【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题08 导数及其应用小题 （基础版）

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1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】
专题08 导数及其应用小题基础练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值．
【详解】由，得，
因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，则．
故选：A．
2．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，则函数的图像在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由奇函数的性质求，再由导数的几何意义求切线的斜率.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，
所以，
所以，
所以，故，
所以，
所以函数的图像在点处的切线的斜率为.
故选：D.
3．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设a为实数，函数的导函数是，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数加法法则，可得，结合偶函数概念可得，根据曲线在某点处的导数几何意义，可得结果.
【详解】由
所以，
又是偶函数，所以，
即
所以
则，
所以曲线在原点处的切线方程
为
故选：A
【点睛】本题重在考查曲线在某点处的切线方程，要审清题干，注意：是在某点处的切线方程，还是过某点的切线方程，属基础题.
4．（2022·湖南长沙·长沙县第一中学校考模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】C
【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2的值．
【详解】因为
所以
当时，，此时，
∴．
故选：C.
5．（2023·山西·校联考模拟预测）若直线与函数和的图象都相切，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由切线方程得出切线斜率，进而可由函数的导数求出切点坐标，将两个函数的切点分别代入切线方程中，求出．
【详解】设直线与函数和的图象分别相切于点，
则由，得，令，得，
将代入中得，
由，得，令，得，
将代入中得，
所以．
故选：D
6．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过构造函数，利用导数研究函数单调性，证得，则有，再通过作商法比较.
【详解】设，因为，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当，且时，，即.
所以，，所以最小，
又因为，所以.
综上，.
故选：A
7．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）若函数在上是单调减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由求导公式和法则求出，由导数与函数单调性的关系，列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．
【详解】由题意得，，
因为在[1，+∞）上是单调减函数，
所以≤0在[1，+∞）上恒成立，
当≤0时，则在[1，+∞）上恒成立，
即a，设g（x），
因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，
当时，g（x）取到最大值是：，
所以a，
所以数a的取值范围是（﹣∞，]
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，将问题转化为恒成立问题，利用分离常数法，求函数值域，属于中档题．
8．（2023·重庆·统考一模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求得在上单调递增的充要条件即可判断.
【详解】由题
若在上单调递增，则恒成立，即，
故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件
故选:.
9．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，利用导数的几何意义及三角函数的诱导公式，结合三角函数的齐次式的解决方法及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】因为，
所以
所以，解得，
所以
由题意可知，，
所以.
故选：B.
10．（2023·湖北·统考模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
二、多选题
11．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．存在，使得函数为奇函数
C．任意，
D．函数有且仅有2个零点
【答案】ABC
【分析】A选项：通过导数判断函数单调性；B选项：取特殊值验证结论的存在；C选项：通过放缩，得到函数值的范围；D选项：通过函数值的符号，判断零点个数.
【详解】对于A：，
因为，所以，，因此，
故，所以在上单调递增，故A正确；
对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，
且，故为奇函数，B正确；
对于C：时，；时，；
时，；C正确；
对于D：时，，时，，
时，，所以只有1个零点，D错误；
故选：ABC
12．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数的导函数，且，，则（ ）
A．是函数的一个极大值点
B．
C．函数在处切线的斜率小于零
D．
【答案】AB
【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断.
【详解】令，解得，则在上单调递增，
令，解得或，则在上单调递减，
故是函数的一个极大值点，，A、B正确；
∵，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误；
又∵，则，但无法确定函数值的正负，D错误；
故选：AB.
13．（2022·广东韶关·校考模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先求导，利用基本不等式求出，从而得到单调递增，得到，根据函数单调性得到ABD选项，C选项可以举出反例.
【详解】定义域为R，
，
当且仅当即时，等号成立，此时，
所以恒成立，所以单调递增，
因为，
所以，
因为单调递增，所以，A正确；
因为单调递增，所以，B正确；
，但与大小不确定，例如，
此时满足，但=，此时，C错误；
因为，画出函数图像，如下图：
可知单调递增，所以，D正确.
故选：ABD
14．（2023·安徽淮北·统考一模）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，
故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
15．（2023·安徽·统考一模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．的单调递增区间为和
C．的最大值为
D．的极值点为
【答案】AB
【分析】根据函数奇偶性定义即可判断是奇函数，利用导数研究函数的单调性可知，的单调递增区间为和，单调减区间为，所以无最大值，极大值点为，极小值点为.
【详解】因为对，根据奇函数定义可知函数是上的奇函数，即A正确；
令可得或，即的单调递增区间为和，故B正确；
由B可知，在单调递增，所以无最大值，即C错误；
由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点不是点，所以错误.
故选：AB
三、填空题
16．（2023·广东广州·统考二模）函数的图象在处的切线方程为____________
【答案】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求解作答.
【详解】函数，求导得：，则，而，
所以函数的图象在处的切线方程为.
故答案为：
17．（2023·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，写出一条切线的方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设切点坐标，利用导数求切线斜率，代入点求出未知数即可得到切线方程.
【详解】，，
设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，
代入点，得，即，解得或，
当时，切线方程为；当时，切线方程为.
故答案为：（或）.
18．（2022·广东佛山·统考模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②的函数____________．
①的图象关于点对称；②曲线在点处的切线方程为
【答案】（答案不唯一）
【分析】由的图象的对称性可构造相关的函数，再结合切线方程，可构造，经检验符合要求.
【详解】因为曲线在点处的切线方程为，
故切点为，，
由的图象关于点对称可得为一个奇函数向上平移1个单位长度得到，
结合以上条件，故不妨令，定义域为R，
且，
故的图象关于点对称，
又，，
且，
故在点处的切线方程为，
整理得：，满足题意.
故答案为：.（答案不唯一）
19．（2022·江苏盐城·阜宁县东沟中学校考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式______．
①；②是偶函数；③在上单调递增．
【答案】（满足条件即可）
【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可》
【详解】解：如，
，，故，
是偶函数，
又在上单调递增，
故答案为：（满足条件即可）
20．（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数的图象在点处的切线方程为______．
【答案】
【分析】先求导，再由导数的几何意义和点斜式即可求解
【详解】因为，所以．因为，，所以所求切线方程为，即.
故答案为：
21．（2023·云南玉溪·统考一模）已知函数的图象在处的切线的倾斜角为α，则________．
【答案】
【分析】由导数的几何意义求出，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案.
【详解】，，即，，，
利用三角函数定义，．
故答案为：.
22．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
【答案】##
【分析】求导，根据极值点可得，进而解得或，代入验证极值点可确定，进而根据极大值以及端点处的函数值进行比较即可求解.
【详解】由，得，
因为是函数的极小值点，所以，即，
即，解得或．
当时，，
当或时，，当时，，
所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不符合题意；
当时，，
当或时，，当时，，
所以在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故
又因为，，
所以函数在的最大值为．
故答案为：．
23．（2023·江苏·二模）已知曲线与在处的切线互相垂直，则 __________
【答案】
【分析】求导得切线斜率，根据切线垂直的斜率关系建立方程即可得解．
【详解】由，得，则曲线在处的切线斜率为，
由，得，则曲线在处的切线斜率为，
则根据题意有 ，
即，
得．
故答案为：.
24．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数的值为_______．
【答案】
【分析】首先求出函数的导函数，设切点为，即可得到方程组，解得即可；
【详解】∵，∴，设切点为，则，解得．
故答案为: .
25．（2023·安徽合肥·统考一模）函数在点处的切线与直线平行，则实数______．
【答案】5
【分析】根据导数的几何意义结合平行关系分析运算.
【详解】∵，则，
∴，
若切线与直线平行，则，解得.
故答案为：5.
26．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）若函数的图像在点处的切线方程为，则实数______．
【答案】
【分析】利用导数和切线斜率间的关系求实数的值.
【详解】，则，依题意有，则实数.
故答案为：-2
27．（2023·河北石家庄·统考一模）曲线在点处的切线的斜率为_________．
【答案】##
【分析】根据导数的几何意义与导数的运算法则即可得解.
【详解】的导数为，
所以在点处的切线的斜率为.
故答案为：.
28．（2023·福建漳州·统考二模）函数的图象在处的切线方程为________．
【答案】
【分析】先对求导，再求出所求切线的斜率与切点，从而由点斜式方程即可得出答案.
【详解】由可得，
所以所求切线的斜率为，
又当时，，即切点为，
所以函数的图象在处的切线方程为：.
故答案为：.
29．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）写出曲线过点的一条切线方程__________．
【答案】或（写出其中的一个答案即可）
【分析】首先判断点在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方程.
【详解】解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为当或时，；当时，，
所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意．
故答案为：或（写出其中的一个答案即可）
30．（2023·江苏南京·校考一模）若直线与曲线相切，则_________．
【答案】
【分析】设切点为，根据导数的几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得，代入可得结果.
【详解】设直线与曲线相切于点，
由得：，，，
又，，解得：，
.
故答案为：.