备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练52空间直线平面的平行（附解析人教A版）

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1.(多选题)(2024·海南海口模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法不正确的为( )
A.若m∥α,n⊂α,则m∥n
B.若m∥α,n∥α,则m∥n
C.若α∥β,m∥α,则m∥β或m⊂β
D.若m∥n,m⊂α,则n∥α或n⊂α
2.(多选题)(2024·福建龙岩模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=2,则下列说法正确的有( )
A.BD1∥GH
B.BD与EF异面
C.EH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
3.如图所示,平面α∥平面β,直线PA与α相交于点A,与β相交于点B,直线PC与α相交于点C,与β相交于点D.PA=6,AB=2,BD=12,则AC= .
4.如图所示,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是平行四边形,点G,F分别是线段EC,BD的中点.
(1)证明:GF∥平面ABC;
(2)H是线段BC的中点,证明:平面GFH∥平面ACD.
5.如图,P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是PA和AB的中点,试过点M,N作平行于AC的平面α.
(1)画出平面α分别与平面ABC,平面PBC,平面PAC的交线;
(2)试对你的画法给出证明.
综 合 提升练
6.(2024·辽宁朝阳模拟)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1的中点,点P是侧面CDD1C1上的动点,且MP∥平面AB1C,则线段MP长度的取值范围是 .
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AC交BD于点O,E是PD上一点,且PB∥平面ACE.
(1)证明:E为PD的中点;
(2)在线段PA上是否存在点F,使得平面OEF∥平面PBC?若存在,请给出点F的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
8.如图,在几何体ABCDEF中,已知四边形ABCD是正方形,ED∥FC,AD=ED=2FC=4,M,N,Q分别为AD,CD,EB的中点,P为ED上靠近点D的四等分点.证明:
(1)FQ∥平面ABCD;
(2)平面PMN∥平面EBF.
创 新 应用练
9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别在线段AC,A1C上,且满足CE=2EA,CF=2FA1.
(1)证明:EF∥平面BB1C1C.
(2)在线段B1C上是否存在点G,使得平面EFG∥平面AA1B1B?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
课时规范练52 空间直线、平面的平行
1.AB 解析 对于A,若m∥α,n⊂α,则m与n可能平行或异面,所以A不正确;对于B,若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,所以B不正确;对于C,若α∥β,m∥α,当m⊄β时,可得m∥β,或者m⊂β,所以C正确;对于D,若m∥n,m⊂α,可得n∥α或n⊂α,所以D正确.故选AB.
2. BCD 解析 如图所示,连接A1B,D1C,BD,BD1,根据题意,由=2可得,EF∥A1B,且同理可得GH∥CD1,FG∥BC,且由GH∥CD1,而CD1∩BD1=D1,所以BD1不可能平行于GH,即A错误;易知BD与EF不平行,且不相交,由异面直线定义可知,BD与EF异面,即B正确;在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B∥CD1,A1B=CD1,所以EF∥GH,EF=GH,即四边形EFGH为平行四边形,所以EH∥FG,又BC∥FG,所以EH∥BC.因为EH⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以EH∥平面ABCD,即C正确;因为EF∥A1B,EF⊄平面A1BCD1,A1B⊂平面A1BCD1,所以EF∥平面A1BCD1,又BC∥FG,FG⊄平面A1BCD1,BC⊂平面A1BCD1,所以FG∥平面A1BCD1,又EF∩FG=F,且FG,EF⊂平面EFGH,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,即D正确.
3.9 解析 因为平面α∥平面β,平面α∩平面PBD=AC,平面β∩平面PBD=BD,所以AC∥BD,所以△PAC∽△PBD,故,得,得AC=9.
4. 证明 (1)∵四边形ABED是平行四边形,
∴连接AE,必与BD相交于中点F,
∴GF∥AC.
∵GF⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,
∴GF∥平面ABC.
(2)由点G,H分别为CE,CB的中点可得GH∥EB∥AD.∵GH⊄平面ACD,AD⊂平面ACD,∴GH∥平面ACD.∵GF∥AC,GF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴GF∥平面ACD.∵GH∩GF=G,GH,GF⊂平面GFH,故平面GFH∥平面ACD.
5. 解 (1)过点N作NE∥AC交BC于点E,过点M作MF∥AC交PC于点F,连接EF,则平面MNEF为平行于AC的平面α.
NE,EF,MF分别是平面α与平面ABC,平面PBC,平面PAC的交线.
(2)∵NE∥AC,MF∥AC,∴NE∥MF.∴直线NE与MF共面.NE是平面MNEF与平面ABC的交线,EF是平面MNEF与平面PBC的交线,MF是平面MNEF与平面PAC的交线.∵NE∥AC,NE⊂平面MNEF,AC⊄平面MNEF,∴AC∥平面MNEF.∴平面MNEF为所求的平面α.
6. [2,4] 解析 如图,取DC的中点N,C1C的中点R,B1C1的中点H,连接NM,NR,MH,HR,MR.根据正方体的性质可得MN∥B1C∥HR,MN⊄平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,所以MN∥平面AB1C.同理可证MH∥平面AB1C.MN∩MH=M,MN,MH⊂平面MNRH,所以平面MNRH∥平面AB1C,又平面MNRH∩平面CDD1C1=NR,且MP∥平面AB1C,MP⊂平面MNRH,点P是侧面CDD1C1上的动点,所以点P在线段NR上.又AB=4,所以MN==4,MR==2,NR==2,所以MN2=MR2+NR2,则MR⊥NR,所以线段MP长度的取值范围是[2,4].
7.(1)证明 连接OE.因为PB∥平面ACE,PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面ACE=EO,所以PB∥EO.
又底面ABCD为平行四边形,所以O为BD的中点,所以E为PD的中点.
(2)解 存在,F为PA中点时,平面OEF∥平面PBC.
因为F为PA的中点,E为PD的中点,所以EF∥AD.
因为BC∥AD,所以EF∥BC.
因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
所以EF∥平面PBC.
同理可证得OE∥平面PBC.
因为OE∩EF=E,OE,EF⊂平面OEF,
所以平面OEF∥平面PBC.
8.证明 (1)如图,连接AC,BD.设AC与BD相交于点O,连接OQ,因为四边形ABCD是正方形,则O为BD的中点,又Q为EB的中点,于是OQ∥ED∥FC,OQ=ED=FC,即四边形OQFC为平行四边形,则FQ∥OC.而FQ⊄平面ABCD,OC⊂平面ABCD,所以FQ∥平面ABCD.
(2)取ED的中点H,连接AH,CH,HF.
因为EH=HD=FC,且ED∥FC,
则四边形HDCF,EHCF都为平行四边形,有EF∥HC,HF∥CD∥AB,HF=CD=AB,于是四边形AHFB为平行四边形,即有AH∥BF.
而P为ED上靠近点D的四等分点,则P为HD的中点.
又N为CD的中点,则PN∥HC,
因此EF∥PN.
又EF⊂平面EBF,PN⊄平面EBF,则PN∥平面EBF.
显然PM∥AH∥BF,又BF⊂平面EBF,PM⊄平面EBF,则PM∥平面EBF,
而PM∩PN=P,PM,PN⊂平面PMN,
所以平面PMN∥平面EBF.
9.(1)证明 ∵CE=2EA,CF=2FA1,
即=2,∴EF∥AA1.
又AA1∥BB1,∴EF∥BB1.
∵BB1⊂平面BB1C1C,EF⊄平面BB1C1C,
∴EF∥平面BB1C1C.
(2)解 存在点G,,使得平面EFG∥平面AA1B1B,证明如下:
当时,连接EG,FG.
∵CF=2FA1,,
∴FG∥A1B1.
∵A1B1⊂平面AA1B1B,FG⊄平面AA1B1B,∴FG∥平面AA1B1B.
由(1)知EF∥BB1,又EF⊄平面AA1B1B,BB1⊂平面AA1B1B,
∴EF∥平面AA1B1B.
又EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFG,
∴平面EFG∥平面AA1B1B.
∴存在点G,当时,平面EFG∥平面AA1B1B.