备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练58翻折问题与探索性问题（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练58翻折问题与探索性问题（附解析人教A版），共8页。

图1 图2
(1)证明:A1C∥平面DFG;
(2)求平面DFG与平面A1CD夹角的余弦值.
2.(2024·山东烟台模拟)如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形,下底面圆的一条弦EF交CD于点G,其中DG=2,DE=DF.
(1)证明:平面AEF⊥平面ABCD.
(2)判断上底面圆周上是否存在点P,使得二面角P-EF-A的余弦值为?若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由.
3.(2024·山东青岛模拟)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为CD的中点,现将△ADE,△BCE分别沿AE,BE向上翻折,使点D,C分别到达点M,N的位置,且平面AME,平面BNE均与平面ABE垂直(如图2).
图1
图2
(1)证明:M,N,A,B四点共面;
(2)求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值.
4.(2024·福建泉州模拟)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB=BC=2B1C1=2,D是AC的中点,E是棱BC上的动点.
(1)试确定点E的位置,使AB1∥平面DEC1;
(2)已知AB⊥BC1,CC1⊥平面ABC,设直线BC1与平面DEC1所成的角为θ,试在(1)的条件下,求cs θ的最小值.
课时规范练58 翻折问题与探索性问题
1.(1)证明 连接CE,交DF于点H,连接GH.易证△CHF∽△EHD,
所以因为=3,所以,所以,则GH∥A1C.因为GH⊂平面DFG,A1C⊄平面DFG,所以A1C∥平面DFG.
(2)解 由题图1可知A1E⊥EF,DE⊥EF.
因为AD=2BC=2EF=4,E,F分别是AD,BC的中点,所以CF=1,EF=A1E=2,则CE=因为A1C=3,所以CE2+A1E2=A1C2,所以A1E⊥CE.
因为EF,CE⊂平面CDEF,且EF∩CE=E,所以A1E⊥平面CDEF,
所以A1E⊥ED,
又ED⊥EF,故以E为坐标原点,分别以直线EF,ED,EA1为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AD=4,所以A1(0,0,2),C(2,1,0),D(0,2,0),F(2,0,0),G(0,0,),则=(2,1,-2),=(-2,1,0),=(2,-2,0),=(0,-2,).设平面DFG的法向量为n=(x1,y1,z1),则令x1=2,则y1=2,z1=3,则n=(2,2,3).设平面A1CD的法向量为m=(x2,y2,z2),
则
令x2=1,则y2=2,z2=2,则m=(1,2,2).
设平面DFG与平面A1CD的夹角为θ,
则csθ=|cs|=
2.(1)证明 由题意可知在下底面圆中,CD为直径.
因为DE=DF,所以G为弦EF的中点,且EF⊥CD.
因为EF⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.
因为EF⊂平面AEF,
所以平面AEF⊥平面ABCD.
(2)解 设平面PEF交圆柱上底面于PQ,因为圆柱的上、下底面平行,所以平面PEF与上、下底面的交线平行,即EF∥PQ.设PQ交AB于点H.则二面角P-EF-A的大小就是二面角H-EF-A的大小.
分别以下底面垂直于DC的直线,直线DC,直线DA为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
因为DG=2,底面圆的半径为3,所以EG=FG=2
则A(0,0,6),E(2,2,0),F(-2,2,0).
设H(0,m,6)(0