2024年山东省济宁市泗水县洙泗中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省济宁市泗水县洙泗中学中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有理数23的相反数是( )
A. −23B. 32C. −32D. ±23
2.下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若⋅2a2b=2a3b，则括号内应填的单项式是( )
A. aB. 2aC. abD. 2ab
4.2023年4月26日，第十二届江苏园艺博览会在我市隆重开幕.会场所在地园博园分为“山海韵”“丝路情”“田园画”三大片区，共占地约2370000平方米.其中数据“2370000”用科学记数法可表示为( )
A. 2.37×106B. 2.37×105C. 0.237×107D. 237×104
5.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的中点.若点E在边AC上，且ADAB=DEBC，则AE的长为( )
A. 1
B. 2
C. 1或 32
D. 1或2
6.如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是( )
A. 14
B. 13
C. 12
D. 34
7.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD=DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E.设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1S2=23，则tan∠ACO的值为( )
A. 2B. 2 23C. 75D. 32
8.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( )
A. y=(x+3)2+2B. y=(x−1)2+2C. y=(x−1)2+4D. y=(x+3)2+4
9.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的中点.若点E在边AC上，且ADAB=DEBC，则AE的长为( )
A. 1
B. 2
C. 1或 32
D. 1或2
10.已知二次函数y=ax2−2x+12(a为常数，且a>0)，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x<0时，y随x的增大而减小；④当x>0时，y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ②D. ③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.扬州市大力推进城市绿化发展，2022年新增城市绿地面积约2345000平方米，数据2345000用科学记数法表示为______．
12.若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为______(写出一个即可)．
13.若代数式 x−3有意义，则x的取值范围是______．
14.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ= ______m.
15.如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)|−2023|+π0−(16)−1+ 16；
(2)(1+1m)÷m2−1m．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：a−1a−2⋅a2−4a2−2a+1−2a−1，其中a=12．
18.(本小题8分)
为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解决下列问题：
(1)此次调查的样本容量为______；
(2)扇形统计图中A对应圆心角的度数为______°；
(3)请补全条形统计图；
(4)若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
19.(本小题8分)
甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，且∠BCD=12∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sinB=35，⊙O的半径为3，求AC的长．
21.(本小题8分)
【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a，BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2同理BD2=a2+b2，故AC 2+BD2=2(a2+b2).
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a，BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a，BC=b，AC=c．
求证：BO2=a2+b22−c24．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8，BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为______．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．
(1)如果四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(−1,1)中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象上．
①a= ______；
②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n−m是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：23的相反数是−23，
故选：A．
绝对值相等，但符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0；据此即可得出答案．
本题考查相反数的定义，此为基础概念，必须熟练掌握．
2.【答案】A
【解析】解：A、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】A
【解析】解：2a3b÷2a2b=a，
即括号内应填的单项式是a，
故选：A．
根据单项式乘单项式法则(或根据单项式除以单项式法则)求出答案即可．
本题考查了单项式乘单项式法则，能熟记掌握单项式乘单项式法则是解此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：2370000=2.37×106，
故选：A．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=2 3，∠C=60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD= 3，
∵ADAB=DEBC，
∴DE=1，
如图，当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，ADAB=DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB=12，
∴AE=2，
如图，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵点D是AB中点，点H是AC的中点，
∴DH/​/BC，DH=12BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1，
故选：D．
由含30°的直角三角形的性质可求AC=2BC=4，∠C=60°，利用勾股定理求得AB=2 3，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵圆被等分成4份，其中灰色区域占2份，
∴指针落在灰色区域的概率为24=12．
故选：C．
首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在灰色区域的概率．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
7.【答案】A
【解析】解：如图，过C作CH⊥AO于H，
∵CD=BD，
∴∠COD=∠BOE=∠CAO，
∵S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，
∴BHCE=23，
∵∠A=∠BOE，
∴tan∠A=tan∠BOE，
∴CHAH=BEOB，即CHBE=AHOB=23，
设AH=2m，则BO=3m=AO=CO，
∴OH=3m−2m=m，
∴CH= 9m2−m2=2 2m，
∴tan∠A=CHAH=2 2m2m= 2，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴tan∠ACO= 2；
故选A．
如图，过C作CH⊥AO于H，证明∠COD=∠BOE=∠CAO，由S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，可得BHCE=23，证明tan∠A=tan∠BOE，可得CHBE=AHOB=23，设AH=2m，则BO=3m=AO=CO，可得OH=3m−2m=m，CH= 9m2−m2=2 2m，再利用正切的定义可得答案．
本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y=(x+1−2)2+3−1，即y=(x−1)2+2．
故选：B．
直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=2 3，∠C=60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD= 3，
∵ADAB=DEBC，
∴DE=1，
如图，当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，ADAB=DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB=12，
∴AE=2，
如图，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵点D是AB中点，点H是AC的中点，
∴DH/​/BC，DH=12BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1，
故选：D．
由直角三角形的性质可求AC=2BC=4，AB=2 3，∠C=60°，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=22a=1a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>1a时，y随x的增大而增大，函数图象一定不经过第三象限．
故选：B．
由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
本题主要考查二次函数的性质，掌握a决定二次函数的开口方向，进一步能确定出其最值是解题的关键．
11.【答案】2.345×106
【解析】解：2345000=2.345×106．
故答案为：2.345×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：设三角形的第三边长为x，
则5−3∵第三边的长为整数，
∴x=3或4或5或6或7．
故答案为：3(答案不唯一)．
根据三角形两边之和大于第三边确定第三边的范围，根据题意计算即可．
本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
13.【答案】x≥3
【解析】解：∵代数式 x−3有意义，
∴x−3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
根据 x−3有意义得出x−3≥0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能根据 x−3有意义得出x−3≥0是解此题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：由题意可得，
BC//PQ，AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，
∴△ABC∽△AQP，
∴ABBD=AQQP，
即4020=12QP，
解得QP=6，
∴树高PQ=6m，
故答案为：6
根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到ABBD=AQQP，然后代入数据计算，即可得到PQ的长．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】38
【解析】解：如图，连接BB′，过点F作FH⊥AD，
∵已知正方形ABCD的边长为1，四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，
∴S四边形ABFE=38×1=38，
设CF=x，则DH=x，BF=1−x，
∴S四边形ABFE=12×(AE+BF)×AB=38，
即12(AE+1−x)×1=38，
解得AE=x−14，
∴DE=1−AE=54−x，
∴EH=ED−HD=54−x−x=54−2x，
由折叠的性质可得BB′⊥EF，
∴∠1+∠2=∠BGF=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又FH=BC=1，∠EHF=∠C，
在△EHF和△B′CB中
∠1=∠3FH=BC∠EHF=∠C
∴△EHF≌△B′CB(ASA)，
∴EH=B′C=54−2x，
在Rt△B′FC中，B′F2=B′C2+CF2，
∴(1−x)2=x2+(54−2x)2，
解得x=38．
故答案为：38．
连接BB′，过点F作FH⊥AD，设CF=x，则DH=x，BF=1−x，根据已知条件，分别表示出AE、EH、HD，证明△EHF≌△B′CB，得出EH=B′C=54−2x，在Rt△B′FC中，根据勾股定理建立方程即可解答．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)|−2023|+π0−(16)−1+ 16
=2023+1−6+4
=2022；
(2)(1+1m)÷m2−1m
=m+1m÷(m+1)(m−1)m
=m+1m⋅m(m+1)(m−1)
=1m−1．
【解析】(1)根据绝对值、零指数幂法则、负整数指数幂法则、算术平方根的意义进行计算即可；
(2)根据分式的混合运算法则计算即可．
本题考查了分式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：原式=a−1a−2⋅(a−2)(a+2)(a−1)2−2a−1
=a+2a−1−2a−1
=a+2−2a−1
=aa−1，
当a=12时，
原式=1212−1
=−1．
【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
18.【答案】解：(1)450 ；
(2)36；
(3)样本中B的人数为：450−45−117−233=55(人)，
补全条形统计图如下：
(4)25000×45450=2500(人)，
答：其中视力正常的人数大约为2500人．
【解析】解：(1)此次调查的样本容量为：117÷26%=450，
故答案为：450；
(2)扇形统计图中A对应圆心角的度数为：360°×45450=36°，
故答案为：36；
(3)见答案；
(4)见答案．
(1)用C的人数除以C所占百分比可得样本容量；
(2)用360°乘A所占比例可得答案；
(3)用样本容量分别减去其它三部分的人数，可得B的人数，进而补全条形统计图；
(4)用该地区九年级学生总人数乘样本中A所占比例即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19.【答案】解：设甲同学步行的速度为x km/h，则乙同学骑自行车的速度为4x km/h，
由题意得：2.4x−2.44x=3060，
解得：x=3.6，
经检验，x=3.6是原方程的解，且符合题意，
∴4x=4×3.6=14.4，
答：乙同学骑自行车的速度为14.4km/h．
【解析】设甲同学步行的速度为x km/h，则乙同学骑自行车的速度为4x km/h，根据甲出发30min后乙同学出发，两名同学同时到达，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)直线AB与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD，
∴∠BCD=12∠BOD，
∵∠BCD=12∠A，
∴∠BOD=∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
(2)∵sinB=ODOB=35，OD=3，
∴OB=5，
∴BC=OB+OC=8，
在Rt△ACB中，sinB=ACAB=35，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴BC= AB2−AC2=4x=8，
∴x=2，
∴AC=3x=6．
【解析】(1)连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC，求得∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD，等量代换得到∠BOD=∠A，求得∠BDO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据三角函数的定义得到OB=5，求得BC=OB+OC=8，设AC=3x，AB=5x，根据勾股定理得到BC= AB2−AC2=4x=8，于是得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】【阅读理解】解：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，
∴AC2=AB2+BC2，
∵AB=a，BC=b，
∴AC2+BD2=2(AB2+BC2)=2a2+2b2；
【探究发现】解：上述结论依然成立，
理由：如图②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
∠ABE=∠DCF∠AEB=∠DFC=90°AB=DC，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AE=DF，BE=CF，
在Rt△ACE中，由勾股定理，可得
AC2=AE2+CE2=AE2+(BC−BE)2…①，
在Rt△BDF中，由勾股定理，可得
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=DF2+(BC+BE)2…②，
由①②，可得
AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+2BC2+2BE2，
在Rt△ABE中，由勾股定理，可得
AB2=AE2+BE2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2=2AB2+2BC2=2a2+2b2；
【拓展提升】证明：如图3，延长BO至点E，使BO=OE，
∵BO是AC边上的中线，
∴AO=CO，
又∵BO=OE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
由【探究发现】，可得BE2+AC2=2AB2+2BC2，
∵BE=2BO，
∴BE2=4BO2，
∵AB=a，BC=b，AC=c，
∴4BO2+c2=2a2+2b2，
∴BO2=a2+b22−c24．
【尝试应用】200．
【解析】【阅读理解】见答案；
【探究发现】见答案;
【拓展提升】见答案;
【尝试应用】解：过P作PH⊥BC于H，
则四边形APHB和四边形PHCD是矩形，
∴AB=PH=CD=8，AP=BH，PD=CH，
设BH=x，CH=12−x，
∴PB2+PC2=PH2+BH2+PH2+CH2=82+x2+82+(12−x)2=2x2−24x+272=2(x−6)2+200，
故PB2+PC2的最小值为200，
故答案为：200．
【阅读理解】根据矩形对角线相等可得AC=BD，最后由勾股定理可得结论；
【探究发现】首先作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据全等三角形判定的方法，判断出△ABE≌△DCF，即可判断出AE=DF，BE=CF；然后根据勾股定理，可得AC2=AE2+(BC−BE)2，BD2=DF2+(BC+BE)2，AB2=AE2+BE2，再根据AB=DC，AD=BC，即可推得结论；
【拓展提升】根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCE是平行四边形，由【探究发现】，可得BE2+AC2=2AB2+2BC2，于是得到结论；
【尝试应用】过P作PH⊥BC于H，根据矩形的性质得到AB=PH=CD=8，AP=BH，PD=CH，设BH=x，CH=12−x，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，构建直角三角形利用勾股定理列式是解本题的关键．
22.【答案】(1)①1；
②设BC交y轴于E，如图：
设菱形的边长为2a，则AB=BC=CD=AD=2a，
∵B，C关于y轴对称，
∴BE=CE=a，
∴B(−a,a2)，
∴OE=a2，
∵AE= AB2−BE2= 3a，
∴OA=OE+AE=a2+ 3a，
∴D(2a,a2+ 3a)，
把D(2a,a2+ 3a)代入y=ax2得：
a2+ 3a=4a2，
解得a= 33或a=0(舍去)，
∴菱形的边长为2 33；
③n−m是为定值，理由如下：
过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，如图：
∵点B、D的横坐标分别为m、n，
∴B(m,m2)，D(n,n2)，
∴BF=m，OF=m2，DE=n，OE=n2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠FAB=90°−∠EAD=∠EDA，
在△ABF和△DAE中
∵∠FAB=∠EDA∠AFB=∠DEA=90°AD=BA
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴BF=AE，AF=DE，
∴m=n2−AF−m2，AF=n，
∴m=n2−n−m2，
∴m+n=(n−m)(n+m)，
∵点B、D在y轴的同侧，
∴m+n≠0，
∴n−m=1；
(2)过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，
∵点B、D的横坐标分别为m、n，
∴B(m,am2)，D(n,an2)，
①当B，D在y轴左侧时，如图：
∴BF=−m，OF=am2，DE=−n，OE=an2，
同理可得△ABF≌△DAE(AAS)，
∴BF=AE，AF=DE，
∴−m=am2−AF−an2，AF=−n，
∴−m=am2+n−an2，
∴m+n=a(n−m)(n+m)，
∵m+n≠0，
∴n−m=1a；
②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，如图：
∴BF=−m，OF=am2，DE=n，OE=an2，
同理可得△ABF≌△DAE(AAS)，
∴BF=AE，AF=DE，
∴−m=am2+AF−an2，AF=n，
∴−m=am2+n−an2，
∴m+n=a(n+m)(n−m)，
∴m+n=0或n−m=1a；
③当B，D在y轴右侧时，如图：
∴BF=m，OF=am2，DE=n，OE=an2，
同理可得△ABF≌△DAE(AAS)，
∴BF=AE，AF=DE，
∴m=an2−AF−am2，AF=n，
∴m=an2−n−am2，
∴m+n=a(n+m)(n−m)，
∵m+n≠0
∴n−m=1a；
综上所述，m、n满足的等量关系式为m+n=0或n−m=1a．
【解析】解：(1)①在y=ax2中，令x=0得y=0，
∴(0,0)在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象上，(0,2)不在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象上，
∵四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(−1,1)中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象上，
∴二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象上的三个点是(0,0)，(1,1)，(−1,1)，
把(1,1)代入y=ax2得：a=1，
故答案为：1；
②见答案；
③见答案；
(2)见答案．
(1)①在y=ax2中，令x=0得y=0，即知(0,2)不在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象上，用待定系数法可得a=1；
②设BC交y轴于E，设菱形的边长为2a，可得B(−a,a2)，故AE= AB2−BE2= 3a，D(2a,a2+ 3a)，代入y=ax2得a2+ 3a=4a2，可解得a= 33，故菱形的边长为2 33；
③过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，由点B、D的横坐标分别为m、n，可得BF=m，OF=m2，DE=n，OE=n2，证明△ABF≌△DAE(AAS)，有BF=AE，AF=DE，故m=n2−AF−m2，AF=n，即可得n−m=1；
(2)过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，由点B、D的横坐标分别为m、n，知B(m,am2)，D(n,an2)，分三种情况：①当B，D在y轴左侧时，由△ABF≌△DAE(AAS)，可得−m=am2−AF−an2，AF=−n，故n−m=1a；②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，由△ABF≌△DAE(AAS)，有−m=am2+AF−an2，AF=n，知m+n=0或n−m=1a；③当B，D在y轴右侧时，m=an2−AF−am2，AF=n，可得n−m=1a．
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．