备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练24利用导数证明不等式（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练24利用导数证明不等式（附解析人教A版），共5页。试卷主要包含了已知函数f=ln，已知函数f=ln x+，已知函数f=aex-x2-x，已知函数f=ax2-xln x等内容，欢迎下载使用。
(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线斜率;
(2)当x>0时,求证:f(x)>1.
2.(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=ln x+(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a>1时,证明:f(x)>.
3.(2024·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=aex-x2-x.
(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,证明:∀x∈(-2,+∞),f(x)>sin x.
4.(2024·湖南益阳模拟)已知函数f(x)=ax2-xln x.
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若a=2e,证明:f(x)1,只需证明ln(x+1)->0.
设u(x)=ln(x+1)-,则u'(x)=>0在(0,+∞)上恒成立,所以u(x)在(0,+∞)上单调递增,即∀x>0,u(x)>u(0)=0,即当x>0时,f(x)>1.
2.(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=
当a≤0时,f'(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a>0时,令f'(x)0,
因此g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(1)=0,即lna+-2>0,故f(x)>成立.
3.(1)解 因为f(x)=aex-x2-x,所以f'(x)=aex-x-1,由f(x)在R上单调递增,得f'(x)≥0在R上恒成立,即aex-x-1≥0在R上恒成立,所以a在R上恒成立,令h(x)=,可得h'(x)=,当x>0时,h'(x)sinx,只需证f(x)>1.
①当x∈(0,+∞)时,令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,因此f(x)单调递增,所以f(x)>f(0)=1;
②当x=0时,可得f(0)=1且sin0=0,所以f(0)>sin0,满足f(x)>sinx;
③当-20,因此f(x)>sinx.
综上可得,∀x∈(-2,+∞),都有f(x)>sinx.
4.(1)解 由已知得f'(x)=ax-lnx-1.
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f'(x)≥0,即a恒成立.
令h(x)=(x>0),则h'(x)=-,所以当00,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)