备战2024年高考数学二轮复习专题03解析几何中的定点问题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题03解析几何中的定点问题(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了直线恒过定点，平面内的定点等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 直线恒过定点
典例1．已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，且，求证：直线AB过定点．
变式1-1．已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点,动点(不与定点重合)均在椭圆上,且直线与的斜率之和为1，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线经过定点；
变式1-2．已知椭圆的左､右顶点分别为A,B，点，连接交椭圆C于点M､N，为直角三角形，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C交于D､E两点，若，求证：直线l过定点
变式1-3．已知是抛物线：的焦点，不过原点的动直线交抛物线于，两点，是线段的中点，点在准线上的射影为，当时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，求证：直线过定点．
考点二 平面内的定点
典例2．已知圆过点，且与直线相切.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为，过点作，垂足为，在平面内是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式2-1．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l过椭圆右焦点交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一定点P使得为定值，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
变式2-2．在平面直角坐标系中，抛物线C的准线为，对称轴为坐标轴，焦点在直线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若动直线与抛物线C交于A，B两点.在x轴上是否存在定点P，使得对任意实数m，总有成立？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
变式2-3．已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.
(1)求C的方程.
(2)若直线与C的右支相切，切点为P，与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.
巩固练习
练习一 直线恒过定点
1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，椭圆上的一点P满足轴，且|.
(1)求椭圆的标准方程：
(2)已知点A为椭圆的左顶点，若点B，C为椭圆上异于点A的动点，设直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且，求证：直线BC过定点.
2．椭圆离心率为，过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线交椭圆于A，B两点，A关于x轴对称点为E，求证：直线BE过定点.
3．已知椭圆：，点，分别为椭圆的左，右顶点，点是左准线：上的动点（不在轴上）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点，是椭圆上非顶点的两个动点，且，，求证：直线过定点.
4．已知平面内两点，，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过定点的直线l交动点P的轨迹于不同的两点M，N，点M关于y轴对称点为，求证直线过定点，并求出定点坐标．
练习二 平面内的定点
5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过的直线l交椭圆C于A、B两点，试探究在平面内是否存在定点Q，使得是一个确定的常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
6．已知，是椭圆：的焦点，焦距为2，且经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C右焦点F的动直线与椭圆C交于点P，Q（与左右顶点不重合），判断x轴上是否存在点E，使得直线EP，EQ关于x轴对称，若存在，求出点E坐标，若不存在，说明理由.
7．已知椭圆的左，右焦点分别为，，，，直线，的交点D既在椭圆C上，也在直线上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过直线上的动点A的直线l与椭圆C只有一个公共点B，判断x轴上是否存在点P，使得.若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
8．已知双曲线的左顶点为，右焦点为F，点B在C上．当时．不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于P，Q两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线PQ过点F，在x轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，求出点的N的坐标；若不存在，说明理由．
第五篇 解析几何
专题03 解析几何中的定点问题
常见考点
考点一 直线恒过定点
典例1．已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，且，求证：直线AB过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由条件可得、，即可得到答案；
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得出，然后利用求出的关系，即可得到定点的坐标，然后再验证直线的斜率不存在时也过该定点即可.
(1)
因为椭圆的长轴为双曲线的实轴，
所以，因为椭圆C过点，所以，所以
所以椭圆C的标准方程为
(2)
当直线的斜率存在时，设其方程为，
由可得
所以
所以
化简可得
所以
当，即时，直线的方程为，过定点，不满足题意，
当，即时，直线的方程为，过定点，
当直线的斜率不存在时，设其方程为，
由可得，所以
所以，解得（舍）或
也满足直线过定点
综上：直线过定点
变式1-1．已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点,动点(不与定点重合)均在椭圆上,且直线与的斜率之和为1，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线经过定点；
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由点在椭圆上可建立的关系，结合离心率，即可求出的值，从而求出椭圆方程；
（2）设直线为，与椭圆联立，由韦达定理可建立的关系，因为斜率和为1，代入坐标和韦达定理，可解出的关系，从而求出直线所过定点.
(1)
解：设椭圆（）的离心率为，所以，
又因为，所以．
由定点在椭圆上可得，解得，．
所以椭圆的方程为．
(2)
解：当直线与轴垂直时，设（），则．
由题意得：，即．所以直线的方程为．
当直线不与轴垂直时，可设直线为，，，
将代入得．
所以，．
由直线与的斜率之和为1可得①，
将和代入①，
并整理得②，
将，代入②，
并整理得，
分解因式可得，
因为直线：不经过点，所以，故．
所以直线的方程为，经过定点．
综上所述，直线经过定点．
【点睛】
方法点睛：（1）直线与椭圆的位置关系，经常采用直线和椭圆联立，设而不求，代入韦达定理解题；（2）直线过定点问题，，若，则可写为，即直线过定点.
变式1-2．已知椭圆的左､右顶点分别为A,B，点，连接交椭圆C于点M､N，为直角三角形，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C交于D､E两点，若，求证：直线l过定点
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意知，求出，再由求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）设，设的方程为，联立椭圆方程消元后得到韦达定理，由代入求出，即可求出直线恒过的定点.
(1)
解：因为为直角三角形，
所以由椭圆的对称性知，，
即，所以，则，
代，得，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
(2)
证明：由题意，可设直线的方程为，
联立消去x得，，
设，则①
因为，所以，由（1）知，，
所以，
则，
将代人上式得，
，
将①代人上式，
解得，或（舍），故直线l恒过点
变式1-3．已知是抛物线：的焦点，不过原点的动直线交抛物线于，两点，是线段的中点，点在准线上的射影为，当时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，轴且过焦点，不妨设，即可得到的坐标，再根据的长度求出，即可得到抛物线方程；
（2）当直线的斜率不为0时，设直线，、、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到的坐标，再表示出，，根据平面向量数量积的坐标运算得到，即可得到方程，求出的值，即可得解；
(1)
解：当时，轴且过焦点，不妨设在轴上方，则，此时，，因为，所以，解得或（舍去），所以抛物线方程为；
(2)
解：当直线的斜率为0时，显然不符合题意；当直线的斜率不为0时，设直线，、、，由化简得，，，，，所以，所以，，所以
若，即，解得或（舍去），所以直线过定点；
考点二 平面内的定点
典例2．已知圆过点，且与直线相切.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为，过点作，垂足为，在平面内是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在定点，使得，点.
【解析】
【分析】
（1）设出点M的坐标，利用给定条件列式化简作答.
（2）设出直线的方程，与轨迹的方程联立，探求出直线所过定点，再推理计算作答.
(1)
设圆心，依题意，，化简整理得：，
所以圆心的轨迹的方程是：.
(2)
依题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，，则，，
由抛物线对称性知，点在轨迹C上，直线的斜率为，
直线的方程为：，化简整理得：，
由消去x并整理得：，则有，
直线的方程化为：，因此直线恒过定点，
因于点Q，于是得是直角三角形，且点是斜边的中点，则恒有，
令点为E，从而有，
所以存在定点，使得为定值，点E坐标为.
【点睛】
思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.
变式2-1．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l过椭圆右焦点交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一定点P使得为定值，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
(1)首先根据对称性确定点，，三点在椭圆上，代入椭圆方程，即可求解；
（2）首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求得存在定点满足条件.
(1)
根据对称性可得椭圆过，，三点，
于是有，解得，.
故椭圆的方程为.
(2)
设椭圆C的右焦点为，，，，直线.
由得，，
，，代入得
，
当即时，为定值.
故存在定点使为定值.
变式2-2．在平面直角坐标系中，抛物线C的准线为，对称轴为坐标轴，焦点在直线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若动直线与抛物线C交于A，B两点.在x轴上是否存在定点P，使得对任意实数m，总有成立？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得抛物线的焦点在x轴上，求得焦点坐标，从而可得出答案；
（2）假设存在满足条件的点P，不妨设，，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，由，直线AP与直线BP的斜率，满足，整理分析从而可得出结论.
(1)
解：因为抛物线C的准线为，对称轴为坐标轴，
则C的对称轴为x轴，且焦点在x轴上，
又焦点在直线上，则焦点坐标为，
所以C的顶点为原点，
所以抛物线C的方程为；
(2)
解：假设存在满足条件的点P，
由得，
不妨设，，，
则，
①，②，
由，直线AP与直线BP的斜率，满足，
即，
即③，
将①②代入③得：对任意m成立，则，
即存在满足条件的定点.
变式2-3．已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.
(1)求C的方程.
(2)若直线与C的右支相切，切点为P，与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点
【解析】
【分析】
（1）先由题意求出C的渐近线方程，，再根据点F到渐近线的距离为1求出b，得，即可得C的方程；
（2）先由题意判断直线的斜率存在，设出的方程，与C的方程联立，根据直线与C相切求得点P的坐标，再根据题意求出点Q的坐标，假设存在点M满足题意，设出点M的坐标，根据并借助向量的数量积将问题转化为点的坐标之间的关系，化简求解，即可得到结果.
(1)
解：由题意，双曲线的渐近线方程为，
又由双曲线的右焦点为，可得，
所以到渐近线的距离，
所以，所以C的方程为.
(2)
解：由题意易知直线的斜率存在，设其方程为，
联立与C的方程，消去y，得，
因为直线与C的右支相切，所以，（双曲线右支上的点需满足的条件）
，
得，则，
设切点，则，
，
设，因为Q是直线与直线的交点，所以，，
假设x轴上存在定点，使得，
则
，
故存在，使得，即，
所以x轴上存在定点，使得.
巩固练习
练习一 直线恒过定点
1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，椭圆上的一点P满足轴，且|.
(1)求椭圆的标准方程：
(2)已知点A为椭圆的左顶点，若点B，C为椭圆上异于点A的动点，设直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且，求证：直线BC过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由，得到，再由离心率为，得到，结合，求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合，列出方程得到，求得，得出直线的方程，从而可求解.
(1)
由椭圆上的一点满足轴，且，可得，即，
又由椭圆的离心率为，可得，即，
因为，联立方程组，可得，
所以椭圆的标准方程为.
(2)
由椭圆，可得，
由题意可知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，则，
联立方程组，整理得，
则，
由，可得，
即，
可得，
整理得，所以，所以或（舍去），
所以直线的方程为，即，
当时，，可得直线过定点.
2．椭圆离心率为，过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线交椭圆于A，B两点，A关于x轴对称点为E，求证：直线BE过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，列出关于的方程组求解即可得答案；
（2）设直线方程为，，，，联立，由韦达定理可得，，又直线BE：，令，化简可得，从而可得答案.
(1)
解：由题意，，解得，，
所以椭圆C的方程为；
(2)
解：由题意，设直线方程为，，，，
联立，得，
所以，，，
直线BE：，
令，则，
所以直线BE过点.
3．已知椭圆：，点，分别为椭圆的左，右顶点，点是左准线：上的动点（不在轴上）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点，是椭圆上非顶点的两个动点，且，，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意求得，，再求，即可得椭圆方程，
（2）由题意，求得，的坐标，再求出的方程，再求定点即可.
(1)
（1）由题意可得且，
∴，
∴，
∴椭圆的方程为；
(2)
2）设，
则：，：，
将：与椭圆方程，
联立得，
∴，∴，代入方程得，
∴.
将：与椭圆方程，
联立得，
同理.
①当时，，
∴：，化简得：.
②当时，：.
∴直线过点.
4．已知平面内两点，，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过定点的直线l交动点P的轨迹于不同的两点M，N，点M关于y轴对称点为，求证直线过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【解析】
【分析】
（1）直接由斜率关系计算得到；
（2）设出直线，联立椭圆方程，韦达定理求出，再结合三点共线，求出参数，得到过定点.
(1)
设动点，由已知有，
整理得，
所以动点的轨迹方程为；
(2)
由已知条件可知直线和直线斜率一定存在，
设直线方程为，，，则，
由，可得，
则，即为，
，，
因为直线过定点，所以三点共线，即，即，
即，即，
即得，
整理，得，满足，
则直线方程为，恒过定点.
【点睛】
本题关键在于设出带有两个参数的直线的方程，联立椭圆方程后，利用题干中的条件，解出一个参数或得到两个参数之间的关系，即可求出定点.
练习二 平面内的定点
5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过的直线l交椭圆C于A、B两点，试探究在平面内是否存在定点Q，使得是一个确定的常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，定点
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合是常数列方程，从而求得定点的坐标.
(1)
，，
由题可得：.
(2)
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，设，，
联立方程组，整理得，
可得，
所以
则恒成立，
则，解得，，，
此时，即存在定点满足条件
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝－2，可得，，
设要使得是一个常数，即，
显然，也使得成立；
综上所述：存在定点满足条件.
6．已知，是椭圆：的焦点，焦距为2，且经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C右焦点F的动直线与椭圆C交于点P，Q（与左右顶点不重合），判断x轴上是否存在点E，使得直线EP，EQ关于x轴对称，若存在，求出点E坐标，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）由焦距可得,将点代入椭圆方程及，可得，，从而得出椭圆C的方程；
（2）联立直线l和椭圆方程，利用韦达定理结合得出点E坐标.
(1)
由题意有，解得，，
所以椭圆C的方程为．
(2)
由（1）得，设直线l的方程为，，，
由，得，
所以，，
设x轴上存在点，使得直线EP，EQ关于x轴对称，
则，
所以，所以，
故x轴上存在点，使得直线EP，EQ关于x轴对称．
【关键点睛】
解决第（2）问时，关键在于将直线EP，EQ关于x轴对称转化为，结合韦达定理得出点E坐标.
7．已知椭圆的左，右焦点分别为，，，，直线，的交点D既在椭圆C上，也在直线上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过直线上的动点A的直线l与椭圆C只有一个公共点B，判断x轴上是否存在点P，使得.若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在点
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，即可求出，再求出点坐标，即可得到方程组，解得、，即可求出椭圆方程；
（2）设l的方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据得到，即可表示出、坐标，假设x轴上存在点，使得，则
恒成立，即可求出的值，从而得解；
(1)
解：由题意可得，，且点D到x轴的距离是到x轴距离的2倍，
所以是的中位线，，所以，
由，得，所以，
由解得，
故椭圆C的标准方程为.
(2)
解：直线l的斜率存在，设l的方程为，
联立，得.
因为直线与椭圆C只有一个公共点B，
所以，即，
所以，，即.
，，即，
假设x轴上存在点，使得，
则恒成立，
所以，所以，
即x轴上存在点，使得
8．已知双曲线的左顶点为，右焦点为F，点B在C上．当时．不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于P，Q两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线PQ过点F，在x轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，求出点的N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在
【解析】
【分析】
（1）根据顶点坐标、及可求解；
（2）直线，与双曲线联立，由条件可知有，结合韦达定理可求解.
(1)
依题意，，，，
解得，得，.
∴．
(2)
假设存在，，设，，
设直线，则，得，
则，且，
即，即，
依题意，，
即，，
，，
即，，，
故存在．