【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题15 解析几何小题 （压轴版）

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【一专三练】 专题15 解析几何小题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，的延长线交双曲线于点，若双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义得到关于的表达式，在与中利用余弦定理求得与，从而求得关于的表达式，由此得解.
【详解】因为双曲线的离心率为，即，令，则，
所以，，
不妨设点在双曲线的右支上时，如图，
记，则由双曲线的定义得，
所以，
在中，，则，
即，整理得，
解得或（舍去），故，，
在中，，则，
即，整理得，
解得，则，，
所以；
故选：B.
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由题设知且求得，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与的切点的位置，进而求离心率.
【详解】由题设，又点与抛物线的焦点重合，即，
由，则，故，即，
如下图示，内切圆与△各边的切点为，
所以，又，
则，
所以为双曲线右顶点，又△的内切圆圆心的横坐标为4，即，
故，则，所以离心率为.
故选：B
3．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.
【详解】由题意如图所示：
由双曲线，知，
所以，
所以，
所以过作垂直于轴的直线为，
代入中，解出，
由题知的内切圆的半径相等，
且，的内切圆圆心
的连线垂直于轴于点，
设为，在中，由等面积法得：
由双曲线的定义可知：
由，所以，
所以，
解得：，
因为为的的角平分线，
所以一定在上，即轴上，令圆半径为，
在中，由等面积法得：
，
又
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
故选：A.
4．（2023·湖南永州·统考二模）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，且，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取中点，根据向量数量积的运算律和向量线性运算可将已知数量积不等式化为，由此可确定，由三角形中位线性质知；设，结合双曲线定义可表示出，在和中，利用勾股定理可求得离心率.
【详解】取中点，连接，
，
，
，则，恒成立，
，又，，
设，由得：，
根据双曲线定义可知：，，
，即，，
，，又，，
，则离心率.
故选：D.
5．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不必要也不充分条件
【答案】D
【分析】先求出的轨迹，其轨迹方程为，取，结合特殊情形可得“当取定值， 是定值”是错误的；再由 是定值可得，从而可判断当取定值， 是定值”是错误的，从而可得正确的选项.
【详解】设为椭圆上的动点，为椭圆的半焦距，
故，故
，
设直线，则到该直线的距离为，故，
如图，设直线的倾斜角为，过作的垂线，垂足为，
则，故，设，
故，同理.
设的倾斜角为，则，，
因为，故，
所以，
所以，同理，
故，
故的轨迹为以为焦点的椭圆，其长半轴长为，
短半轴长为，
故的轨迹方程为：，其中.
取，,
而，故不是定值即不是定值.
故“当取定值， 是定值”是错误的.
又直线的参数方程为：，
设，
由整理得到：
，
故，
而，故，
所以，
若为定值，则为定值，
而，
故当变化时，始终为定值，
又
故且，
但，故，
所以
，
但此时随的变化而变化，不是定值，
故“当取定值，是定值”是错误的.
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.
6．（2023·江苏南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，
圆O：，圆心为，半径为，
设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，
同理，，由，
四边形AMBN的面积为，
，化简得，则有，则C的离心率.
故选：D
7．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】D
【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，根据椭圆离心率得到，故椭圆方程为，联立求出点坐标，从而由对称性得到点坐标，表达出，将点代入双曲线方程，结合得到，，得到双曲线方程，联立，得到两根之和，两根之积，表达出，从而求出，得到乘积.
【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，
则，
由可得，
因为，所以，
故椭圆方程为，
联立可得：，，
则，
由对称性可知A、C两点关于原点对称，A、B两点关于轴对称，
则，，
所以，故，
直线，
代入中得，①，
又②，
②①结合得到或，
因为，显然，故，所以，
故双曲线方程为，
联立与得：，
设，
则，解得：，
故，
所以，
所以，其中，
故.
故选：D
【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，
共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：
①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为，为它们的一个交点，且，则；
②若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在处的切线互相垂直，则椭圆与双曲线有公共焦点.
二、多选题
8．（2023·广东·统考一模）已知拋物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若为△的中线，则
B．若为的角平分线，则
C．存在直线，使得
D．对于任意直线，都有
【答案】AD
【分析】设，不妨令都在第一象限，，联立抛物线，根据已知及韦达定理得、，则，再根据各项描述、抛物线定义判断它们的正误.
【详解】由题意，设，不妨令都在第一象限，，
联立，则，且，即，
所以，则，如上图所示.
A：若为△的中线，则，
所以，所以，故，
所以，则，故A正确；
B：若为的角平分线，则，
作垂直准线于，则且，
所以，即，则，
将代入整理，得，则，
所以，故B错误；
C：若，即，即△为等腰直角三角形，
此时，即，所以，
所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故C错误；
D：，而，
结合，可得，即恒成立，故D正确.
故选：AD.
9．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】AD
【分析】设，设，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得及的最值，可得答案.
【详解】由，可得，又，是椭圆上两个不同点,
可得，设，则，
设,O为坐标原点，可得，,
可得，且，
所以，，又，
可得两点均在圆的圆上，且，
设的中点为，则,
根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和，
设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为，
则，
可得的最大值为，的最小值为；
可得，可得的最大值为，最小值为，故A正确，B错误；
同理，为点两点到直线的距离之和，
设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为，
则，，
可得，可得的最大值为，最小值为，故C错误，D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.
10．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（ ）
A．的周长为定值8B．的面积最大值为
C．的最小值为8D．存在直线l使得的重心为
【答案】ACD
【分析】利用椭圆的定义可判断A，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C，设直线的方程为，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出的面积，的重心进而判断BD.
【详解】由椭圆，可得，
所以为，故A正确；
因为，所以，当且仅当取等号，故C正确；
由题可设直线的方程为，由，
可得，
设，则，
所以，
所以的面积为，
令，则，，
所以，
因为，由对勾函数的性质可知，
所以，当，即取等号，故B错误；
由上可知
所以，又，
所以的重心为，
令，解得，
所以当直线的方程为时的重心为，故D正确.
故选：ACD.
11．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线l经过焦点F，且，则
B．若，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
【答案】BC
【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由列出方程，求出，A错误；B选项，先得到直线经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设，由抛物线定义结合基本不等式得到的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.
【详解】A选项，由题意得：，准线方程为，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
则，所以，
解得：，A错误；
B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
因为，所以，
代入中，得到，
即，
因为点A在第一象限，所以，故，即，，
解得：
故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，
解得：，B正确；
C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，
因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，
则，
由抛物线定义可知：，
由基本不等式得：，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，C正确；
D选项，当直线l不经过焦点时，设，
由三角形三边关系可知：，
由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，
若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.
故选：BC
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
12．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线（p＞0）的焦点为F，斜率为的直线过点F交C于A，B两点，且点B的横坐标为4，直线过点B交C于另一点M（异于点A），交C的准线于点D，直线AM交准线于点E，准线交y轴于点N，则（ ）
A．C的方程为B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A，根据题意设得的坐标，再由直线的斜率求得，从而求得抛物线的方程，由此判断即可；对于B，联立直线与抛物线的方程，求得的坐标，进而求得，由此即可判断；对于D，设，从而利用直接法求得的坐标关于的表达式，从而证得，由此判断即可；对于C，举反例排除即可.
【详解】对于A，由题意得，，所以，整理得p2＋6p－16=0，
又p＞0，解得p=2，所以C的方程为x2=4y，故A正确；
对于B，由选项A知双曲线C的准线方程为y=－1，，，直线l1的方程为，
联立，解得x=－1或x=4，所以，
则，故B正确；
对于D，设点，由题意知m≠±1且m≠±4，所以直线，
令y=－1，得，即，故，
同理可得，故，所以，故D正确；
对于C，当m=2时，，，则，，则，故C错误．
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是设，从而利用熟练的运算能力将的坐标表示为关于的表达式，从而得解.
13．（2023·山东青岛·统考一模）已知、是平面直角坐标系中的两点，若，，则称是关于圆的对称点．下面说法正确的是（ ）
A．点关于圆的对称点是
B．圆上的任意一点关于圆的对称点就是自身
C．圆上不同于原点的点关于圆的对称点的轨迹方程是
D．若定点不在圆上，其关于圆的对称点为，为圆上任意一点，则为定值
【答案】BCD
【分析】利用题中定义可判断AB选项；设点，其中，设点，可得出，根据题中定义并结合已知条件求出点的轨迹方程，可判断C选项；证明出，可得出，可判断D选项.
【详解】对于A选项，取点，设点关于圆的对称点为，
则存在使得，，可得，则，
所以，，
因此，点关于圆的对称点是，A错；
对于B选项，由题意可知，
设点关于圆的对称点为点，则存在实数，使得，
所以，，可得，即，
因此，圆上的任意一点关于圆的对称点就是自身，B对；
对于C选项，设点，其中，设点，
因为点在圆上，则，可得，
由题意可知，存在实数，使得，即，
所以，，可得，
因此，点的轨迹方程为，C对；
对于D选项，设点，则，设点，
由题意可知，存在实数，使得，且，则，
所以，、同向，且，所以，，
又因为，所以，，
所以，为定值，D对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
14．（2023·山东济宁·统考一模）已知，是椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BD
【分析】根据共焦点得到，A错误，计算，，得到，B正确，设，，代入计算得到C错误，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，错误；
对选项B：，即，，，
故，，故，即，
即，正确；
对选项C：设，，
，若最大值为，则，，
，即，不成立，错误；
对选项D：设，，，
，若最大值为，则，，
，即，，，成立，正确；
故选：BD
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键.
15．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（ ）
A．恒为锐角B．当垂直于x轴时，直线的斜率为
C．的最小值为4D．存在点P，使得
【答案】ABD
【分析】对于A项，利用椭圆的切点弦方程可得过椭圆左焦点，再判定以为直径的圆与直线的位置关系即可；
对于B项，当垂直于x轴时，可直接解得切线方程判定即可；
对于C项，特殊值法判定即可；
对于D项，取中点，易知，建立方程计算即可.
【详解】对于A项，设切线方程为
联立得：，
∵直线与椭圆相切，故则，
∴切线PA的方程为，同理切线PB的方程为
而P点在上，故，
又满足该方程组，故，
显然过定点即椭圆左焦点.
以为直径的圆半径最大无限接近，但该圆与一直相离，即始终为锐角，A正确；
对于B项，由A得，轴时，，易得，，故B正确；
对于C项，由B知轴时，此时，故C错误；
对于D项，取中点，若则，
即为等腰三角形，，
化简得，由A知：，
整理得：，显然存在P满足题意，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，属于压轴题.对于小题，提高效率可以用特殊值法，极端位置猜测，这里也需要积累一些比较常用的二级结论：
（1）过椭圆上一点的切线方程，
（2）椭圆外一点引两条切线，切点连线方程为；
（3）椭圆的准线方程：，过准线引椭圆的两条切线，切点连线过对应焦点.
16．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知，是经过抛物线焦点的互相垂直的两条弦，若的倾斜角为锐角，，两点在轴上方，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．最小值为32
B．设为抛物线上任意一点，则的最小值为
C．若直线的斜率为，则
D．
【答案】AD
【分析】选项AC:数形结合推导出,应用公式求解和判断；
选项B：根据抛物线定义和性质转化求解；
选项D：联立方程，应用韦达定理证得：即可判断；
【详解】
设直线的倾斜角为.，则，即，同理可得.
,根据定义得：焦点坐标；
选项A：（当且仅当时等号成立）
，
因为 ，所以故A正确；
选项B：令,转换成抛物线上的点到焦点的距离,故B错误；
选项C：
根据三角函数间关系得：，故C错误；
选项D:
因为的斜率为，，所以，
设，，的方程为，
由可得，，
，
与无关，同理，故即
故D正确；
故选：AD;
17．（2023·湖南·模拟预测）已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为B．
C．D．点到轴的距离为
【答案】ACD
【分析】由到的距离为以及渐近线方程为可求得，即可得出方程，判断A；由可求出判断B；结合双曲线定义可求得，求出，即可求出，判断C；利用等面积法可求得点到轴的距离，判断D.
【详解】到的距离为，，解得，
又渐近线方程为，则，结合可解得，，
则双曲线的方程为，故A正确；
为的平分线，，故B错误；
由双曲线定义可得，则可得，，
则在中，，
则，
则，即，故C正确；
在中，，
设点到轴的距离为d，则，
即，解得，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.
18．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的离心率是
C．的最小值为D．的值为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用椭圆与抛物线的对称性得到，从而将代入抛物线方程得到，进而得以判断；对于B，将代入椭圆的方程得到，由此得以判断；对于C，利用椭圆的定义与基本不等式“1”的妙用即可判断；对于D，利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性质，结合比例的性质即可判断.
【详解】对于A，因为椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，则，，，，
因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，
所以由椭圆与抛物线的对称性可得，两点关于轴对称，不妨设，，，
因为四边形是菱形，所以的中点是的中点，
所以由中点坐标公式得，则，
将代入抛物线方程得，，
所以，则，所以，故A正确；
对于B，由选项A得，再代入椭圆方程得，
化简得，则，故，所以，故B错误；
对于C，由选项B得，所以，则，
所以，不妨设，则，且，
所以，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，连接和，如图，
因为的内心为，所以为的平分线，则有，
同理：，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设的坐标，再由菱形的性质与中点坐标公式推得，从而求得的值，由此得解.
三、填空题
19．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知双曲线的焦点为，是双曲线上一点，且.若的外接圆和内切圆的半径分别为，且，则双曲线的离心率为__________.
【答案】．
【分析】在中，利用正弦定理：，求得，，设，再利用余弦定理求得，然后由求解．
【详解】双曲线的焦点为，
在中，由正弦定理得：，
解得，，
设，
在中，由余弦定理得：，
解得，
所以，
因为
又，
所以，则
所以
整理得，则
解得或（舍去）
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于结合正余定理以及化简求解．
20．（2023·浙江·校联考三模）已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点且，过A作椭圆E的切线l，并分别交于C、D点．连接，与交于点E，并连接．若直线l，的斜率之和为，则点A坐标为_____________．
【答案】##
【分析】设直线l的程，利用直线与椭圆相切，联立方程，则，即，最后得到切线方程为，再求出坐标，写出直线直线，的方程，联立解出点坐标，最后得到，再联立，解出即可.
【详解】由椭圆可得，
因为点为椭圆上一点且，故切线的斜率一定存在，
设直线l的程，由得
因为直线l与椭圆E相切，所以，解得
因为，所以，所以，
所以，即
所以直线l的方程为，即
分别令和得，，
所以直线方程为，直线方程为，
所以联立可得与交点，
因为，所以，
所以由得，即，
因为，所以，即，
故答案为：
【点睛】结论点睛：椭圆在点处的切线方程为，对于选填空题来说直接使用结论，从而节约时间，提高解题速度.
21．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为______．
【答案】4
【分析】根据三角形内角平分线定理、三角形内心的性质，结合平面向量线性运算的性质、双曲线的定义和离心率公式进行求解即可.
【详解】如图所示，在焦点三角形中， 处长交于点，
因为为的内心，所以有，
，
因为，
所以有，
因此的离心率为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：运用三角形内角平分线定理、平面向量线性运算、三角形内心的性质是解题的关键.
22．（2023·辽宁·校联考一模）过双曲线焦点的直线与的两条渐近线的交点分分别为M、N，当时，.则的离心率为______.
【答案】
【分析】依题意，垂直于渐近线，结合图形在直角三角形利用三角函数构造齐次式求的离心率.
【详解】解法1：双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，
因为，所以垂直于渐近线，如图所示，
则，，，所以的离心率.
因为，所以，.
过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，在直角中，.
因为，因为，所以.
因此的离心率为.
解法2：因为，所以垂直于渐近线，则，，
因为，所以，
在中，，在中，，
，
，可得，则有，即，
所以C的离心率.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：由焦点到渐近线的距离为，可得垂直于渐近线，这是本题的着手点，数形结合在直角三角形中利用三角函数构造齐次式可求的离心率.
23．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，经过的直线，与的对称轴不垂直，交于，两点，点在的准线上，若为等腰直角三角形，则______．
【答案】
【分析】联立方程组，利用设而不求法，结合条件，通过讨论求出直线的斜率，由此可求弦长.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
过点的斜率为0的直线与抛物线有且只有一个交点，不满足条件，
设直线的方程为，
联立，消得，，
方程的判别式，
设，，，
设的中点为，
则，，
，
所以，
因为为等腰直角三角形，
当点为直角顶点时，
过点作轴的垂线，过点作，垂足为，
过点作，垂足为，
因为，，，
所以，
所以，，
所以，又，，，
所以，即，
所以，所以，，
所以，
当为直角顶点时，同理可得，
当为直角顶点时，则点在以为直径的圆上，
因为的中点坐标为，
所以以为直径的圆的方程为，
取，可得，此时与平行，与矛盾，
所以，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
24．（2023·福建泉州·统考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点．若，则C的离心率为__________．
【答案】
【分析】由可知 N是的中点，求出N的坐标，带入双曲线的方程化简即可.
【详解】的渐近线为：，焦点，
∵渐近线与圆在第一象限的交点为M
联立可得
，所以N是的中点，，
因为N在双曲线上，化简得：
所以离心率为，
故答案为：
25．（2023·山东枣庄·统考二模）已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为____________．
【答案】
【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，设出圆的切线方程并求出切线的斜率，再设出点B，C的坐标并求出，即可求出直线方程作答.
【详解】因为点在抛物线上，则，解得，即抛物线方程为，
显然过点A作圆的两条切线斜率存在，设此切线方程为，即，
于是，解得，设点，
不妨令直线的斜率分别为，于是，，
同理，直线的斜率，而点，
直线BC的方程为，即.
故答案为：
【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率.
26．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则_______．
【答案】
【分析】根据题意，作图，计算得，，再设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，得到，进而得到直线的方程，再得到点，利用，得到点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案.
【详解】
由点A在椭圆C上，且，设点，且，，
则
，
同理，
设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，可知
，
，
，解得，，得．
可得直线．进而可得，
由，可得，
设中点为M，则．，
点差法的结论，证明如下：
设，，，为中点，
故，两式作差得，，
又由，，可整理得，，
最后化简得，，
进而得到，，
得．
因为，所以，
联立，解得，
所以，故，解得．
故答案为：．
27．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为____________.
【答案】##1.25
【分析】设出直线方程，与双曲线的方程联立，韦达定理表示出A与P的关系，根据三点B，P，Q 共 线 ，求得Q点坐标的横坐标表示出t ,然后运用设参数m法化简,最后根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
设，，联立整理得: ;
所以，得到，所以；
过F作直线PA的垂线与直线交于Q，
因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线与BP的交点，
Q是与的交点
所以得 ，所以
设则
所以当 时，即m=2即时， 取得最大值.
故答案为：
【点睛】方法点睛：（1）联立方程，根据韦达定理表示出坐标关系式；按照题目中给出的关系，构建关系式，表示出所求变量；
（2）在计算推理的过程中运用整体转化，化简函数式，从而得到二次函数或者不等式，求得最值；
本题的解题的关键是，表示出Q点的交点坐标，找到与t有关的解析式.
28．（2023·湖南株洲·统考一模）已知椭圆的左右焦点为，，过的直线交椭圆C于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为__________．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义，线段比例关系和余弦定理即可求解.
【详解】
因为，
所以，
又，
所以，
所以，
在三角形中，，
在三角形中，，
以上两式相等整理得，
故或（舍去），
故，
故答案为：.
29．（2023·湖南常德·统考一模）在长方体中，，，点P为长方体表面上的动点，且，当最小时，的面积为_____.
【答案】
【分析】根据条件得到点在以为直径的球的表面与长方体表面重合的部分上，得出点、、三点共线时最小，即可求解.
【详解】设的中点为，则，
由题意得：，且点是长方体表面上的动点，
所以点在以为直径的球的表面与长方体表面重合的部分上，
则，当且仅当点、、三点共线时取等号，
点、在平面上，所以点在平面上，
所以当最小时，以为直径的半圆与的交点即为点，如下图，
过点作于点，
因为，所以，
所以的面积，
故答案为：.
30．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆E以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为A，B，点P为第一象限内椭圆上的一点，P关于x轴的对称点为Q，过P作椭圆的切线，若，且的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E的离心率为e，则的值为_________.
【答案】
【分析】分焦点在轴和轴两种情况进行求解，先考虑焦点在轴上时，根据题目条件得到，，即，，再得到椭圆在处的切线方程斜率为，得到，设，结合点在椭圆上，，求出，得到，求出，再用同样的方法考虑焦点在轴上时，求出离心率为复数，舍去，得到答案.
【详解】设椭圆方程为，则，
设，故，
因为的垂心恰好为坐标原点O，
所以，，即，
即，，
下面证明椭圆在处的切线方程斜率为，理由如下：
因为时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
即，
因为点在椭圆上，所以，，
所以，即，
即，解得：，
所以，化简得：，即，设，
同除以得：，
即，故，
因为点在椭圆上，所以，
即，即，
因为，所以，即，
将代入中，可得：，即
所以，
设椭圆方程为，此时，
同理可得：，
此时椭圆在处的切线方程斜率为，
所以，化简得：，设，
同除以得：，
即，故，
因为点在椭圆上，所以，
即，即，
因为，所以，即，
将代入中，可得：，
所以（舍去）；
故答案为：
【点睛】过圆上一点的切线方程为：，
过椭圆上一点的切线方程为，
过双曲线上一点的切线方程为.