值，
因此函数在上的取值集合是，
从而函数在的值域是，在上的值域是，
于是要有两个不等根，当且仅当，解得，C错误；
对于D，函数仅有1个零点，由选项C知，当且仅当，解得，D错误.
故选：AB
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
三、填空题
21．（2023·浙江·模拟预测），则b的最大值是____________．
【答案】
【分析】将不等式变形为，等价于直线在与之间，通过图象发现当且仅当l为两函数的公切线时，b获得最值，故利用导数的几何意义可得到（其中为l与的切点的横坐标），故构造，研究其零点的范围即可
【详解】，变形得．
问题等价于直线在与之间，
如图所示．
当且仅当l为两函数的公切线时，b获得最值．
设l与的切点为，l与的切点为，
由公切线得，
得，
得
，
发现为的一个解．
令，
令，得，
所以当，当，
在上单调递减，在上单调递增，，
而，，
的两根居于两侧，
已知一根为，所以另一根大于，
因为在上单调递减，
所以当时，b取得最大值，该值为．
故答案为：
【点睛】关键点睛：这道题的关键一是能看出直线在与之间，通过数形结合的方法得到当且仅当l为两函数的公切线时b获得最值，关键二是构造借助导数的方法得到的两根居于两侧，然后根据二次函数的函数进行判断即可
22．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】对求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合的图像性质即可求得的取值范围.
【详解】因为，
所以，
因为只有一个极值点，
所以若3是极值点，
因为，所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，故，
则，所以；
当趋向于0时，趋向于1，趋向于0，则趋向于正无穷，
当趋向正无穷时，趋向正无穷的速率远远大于趋向正无穷的速率，则趋向于正无穷，
若3不是极值点，则3是即的一个根，且存在另一个根，此时；
当时，，
令，解得；令，解得；
所以在单调递减，在单调递增，满足题意，
综上：或，即.
故答案为：.
23．（2023·江苏南通·统考模拟预测）若函数存在最小值，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【分析】对函数转换成分段函数，对各段求导确定函数的单调性，讨论的大小明确单调性，根据函数存在最小值列不等式即可求得实数a的取值范围.
【详解】因为，所以，则.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，得，
若时，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，要使得存在最小值，则，所以，此时；
若时，在上单调递增，在上单调递减，要使得存在最小值，则，此时；
若时，在上单调递减，上单调增，则存在最小值.
综上，则实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数单调性最值取值情况问题，解题的关键是对含参区间进行讨论，确定区间上与函数的极值点的包含关系，从而可得函数的单调区间，并且要满足函数在区间上存在最小值，还得比较区间端点函数值与极小值的大小，才能确定符合条件的的取值情况.
24．（2023·江苏·统考一模）直线与曲线：及曲线：分别交于点A，B.曲线在A处的切线为，曲线在B处的切线为.若，相交于点C，则面积的最小值为____________.
【答案】2
【分析】利用导数的几何意义，设出直线，求出交点的横坐标，从而求出，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】设，
由，得到，由，得到
所以由导数的几何意义得：，
，联立方程解得：
的面积，
令，所以，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：2
25．（2023·湖南郴州·统考三模）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】将函数化简成，构造同构函数，分析单调性，转化为即求解研究函数单调性即可解决.
【详解】因为通分得：即：；设
，
函数在单调递增，
恒成立，得：即
设，
易知函数在上单调递增，在上单调递减
故答案为：
26．（2023·广东湛江·统考一模）若函数存在两个极值点，且，则______．
【答案】
【分析】求导得到，，，，则，解得答案.
【详解】，定义域为，所以，
故，；又，所以．
又，故，所以，所以．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的极值点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用消元的思想解方程是解题的关键.
27．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）若关于x的不等式对任意的恒成立，则整数k的最大值为______.
【答案】1
【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得.
【详解】因为对于任意恒成立，等价于对于任意恒成立，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递增，又，
所以在有且仅有一个根，满足，即，
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以，
由对勾函数可知，即，
因为，即，，，
所以.
故答案为：1.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
28．（2023·湖北·校联考模拟预测）设且，若对都有恒成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】由原不等式结合基本不等式可得，再由可得，则得，然后由结合指数的运算可得，再通过构造函数利用导数证明在，有即可.
【详解】因为且，因为，当且仅当时取等号，
故，所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以.
又，所以，显然，
所以有，即恒成立，
又，所以，故，所以.
当时，恒成立，即恒成立，与矛盾.
下面证明：在，有，
令
要使，即
即
由知，得
从而需证：
即需证明：，记
从而只需证：①
而，
令，则
，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，即，
因为，所以
∴在上递增，又，
∴在递减，，
递增，，
而，从而在时总有
∴①式恒成立，不等式得证.
综上所述，.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查不等式恒成立问题，解题的关键是根据已知条件结合基本不等式确定出的范围，然后通过构造函数再证明其正确性即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
29．（2023·湖南常德·统考一模）已知不等式对恒成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据条件，由函数的定义域得到，再将原不等式转化为时，
恒成立，构造函数（），
利用导数结合与在上的函数图像讨论的最大值，
从而得到关于的不等式，即可求解.
【详解】由题意得：要使有意义，则，
当时，恒成立，即，所以，
当时，令（），
要使不等式对恒成立，
则时，函数在上恒成立，
又，可知 在上是减函数，
当时，与在上的函数图像必有一个交点，
设其横坐标为，则有，即，
当时，时，的函数图像在下方，
则，所以在单调递减，所以；
当时，时，的函数图像在上方，时，的函数图像在下方，
所以时，；时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
所以.
要使时，函数在上恒成立，
则时，；
①当时，不等式，
设，，
可知在上单调递增，又，
所以时，成立，
故时，，解得：；
②当时，不等式（），则，
又在上单调递增，则时，，
所以时，不等式，解得：，
综上所述：的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
30．（2023·广东·校联考模拟预测）曲线与的公共切线的条数为________．
【答案】2
【分析】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则
，则公切线条数为零点个数.
【详解】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则，
注意到，，则由，可得
.
则公切线条数为方程的根的个数，
即函数的零点个数.
，令，则，
得在上单调递增.因，
则，使得.则在上单调递减，在上单调递增，
故，
又注意到，
，则，
使得，得有2个零点，即公共切线的条数为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大.
本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题有范围，故选择消掉，构造与有关的方程与函数.