2023-2024学年河南省漯河市临颍县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省漯河市临颍县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 3，6，9B. 3，2，1C. 2，2，4D. 3，5，6
2.若分式x−1x+1有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠1B. x≠−1C. x=1D. x=−1
3.下列各式计算正确的是( )
A. (m2)3=m5B. m2⋅m3=m6C. m5÷m2=m3D. (mn)2=mn2
4.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2，则PQ的长不可能是( )
A. 4
B. 3.5
C. 2
D. 1.5
5.若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是( )
A. 60°B. 90°C. 108°D. 120°
6.若m+n=3，则2m2+4mn+2n2−6的值为( )
A. 12B. 6C. 3D. 0
7.如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是( )
A. 10cmB. 12cmC. 15cmD. 17cm
8.如图，已知△CBE≌△DAE，连接AB、∠ABE=65°，∠BAD=30°，则∠CBE的度数为( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 65°
9.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. 900x+1×2=900x−3B. 900x+1=900x−3×2
C. 900x−1=900x+3×2D. 900x−1×2=900x+3
10.如图，若x为正整数，则表示分式x2+2x(x+2)(x+1)的值落在( )
A. 线①处B. 线②处C. 线③处D. 线④处
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.古语有云：“滴水穿石.”若水珠不断滴在一块石头上，经过450年，石头上会形成一个深为0.0000052cm的小洞，数据0.0000052用科学记数法表示为：______．
12.计算：(−2)0+(12)−1= ______．
13.已知关于x的方程2x−3=1−mx−3有增根，则m= ______．
14.已知x2−2kx+64可以写成某一个式子的平方的形式，则常数k的值为______．
15.若(−25y3+15y2−5y)÷M=−5y，则M= ______．
16.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，且EH=EB，下列四个结论：①∠ABC=45°；②AH=BC；③EB+CH=AE；④△AEC是等腰三角形，你认为正确结论有______个.
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
解分式方程：xx−1−1=2x3x−3．
18.(本小题10分)
分解因式
(1)3a2−6ab+3b2；
(2)9a2(x−y)+4b2(y−x)．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC边上的一点，将△ABD沿AD所在直线翻折得到△AED，且DE/​/AC，AE交BC于点F．
(1)求证：△AFC是等腰三角形；
(2)求∠ADB的度数．
20.(本小题10分)
下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题：
解：(m+1m−2−1)÷3mm2−4m+4．
=(m+1m−2−m−2m−2)÷3m(m−2)2第一步
=m+1−(m−2)m−2÷3m(m−2)2第二步
=m+1−m−2m−2÷3m(m−2)2第三步
=−1m−2÷3m(m−2)2第四步
=−1m−2⋅(m−2)23m第五步
=2−m3m第六步
(1)①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(2)请写出正确的化简过程．
21.(本小题12分)
实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)．
(1)上述操作能验证的等式是______；(请选择正确的一个)
A.a2−b2=(a+b)(a−b)
B.a2−2ab+b2=(a−b)2
C.a2+ab=a(a+b)
(2)请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b=______．
②计算：1002−992+982−972+…+42−32+22−12．
22.(本小题12分)
习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
23.(本小题12分)
小明发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1)问题发现：在图1的“手拉手”图形中，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD=CE；
(2)拓展探究：如图2，若△ABC和△CDE均是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB= ______°，线段BE与AD之间的数量关系是______；
(3)解决问题：如图3，若△ABC和△DCE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数，写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、3+6=9，长度是3、6、9的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、1+2=3，长度是3、2、1的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、2+2=4，长度是2、2、4的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+5>6，长度是3、5、6的线段能组成三角形，故D符合题意；
故选：D．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2.【答案】B
【解析】解：∵分式x−1x+1有意义，
∴x+1≠0，解得x≠−1．
故选B．
先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵(m2)3=m6，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵m5÷m2=m3，
∵m2⋅m3=m5，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵(mn)2=m2n2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
利用同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方和积的乘方法则对每个选项的运算进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方和积的乘方法则，正确利用上述法则与性质对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴点P到OM的距离等于PA，即点P到OM的距离为2，
∴PQ≥2．
故选：D．
根据角平分线的性质得到点P到OM的距离等于PA，根据垂线段最短得到PQ≥2，然后对各选项进行判断．
本题考查了角平分线的性质，正确记忆角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：(n−2)×180°．
根据正多边形的内角和定义(n−2)×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．
【解答】
解：(n−2)×180°=720°，
∴n−2=4，
∴n=6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°．
故选D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了代数式求值和完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，要注意把m+n看成一个整体．根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．
【解答】
解：原式=2(m2+2mn+n2)−6，
=2(m+n)2−6，
=2×9−6，
=12．
故选A．
7.【答案】C
【解析】分析：由△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+BC的值，继而求得△ABC的周长．
解：∵△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，
∴BD=AD，AB=2AE=2ⅹ3=6(cm)，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=9(cm)，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15(cm)，
故选：C．
此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：∵△CBE≌△DAE，
∴BE=AE，∠CBE=∠DAE，
∵∠ABE=65°，
∴∠BAE=65°，
∵∠BAD=30°，
∴∠DAE=65°−30°=35°，
∴∠CBE=∠DAE=35°．
故选：C．
先根据全等三角形的性质求出BE=AE，∠CBE=∠DAE，再根据等腰三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=65°，最后根据∠BAD=30°计算即可．
本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵规定时间为x天，
∴慢马所需的时间为(x+1)天，快马所需的时间为(x−3)天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，
∴可列出方程900x+1×2=900x−3．
故选：A．
根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为(x+1)天，快马所需的时间为(x−3)天，利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：x2+2x(x+2)(x+1)=x(x+2)(x+2)(x+1)=xx+1<1．
∵x为正整数，
∴x最小值为1．
∴当x=1时，xx+1取最小值12．
∴12≤xx+1<1．
∴分式x2+2x(x+2)(x+1)的值落在线②处．
故选：B．
根据分式的基本性质解决此题．
本题主要考查分式的基本性质、分式的值，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
11.【答案】5.2×10−6
【解析】解：0.0000052=5.2×10−6，
故答案为：5.2×10−6．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】3
【解析】解：(−2)0+(12)−1
=1+2
=3，
故答案为：3．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13.【答案】−2
【解析】解：∵关于x的方程2x−3=1−mx−3有增根，
∴x−3=0，
解得x=3，
由2x−3=1−mx−3得2=x−3−m，
将x=3代入方程得2=3−3−m，
解得m=−2．
故答案为−2．
根据分式方程有增根时最简公分母为0可求解x=3，将分式方程化为整式方程，将x=3代入计算可求解m值．
本题主要考查分式方程的增根，求解方程的增根是解题的关键．
14.【答案】±8
【解析】解：∵x2−2kx+64=x2−2kx+82可以写成某一个式子的平方的形式，
∴−2k=±2×8，则k=±8，
故答案为：±8．
根据完全平方式的结构a2±2ab+b2求解即可．
本题考查完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解答的关键．
15.【答案】5y2−3y+1
【解析】解：∵(−25y3+15y2−5y)÷M=−5y，
∴M=(−25y3+15y2−5y)÷(−5y)=5y2−3y+1．
故答案为：5y2−3y+1．
利用多项式除以单项式的法则进行求解即可．
本题考查多项式除以单项式．熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，是解题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：①假设∠ABC=45°成立，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=45°，
又∠BAC=45°，
矛盾，所以∠ABC=45°不成立，故①错误；
∵CE⊥AB，∠BAC=45°，
∴AE=EC，
在△AEH和△CEB中，
EH=EB∠AEH=∠CEB=90°AE=CE，
∴△AEH≌△CEB(SAS)，
∴AH=BC，故②正确；
又EC−EH=CH，
∴AE−EH=CH，
∴EB+CH=AE，故③正确．
∵AE=CE，CE⊥AB，所以△AEC是等腰直角三角形，故④正确．
∴②③④正确，有3个．
故答案为：3．
①根据AD⊥BC，若∠ABC=45°则∠BAD=45°，而∠BAC=45°，很明显不成立；
②③可以通过证明△AEH与△CEB全等得到；
④CE⊥AB，∠BAC=45°，所以是等腰直角三角形．
本题考查全等三角形性质和判定，掌握利用全等三角形的对应边相等进行证明，找出相等的对应边后，注意线段之间的和差关系是解题关键．
17.【答案】解 方程两边都乘3(x−1)，
得3x−3(x−1)=2x，
解得x=1.5，
检验：当x=1.5时，3(x−1)=1.5≠0，
所以分式方程的解为x=1.5．
【解析】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．
18.【答案】(1)原式=3(a2−2ab+b2)
=3(a−b)2；
(2)原式=9a2(x−y)−4b2(x−y)
=(x−y)(9a2−4b2)
=(x−y)(3a+2b)(3a−2b)．
【解析】(1)先提取公因式3，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案；
(2)先给(y−x)提取“−”号，可得9a2(x−y)−4b2(x−y)，再提取公因式(x−y)，再应用平方差公式进行因式分解即可得出答案．
本题主要考查了因式分解，熟练应用因式分解的方法合理进行运算是解决本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=12×(180°−120°)=30°，
由翻折的性质得：∠E=∠B=30°，
∵DE/​/AC，
∴∠CAF=∠E=30°，
∴∠CAF=∠C，
∴△AFC是等腰三角形；
(2)解：由折叠的性质得：∠BAD=∠EAD，
∵∠BAE=∠BAC−∠CAE=120°−30°=90°，
∴∠BAD=∠EAD=12∠BAE=12×90°=45°，
∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−30°−45°=105°．
【解析】(1)由等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，再由折叠的性质得∠E=∠B=30°，然后由平行线的性质得∠CAF=∠E=30°，推出∠CAF=∠C，即可得出结论；
(2)由折叠的性质得∠BAD=∠EAD，再求出∠BAE=90°，则∠BAD=45°，然后由三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠对应角相等是解题的关键．
20.【答案】一 分式的基本性质 三 括号前面是“−”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号
【解析】解：(1)①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：一、分式的基本性质；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“−”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
故答案为：三、括号前面是“−”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
(2)(m+1m−2−1)÷3mm2−4m+4．
=(m+1m−2−m−2m−2)÷3m(m−2)2
=m+1−(m−2)m−2÷3m(m−2)2
=m+1−m+2m÷3m(m−2)2
=3m−2÷3m(m−2)2
=3m−2⋅(m−2)23m
=m−2m．
(1)①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；②第三步去括号出现错误，据此解答即可；
(2)先计算括号里的减法，然后分解因式计算除法．
本题考查了分式的化简，熟练分解因式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)A；
(2)① 4；
②∵1002−992=(100+99)(100−99)=100+99，
982−972=(98+97)(98−97)=98+97， …
22−12=(2+1)(2−1)=2+1，
∴原式=100+99+98+97+…+4+3+2+1=5050．
【解析】分析：
(1)分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
(2)①利用平方差公式将4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
解：(1)图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，
图2中的阴影部分是长为(a+b)，宽为(a−b)的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：A；
(2)①∵4a2−b2=24，
∴(2a+b)(2a−b)=24，
又∵2a+b=6，
∴6(2a−b)=24，
即2a−b=4，
故答案为：4；
②∵1002−992=(100+99)(100−99)=100+99，
982−972=(98+97)(98−97)=98+97，
…
22−12=(2+1)(2−1)=2+1，
∴原式=100+99+98+97+…+4+3+2+1=5050．
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
22.【答案】解：(1)设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要(x+1)万元，
依题意得：15x+1=10x，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=2+1=3．
答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
(2)设购买m件甲种农机具，则购买(20−m)件乙种农机具，
依题意得：3m+2(20−m)≤46，
解得：m≤6．
答：甲种农机具最多能购买6件．
【解析】(1)设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要(x+1)万元，利用数量=总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买1件乙种农机具所需费用，再将其代入(x+1)中即可求出购买1件甲种农机具所需费用；
(2)设购买m件甲种农机具，则购买(20−m)件乙种农机具，利用总价=单价×数量，结合总价不超过46万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】60 BE=AD
【解析】(1)证明；∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ACB−∠BCD=∠DCE−∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
∵∠CDE=60°，
∴∠BEC=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∵∠CED=60°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=60°，
故答案为：60，BE=AD；
(3)解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由：
同(1)(2)的方法得，△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ADC=180°−∠CDE=135°，
∴∠BEC=∠ADC=135°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME，
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
(1)先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
(2)同(1)的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论；
(3)同(2)的方法，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．