备战2024年高考数学二轮复习专题02利用导数求函数的单调性(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题02利用导数求函数的单调性(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了含参的单调性讨论，根据单调区间求参数等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 含参的单调性讨论
典例1．已知函数，a∈R．
(1)讨论函数f（x）的单调性；
(2)讨论函数f（x）的零点个数．
变式1-1．已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若存在极大值M和极小值N，且，求a的取值范围．
变式1-2．已知函数.其中实数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：关于x的方程有唯一实数解.
变式1-3．函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围.
考点二 根据单调区间求参数
典例2．函数.
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若时，证明：.
变式2-1．已知，函数，为自然对数的底数）．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围；
变式2-2．已知函数．
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．
变式2-3．已知函数．
(1)若在，上是减函数，求实数的取值范围．
(2)若的最大值为6，求实数的值．
巩固练习
练习一 含参的单调性讨论
1．已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)当时，证明：对恒成立．
2．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设，若，，且，使得，求的最大值.
3．已知函数，，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对于定义域内任意，恒成立，求实数的取值范围.
4．已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)当时，求在区间上的最小值和最大值.
练习二 根据单调区间求参数
5．已知函数，其中.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.
6．已知函数，是其导函数，其中．
(1)若在上单调递减，求a的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．
7．已知函数，.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若使得在上恒成立，求实数的取值范围.
8．已知函数，.
(1)若在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：.
第六篇 导数
专题02 利用导数求函数的单调性
常见考点
考点一 含参的单调性讨论
典例1．已知函数，a∈R．
(1)讨论函数f（x）的单调性；
(2)讨论函数f（x）的零点个数．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，对a分类讨论： a≤0和a>0两种情况，判断单调性；
（2）对a分类讨论： a≤0和a>0两种情况，结合单调性即零点存在定理判断零点的个数.
(1)
，
当a0时，恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令，解得：；令，解得：.
所以在上单调递减，在上单调递增．
(2)
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减,而有唯一零点；
当a＞0时，.
记，则.
令，解得：；令，解得：.
所以g在上单调递减，在上单调递增,所以，所以.
所以，两边取对数有：.
令，则有，所以.
因为，令，则有，所以所以，由零点存在定理可得，在有且只有一个零点，即在有且只有一个零点；
取f（）＝ea+1﹣（a+1）2.
令，则，，
当t＞1时，，∴单调递增，∴，∴g（t）单调递增，∴g（t）＞g（1）＝e﹣1＞0，故f（）＞0.
所以在有且只有一个零点，即在有且只有一个零点；
∴f（x）在和内各有一个零点．
综上，当a0时f（x）有一个零点，
当a＞0时f（x）有两个零点．
变式1-1．已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若存在极大值M和极小值N，且，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求得，对参数进行分类讨论，在每种情况下考虑的正负，即可判断函数单调性；
（2）根据（1）中所求函数的单调性，求得的值以及的初步范围，结合的范围，即可分类讨论求得的范围.
(1)
因为，则其定义域为，
又，
当时，，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，令，解得或，
则当时，，故在单调递减；
当时，则当，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，则当，，单调递减；当，，单调递增；
当时，则当，，单调递减；当，，单调递增；
综上所述，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增.
(2)
因为存在极大值M和极小值N，显然或，
由（1）可知，，
因为，即，
当，，，则满足题意；
当时，，，则不满足题意.
综上所述：的取值范围时.
【点睛】
本题考察利用导数研究含参函数单调性的讨论，以及利用导数由函数单调性求极值，属综合中档题；处理问题的关键是合理的对参数的范围进行讨论.
变式1-2．已知函数.其中实数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：关于x的方程有唯一实数解.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，然后分，和三种情况判断导数的正负，可求出函数的单调区间，
（2）将问题转化为函数有唯一零点，当时，求导后可得函数在R上单调递增，然后利用零点存在性定理可得函数有唯一零点，当时，令，由导数可判断存在唯一实数，使得，再根据利用零点存在性定理可得函数有唯一零点，当时，可得存在唯一实数，使得，可判断当时，函数只有1个零点，再利用导数讨论时，无零点即可
(1)
依题意，，
当时，，，函数单调递增.
若，则，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
若，则，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
(2)
证明：依题意，，即.
令，则.
当时，，
当时，，所以，
当时，，，，即，
综上，故函数在R上单调递增.
因为，，故时，恰有1个零点；
当时，令，则在R上单调递增，
因为，，
令，得，单调递增，所以，所以，
故存在唯一实数，使得，即，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
故当时，函数恰有1个零点；
当时，在R上单调递增；
因为，，
所以存在唯一实数，使得，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
所以当时，函数只有1个零点，
当时，，
由得，故.
令，，
因为，故在上单调递增；
因为，故，
故当时，函数无零点.
故当时，函数恰有1个零点.
综上所述关于x的方程有唯一实数解
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决函数零点问题，解题的关键是将问题转化为函数有唯一零点，然后分，和三种情况利用导数结零点存在性定理讨论函数的零点，考查数学分类思想和转化思想，属于难题
变式1-3．函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，对a分类讨论：①当时；②当-10.
从而当x∈(0, )时, >0, f(x)单调递增；当x∈时, 0, f(x)单调递增.
综上所述：①当时, f(x)在(0,1)单调递增， (1,+∞)单调递减；
②当-1