人教版九年级下册28.1 锐角三角函数一课一练

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1．（3分）（2022·临清模拟）如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（ ）
A．31010B．1010C．13D．10
【答案】B
【解析】【解答】∵AB＝20，BC＝18，AC＝2，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°．
∴sin∠ABC＝ACAB=220=1010．
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出AB、BC、AC的长，再利用勾股定理的逆定理可求出∠ACB＝90°，根据sin∠ABC＝ACAB即可求解.
2．（3分）（2021九上·临清期中）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：3，坝高BC=3m，则AB的长度为（ ）
A．6mB．33mC．9mD．63m
【答案】A
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：3，
∴BCAC=13，即3AC=13，
解得，AC=33，
由勾股定理得，AB=BC2+AC2=6(m)，
故答案为：A．
【分析】利用坡度比可得BCAC=13，即3AC=13，再求出AC的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可。
3．（3分）（2021九上·台州期末）在 △ABC 中， ∠C=90∘ ， csA=35 ，那么 sinA 的值等于（ ）
A．35B．45C．34D．43
【答案】B
【解析】【解答】∵cs2A+sin2A=1, csA=35 ，
∴sin2A=1−925=1625，
∴sinA= 45 .
故答案为：B.
【分析】根据 cs2A+sin2A=1,结合csA=35，即可求出sinA的值.
4．（3分）（2022·新都模拟）60°角的正切值为（ ）
A．12B．33C．32D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：60°角的正弦值是：3．
故答案为：D．
【分析】根据tan60°=3即可解答.
5．（3分）（2022·陕西）如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB的长为（ ）
A．32B．35C．37D．62
【答案】D
【解析】【解答】解：∵BD=2CD=6，
∴CD=3，
∵直角△ADC中，tan∠C=2，
∴AD=CD⋅tan∠C=3×2=6，
∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=AD2+BD2=62+62=62.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件知BD=2CD=6，则CD=3，根据三角函数的概念可得AD，然后利用勾股定理进行计算.
6．（3分）（2021九上·凤阳期末）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100，sinA=35，则AB的长是（ ）
A．80B．5035C．60D．5033
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，AC=100，
∴BC=AC⋅sinA=100×35=60，
∴在Rt△ABC中，AB=AC2−BC2=80，
故答案为：A．
【分析】先求出BC=AC⋅sinA=100×35=60，再利用勾股定理求出AB的长即可。
7．（3分）（2021·成都模拟）在 Rt△ABC 中， ∠C=90°,BC=5,AB=13 ，则 sinB 的值是（ ）
A．1213B．513C．125D．512
【答案】A
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， BC=5 ， AB=13 ，
∴AC=AB2−BC2=132−52=12 ，
∴sinB=ACAB=1213 ，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC，由sinB=ACAB即可求出结论.
8．（3分）（2022·宁波模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 3 ，以AD的中点O为圆心的圆与边BC相切于点E，与边AB，CD分别交于点M，N，连结OM，ON，则 MN 的长为（ ）
A．13πB．23πC．233πD．43π
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OE，
∵⊙O与边BC相切于点E，
∴BC⊥OE，
∴∠OEB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形AOEB是矩形，
∵OE＝AB＝2，
∴OM＝ON＝OE＝2，
∵AD＝2 3 ，O为AD的中点，
∴OA＝ 12 AD＝ 12 ×2 3 ＝ 3 ，
∴cs∠AOM＝ OAOM ＝ 32 ，
∴∠AOM＝30°，
∵∠A＝∠D＝90°，OM＝ON，OA＝OD，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴∠AOM＝∠DON＝30°，
∴∠MON＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴l＝ 120×π×2180 ＝ 43 π，
∴MN⌢ 的长为 43 π.
故答案为：D.
【分析】连接OE，根据切线的性质可得BC⊥OE，根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，推出四边形AOEB是矩形，则OM＝ON＝OE＝2，根据中点的概念可得OA，利用三角函数的概念求出cs∠AOM的值，得到∠AOM=30°，证明Rt△AOM≌Rt△DON，得到∠AOM＝∠DON＝30°，则∠MON＝120°，然后根据弧长公式进行计算.
9．（3分）（2021·丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（ ）
A．E＝m•tanαB．CD＝2m•sinα
C．AE＝m•csαD．S△COD＝m2•sinα
【答案】B
【解析】【解答】解：∵CD⊥OA，
∴∠CEO=∠DEO=90°，CD=2DE
A、csα=OEOD
∴OE=mcsα，故A不符合题意；
B、在Rt△DOE中
DE=ODsinα=msinα,
∴CD=2msinα，故B符合题意；
C、∵OE=mcsα，故C不符合题意；
D、∵S△COD=12CD·OE=12mcsα·2m•sinα=m2csαsinα，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用垂径定理可证得∠CEO=∠DEO=90°，CD=2DE，利用解直角三角形，可得到OE=mcsα，可对A作出判断；在Rt△DOE中，利用解直角三角形，可表示出DE的长，继而可得到CD的长，可对B作出判断；利用解直角三角形可对C作出判断；利用三角形的面积公式求出△COD的面积，可对D作出判断.
10．（3分）（2021九上·瑞安月考）如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形.连结CD，若 sin∠BCD=35 ，则 tan∠CDB 的值为（ ）
A．23B．34C．710D．913
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥BD交延长线于点G，
∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，
∴sin∠BCD=35，
∴sin∠BCE=BEBC=35，
设BE=3，BC=5，
∴CE=BC2−BE2=4，
设AC=x，AB=y，
在Rt△ABC中，
∵AB2-AC2=BC2，
∴y2-x2=25，
∵S△ABC=12AB×CF=12AC×BC，
∴y×CF=5x，
∴CF=5xy，
在Rt△BCF中，
BF=BC2−CF2=52−5xy2=25y，
∴BF=CG=25y，
在正方形ABDH中，AB=BD=y，
在Rt△BDE中，DE=BD2−BE2=y2−9，
∵S△CBD=12CD·BE=12BD·CG，
∴CD·BE=BD·CG，
∴（4+y2−9）×3=y×25y，
∴y2−9=133，
∴tan∠CDB=tan∠EDB=BEDE=3y2−9=913 .
故答案为：D.
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，过点C作DB延长线于点G，得到矩形CFBG，△ABC，△BED，△BEC， △BCF是直角三角形，根据 sin∠BCE=35 ，设BE=3，BC=5，根据勾股定理求出CE，设AC=x，AB= y，然后利用勾股定理和等积法推出可得y2−9=133，最后在Rt△BED中利用锐角三角函数定义计算即可求得结果.
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）（2021九上·怀宁期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，csA=13，则sinB= ．
【答案】13
【解析】【解答】解：∵在ΔABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=csA=13．
故答案为：13．
【分析】根据锐角三角函数的定义可得sinB=csA=13。
12．（3分）（2021·常州模拟）若 tanα=33 ，则锐角 α 的度数是 .
【答案】30°
【解析】【解答】解：∵tanα=33 ，
∴α=30° ，
故答案为：30°.
【分析】根据特殊角三角函数值，直接求解即可.
13．（3分）（2021·南通模拟）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是 m.（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cs54°≈0.59，tan54°≈1.38）.
【答案】1.1
【解析】【解答】解：∵∠A=54° ， ∠B=36°
∴∠C=180°−54°−36°=90°
∴在直角 △ ABC 中，sinA＝ BCAB ，
则BC＝AB•sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6，
＝1.101≈1.1（m），
故答案为：1.1.
【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.
14．（3分）（2021九上·德阳月考）如图，在菱形 ABCD 中， AE⊥BC ， E 为垂足，若 csB=45 ， EC=2 ， P 是 AB 边上的一个动点，则线段 PE 的长度的最小值是 ．
【答案】4.8
【解析】【解答】 解：设菱形边长为a，
∴BE=a-2，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵csB=45
∴sinB=35，csB=BEAB=a−2a=45，
∴a=10，
∴BE=8，
∵当EP和AB垂直时长度最短，
∴在Rt△BPE中，sinB=PEBE=35，
∴PE=35×8=4.8，
∴线段PE的长度的最小值为4.8.
【分析】设菱形边长为a，根据csB=45得出sinB=35，a=10，从而得出BE=8，再根据垂线段最短得出当EP和AB垂直时长度最短，根据sinB=35得出PE=35·BE=4.8，即可得出答案.
15．（3分）（2021·萧山模拟）如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中， AB 与 CD 交于点 P ，那么 tan∠APD= .
【答案】2
【解析】【解答】解：如图连结AE、EF、FB，EF与AB交于G，
由正方形知AE=EF=EB=DC，∠AEG=∠GFB=90º，∠AGE=∠BGF，
∴△AGE≌△BGF(AAS)，
∴EG=FG= 12 AE，
∵EF∥DC，
∴∠AGE=∠APD，
在Rt△AGE中tan∠AGE= AEEG=AE12AE =2，
∴tan∠APD=2.
故答案为：2.
【分析】连结AE、EF、FB，EF与AB交于G，利用AAS证明△AGE≌△BGF，得出EG=FG=12 AE，然后根据平行线的性质得出∠AGE=∠APD，最后在在Rt△AGE中，利用正切三角函数的定义计算即可.
三、计算题(共1题；共8分)
16．（8分）（2021九下·咸宁月考）计算：
（1）（4分）3tan230°＋ 3 tan60°－2sin245°；
（2）（4分）(2019－π)0－4cs30°＋ (12)−2 ＋|1－ 3 |.
【答案】（1）解：原式= 3×(33)2+3×3−2×(22)2=1+3−1=3 ；
（2）解：原式= 1−4×32+4+3−1=4−3 .
【解析】【分析】（1）将tan30°=33，tan60°=3，sin45°=22代入计算即可；
（2）原式可化为1-4×32+4+3-1，据此计算即可.
四、解答题(共3题；共25分)
17．（8分）（2022·泗县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，cs∠A=57，若AB＝10，求BC的长．
【答案】解：∵∠B＝90°，
∴cs∠A=ABAC=57．
∵AB＝10，
∴AC＝14，
∴BC=AC2−AB2=142−102=96=46．
∴BC的长为46．
【解析】【分析】先根据余弦的定义求出AC的长，再利用勾股定理求出BC的长即可。
18．（8分）（2020·天台模拟）我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形. 如图，已知△ABC是最稳定三角形， AB=AC，BC=232.8m.求BC边上的高AD的长.
（sin51°≈0.8，cs51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m）
【答案】解：∵
△ABC是最稳定三角形，
∴∠B=∠C=51°,且AB=AC
∵
AD ⊥ BC，
∴BD= 12 BC=116.4m
∴ AD= 116.4× tan51°=139.68 ≈140m
∴BC边上的高AD的长是140米.
【解析】【分析】根据最稳定三角形的定义得出 ∠B=∠C=51°,根据等角对等边得出AB=AC ，然后根据等腰三角形的三线合一得出BD的长，最后根据正切函数的定义，由 AD= BD× tan51° 即可算出答案.
19．（9分）（2020八上·砀山期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果精确到0.1米， 2 =1.414， 3 =1.732)
【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=13m，AC=5m
∴AB= 132−52 =12
∵此人以0.5m/s的速度收绳，6s后移动到点D的位置
∴CD=13-0.5×6=10m
∴AD= CD2−AC2 = 102−52 = 53 m
∴BD=AB-AD=12- 53 ≈3.3m
答：船向岸边移到了大约3.3m
【解析】【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据题意求出CD的长，从而求出AD的长，利用BD=AB-AD即可得出答案.
五、综合题(共4题；共42分)
20．（9分）（2020九上·宽城期末）如图①，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D、E、F、G，∠CGD=42°．将直尺向下平移，使直尺的边缘通过点B，交AC于点H，如图②所示。
【参考数据：sin42°=0.67，cs42°=0.74，tan42°=0.90】
（1）（3分）∠CBH的大小为 度．
（2）（6分）点H、B的读数分别为4、13.4，求BC的长．(结果精确到0.01)
【答案】（1）42
（2）解：由图得，BH=13.4-4=9.4．
在Rt△BCH中，∠C=90°，∠CBH=42°，
∵cs∠CBH=BHBH ， ∴BC=BH·cs∠CBH=9.4×cs42∘=9.4×0.74 =6.956≈6.96 ． ∴BC的长约为6.96
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，可得 ∠CBH = ∠CGD ，进而得到答案；
（2） 在Rt△BCH中，根据cs∠CBH=BHBH ， 即可求出答案.
21．（9分）（2021九上·合肥期末）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是161.6m，此时从无人机测得岸边C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE=1.6m，EA=200m（点A，E，B，C在同一平面内）．
（1）（4分）求仰角α的正弦值；
（2）（5分）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．（sin63°≈0.89，cs63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
【答案】（1）解：如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，
∵∠EBD=∠FDB=∠DFE=90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF=BD，DF=BE=1.6m，
∴AF=AD−DF=161.6−1.6=160(m)，
在Rt△AEF中，sin∠AEF=AFAE=45，
即sinα=45．
答：仰角α的正弦值为45.
（2）解：在Rt△AEF中，EF=AE2−AF2=2002−1602=120(m)，
在Rt△ACD中，∠ACD=63°，AD=161.6m，
∵tan∠ACD=ADCD，
∴CD=161.6tan63°=≈82.45(m)，
∴BC=BD+CD=120+82.45≈202(m)．
答：B，C两点之间的距离约为202m．
【解析】【分析】（1）作辅助线 过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F， 得出四边形BDFE为矩形， 求出AF， 在Rt△AEF中， 求出仰角的正弦值；
（2）利用勾股定理在Rt△AEF中求出EF的值，再在 Rt△ACD中 利用tan∠ACD求出CD即可。
22．（12分）（2017·静安模拟）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．
（1）（3分）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）
（2）（4分）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）
（3）（5分）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
参考数据：（sin65°=0.906，cs65°=0.423，tan65°=2.146．ct65°=0.446）
【答案】（1）解：∵B′O′⊥OA，垂足为C，∠AO′B=115°，
∴∠AO′C=65°，
∵cs∠CO′A= O'CO'A ，
∴O′C=O′A•cs∠CO′A=20•cs65°=8.46≈8.5（cm）
（2）解：如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∵∠AOB=115°，
∴∠BOD=65°，
∵sin∠BOD= BDOB ，
∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12，
∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），
∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm
（3）解：如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，
∴∠FEA=∠BOA=115°，
∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度
【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，根据平行线的性质得到∠FEA=∠BOA=115°，于是得到结论．
23．（12分）（2022九上·威海经济技术开发月考）已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE＝15．
（1）（3分）求证：AM•MB＝EM•MC；
（2）（4分）求EM的长；
（3）（5分）求sin∠EOB的值．
【答案】（1）证明：连接AC、EB，
∵∠A＝∠BEC，∠B＝∠ACM，
∴△AMC∽△EMB，
∴AMCM=EMBM
∴AM•BM＝EM•CM
（2）解：∵DC是⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DE2＋EC2＝DC2，
∵DE＝15，CD＝8，且EC为正数，
∴EC＝7，
∵M为OB的中点，
∴BM＝2，AM＝6，
∵AM•BM＝EM•CM＝EM（EC－EM）＝EM（7－EM）＝12，且EM＞MC，
∴EM＝4
（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∵OE＝4，EM＝4，
∴OE＝EM，
∴OF＝FM＝1，
∴EF＝42−12=15，
∴sin∠EOB＝154
【解析】【分析】（1）连接AC，EB，先证明△AMC∽△EMB，可得AMCM=EMBM，再化简可得AM•MB＝EM•MC；
（2）先求出EC=7，再利用线段中点的性质可得BM＝2，AM＝6，再结合AM•BM＝EM•CM，可得EM（7－EM）＝12，最后求出EM的长即可；
（3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，先求出OF＝FM＝1，EF＝42−12=15，再利用正弦的定义可得sin∠EOB＝154。