备战2024年高考数学二轮复习专题06解析几何中的范围问题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题06解析几何中的范围问题(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了面积取值范围问题，其他取值范围问题等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 面积取值范围问题
典例1．已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围.
变式1-1．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是椭圆C上位于第二象限的任一点，直线l是的外角平分线，过左焦点作l的垂线，垂足为N，延长交直线于点M，（其中O为坐标原点），椭圆C的离心率为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点T在线段AB上，且，点B关于原点的对称点为R，求面积的取值范围.
变式1-2．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，离心率，抛物线的焦点是是椭圆上的任意一点，且位于轴左侧，过点分别作抛物线的两条切线，切点分别为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)求面积的取值范围.
变式1-3．已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，且右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过左焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，求面积的取值范围.
考点二 其他取值范围问题
典例2．已知椭圆，离心率为，椭圆上任一点满足
(1)求椭圆的方程；
(2)若动直线与椭圆相交于、两点，若坐标原点总在以为直径的圆外时，求的取值范围.
变式2-1．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆上一点，且面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围.
变式2-2．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.
变式2-3．已知抛物线与直线相交于A，B两点，O为坐标原点，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上任意一点，点Q是线段PF的中点，求直线OQ斜率的取值范围.
巩固练习
练习一 面积取值范围问题
1．已知直线与抛物线交于两点，点C为抛物线上一点，且的重心为抛物线焦点F.
(1)求m与t的关系式；
(2)求面积的取值范围.
2．椭圆的两焦点分别为，，椭圆与轴正半轴交于点，.
(1)求曲线的方程；
(2)过椭圆上一动点(不在轴上)作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.
3．已知定点，圆（N为圆心，O为坐标原点），点Q为圆N上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记点P的轨迹为曲线C，过N的直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)点T在线段AB上，且，点B关于原点的对称点为R，求面积的取值范围．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆：相切，另外，椭圆：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于C，D两点．且．
(1)求圆的方程与椭圆的方程；
(2)经过圆上一点P作椭圆的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆相交于M，N两点（异于点P），求△OAB的面积的取值范围．
练习二 其他取值范围问题
5．已知椭圆的焦点，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若、为上不同的两点，动点、满足：，，且在上．
（i）求证：点在上；
（ii）若过焦点，求实数的取值范围．
6．已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点P的直线l与椭圆C交于A、B两点，且原点O到直线l的距离为1，求的取值范围．
7．已知椭圆的离心率为，且经过点，，过点作直线与椭圆交于点，（点，异于点，），连接直线，交于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当点位于第二象限时，求的取值范围.
8．已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设线段、长度分别为、，求的取值范围．
第五篇 解析几何
专题06 解析几何中的范围问题
常见考点
考点一 面积取值范围问题
典例1．已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题知，，进而结合求解即可得答案；
（2）由题设直线的方程为，，，，
进而与双曲线方程联立，结合题意得且，进而根据韦达定理，结合弦长公式，距离公式，面积公式得，再还原求解即可得答案.
(1)
解：因为双曲线的一条渐近线方程是，
所以，即
因为焦距为4，所以，即
因为，
所以，
所以双曲线的方程为
(2)
解：由题知双曲线的右焦点为，
故设直线的方程为，
则联立方程得，
设，，
所以，
因为直线与双曲线的右支交于A，B两点，
所以，即且，
所以，解得：且
因为直线与轴交于点，所以，
因为，所以
所以，
点到直线的方程为距离为，
所以面积为，
令，则，
所以，
因为在是单调递减函数，
所以，
所以.
所以面积的取值范围为
变式1-1．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是椭圆C上位于第二象限的任一点，直线l是的外角平分线，过左焦点作l的垂线，垂足为N，延长交直线于点M，（其中O为坐标原点），椭圆C的离心率为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点T在线段AB上，且，点B关于原点的对称点为R，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得到的值，结合椭圆的离心率，即可求得b,求得答案;
（2）由可得，进一步推得，于是设直线方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求得弦长，表示出三角形AOB的面积，利用换元法结合二次函数的性质求其范围.
(1)
由题意可知：为的中点，为的中点，为的中位线，
，,
又,故 ,
即,，
又，，，
椭圆的标准方程为；
(2)
由题意可知 ，，,
①当过的直线与轴垂直时，， ,
②当过的直线不与轴垂直时，
可设，，直线方程为,
联立,可得：
.,,,
由弦长公式可知 ，
到距离为,
故 ，
令，
则原式变为 ，
令，
原式变为
当 时， 故 ，
由①②可知 .
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时的三角形的面积问题，考查学生的计算能力和数学素养，解答的关键是计算三角形面积时要理清运算的思路，准确计算.
变式1-2．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，离心率，抛物线的焦点是是椭圆上的任意一点，且位于轴左侧，过点分别作抛物线的两条切线，切点分别为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)求面积的取值范围.
【答案】(1)；；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，解方程组求出，即可得到椭圆的标准方程；然后由抛物线的的焦点坐标求出，即可得到抛物线的方程；
（2）设过点的切线的方程为，与抛物线联立可得到两切线的斜率与的关系式，再由得直线的方程，进而求出点到直线的距离以及的长度，进而表示三角形的面积，从而求出取值范围.
(1)
由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为，
因为，所以，故，因此抛物线的方程为；
(2)
显然，过点的抛物线的切线的斜率存在且不为0，
设切线的方程为，
由，联立可得，
由题意可知，
设两切线的斜率分别为，则，
设斜率为的直线对应的切点为，斜率为的直线对应的切点为，
方程的根，
因此，于是，
，直线上任意一点，，
由得，，
化简得，则直线的方程为，
点到直线的距离为，
，
则的面积为
，
因为点，在椭圆上，即，
因为在上单调递减，
当时，，当时，，
所以，
因此，所以，
因此面积的取值范围为.
【点睛】
求椭圆的标准方程有两种方法：
①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
变式1-3．已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，且右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过左焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的方程可求，根据离心率可求，再求出后可得椭圆方程.
（2）设直线方程为，设，，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理得到面积的表达式，利用换元法和导数可求面积的最大值.
(1)
易知抛物线的焦点为，所以，
又因为离心率，所以，
又因为所以椭圆C的方程为
(2)
由题意设直线方程为，设，
与椭圆方程联立消去得：，易知
所以，
所以
因为到直线的距离为
所以
设，则，
设，则，所以在单调递增，
所以，即三角形面积的取值范围为
考点二 其他取值范围问题
典例2．已知椭圆，离心率为，椭圆上任一点满足
(1)求椭圆的方程；
(2)若动直线与椭圆相交于、两点，若坐标原点总在以为直径的圆外时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由已知计算可得即可得出方程.
（2）由已知可得联立方程，结合韦达定理计算即可得出结果.
(1)
依题得解得：
椭圆的方程为.
(2)
由已知动直线与椭圆相交于、，设
联立 得：
解得：，即：或
（*）
坐标原点总在以为直径的圆外
则：,
即 将（*）代入此式，
解得：，即
或
或
变式2-1．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆上一点，且面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意得到方程组，求出、、，即可求出椭圆方程；
（2）首先求出过且与轴垂直时、的坐标，即可得到，当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据平面向量数量积的坐标表示得到，将韦达定理代入得到，再根据函数的性质求出取值范围；
(1)
解：由题意可列方程组，解得，所以椭圆方程为：.
(2)
解：①当过的直线与轴垂直时，此时，，，则， .
②当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为
联立得：.
所以，
=
将韦达定理代入上式得：
.
，，
，
由①②可知.
变式2-2．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出后可得椭圆的方程.
（2）联立直线的方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理可用表示，利用换元法和二次函数的性质可求的取值范围.
(1)
由题意可得，解得，.
故椭圆C的标准方程为.
(2)
设，，.
联立，整理得，
则，解得，
从而，.
因为M是线段PQ的中点，所以，
则，故.
直线的方程为，即.
令，得，则，
所以.
设，则，
故.
因为，所以，所以.
变式2-3．已知抛物线与直线相交于A，B两点，O为坐标原点，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上任意一点，点Q是线段PF的中点，求直线OQ斜率的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）令，，利用向量数量积的坐标表示列方程求参数m，再将点代入抛物线求p，即可得抛物线方程.
（2）令，应用中点坐标公式及斜率的两点式求直线OQ的斜率，讨论分别求出对应k的范围，最后取并.
(1)
由题意，设，，则，解得.
将点A或点B坐标代入抛物线方程得：，所以.
所以抛物线C的方程为.
(2)
由抛物线C的方程可知：，不妨设.
因为Q是线段PF的中点，则.
所以直线OQ的斜率.
当时，；
当时，（当且仅当时等号成立），又，
所以.
当时，（当且仅当时等号成立），又，
所以.
综上，直线OQ斜率的取值范围是.
巩固练习
练习一 面积取值范围问题
1．已知直线与抛物线交于两点，点C为抛物线上一点，且的重心为抛物线焦点F.
(1)求m与t的关系式；
(2)求面积的取值范围.
【答案】(1)且
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，联立方程，利用韦达定理可得，再根据的重心为抛物线的焦点，可得，求得代入抛物线方程，即可得解；
（2）结合（1）利用弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式求得点C到的距离，再利用导数求得范围即可.
(1)
解：设，
由得，
，
，所以，
因为的重心为抛物线的焦点，
所以，解得，
又因点C为抛物线上一点，
所以，即，
所以求m与t的关系式为且；
(2)
解：由（1）得，
结合判别式得，
因为不经过点F（否则三点共线，不能构成三角形），所以，
所以实数的取值范围为，
，
点C到的距离，
所以，
设，则，
当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，上单调递减，
，
所以，
所以面积的取值范围为.
2．椭圆的两焦点分别为，，椭圆与轴正半轴交于点，.
(1)求曲线的方程；
(2)过椭圆上一动点(不在轴上)作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得，由此求得曲线的方程.
（2）利用弦长公式、点到直线的距离公式求得的表达式，再结合导数求得的取值范围.
(1)
，
椭圆方程为.
(2)
设，线段的中点为，
，，
以为直径的圆的半径为，
以为直径的圆的方程为，
即，又圆，
两式相减，
由 ，消去并化简得，
，，
，
，
，
由于，所以，，
对于函数，在上递增.
，
所以，
，
，
.
【点睛】
求解椭圆中三角形面积的取值范围，关键步骤有两个，一个是利用弦长公式、点到直线的距离公式求得三角形面积的表达式.二个是利用基本不等式、导数、二次函数等知识来求面积的取值范围.
3．已知定点，圆（N为圆心，O为坐标原点），点Q为圆N上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记点P的轨迹为曲线C，过N的直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)点T在线段AB上，且，点B关于原点的对称点为R，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用中垂线的性质，结合椭圆的定义求解；
（2）先表示出的面积，再联立直线和椭圆方程，换元后构造函数，求导确定单调性，进而求出范围.
(1)
由中垂线的性质得，所以，
所以，动点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆，则，，
因此，曲线C的方程为：．
(2)
由题意知直线l的斜率不为0，可设
，，，则，
由题意可知，
，
联立，整理得，
由根与系数的关系得，，
所以
．
令，则．
令，，所以在上是增函数，所以，所以面积的取值范围为．
【点睛】
本题关键在于联立直线和椭圆方程表示出面积后，换元构造函数，然后借助导数确定函数单调性，进而求出面积的范围.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆：相切，另外，椭圆：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于C，D两点．且．
(1)求圆的方程与椭圆的方程；
(2)经过圆上一点P作椭圆的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆相交于M，N两点（异于点P），求△OAB的面积的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r，即可得圆的方程，根据椭圆离心率、及椭圆参数关系求出a、b、c，即可得椭圆的方程.
（2）设、、，讨论直线PA，PB斜率存在性，则直线PA为、直线PB为，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程求、，进而得直线PA为、直线PB为，结合在直线PA，PB上有AB为，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得求面积范围.
(1)
由题设，圆：的圆心为，
因为直线与圆相切，则，
所以圆的方程为，
因为椭圆的离心率为，即，即，
由，则，又，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
综上，圆为，椭圆为.
(2)
设点，，．
当直线PA，PB斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA为，直线PB为．
由，消去y得：．
所以．
令，整理得，则，
所以直线PA为，化简得：，即．
经验证，当直线PA斜率不存在时，直线PA为或也满足．
同理，可得直线PB为．
因为在直线PA，PB上，所以，．
综上，直线AB为．
由，消去y得：．
所以，．
所以．
又O到直线AB的距离．
所以．
令，，则，又，
所以△OAB的面积的取值范围为．
【点睛】
关键点点睛：第二问，设点及直线PA，PB的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA，PB的方程，由在直线PA，PB上求直线的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围.
练习二 其他取值范围问题
5．已知椭圆的焦点，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若、为上不同的两点，动点、满足：，，且在上．
（i）求证：点在上；
（ii）若过焦点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可得出、，可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）（i）设点、，可得出，，将点的坐标代入椭圆的方程可得出，然后将点的坐标也代入椭圆的方程，证得即可证得结论成立；
（ii）对直线是否与轴重合进行分类讨论，在直线不与轴重合时，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合（i）中的等式可得出关于的不等式，可求出的取值范围；在直线与轴重合时，求出点、的坐标，可得出点的坐标，求出的值.综合可得出实数的取值范围.
(1)
解：由已知可得，可得，则，
故椭圆的方程为.
(2)
解：（i）设点、，则，，
因为，则点，
同理可得点，
因为点在椭圆上，则，
整理可得，
所以，，
故点也在椭圆上.
（ii）若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立，可得，
，
由韦达定理可得，，
，
由可得，
整理可得，
解得或；
若直线与轴重合，可设、，则，
由题意可得，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
6．已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点P的直线l与椭圆C交于A、B两点，且原点O到直线l的距离为1，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)将点P的坐标代入椭圆方程得出a与b的方程，结合离心率的定义即可得出椭圆方程；
(2)当直线l的斜率不存在易得；当直线l的斜率存在，设其方程为，，，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出，
利用点到直线的距离公式计算可得，结合平面向量数量积的坐标表示化简计算即可.
(1)
由题意知，，
解得，，
椭圆C的方程为；
(2)
若直线l的斜率不存在，不妨设其方程为，
此时A、B的坐标为，则
若直线l的斜率存在，设其方程为，
联立，
消y整理得：
因为直线与椭圆交于A、B两点，故，解得
设，，则，，
原点O到直线AB的距离得，
代入知恒成立．
又点P不在直线l上，所以，且得
因，故，
综上知，的取值范围是
7．已知椭圆的离心率为，且经过点，，过点作直线与椭圆交于点，（点，异于点，），连接直线，交于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当点位于第二象限时，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据题意确定a、b、c的值，即可求出椭圆的标准方程；
(2)设，联立PQ直线方程与椭圆方程，由韦达定理表示出，利用两点坐标求出直线AQ、PB的斜率，结合两角差的正切公式和基本不等式即可求得的取值范围.
(1)
由题意知，，又，
所以，故椭圆的标准方程为;
(2)
设直线PB倾斜角为，斜率为，直线AQ倾斜角为，斜率为，
直线PQ的方程为：，
则，消去x，得，
，设，
，有，
所以，
即，
则，
因为点P位于第二象限，则，
所以，故.
8．已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设线段、长度分别为、，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意圆A与轴相切，A到抛物线焦点的距离为，得到A到抛物线准线的距离为，从而求出及抛物线方程；
（2）设A的坐标，由垂径定理可知，设，，求得，，，分、讨论可得答案．
(1)
解：当轴时，圆A与轴相切，点为切点，
由题意可知此时点A的横坐标为，
因为A到抛物线焦点的距离为，所以A到抛物线准线的距离为，
故准线与轴之间的距离为，解得，
所以抛物线的标准方程为．
(2)
解：设A的坐标，由垂径定理可知，，
设，，
所以，．
所以，
当时，则；
当时，则，因为，
所以，当且仅当时，等号成立.此时．
综上所述，．