备战2024年高考数学二轮复习专题04解析几何中的定值问题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题04解析几何中的定值问题(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了定值问题等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 定值问题
典例1．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求证：为定值．
变式1-1．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为设点是轴上的定点，直线l：，设过点的直线与椭圆相交于A、B两点，A、B在上的射影分别为、．
(1)求椭圆的方程；
(2)判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
变式1-2．已知椭圆C：(a＞b＞0)，点P（1，）在椭圆上，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的右焦点为F，过B（4，0）的直线l与椭圆C交于D，E两点，求证：直线FD与直线FE斜率之和为定值.
变式1-3．如图，已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆O，点的集合记为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线，，过点的直线与交于两点，与直线交于点，记的斜率分别为，问：是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.
典例2．已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.
(1)求，的方程；
(2)求证：直线和的斜率之积为定值；
(3)求证：为定值.
变式2-1．已知左、右顶点分为A，B，其离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形面积为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作直线PQ交椭圆C于P，Q两点（点P，Q异于A，B），若直线AP和BQ的交点为N.求证：为定值.
变式2-2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点到焦点的最大距离为方程的根，离心率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值．
变式2-3．斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，且弦AB中点的纵坐标为2.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知点在抛物线C上，过点P作两条直线PM，PN分别交抛物线C于M，N（M，N不同于点P）两点，且的平分线与y轴垂直，求证：MN的斜率为定值.
巩固练习
练习一 定值问题
1．已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切.
(1)求动圆的圆心轨迹的方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（，在轴同侧），求证：是定值.
2．已知椭圆，下顶点为A，不与坐标轴垂直的直线l与C交于P，Q两点．
(1)若线段的中点为，求直线l的斜率；
(2)若l与y轴交于点，直线分别交x轴于点M，N，求证：M，N的横坐标乘积为定值．
3．已知椭圆的长轴长为4，，为E的左､右焦点，M为E上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为.
(1)求E的标准方程：
(2)过点作斜率之和为3的两条直线，，与E交于点A，B，与E交于点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，过点作，垂足为H.试问：是否存在定点T，使得线段TH的长度为定值.
4．如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线离心率为，若点为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于点，点为线段的中点，延长，分别与双曲线交于两点.
(1)若，求证：；
(2)若直线的斜率都存在，且依次设为.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.
5．在平面直角坐标系中，已知点，点M满足以MF为直径的圆均与y轴相切，记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设直线l与C交于A，B两点且△的面积是△面积的倍，在x轴上是否存在一点P使得直线l变动时，总有直线PA的斜率与PB的斜率之积为定值，若存在，求出该定值及点P的坐标；若不能，请说明理由.
6．已知圆：，圆：，动圆C与圆和圆均内切.
(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程
(2)点（）为轨迹E上的点，过点P作两条直线与轨迹E交于AB两点，直线PA，PB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.
7．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的淮线的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA，OB的斜率之差的绝对值为定值．
8．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为、，离心率为2，过点斜率不为0的直线l与交于P、Q两点．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)记直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
第五篇 解析几何
专题04 解析几何中的定值问题
常见考点
考点一 定值问题
典例1．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由，根据抛物线的定义得到，求得，即可求得抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组利用韦达定理，结合两点距离公式，化简，代入即可求解.
(1)
解：因为点在抛物线上，且，
由抛物线的定义可得，解得，
所以抛物线的方程为.
(2)
解：设直线的斜率为，可得直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，可得且，
由
.
变式1-1．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为设点是轴上的定点，直线l：，设过点的直线与椭圆相交于A、B两点，A、B在上的射影分别为、．
(1)求椭圆的方程；
(2)判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)是定值，定值为.
【解析】
【分析】
(1)根据题意列方程得出，的值即可得出椭圆方程；
(2)求出当直线AB斜率为0时的值，再求当直线斜率不为零或不存在时的值.当直线斜率不为零或不存在时，设直线AB方程为，和椭圆方程联立，根据韦达定理计算.由此即可得出结论．
(1)
由题意可知，，
又，，，．
椭圆的标准方程为：；
(2)
当直线斜率为0时，、分别为椭圆的左右顶点，、均为，
则，
当直线斜率不为0时，设直线的方程为，
联立方程组，
消去得：，
设，，，，则时，，，
．
综上，为定值．
变式1-2．已知椭圆C：(a＞b＞0)，点P（1，）在椭圆上，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的右焦点为F，过B（4，0）的直线l与椭圆C交于D，E两点，求证：直线FD与直线FE斜率之和为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据条件可得，然后将点代入椭圆方程求解即可；
（2）设直线l的方程为y=k(x-4)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，然后联立椭圆与直线的方程消元，然后韦达定理可得，，然后可算出为定值.
(1)
由题意知，，所以a=2c，-=
故椭圆的方程为，
又点P（1，）在椭圆上，代入解得
所以=4，
故椭圆C的方程为.
(2)
设直线l的方程为y=k(x-4)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，
联立方程组，可得，
则，解得