2020年山东省济宁市泗水县中考数学一模试卷

这是一份2020年山东省济宁市泗水县中考数学一模试卷，共18页。试卷主要包含了开动脑筋，耐心填一填!，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的立方根是（ ）
A．±2B．±4C．4D．2
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
3．习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ）
A．1.17×107B．11.7×106C．0.117×107D．1.17×108
4．下列计算正确的是（ ）
A．a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20
B．2﹣2÷20×23＝32
C．（﹣ ab2）•（﹣2a2b）3＝a3b3
D．a6+a6＝2a12
5．武侯万达商场一名业务员在某12个月内的销售额（单位：万元）如表：
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．10，7.8B．9.8，7.9C．9.8，7.8D．9.8，8
6．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（ ）
A．B．C．D．
7．如果解关于x的分式方程﹣＝1时出现增根，那么m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
8．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值等于（ ）
A．1B．3C．6D．8
9．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A．120°B．180°C．240°D．300°
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、开动脑筋，耐心填一填!
11．分解因式：2x2﹣8x+8＝ ．
12．设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则3x12﹣2x1+x22＝ ．
13．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝50°，则∠2的度数是 ．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ．
15．如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn＝ ．
三、解答题（解答题要求写出必要的计算步骤或证明过程）
16．（6分）先化简，再求值： •﹣（+1），其中x＝2cs60°﹣3．
17．（7分）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．
请根据图中信息，解决下列问题：
（1）两个班共有女生多少人？
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）求扇形统计图中E组所对应的扇形圆心角度数；
（4）身高在F组的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自不同班级的概率．
18．（8分）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CO2＝OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．
19．（6分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量出AB＝180m，CD＝60m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．
20．（8分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
21．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
22．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），B（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求△BMC面积的最大值；
（3）在（2）中△BMC面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请把正确选项前的字母填在答题纸上）注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦!
1．解：＝8，8的立方根是2，
故选：D．
2．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．解：11700000＝1.17×107．
故选：A．
4．解：A、a3•（﹣a）5•a12＝﹣a3•a5•a12＝﹣a20，本选项计算正确，符合题意；
B、2﹣2÷20×23＝÷1×8＝2，本选项计算错误，不符合题意；
C、（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝（﹣ab2）•（﹣8a6b3）＝4a7b5，本选项计算错误，不符合题意；
D、a6+a6＝2a6，本选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
5．解：这组数据的众数是9.8，
中位数是＝7.9，
故选：B．
6．解：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作D，连接AD．
∵OD是直径，
∴∠OAD＝90°，
∵∠AOB+∠AOD＝90°，∠AOD+∠ADO＝90°，
∴∠AOB＝∠ADO，
由刻度尺可知，OA＝0.8，
∴sin∠AOB＝sin∠ADO＝＝，
故选：D．
7．解：﹣＝1，
去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：
m+2x＝x﹣2，
由分母可知，分式方程的增根是2，
当x＝2时，m+4＝2﹣2，
m＝﹣4，
故选：D．
8．解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为﹣，
∴﹣＝3，
∴k1﹣k2＝6．
故选：C．
9．解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．
由题意得S底面面积＝πr2，
l底面周长＝2πr，
S扇形＝3S底面面积＝3πr2，
l扇形弧长＝l底面周长＝2πr．
由S扇形＝l扇形弧长×R得3πr2＝×2πr×R，
故R＝3r．
由l扇形弧长＝得：
2πr＝解得n＝120°．
故选：A．
10．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；
∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
所以③正确；
由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＜y3＜y2，故⑤错误；
故选：B．
二、开动脑筋，耐心填一填!
11．解：原式＝2（x2﹣4x+4）
＝2（x﹣2）2．
故答案为2（x﹣2）2．
12．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣1，x12﹣x1＝1，
∴3x12﹣2x1+x22＝2（x12﹣x1）+x12+x22＝2（x12﹣x1）+（x1+x2）2﹣2x1•x2＝2×1+12﹣2×（﹣1）＝5．
故答案为：5．
13．解：∵∠BAC的平分线交直线b于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠BAD＝∠CAD＝50°，
∴∠2＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
14．解：如图，连接EF交AC于点O，连接CE，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OE＝OF，
∴CF＝CE，
在△CFO和△AEO中，
，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴CF＝AE，
∴CE＝AE，
∴BE＝AB﹣AE＝16﹣CE，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得
CE2＝BE2+BC2，
∴CE2＝（16﹣CE）2+82，
解得CE＝10．
∴AE＝10．
故答案为：10．
15．解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1＝B1C＝1，∠ACB＝60°，
∴B1B2＝B1C＝，B2C＝，
∴S1＝××＝
依题意得，图中阴影部分的三角形都是相似图形，且相似比为，
故Sn＝•（）n﹣1或Sn＝．
故答案为： •（）n﹣1或．
三、解答题（解答题要求写出必要的计算步骤或证明过程）
16．解： •﹣（+1）
＝
＝
＝，
当x＝2cs60°﹣3＝2×﹣3＝1﹣3＝﹣2时，原式＝．
17．解：（1）总人数为：13÷26%＝50（人），
答：两个班共有女生50人；
（2）C部分对应的人数为50×28%＝14（人），E部分所对应的人数为50﹣2﹣6﹣13﹣14﹣5＝10（人）；
频数分布直方图补充如下：
（3）扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为×360°＝72°；
（4）画树状图：
共有20种等可能的结果数，其中这两人来自不同班级的情况占12种，
所以这两人来自不同班级的概率是＝．
18．（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∵AB是直径，EF＝FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD＝∠OCP＝90°，
∵∠FOD＝∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴＝，∵OD＝OC，
∴OC2＝OF•OP．
（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC＝OB＝r．
在Rt△POC中，∵PC2+OC2＝PO2，
∴（4）2+r2＝（r+4）2，
∴r＝2，
∵CM＝＝，
∵DC是直径，
∴∠CEF＝∠EFM＝∠CMF＝90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF＝CM＝，
在Rt△OEF中，OF＝＝，
∴EC＝2OF＝，
∵EC∥OB，
∴＝＝，
∵GH∥CM，
∴＝＝，
∴GH＝．
19．解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，
∴HE＝CD＝60m，
设CH＝DE＝xm，
在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，
∴BE＝xm，
在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，
∴AH＝xm，
由AH+HE+EB＝AB＝180m，得到x+60+x＝180，
解得：x＝30，即CH＝30m，
则该段运河的河宽为30m．
20．解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x≤80 ）；
（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x2＝70．
∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
21．解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形．
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大＝AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，
∴AM＝2，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，
∴MN最大＝2+5＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．
方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝14，
∴PM＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．
22．解：（1）将D（2，3）、B（﹣4，0）的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣2；
（2）过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝k′x+b′得：，解得：，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，
设点M的坐标为（x， x2+x﹣2），则点K（x，﹣ x﹣2），
S△BMC＝•MK•OB＝2（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣x2﹣4x，
∵a＝﹣1＜0，∴S△BMC有最大值，
当x＝﹣＝﹣2时，
S△BMC最大值为4，
点M的坐标为（﹣2，﹣3）；
（3）如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，
过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H，
点M坐标为（﹣2，﹣3），设：点Q坐标为（﹣2，m），
点A、C的坐标为（1，0）、（0，﹣2），tan∠OCA＝＝，
∵QH∥y轴，∴∠QHN＝∠OCA，
∴tan∠QHN＝，则sin∠QHN＝，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，
则直线AC的表达式为：y＝2x﹣2，
则点H（﹣2，﹣6），
在Rt△QNH中，QH＝m+6，QN＝OQ＝＝，
sin∠QHN＝＝＝，
解得：m＝4或﹣1，
即点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．销售额（万元）
6.4
7.5
7.8
8
9.8
10
月数（个）
2
1
3
1
4
1