2023-2024学年江苏省盐城市建湖高级中学普通班高一（下）学情检测数学试卷（2月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市建湖高级中学普通班高一（下）学情检测数学试卷（2月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x|≤2}，B={a,0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是( )
A. [−2,2]B. [−2,0)∪(0,2]C. (−2,2)D. (−2,0)∪(0,2)
2.已知x∈(0,π)，则“csx=35”是“sinx=45”的条件．( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
3.函数f(x)=x−2+lg2x的零点所在的区间为( )
A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)
4.已知点(3,19)在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(lg25)，b=f(ln2)，c=f(tanπ3)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. b>c>a
5.要得到函数y=sin(2x+π6)的图象，只需将函数y=cs2x的图象( )
A. 向左平移π6个单位B. 向右平移π6个单位C. 向左平移π3个单位D. 向右平移π3个单位
6.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为T0，则经过一定时间t后的温度T满足T−Ta=(1e)th(T0−Ta)，其中Ta是环境温度，h为常数．现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.50，lg5≈0.70，lg11≈1.04)( )
A. 4分钟B. 5分钟C. 6分钟D. 7分钟
7.已知向量a与b是非零向量，且满足a−b在b上的投影向量为−2b,|a|=2|b|，则a与b的夹角为( )
A. 120°B. 150°C. 60°D. 90°
8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)+f(x−1)=2，f(x+2)为偶函数，若f(0)=2，则k=1115f(k)=( )
A. 116B. 115C. 114D. 113
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中错误的有( )
A. a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b
B. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
C. 若a/​/b，则存在实数λ，使得a=λb
D. ||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )
A. 点P再次进入水中时用时30秒
B. 当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C. 当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D. 点P第二次到达距水面(1+ 3)米时用时25秒
11.已知函数f(x)=x2−4x+1,x≥02x,x<0，则下列结论正确的有( )
A. ∀x∈R，f(x)≥−3
B. 函数g(x)=f(x)−sinx+1有且仅有2个零点
C. 方程f(x)+f(−x)=0有唯一解
D. 直线y=−x与f(x)的图象有3个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=ln(4−2x)x−1的定义域为______．
13.已知a，b是非零向量|a|=1，|b|= 2，(a+b)⊥a，则|a−b|= ______．
14.已知函数f(x)=sinx，若方程4f2(x)−f(x)+m=0在(π6,π)内有两个不同的解，则实数m的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知f(x)=sin(π2−x)cs(3π2+x)tan(π−x)cs(3π−x)sin(π+x)．
(1)化简函数f(x)；
(2)若f(α)=3，求sinα+2csα2sinα−csα．
16.(本小题15分)
已知向量a，b满足|a|=5，|b|=4，(a+b)⊥b．
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)求|2a+b|；
(3)在平行四边形ABCD中，若AB=a，AD=b，求平行四边形ABCD的面积．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值；
(3)若g(x)=f(x)+65在区间(−2π3,π3)上恰有两个零点x1、x2(x118.(本小题17分)
已知定义域为R的函数f(x)=a−22x+1是奇函数．
(1)求实数a的值并用定义证明函数f(x)在R上单调递增；
(2)若方程f(9x−b)+f(−3x+1)=0在(0,1)内有解，求实数b的取值范围．
19.(本小题17分)
对于函数f(x)=ln(2x+a)．
(Ⅰ)若g(x)=f(1−x)，且g(x)为奇函数，求a的值；
(Ⅱ)若方程f(x)=ln[(a−6)x+2a−8]恰有一个实根，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)设a>0，若对任意b∈[14,1]，当x1，x2∈[b,b+1]时，满足|f(x1)−f(x2)|≤ln2，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|x|≤2}={x|−2≤x≤2}，B={a,0}，
B⊆A，则实数a的取值范围是[−2,0)∪(0,2]．
故选：B．
根据集合B是集合A的子集，结合集合B中元素的互异性求解．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由于x∈(0,π)，当csx=35时，则sinx=45，
当sinx=45时，则csx=±35；
故“csx=35”是“sinx=45”的充分不必要条件．
故选：A．
直接利用三角函数的值及充分条件和必要条件求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的值，充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵y=x−2，y=lg2x在(0,+∞)内均为增函数，则f(x)在(0,+∞)内为增函数，
可知f(x)在(0,+∞)内至多有一个零点，
又∵f(1)=−1<0，f(2)=1>0，结合选项可知f(x)的唯一零点在(1,2)内．
故选：C．
由题意可知：f(x)在(0,+∞)内为增函数，根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断．
本题考查函数零点的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵点(3,19)在幂函数f(x)=xα的图象上，
∴3α=19，
∴α=−2，
∴f(x)=x−2，在(0,+∞)上单调递减，
∵lg25>lg24=2，0=ln1∴0∴f(ln2)>f(tanπ3)>f(lg25)，即b>c>a．
故选：D．
把点(3,19)代入幂函数f(x)的解析式求出α的值，进而可得f(x)在(0,+∞)上单调递减，再结合对数函数的性质可知0本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了对数函数的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x的系数的应用，以及诱导公式的应用．
先根据诱导公式进行化简y=cs2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．
【解答】
解：y=cs2x=sin(2x+π2)，
函数y=sin(2x+π2)的图象经过向右平移π6而得到函数y=sin[2(x−π6)+π2]=sin(2x+π6)的图象．
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知，75−25=(1e)1h(80−25)，
则(1e)1h=1011，
故30=55×[(12)1h]t，解得(1011)t=611，两边同时取对数可得，tlg1011=lg611，
则t=lg611lg1011=lg6−lg111−lg11=lg2+lg3−lg111−lg11≈0.3+0.5−1.041−1.04=6．
故选：C．
根据已知条件，求出(1e)1h=1011，故30=55×[(12)1h]t，再结合对数公式，即可求解．
本题主要考查考查的实际应用，掌握对数公式是解本题的关键，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设a与b的夹角为θ，则0°≤θ≤180°，
因为a−b在b上的投影向量为−2b,|a|=2|b|，
所以(a−b)⋅b|b|2b=−2b，即a⋅b−b2|b|2=−2，
所以2|b|2csθ−|b|2|b|2=−2，
解得csθ=−12，所以θ=120°，
所以a与b的夹角为120°．
故选：A．
设a与b的夹角为θ，则0°≤θ≤180°，根据投影向量的定义列方程求出csθ与θ的值．
本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由f(x+1)+f(x−1)=2，得f(x+2)+f(x)=2，
即f(x+2)=2−f(x)，
所以f(x+4)=2−f(x+2)=2−[2−f(x)]=f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，
又f(x+2)为偶函数，
则f(−x+2)=f(x+2)，
所以f(x)=f(4−x)=f(−x)，
所以函数f(x)也为偶函数，
又f(x+1)+f(x−1)=2，
所以f(1)+f(3)=2，f(2)+f(4)=2，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，
又f(1)+f(−1)=2，即2f(1)=2，所以f(1)=1，
又f(0)+f(2)=2，f(0)=2，∴f(2)=0，
所以k=1115f(k)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×28+f(1)+f(2)+f(3)=4×28+2+0=114．
故选：C．
由f(x+1)+f(x−1)=2可得函数f(x)的周期为4，再结合f(x+2)为偶函数，可得f(x)也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A：a=b的充要条件是|a|=|b|且方向相同，故A错误；
对于B：当b=0时，原式不成立，故B错误；
对于C：当a≠0，b=0时，不存在实数λ，使得a=λb，故C错误；
对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|成立，故D正确．
故选：ABC．
利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D．
本题主要考查向量相等与共线，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：设点P距离水面的高度为h(米)和t(秒)的函数解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)，
由题意，h(t)max=3，h(t)min=−1，
所以A+B=3−A+B=−1，解得A=2，B=1，
因为T=60，所以ω=2πT=π30，则h=2sin(π30t+φ)+1．
当t=0时，h=0，所以2sinφ+1=0，则sinφ=−12，
又因为|φ|<π2，所以φ=−π6．
所以h(t)=2sin(π30t−π6)+1，t≥0，
令h(t)=0，sin(π30t−π6)=−12，0≤t≤60，解得t=0或t=40，所以选项A错误；
当t=50秒时，h(t)=2sin(π30×50−π6)+1=2sin3π2+1=−1，选项B正确；
当t=150秒时，h(t)=2sin(π30×150−π6)+1=2sinπ6+1=2，选项C正确；
令h(t)=2sin(π30t−π6)+1= 3+1，0≤t≤60，解得t=15或t=25，所以选项D正确．
故选：BCD．
由题意设出函数解析式h(t)=Asin(ωt+φ)+B，由题意求出A与B的值，由周期求得ω，再由t=0时求出φ，得到函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数模型的应用问题，重点考查了函数y=Asin(ωx+φ)+B的图象与性质应用问题，是中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题意，
A项，在f(x)=x2−4x+1,x≥02x,x<0中，作出函数图象如下图所示，
由上图可知，f(x)≥f(2)=22−4×2+1=−3，故正确；
B项，在g(x)=f(x)−sinx+1中，当g(x)=0时，f(x)=sinx−1，
即f(x)与h(x)=sinx−1的交点，
作出函数图象如下，
可知函数g(x)=f(x)−sinx+1有且仅有2个零点，B正确；
C项，在f(x)=x2−4x+1,x≥02x,x<0中，−f(−x)=−x2−4x−1,x≤0−2−x,x>0，
作出两函数的图象如下图所示，
∴两函数有4个交点，方程f(x)=−f(−x)有4解，
∴方程f(x)+f(−x)=0不止有唯一解，故C错误；
D项，
由图可知，直线y=−x与f(x)的图象有3个交点，D正确．
故选：ABD．
A项，作出函数f(x)图象即可得出结论；B项，将零点问题转化为f(x)与h(x)=sinx−1的交点，作出函数图象即可得出零点个数；C项，根据函数f(x)得出函数−f(−x)的表达式，作出两函数图象即可得出方程f(x)+f(−x)=0的解的个数；D项，作出直线y=−x与f(x)两函数图象即可得出交点个数．
本题考查了分段函数的应用，属于难题．
12.【答案】(−∞,1)∪(1,2)
【解析】解：因为f(x)=ln(4−2x)x−1，
所以4−2x>0x−1≠0，解得x<2且x≠1，
所以函数f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,2)．
故答案为：(−∞,1)∪(1,2)．
根据对数真数大于零、分式分母不为零列不等式组，解之即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题．
13.【答案】 5
【解析】解：因为|a|=1，|b|= 2，(a+b)⊥a，
所以(a+b)⋅a=a2+a⋅b=1+a⋅b=0，即a⋅b=−1，
所以|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 1−2×(−1)+2= 5．
故答案为： 5．
根据向量垂直的表示以及模的计算方法求解即可．
本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
14.【答案】(−3,−12)∪(0,116)
【解析】解：令t=f(x)=sinx，
则方程等价为4t2−t+m=0，
即m=−4t2+t=−4(t−18)2+116．
由t=f(x)=sinx得当t=1或0当12若t=1，此时m=−4+1=−3，
此时方程4t2−t−3=0，得t=1或t=−34，
当t=−34时，t=sinx无解，此时方程4(f(x))2−f(x)+m=0在(π6,π)内只有一个解不满足条件．
若方程4(f(x))2−f(x)+m=0在内有两个不同的解，
等价为①当0即0或者②当12∵t=12时，m=−12，t=1时，m=−3，
∴此时−3综上0故答案为：(−3,−12)∪(0,116)．
利用换元法设t=f(x)=sinx，方程等价为m=−4t2+t，根t=sinx交点个数，确定m=−4t2+t中t的取值范围，即可求出m的范围．
本题考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数根的个数关系是解决本题的关键，考查转化思想和运算能力，属于难题．
15.【答案】解：(1)f(x)=sin(π2−x)cs(3π2+x)tan(π−x)cs(3π−x)sin(π+x)=csxsinx(−tanx)(−csx)(−sinx)=−tanx；
(2)因为f(α)=−tanα=3，则tanα=−3，
所以sinα+2csα2sinα−csα=tanα+22tanα−1=−3+22×(−3)−1=17．
【解析】(1)利用诱导公式化简即可；
(2)由题意求得tanα=−3，化齐次式sinα+2csα2sinα−csα为tanα+22tanα−1求解
本题主要考查了诱导公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为(a+b)⊥b，
所以(a+b)⋅b=a⋅b+b2=0，
又|a|=5，|b|=4，
设a与b夹角为θ，
所以5×4×csθ+16=0，
所以csθ=−45．
(2)由(1)知a⋅b=−b2=−16，
所以|2a+b|2=4a2+4a⋅b+b2=4×25+4×(−16)+16=52，
所以|2a+b|=2 13．
(3)由(1)知csθ=−45，
所以sinθ=35，
所以平行四边形ABCD的面积为|a||b|sinθ=5×4×35=12．
【解析】(1)利用向量垂直得到数量积为0，列式转化即可得解；
(2)利用向量的数量积运算，结合转化法即可得解；
(3)利用三角形面积公式，结合平行四边形的面积的性质即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属中档题．
17.【答案】解：(1)由图象可知，函数f(x)的最小正周期T满足34T=π3+5π12=3π4，
则T=π，而ω=2πT=2ππ=2，
所以f(x)=2sin(2x+φ)，则f(π3)=2sin(2π3+φ)=2，
可得2π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，
因为−π2<φ<π2，解得φ=−π6，
因此f(x)=2sin(2x−π6)；
(2)因为0≤x≤π2，则−π6≤2x−π6≤5π6，所以−12≤sin(2x−π6)≤1，
即−1≤f(x)≤2，
所以f(x)的最大值为2，最小值为−1；
(3)因为g(x)=2sin(2x−π6)+65，当g(x)=0时，sin(2x−π6)=−35，
令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，所以x=kπ2+π3(k∈Z)，
因为g(x)在区间(−2π3,π3)上恰有两个零点x1，x2，
函数g(x)图象在区间(−2π3,π3)内的对称轴为直线x=−π6，
由正弦型函数的对称性可知，点(x1,0)，(x2,0)关于直线x=−π6对称，
则x1+x2=−π3，
所以x1−x2=x1−(−π3−x1)=2x1+π3，
由g(x1)=0得，sin(2x1−π6)=−35，
所以cs(x1−x2)=cs(2x1+π3)=cs(2x1−π6+π2)=−sin(2x1−π6)=35，
所以cs[2(x1−x2)]=2cs2(x1−x2)−1=2×(35)2−1=−725．
【解析】(1)由图象可得出函数f(x)的最小正周期，可求出ω的值，再由f(π3)=2结合φ的取值范围可求得φ的值，即可得出函数f(x)的解析式；
(2)由0≤x≤π2求出2x−π6的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数f(x)的最大值和最小值；
(3)求出函数g(x)图象在(−2π3,π3)内的对称轴方程，可得出x1+x2=−π3，g(x1)=0得，sin(2x1−π6)=−35，利用诱导公式可求得cs(x1−x2)的值，再利用二倍角的余弦公式可求得cs[2(x1−x2)]的值．
本题考查三角函数的解析式的求法及三角函数的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=a−22x+1是R上的奇函数⇒f(0)=a−220+1=0，解得a=1，
∴f(x)=1−22x+1=2x−12x+1，经检验，f(x)为奇函数，符合题意；
f(x)在R上单调递增，
证明：令x1∴f(x1)=f(x2)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x+1)<0，
即f(x1)(2)由f(x)是R上的奇函数，f(9x−b)+f(−3x+1)=0可化为f(9x−b)=f(3x+1)，
由f(x)在R上单调递增可得：9x−b=3x+1，即b=9x−3x+1，
∵x∈(0,1)，
∴1<3x<3，令g(x)=9x−3x+1=(3x)2−3⋅3x=(3x−32)2−94，
当3x=32，即x=lg332时，g(x)min=−94，当3n=3，即x=1时，g(x)man=0，
∴当x∈(0,1)时，−94≤g(x)<0，
∴实数b的取值范围是[−94,0)．
【解析】(1)由f(0)=0，可求得a，利用定义证明函数f(x)在R上单调递增即可；
(2)由f(x)是R上的奇函数，原式可化为f(9x−b)=f(3x+1)，结合f(x)在R上单调递增可得b=9x−3x+1，配方可求得实数b的取值范围．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=ln(2x+a)，
∴g(x)=f(1−x)=ln(21−x+a)=ln2+a−ax1−x，又g(x)为奇函数，
∴g(x)+g(−x)=ln2+a−ax1−x+ln2+a+ax1+x=ln(2+a)2−a2x21−x2=0，
∴(2+a)2−a2x21−x2=1，即(2+a)2−1+(1−a2)x2=0，对定义域内任意x恒成立，
∴(2+a)2−1=01−a2=0，解得a=−1，
此时g(x)=ln1+x1−x，定义域为(−1,1)符合奇函数的条件，
所以a=−1；
(Ⅱ)方程ln(2x+a)=ln[(a−6)x+2a−8]，
所以2x+a=(a−6)x+2a−8①2x+a>0②，
由①可得，(a−6)2x+(a−8)x−2=0，即[(a−6)x−2](x+1)=0，
当a=6时，方程有唯一解x=−1，满足②2x+a=−2+6>0，
所以a=6符合条件；
当a=−4时，方程有两相等解x=2a−6=−1，满足②2x+a=−2+4>0，
所以a=4符合条件；
当a≠4且a≠6时，方程有两不等解x1=2a−6，x2=−1，
若x1=2a−6满足②2x1+a=2a−6>0，则a>3，
若x2=−1满足②2x2+a=a−2>0，则a>2，
所以当a∈(2,3]时方程恰有一个实根．
综上，实数a的取值范围为(2,3]∪{4，6}；
(Ⅲ)令t=2x+a，则t=2x+a在(0,+∞)上为减函数，y=lnt在(0,+∞)上为增函数，
∴函数f(x)=ln(2x+a)在[b,b+1]上为减函数，
当x1，x2∈[b,b+1]时，满足|f(x1)−f(x2)|≤ln2，
则f(x)max−f(x)min=f(b)−f(b+1)=ln(2b+a)−ln(2b+1+a)≤ln2，
∴2b+a≤2(2b+1+a)，即ab2+(a+2)b−2≥0对任意的b∈[14,1]恒成立，
设h(b)=ab2+(a+2)b−2，
又a>0，
所以函数h(b)=ab2+(a+2)b−2在b∈[14,1]单调递增，
所以h(b)min=h(14)=a16+a+24−2≥0，
∴a≥245．
所以a的取值范围为：[245,+∞)．
【解析】(Ⅰ)利用奇函数的定义可得；
(Ⅱ)由题可得2x+a=(a−6)x+2a−8①2x+a>0②，分类讨论可得；
(Ⅲ)由题可得f(x)max−f(x)min=f(b)−f(b+1)=ln(2b+a)−ln(2b+1+a)≤ln2，进而可得ab2+(a+2)b−2≥0对任意的b∈[14,1]恒成立，然后求函数h(b)=ab2+(a+2)b−2的最小值即得．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及分类讨论思想，也考查了学生分析和解决问题的能力及计算能力，属于难题．