适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第四节随机事件的概率与古典概型课件北师大版

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1.样本点和样本空间一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
3.事件的关系与运算
事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
微点拨 定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C, A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生, A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
4.频率与概率(1)定义在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).显然,0≤P(A)≤1.我们通常用　频率　来估计概率.从数量上反映了随机事件 发生的可能性的大小
微点拨 理解频数与频率需注意:(1)前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.(2)频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比例
(2)概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有P(A)　≥0　; 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=　1　,P(⌀)=　0　; 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　P(A)+P(B)　; 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=　1-P(A)　,P(A)=　1-P(B)　; 性质5:如果A⊆B,那么　P(A)≤P(B)　,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1; 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B) . 
微思考 随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系?提示 随机事件A发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中,事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.
5.古典概型(1)一般地,若试验E具有如下特征:①有限性:试验E的样本空间Ω的样本点　总数有限　,即样本空间Ω为有限样本空间; 判断一个试验是否是古典概型的关键点②等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性 相等 .则称这样的试验模型为古典概率模型,简称古典概型. (2)古典概型的概率公式对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的频率为
常用结论如果事件A1,A2,…,An两两互斥:(1)事件A1∪A2∪…∪An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
自主诊断题组一　思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.事件发生的频率与概率是相同的.(　　)2.“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.(　　)3.掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(　　)4.从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量,属于古典概型.(　　)
题组二　双基自测5.(2022·全国乙,文14)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为　　　　　. 
解析 设除甲、乙外,其余三名同学为A,B,C.从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10个.甲、乙都入选的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3个.由古典概型公式计算,得甲、乙都入选的概率为
6. 抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”.(1)写出样本空间,并列举A和B包含的样本点;解 样本空间可表示为Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.A包含的样本点:(正,正),(正,反),B包含的样本点:(正,反),(反,反).
(2)下列结论中正确的是(　　)A.A与B互为对立事件B.A与B互斥C.A与B相等D.P(A)=P(B)答案 D
考向1随机事件的关系例题(多选)一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品;事件B:至少有两件次品;事件C:至少有一件次品;事件D:至多有一件次品.下列选项正确的是(　　)A.A∪B=CB.B∪D是必然事件C.A∩B=CD.A∩D=C
答案 AB解析 对于A选项,事件A∪B指至少有一件次品,即事件C,故A正确;对于B选项,事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品,次品件数包含0到5,即代表了所有情况,即B∪D为必然事件,故B正确;对于C选项,事件A和B不可能同时发生,即事件A∩B=⌀,故C错误;对于D选项,事件A∩D指恰有一件次品,即事件A,而事件A和C不同,故D错误.故选AB.
规律方法 判断互斥事件、对立事件的两种方法
考向2随机事件的频率与概率例题如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
(3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.结合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5.∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.∵P(B1)