江苏省睢宁高级中学2023-2024学年高二下学期3月学情检测数学试卷

这是一份江苏省睢宁高级中学2023-2024学年高二下学期3月学情检测数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知，，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
2．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A．12B．20C．36D．120
4．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．与夹角的余弦值为
C．D．
5．设数列各项非零，且平面的法向量为，直线的方向向量为，则“数列为等比数列”是“直线平行于平面”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．充分必要条件
6．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
7．某教师一天上3个班级的课，每班1节，如果每班一天共9节课，上午5节、下午4节，并且该教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（ ）
A．462种B．77种C．474种D．79种
8．已知平行六面体中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：每题6分，共18分，有多项符合题目要求．
9．已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．组成无重复数字的四位奇数有28个
B．组成无重复数字的四位偶数有66个
C．组成无重复数字的四位数有96个
D．组成可以有重复数字的四位数有500个
10．在空间直角坐标系中，已知点，，，则（ ）
A．B．异面直线与所成角的余弦值为
C．D．在上的投影向量的模为
11．已知图1中，、、、是正方形各边的中点，分别沿着、、、把、、、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）
A．是正三角形
B．直线与平面所成角的正切值为
C．平面平面
D．当时，多面体的体积为
三、填空题：每题5分，共15分．
12．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）．
13．如图，在长方体中，，，点，分别是，的中点，则点到直线的距离为______．
14．在正方体中，为线段的中点，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的范围是______．
四、解答题：共77分．
15．（13分）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？
（2）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？
（3）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？
（4）在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个？
16．（15分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，建立适当的空间直角坐标系：
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
17．（15分）如图，在正四棱柱中，，，、分别为和的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与面所成角的正弦值．
18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（1）求二面角的正弦值；
（2）在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离．
19．（17分）如图，三棱锥中，，且平面平面，，为平面的重心，为平面的重心．
（1）棱可能垂直于平面吗？若不可能，说明理由；
（2）求与夹角正弦值的最大值．
高二年级第二学期学情检测一
数学试题参考答案
一、单选题：
1．【答案】A
【详解】因为，，且，所以，解得，故选：A
2．【答案】B
【详解】因为，即为的中点，所以，
因为，所以，．故选：B
3．【答案】B
【解析】利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有4种方法，第二步插入第二个节目，此时有5个空，故有5种方法．因此不同的插法共有20种．故选：B．
4．【答案】C
【详解】对于A：，因为，所以与不平行，故C错误；
对于B：与夹角的余弦值为，故B错误；
对于C：，，则，即，故C正确；
对于D：，，故D不正确；故选：C
5．【答案】A
【详解】若已知数列为等比数列，则，因此有成立，所以可知，但无法得知是否在平面内，因此充分性不成立；
若已知直线平行于平面，则可知，根据定义，及即可得到，即，
但不能认为为等比数列，即必要性不一定成立．
所以“数列为等比数列”是“平面平行于直线”的既不充分也不必要条件，故选：A．
6．【答案】D
【详解】由，，，四点共面，可知，即，
由，，，当且仅当，即时等号成立，故选：D
7．答案 C
解析 从9节课中任意安排3节，有种排法，其中上午连排3节，有种排法，下午连排3节，有种排法，则这位教师一天的课的所有排法有（种）．
8．【答案】D
【详解】
，
故，所以．故选：D．
二、多选题：
9．【答案】CD
解：对A：组成无重复数字的四位奇数有个，故选项A错误；
对B：若0在个位，有个四位偶数，若0不在个位，有个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有个四位偶数，故选项B错误；
对C：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，有种情况，则组成无重复数字的四位数有个，故选项C正确；
对D：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有个，故选项D正确；故选：CD．
10．【答案】AB
【详解】因为，故A正确；
因为，，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故B正确；
因为，故C错误；
由投影向量的定义知，在上的投影向量的模为，故D错误．
故选：AB
11．【答案】ABD
【解析】取、的中点、，连接、，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出，可判断A选项的正误，利用空间向量法可判断BC选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D选项的正误．
【详解】取、的中点、，连接、，
在图1中，、、、是正方形各边的中点，则，
为的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
在图1中，设正方形的边长为，可得四边形的边长为，
在图1中，和均为等腰直角三角形，可得，
，四边形是边长为的正方形，
、分别为、的中点，则且，且，
所以，四边形为矩形，所以，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、、、．
对于A选项，由空间中两点间的距离公式可得，所以，是正三角形，A选项正确；
对于C选项，设平面的法向量为，，，
由，取，则，，则，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，，则，
，所以，平面与平面不垂直，C选项错误；
对于B选项，，设直线与平面所成角为，则，，所以，，B选项正确；
对于D选项，以为底面，以为高将几何体补成长方体，则、、、分别为、、、的中点，
因为，即，则，长方体的体积为，
，
因此，多面体的体积为，D选项正确．故选：ABD．
三、填空题：
12．【答案】96
【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：
要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A区域涂色有3种方法，
、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，
所以共有种涂色方案．故答案为：96
13．答案
解析 连接，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），则，，，于是有，，所以，，
所以点到直线的距离为．
14．【详解】设正方体边长为2，如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则，，，，．
因点在线段上，设，．
则，，，，
，．
设平面法向量为，则，取．
设与平面所成角为，
则．
注意到，则
．
四、解答题：
15．解：（1）能被5整除的个数有个；
（2）在组成的五位数中，所有奇数的个数有个；
（3）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有个；
（4）比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置任意排，即，
若万位为3，比30421小的有5个，从小到大排列，30124排第54个．
16．【详解】（1）在直三棱柱中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，且平面，则平面
（2），，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
又平面的法向量，则，则，
平面平面．
17．【小问1详解】
证明：在正四棱柱中，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，则、、、，
所以，．
因为，所以，即．
【小问2详解】
解：由，得，设平面的法向量，
则，令，得，，即
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18．【小问1详解】
以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，
所以，，，，
则，，．
设平面的法向量，
则，取得，
设平面的法向量，
则，取得，
设二面角的大小为，则，
所以．
【小问2详解】
设，则．
因为异面直线与所成角的大小为，
所以，解得或（舍去）．
此时，所以点到平面的距离．
19．【小问1详解】
设中点为，连接，由于，因此，
又因为平面平面，交线为，平面，
所以平面．
因为，，由勾股定理得：，
以为原点作空间直角坐标系，则，，，
设，有对称性可知和情况相同，
不妨设，则．
所以，，．
设平面的法向量为，
则有，
所以取，则，，则．
假设垂直于平面，则有，则，无解，所以假设不成立，
不可能垂直于平面；
【小问2详解】
由重心的性质，，同理，，
所以，
，则，
所以，
要想求与夹角正弦值最大值，只需求出与夹角余弦值的最小值，
当，即时，此时即为与夹角余弦值，
设，令，则，
．令，，
则，
因为，，所以，即，
又因为，所以在上是减函数，
当时，，此时与夹角正弦值的最大值为1，
当，即时，此时即为与夹角余弦值，
设，令，则，
．令，，
则，
因为，，所以，即，
又因为，所以在上是增函数，
故，此时不存在最值，
综上，与夹角正弦值的最大值为1．