备战2024年高考数学二轮复习专题03利用导数求函数的极值、最值(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题03利用导数求函数的极值、最值(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了极值与极值点，最值等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 极值与极值点
典例1．设，曲线在点（1，f（1））处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f（x）的单调区间和极值．
变式1-1．已知函数，在处有极值.
(1)求、的值；
(2)若，有个不同实根，求的范围.
变式1-2．已知函数，为的导函数，证明：
(1)在区间存在唯一极大值点；
(2)在区间存在唯一极小值点；
(3)有且只有一个零点.
变式1-3．已知函数，其中为自然对数的底数，为常数．
(1)若，求函数的极值点；
(2)若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围．
考点二 最值
典例2．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
变式2-1．已知函数在处取得极值．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最值．
变式2-2．已知函数，
(1)若，求的极值；
(2)当时，在上的最大值为，求在该区间上的最小值．
变式2-3．已知函数．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若，在上存在最小值，且最小值不大于，求的取值范围．
巩固练习
练习一 极值与极值点
1．已知函数，其中．
(1)当，求的极值；
(2)若曲线与直线在上有且只有一个交点，求的取值范围．
2．已知函数在时有极值0．
(1)求函数的解析式；
(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围．
3．已知函数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
4．已知函数.
(1)讨论的极值点的个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.
练习二 最值
5．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
6．已知函数．
(1)求函数在的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值（其中为正实数）．
7．已知函数，且．
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
8．已知函数.
(1)若，，求函数的单调区间；
(2)若直线是曲线的切线，求的最大值；
第六篇 导数
专题03 利用导数求函数的极值、最值
常见考点
考点一 极值与极值点
典例1．设，曲线在点（1，f（1））处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f（x）的单调区间和极值．
【答案】(1)
(2)在区间（0，）和（1，＋∞）单调递减，在区间（，1）单调递增；极大值为，极小值为
【解析】
【分析】
（1）求出函数得导函数，根据曲线在点（1，f（1））处取得极值可得，从而可求出a的值；
（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义求出极值即可.
(1)
∵，则，
又∵，故可得，解得，
经检验符合题意，
所以；
(2)
由（1）可知，，
则，
当或时，，当时，，
故可得f（x）在区间（0，）和（1，＋∞）单调递减，在区间（，1）单调递增，
故f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．
变式1-1．已知函数，在处有极值.
(1)求、的值；
(2)若，有个不同实根，求的范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题设条件可得，由此可解得与的值（2）依题意可知直线与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围介于极小值与极大值之间.
(1)
因为函数，在处有极值，
所以，即，
解得，.
(2)
由（1）知，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，
，
若有3个不同实根，
则，
所以的取值范围为.
变式1-2．已知函数，为的导函数，证明：
(1)在区间存在唯一极大值点；
(2)在区间存在唯一极小值点；
(3)有且只有一个零点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)首先求函数的导数，利用函数的导数，判断函数的单调性，以及结合零点存在性定理，即可说明函数在区间存在唯一极大值点；
（2）由的单调性，结合零点存在性定理，说明存在唯一极小值点；
（3）分和两个区间，结合函数的单调性，以及零点存在性定理，说明函数有且只有一个零点.
(1)
的定义域为，
设，则，
当时，，所以单调递减；
且，，
由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以为区间上唯一的极大值，
即是区间上唯一的极大值点.
(2)
当时，单调递增，且，，
，
所以在区间有唯一零点，设为，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
所以是在上唯一的极小值点.
(3)
①当时，由（1）可知在上单调递增，
且，
所以在上有唯一零点；
当时，单调递减，且，
所以在上没有零点.
②当时，由（2）可知在区间上，此时单调递减，
且，故有，此时单调递减，且，
由，得，
所以.
当时，由（2）知，所以单调递增，
又，故，
，，
所以存在，使，即，故为的极小值点.
此时.
所以在上没有零点.
③当时，，
所以，所以在区间上没有零点.
综上在区间上有且仅有一个零点.
【点睛】
利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.
变式1-3．已知函数，其中为自然对数的底数，为常数．
(1)若，求函数的极值点；
(2)若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值点为，极大值点为
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求函数的导数，再利用导数与函数极值点的关系，即可求解；
（2）根据，得，换元后转化为与，且有两个交点，利用数形结合，即可求得实数的取值范围.
(1)
由题可知，令，得
(1)当时，上式为：，解得：，
当，解得：或，当，解得：
的单调递增区间为；单调递减区间为
极小值点为，极大值点为.
(2)
∵函数在上存在两极值点
在有两不等实解，即
由分离参数可得：
令，则
设，且
易知在上单调递减，在上单调递增
，，，
结合图象可知，
与在有两交点，则
，故实数的取值范围为
考点二 最值
典例2．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可，
（2）对函数二次求导后可得在区间上递增，再由可分析得在上单减，在上单增，从而可求出函数的最值
(1)
由，得，
，，
函数曲线在点处的切线方程为.
(2)
当，，
在区间上递增，
又，
所以，当，，
所以在上单减，
当，，所以在上单增.
所以，
因为， ，
所以，
令，则，，
所以在上递增，
因为，
所以在上递增，
所以，所以
所以.
变式2-1．已知函数在处取得极值．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最值．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）根据可构造方程组求得，进而得到，根据的正负可得单调区间；
（2）根据单调性可确定，，由此可求得最值.
(1)
，
在处取得极值，，，解得：，
，，
当时，；当时，，
的单调递增区间为和，单调递减区间为；
(2)
由（1）知：，，
又，，.
变式2-2．已知函数，
(1)若，求的极值；
(2)当时，在上的最大值为，求在该区间上的最小值．
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数可求得单调性，由此得到极值点，代入可得极值；
（2）利用导数可求得单调性，结合，可知，利用可构造方程求得，从而得到.
(1)
当时，，，
令，解得：，，
则变化情况如下表：
的极大值为；极小值为
(2)
，，又，；
令，解得：，；
则变化情况如下表：
在，上单调递增，在上单调递减，
，，，
又，，
在上的最大值为，解得：；
.
变式2-3．已知函数．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若，在上存在最小值，且最小值不大于，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可，
（2）对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，由在上存在最小值，且最小值不大于，得从而可求出的取值范围
(1)
因为，所以，，
则．
因为，
所以的图象在处的切线方程为．
(2)
因为，，
所以当时，；
当时，．
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
因为在上存在最小值，且最小值不大于，
所以
解得，即的取值范围为．
巩固练习
练习一 极值与极值点
1．已知函数，其中．
(1)当，求的极值；
(2)若曲线与直线在上有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)的极小值为，无极大值
(2)
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，利用导函数即可求出原函数的极值.
（2）设，对进行求导，由只有一个零点，对进行讨论，即可得到答案.
(1)
由题意，，
则，
故在单调递减，在单调递增.
有极小值，无极大值.
(2)
设，
则，
①当时，，在上无零点，不合题意；
②当，则单调递增，
时，
由零点存在性定理得在中只有一个零点，即曲线与直线在上有且只有一个交点.
②时，在单调递减，单调递增
若，则只能
若，则在单调递减，时，
则要，则
故
综上：.
2．已知函数在时有极值0．
(1)求函数的解析式；
(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，根据题意可得，从而可得出答案；
（2）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，再根据函数有三个零点，列出不等式，解之即可得出答案.
(1)
解：，
因为函数在时有极值0，
所以，即，
解得，
经检验符合题意，
所以；
(2)
解：由（1）得，
则，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减，
所以函数的极大值为，极小值为，
因为函数有三个零点，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
3．已知函数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)存在，0＜a＜2﹒
【解析】
【分析】
(1)由，可求得，然后分与讨论导数的正负即可得f(x)的单调区间；
(2)由(1)可知，当，函数有极大值，结合化简极大值，令＞0，解出a的范围即可．
(1)
，，，
当时，由于，故，于是，
，故在上单调递增；
当时，令，即，
解得，
，
，
时，，单调递增，当时，，单调递减.
综上，时，f(x)的单调增区间是，无单调减区间；
时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是.
(2)
由(1)可知，当时，在上单调递增，为极大值；
当时，f(x)在处取到极大值.
由(1)可知，，即，
极大值，
令，∵在单调递增，且，
时，，即时，，
∴，
当时，，不等式显然成立；
当，即时，，∴，
综上，0＜a＜2.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用.第二问的关键是看出极大值在定义域内单调递增，且g(1)＝0，利用单调性将函数值大于0转化为自变量大于1，从而简化计算．
4．已知函数.
(1)讨论的极值点的个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）的极值点的个数等价于的解的个数，分离参数得，构造函数，求导分析，作出其图象，数形结合可得的极值点的个数；
（2）由（1）可知，设，则，由得，取对数得，同理，进一步分析可得.最后利用分析法与换元法，将问题转化证明，即可.
(1)
解：由题意得，，即，故令，
所以函数的极值点的个数的等价于与的交点个数.
，
得；得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
所以的大致图象如图：
由图可得，
当时，恒成立，函数单调递增，极值点的个数为0；
当时，与的交点个数有两个，分别设为且，
当时，，时，，故函数有两个极值点；
当时，与的交点个数有两个，不妨设为 ，则当，，当时，，故函数有1个极值点.
(2)
证明：因为函数f（x）有两个极值点，由（1）可知
设，则，显然，
所以，由极值点的概念知， ，故，
所以，
同理，
两式相减得，即.
另一方面，要证，只需证，即
因为，所以，
故上式可化为，即
令，则，上式即为，.
令，
则，故为减函数，
所以，即，原命题得证.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点，利用导数证明不等式；考查分类讨论思想，运算求解能力，是难题.本题第二问解题的关键在于借助第一问的结论得，进而根据极值点的导数值为0等价转换得，进而将问题转化为，再结合换元法证明，即可.
练习二 最值
5．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调增区间，单调减区间
(2)最大值，最小值
【解析】
【分析】
根据导函数分析函数单调性，在闭区间内的最值
(1)
时，；时，
单调增区间,单调减区间
(2)
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以最大值为
又；
故最小值为0
6．已知函数．
(1)求函数在的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值（其中为正实数）．
【答案】(1)的单调递增区间为、，单调递减区间为
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）化简函数在上的解析式，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；
（2）解方程，可得或，然后分、、、四种情况讨论，结合（1）中的结论分析函数在区间上的单调性，由此可得出函数在上的最大值.
(1)
解：，
①当时，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减；
②当时，恒成立，所以在上单调递增.
综上，的单调递增区间为、，单调递减区间为.
(2)
解：令，即，解得或.
①当时，在上单调递增，，
②当时，在上单调递增，在上单调递减，此时；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则；
④当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则.
综上，当时，.
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
7．已知函数，且．
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值是，最小值是．
【解析】
【分析】
（1）列出关于的方程即可求得的值；
（2）依据导函数判定函数的单调性，求出函数在区间上的极值和区间端点处的函数值，即可求得函数在区间上的最大值和最小值．
(1)
，所以，解得．
(2)
由，
得，令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，，，
所以在区间的最大值是，最小值是．
8．已知函数.
(1)若，，求函数的单调区间；
(2)若直线是曲线的切线，求的最大值；
【答案】(1)答案见解析；
(2)0
【解析】
【分析】
（1）根据题意，，，进而求导，分和两种情况讨论求解即可；
（2）设曲线的切点为，进而结合导数的意义得，，故，再求函数的最大值即可.
(1)
解：由题知，函数，定义域为，
则，
当时，即时，，在上单调递增，
当时，即时，令，解得，令，解得，
所以在递增，在递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在递增，在递减.
(2)
解：设曲线的切点为，
因为， 是曲线的切线，
所以，故，
因为，
即，故，
所以，
所以，
所以单调递减，故，
综上，的最大值是.
极大值
极小值
极大值
极小值