适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第4节随机事件的概率与古典概型课件新人教A版

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1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.
1.样本点和样本空间(1)定义:我们把随机试验E的每个可能的　　　　　　　　称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的　　　　　　　　. (2)表示:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
3.事件的关系与运算
事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
微点拨定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
4.频率与概率(1)定义一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用　　　　　来估计概率　　　　. 
从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小
微点拨理解频数与频率需注意:(1)前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.(2)频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比例fn(A)= .
(2)概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有P(A)　　　; 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=　　　,P(⌀)=　　　; 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　　　　　　; 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=　　　　　,P(A)=　 ; 性质5:如果A⊆B,那么　　　　　　,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1; 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=　　　　 　　　　. 
P(A)+P(B)-P(A∩B)
微思考概率与频率有什么区别?
提示 (1)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关,它度量该事件发生的可能性;(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同;(3)频率是概率的近似值,在实际问题中,仅当试验次数足够多时,频率可近似地看作概率.
5.古典概型(1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有　　　　; ②等可能性:每个样本点发生的可能性　　　　. 
判断一个试验是否是古典概型的关键点
(2)古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=　　　　　　　　.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 
常用结论如果事件A1,A2,…,An两两互斥:(1)事件A1∪A2∪…∪An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.对立事件一定互斥,但互斥事件不一定对立.(　　)2.“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.(　　)3.掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(　　)4.从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量,属于古典概型.(　　)
题组二回源教材5.(人教A版必修第二册习题10.1第3题改编)抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”.下列结论中正确的是(　　)A.A与B互为对立事件B.A与B互斥C.A与B相等D.P(A)=P(B)
6.(人教A版必修第二册10.1.3节例8改编)先后抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是　　　　. 
解析 根据题意可得,基本事件总数为6×6=36个,其中点数和为5的有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4个样本点.∴出现向上的点数和为5的概率为
7.(人教A版必修第二册10.1.4节例11改编)从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张,设事件A=“抽到红心”,事件B=“抽到方片”,P(A)=P(B)= ,设C=“抽到红花色”,则P(C)=　　　;设D=“抽到黑花色”,则P(D)=　　　. 
题组三连线高考8.(2020·全国Ⅰ,文4)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为(　　)
解析 由题意知一共有10种取法,当选A,O,C和B,O,D时符合要求,故
9.(2023·全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　)
解析 甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主
考点一 随机事件(多考向探究预测)
考向1随机事件间关系的判断例1(1)(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系正确的有(　 　)A.A⊆DB.B∩D=⌀C.A∪B=B∪DD.A∪C=D
解析 用(x1,x2)表示试验的射击情况,其中x1表示第1次射击的情况,x2表示第2次射击的情况,1表示击中,0表示没击中,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由题意得,A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)}.则A⊆D,A∪C=D,且B∩D=⌀.即A,B,D正确;又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,∴A∪B≠B∪D.故C错误.
(2)(多选题)(2024·山西朔州高三开学考试)从1,2,3,…,9中任取三个不同的数,则在下述事件中,是互斥但不是对立事件的有(　　)A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
解析 从1~9中任取三个数,按这三个数的奇偶性分类,有四种情况:①三个均为奇数;②两个奇数一个偶数;③一个奇数两个偶数;④三个均为偶数,所以选项A,D是互斥但不是对立事件,选项C是对立事件,选项B不是互斥事件.故选AD.
考向2计算简单随机事件的频率与概率例2如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解 (1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计相应的概率为P= =0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为
(3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.结合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5.∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.∵P(B1)