2023-2024学年河南省漯河市郾城区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省漯河市郾城区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为( )
A. 0.21×10−4B. 2.1×10−4C. 2.1×10−5D. 21×10−6
3.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 6，2，3B. 3，3，3C. 4，3，8D. 4，3，7
4.下面括号内填入m4后，等式成立的是( )
A. +m2=m6( )B. m3⋅=m12( )
C. 3=m7( )D. m12÷=m8( )
5.下列说法中，正确的是( )
A. 四边形的内角和与外角和相等B. 一等腰三角形的底角为100∘
C. 一个数的0次幂等于1D. 多项式x2−2x+4是完全平方式
6.如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1=56∘，则∠BAE的度数为( )
A. 34∘
B. 56∘
C. 62∘
D. 68∘
7.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AD=2，则BC的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( )
A. AF=BF
B. ∠AFD+∠FBC=90∘
C. DF⊥AB
D. ∠BAF=∠CAF
9.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在( )
A. A点
B. B点
C. C点
D. D点
10.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是(用含a，b的代数式表示).( )
A. abB. 2abC. a2−abD. b2+ab
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−2)2024×(12)2023=______.
12.如果x2+kx−10=(x−5)(x+2)，则k的值为______.
13.若分式|y|−55−y的值等于0，则y=______.
14.在一个支架的横杆点O处用一根绳悬挂一个小球A，小球A可以摆动，如图，OA表示小球静止时的位置，当小球从OA摆到OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=24cm，OA=OB=OC=30cm.则AD的长为______cm.
15.如图，Rt△ABC中，∠B=30∘，D是AB边上一动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在点E处，当ED平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的度数为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解答下列各题
(1)计算：(m+2)2+(2m+1)(2m−1)−4m(m+1)
(2)分解因式：−a3−4ab2+4a2b
17.(本小题9分)
先化简(xx2+x−1)÷x2−1x2+2x+1，然后从−1，0，1，2中选一个你喜欢x的值代入求值.
18.(本小题9分)
晓光同学在复习时发现一道这样的错题：
解方程：1−x+32x−2=2x1−x.
解：1−x+32(x−1)=−2xx−1…①，
1−(x+3)=−4x…②，
1−x−3=−4x…③，
−x+4x=−1+3…④，
3x=2…⑤，
x=23…⑥.
(1)请你帮他找出这道题从第______步开始出错；
(2)请完整地解答此分式方程.
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E.BD=DE，∠BAE=40∘.
(1)求∠C的度数；
(2)若BD=4，AC=22，求△ABE的面积.
20.(本小题9分)
如图，△ABC为任意三角形，以边AB、AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE并且相交于点P.
(1)求证：CD=BE；
(2)求∠BPC的度数.
21.(本小题9分)
《郑州市非机动车管理办法》2021年5月1日起正式实施，其中规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔.某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元.
(1)第一批头盔进货单价多少元？
(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(m,0)、B(0,n)，且|m−n−3|+(2n−6)2=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒.
(1)OA=______，OB=______.
(2)连接PB，若△POB的面积为3，求t的值；
(3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样点P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.
23.(本小题10分)
在边长为4的等边三角形ABC中，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，并在其右侧作∠ADE=60∘，使DE=DA，连接CE.
(1)当点D在BC边上(如图1)时，填空：AB与CE的位置关系是______； BD与CE的数量关系是______；
(2)当点D在BC边的延长线上(如图2)时，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请结合图2情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)当∠DEC=30∘，请直接写出线段BD的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意；
C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D选项不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D.
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】【解答】
解：0.000021=2.1×10−5.
故选：C.
【分析】
此题考查用科学记数法表示绝对值较小的数．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵2+3<6，
∴6，2，3不能构成三角形，不符合题意；
B、∵3−3<3<3+3，即0<3<6，
∴3，3，3能构成三角形，符合题意；
C、∵4+3<8，
∴4，3，8不能构成三角形，不符合题意；
D、∵4+3=7，
∴4，3，7不能构成三角形，不符合题意．
故选：B.
根据构成三角形三边长的数量关系即可求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解．
本题主要考查构成三角形的三边关系，掌握其判定方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、m4与m2不属于同类项，不能运算，故A不符合题意；
B、m3⋅m4=m7，故B不符合题意；
C、(m4)3=m12，故C不符合题意；
D、m12÷(m4)=m8，故D符合题意；
故选：D.
把相应的值代入括号内，利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】A
【解析】解：A.四边形的内角和为360∘，外角和为360∘，则四边形的内角和与外角和相等，故本选项正确；
B.若一等腰三角形的底角为100∘，则三角形的两底角和为200∘>180∘，不符合实际意义，故本选项错误；
C.一个非零数的0次幂等于1，故本选项错误；
D.多项式x2−2x+1是完全平方式，故本选项错误．
故选：A.
利用四边形内角和和外角和定理可判断A；利用三角形内角和为180∘可判断B；熟知一个非零数的0次幂等于1，可判断C；根据完全平方式可判断D.
本题主要考查多边形内角和与外角和定理，0次幂，完全平方式等相关知识；熟练掌握相关知识是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC−∠CAE=∠EAD−∠CAE，
∴∠BAE=∠1=56∘.
故选：B.
由全等三角形的性质推出∠BAC=∠EAD，即可得到∠BAE=∠1=56∘.
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
7.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，
∵∠C=90∘，∠B=30∘，
∴∠BAC=180∘−∠C−∠B=60∘，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=30∘，
∵∠BAD=∠B，
∴AD=BD=2，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30∘，
∴CD=12AD=1，
∴BC=CD+BD=3.
故选：B.
证明∠BAD=∠B，从而得AD=BD=2，在Rt△ACD中，由∠CAD=30∘，求出CD的长度即可求出BC的长度．
本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质与判定，含30∘的直角三角形的性质，本题的关键是求出各角角度，从而根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质解题．
8.【答案】D
【解析】解：由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，
∴FA=FB，DF⊥AB，故选项A，C正确，
∴∠AFD=∠BFD，
∵∠FBC=∠FBD，∠FBD+∠BFD=90∘，
∴∠AFD+∠FBC=90∘，故选项B正确．
故选：D.
由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，利用线段的垂直平分线的性质一一判断即可．
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C.
首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
此题考查了轴对称-最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
10.【答案】A
【解析】设小正方形边长为x，表示出大正方形的边长，由大正方形面积减去四个小正方形面积表示出阴影部分面积即可．
解：设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为a−2x=2x+b，
可得x=a−b4，大正方形边长为a−a−b2=2a−a+b2=a+b2，
则阴影部分面积为(a+b2)2−4(a−b4)2=a2+2ab+b24−a2−2ab+b24=a2+2ab+b2−a2+2ab−b24=ab，
故选：A.
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：(−2)2024×(12)2023
=[(−2)×12]2023×(−2)
=(−1)2023×(−2)
=−1×(−2)
=2.
故答案为：2.
根据积的乘方得出原式=[(−2)×12]2023×(−2)，再算乘法，算乘方，最后求出答案即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，能正确根据积的乘方进行变形是解此题的关键．
12.【答案】−3
【解析】解：(x−5)(x+2)
=x2+2x−5x−10
=x2−3x−10，
∵x2+kx−10=(x−5)(x+2)，
∴k=−3.
故答案为：−3.
先根据多项式乘多项式法则展开，再根据x2+kx−10=(x−5)(x+2)求出k即可．
本题考查了因式分解-十字相乘法，能正确根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．
13.【答案】−5
【解析】【分析】
本题主要考查分式的值为0的条件和绝对值的知识点．
分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可.
根据分式的值为0的条件解题即可.
【解答】
解：若分式|y|−55−y的值等于0，
则|y|−5=0，y=±5.
又∵5−y≠0，y≠5，
∴y=−5.
若分式|y|−55−y的值等于0，则y=−5.
故答案为−5.
14.【答案】6
【解析】解：∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90∘，
又∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90∘，
∴∠BOD+∠B=90∘，
∴∠COE=∠B，
在△COE和△OBD中，
∠CEO=∠BDO∠COE=∠BOC=OB，
∴△COE≌△OBD(AAS)，
∴CE=OD=24cm，
∵OA=30cm，
∴AD=OA−OD=30−24=6(cm).
故答案为：6.
由直角三角形的性质证出∠COE=∠B，利用AAS证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD=24cm，则可得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
15.【答案】60∘或105∘
【解析】解：当DE//AC时，如图，
由折叠的性质得：∠CDE=∠CDA，
∵DE//AC，
∴∠CDE=∠ACD，
∴∠CDA=∠ACD，
∵∠B=30∘，∠ACB=90∘，
∴∠A=60∘，
∴∠ADC=12×(180∘−60∘)=60∘；
当DE//BC时，如图，
由折叠的性质得：∠E=∠A，∠ACD=∠ECD，
∵∠B=30∘，∠ACB=90∘，
∴∠A=60∘，
∴∠E=60∘
∵DE//BC，
∴∠BCE=∠E=60∘，
∴∠ACE=90∘−60∘=30∘，
∴∠ACD=12∠ACE=15∘，
∴∠ADC=180∘−60∘−15∘=105∘.
∴∠ADC的度数为60∘或105∘.
故答案为：60∘或105∘.
当DE//AC时，由折叠的性质得：∠CDE=∠CDA，由平行线的性质推出∠CDE=∠ACD，得到∠CDA=∠ACD，求出∠A=60∘，即可得到∠ADC=60∘；当DE//BC时，由折叠的性质得：∠E=∠A，∠ACD=∠ECD，求出∠A=60∘，得到∠E=60∘，由平行线的性质推出∠BCE=∠E=60∘，求出∠ACE=30∘，得到∠ACD=12∠ACE=15∘，即可求出∠ADC=105∘.于是得到∠ADC的度数为60∘或105∘.
本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，关键是要分两种情况讨论．
16.【答案】解：(1)(m+2)2+(2m+1)(2m−1)−4m(m+1)
=m2+4m+4+4m2−1−4m2−4m
=m2+3；
(2)−a3−4ab2+4a2b
=−a(a2+4b2−4ab)
=−a(a−2b)2.
【解析】(1)先利用完全平方公式和平方差公式及单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；
(2)先提取公因式−a，再利用完全平方公式分解即可．
本题主要考查整式的混合运算与因式分解，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
17.【答案】解：原式=(1x+1−x+1x+1)⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx+1⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=x1−x，
若使分式有意义，则x≠0、−1、1，
∴x=2时，
原式=21−2
=−2.
【解析】首先利用分式运算进行化简，化简结果为=x1−x，根据分式有意义的条件，可知x≠0、−1、1，即x=2，代入即可求得结果．
本题主要考查的是分式的化简求值，需要注意的是选值代入的时候需要根据分式有意义进行排除，不可随意取值．
18.【答案】②
【解析】解：①我帮他找出这道题从第②步开始出错，错误的原因是：去分母时，1漏乘最简公分母2(x−1)，
故答案为：②；
(2)1−x+32x−2=2x1−x，
1−x+32(x−1)=−2xx−1，
2(x−1)−(x+3)=−2x，
解得：x=53，
检验：当x=53时，2(x−1)≠0，
∴x=53是原方程的根．
(1)按照解分式方程的步骤进行计算，逐一判断即可解答；
(2)按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵AE平分∠BAC，∠BAE=40∘，
∴∠CAE=40∘，
∵BD=DE，AD⊥BC，
∴AB=AE，
∴∠BAD=∠EAD=20∘，
∴∠AED=70∘，
∴∠C=∠AED−∠CAE=70∘−40∘=30∘；
(2)∵∠C=30∘，AD⊥BC，
∴AD=12AC，
∵AC=22，
∴AD=11，
∵BD=4，BD=DE，
∴BE=8，
∴△ABE的面积为：12BE⋅AD=12×8×11=44.
【解析】(1)先根据角平分线的定义求出∠CAE，然后根据垂直平分线的判定得出AB=AE，进而利用等腰三角形的性质求出∠AED，再利用外角的性质解答即可；
(2)根据直角三角形的性质求出AD，然后利用面积公式计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练运用相关的性质．
20.【答案】(1)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60∘，
∴∠DAC=∠BAE=60∘+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴CD=BE.
(2)解：由(1)得∠ADC=∠ABE，
∴∠BPC=∠PBD+∠PDB=∠ABD+∠ABE+∠PDB=∠ABD+∠ADC+∠PDB=∠ABD+∠ADB，
∵∠ABD=∠ADB=60∘，
∴∠BPC=120∘.
【解析】(1)由△ABD和△ACE都是等边三角形得AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60∘，则∠DAC=∠BAE=60∘+∠BAC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△DAC≌△BAE；
(2)由∠ADC=∠ABE推导出∠BPC=∠PBD+∠PDB=∠ABD+∠ADB，因为∠ABD=∠ADB=60∘，所以∠BPC=120∘.
此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为(x+10)元，
根据题意，得5400x+10=3×1600x，
解得：x=80.
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
答：第一批头盔进货单价为80元；
(2)第一批头盔进货数量为1600÷80=20(个)，第二批头盔进货数量为60个．
设销售单价为y元，
根据题意，得(20+60)y−(1600+5400)≥1000，
∴y≥100.
答：销售单价至少为100元．
【解析】(1)设第一批头盔进货单价为x元，由题意列出方程，即可求解；
(2)设销售单价为y元，由“获利不少于1000元”列出不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的等量关系或不等关系是解题的关键．
22.【答案】6 3
【解析】解：(1)∵|m−n−3|+(2n−6)2=0，|m−n−3|≥0，(2n−6)2≥0，
∴|m−n−3|=0，(2n−6)2=0，
∴m−n−3=0，2n−6=0，
解得，m=6，n=3，
∴OA=6，OB=3，
故答案为：6；3；
(2)当点P在线段AO上时，OP=6−t，
则12×(6−t)×3=3，
解得，t=4，
当点P在线段AO的延长线上时，OP=t−6，
则12×(t−6)×3=3，
解得，t=8，
∴当t=4或8时，△POB的面积等于3；
(3)如图1，当点P在线段AO上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP=OB，即6−t=3，
解得，t=3，
如图2，当点P在线段AO的延长线上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP=OB，即t−6=3，
解得，t=9，
∴当t=3或9时，△POQ与△AOB全等．
(1)根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出m、n；
(2)分点P在线段AO上、点P在线段AO的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算；
(3)分点P在线段AO上、点P在线段AO的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是非负数的性质、三角形的面积公式、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
23.【答案】平行 相等
【解析】解：(1)如图1中，连接AE，
由旋转的性质可知，∠DAE=60∘，AD=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60∘，
∴∠BAC=∠DAE=60∘，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=60∘=∠BAC，BD=CE，
∴AB//CE，
故答案为：平行，相等；
(2)(1)中的两个结论仍然成立，
如图2，，连接AE，
由旋转的性质可知，∠DAE=60∘，AD=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60∘，
∴∠BAC=∠DAE=60∘，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=60∘=∠BAC，BD=CE，
∴AB//CE；
(3)当点D在线段BC上，如图3中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∵把线段AD绕点D顺时针旋转60∘，得到线段DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60∘，
∵∠DEC=30∘，
∴∠AEC=90∘，
由(1)△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE=60∘，BD=CE，
∴BD=CE=12AC=2；
当点D在线段BC的延长线上，如图4中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∵把线段AD绕点D顺时针旋转60∘，得到线段DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60∘，
∵∠DEC=30∘，
∴∠AEC=30∘，
由(1)△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE=60∘，BD=CE，
∴∠CAE=90∘，
∴BD=CE=2AC=8；
(1)由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60∘，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
(2)由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60∘，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
(3)过点D作DP//AC，交AB于点P.证出△ADE是等边三角形即可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．