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初中数学苏科版七年级下册12.2 证明优秀同步训练题
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这是一份初中数学苏科版七年级下册12.2 证明优秀同步训练题，文件包含第12章证明教师版docx、第12章证明学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会判断一个命题的真假；
2．了解综合法的证明步骤和书写格式.
3．运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解决一些简单的问题，用几何语言进行简单的推理论证.
4.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立.会判断一个命题的逆命题的真假.
知识点01：定义、命题、真命题、假命题
定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义.
命题：判断一件事情的句子叫命题．
真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.
【易错点剖析】命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.
知识点02：证明
根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理.
证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.
证明的步骤：1.根据题意，画出图形；
2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
3.写出证明过程.
【易错点剖析】推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.
知识点03：三角形的内角和定理及其推论
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.
【易错点剖析】(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
(2)三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（4）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
知识点04：互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.
把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了.
【易错点剖析】每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.
反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.
重点考向01：定义、命题及定理的概念
重点考向02：真命题与假命题
重点考向03：证明过程
重点考向04：完全平方公式及运用
重点考向05：平方差公式及应用
重点考向06：等式的性质
重点考向07：平行线的判定
重点考向08：平行线的判定与性质
重点考向09：三角形内角和定理
重点考向10：三角形的外角性质
重点考向11：逆命题
重点考向01：定义、命题及定理的概念
【典例精讲】（2023八上·怀远期中）如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【答案】解：已知：，
求证：
证明：如图，
∵
又
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
【思路点拨】利用命题的定义，平行线的判定方法和性质求解即可。
【变式训练1-1】（2023七下·武昌期末）下列命题正确的是（ ）
A．同位角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知真线垂直
C．互补的两个角是邻补角
D．直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c
【答案】D
【规范解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故选项A错误；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项B错误；
C、 邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；故选项C错误；
D、直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c。平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；故选项D正确。
故答案为：D
【思路点拨】 命题（判断）是指一个判断句的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。
【变式训练1-2】（2023七下·松原月考）如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题.
（1）这三个命题中，真命题有 个；
（2）选择一个真命题，并且完成证明过程.
【答案】（1）3
（2）解：已知，.求证：.
证明：，，
，，，
，，，.
【规范解答】解：（1）根据题意，所有的命题为①②③，①③②，②③①，且均为真命题；
（2） ，，
，，，
，，，.
【思路点拨】（1）根据题意表示出所有命题，判断命题的真假；
（2）任选一个命题，由直线平行的判定定理和性质进行证明。
【变式训练1-3】（2023七下·玄武月考）如图，有三个条件：①，②，③，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：
以③作为结论的命题是：如图，已知，，求证：
（1）请按要求写出命题：
以①作为结论的命题是： ；
以②作为结论的命题是： ；
（2）请证明以②作为结论的命题．
【答案】（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．
（2）解：∵∠1＝∠2
∴DB//EC
∴∠DBA=∠C
∵∠A＝∠F
∴DF//AC
∴∠D=∠DBA
∴∠C=∠D．
【规范解答】解：（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．
如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．
【思路点拨】（1）以①作为结论的命题是：已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；以②作为结论的命题是：已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D；
（2）根据∠1＝∠2可得DB//EC，由平行线的性质可得∠DBA=∠C ，根据∠A＝∠F可得DF//AC， 由平行线的性质可得∠D=∠DBA，据此可得结论.
重点考向02：真命题与假命题
【典例精讲】（2023八上·宣城期中）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．两个锐角之和一定为钝角B．相等的两个角是对顶角
C．同位角相等D．垂线段最短
【答案】D
【规范解答】解：A、两个锐角之和不一定为钝角
反例： ， ，则此项为假命题
B、相等的两个角不一定是对顶角，则此项为假命题
C、只有当两直线平行时，同位角才相等，则此项为假命题
D、由垂线段公理得：垂线段最短，则此项为真命题
故答案为：D．
【思路点拨】根据角的分类与运算、对顶角的性质、同位角的定义、垂线段公理逐项判断即可．
【变式训练2-1】（2023七下·辛集期末） 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，，
．
，
，
，
．
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则
B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等
D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【规范解答】根据题干中的证明过程，可得：
证明的真命题是：在同一平面内，若，且，则，
故答案为：A.
【思路点拨】先阅读题干，再根据题干中的证明步骤分析求解即可.
【变式训练2-2】（2023七下·西青期末）下列命题：
①互补的两个角一定是邻补角；②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；③两直线平行，同旁内角相等；④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【规范解答】解：
①互补的两个角可以是邻补角，还可以是同旁内角。选项为假命题，不合题意；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；选项为真命题，符合题意；
③两直线平行，同旁内角互补，可能是相等的；选项为假命题，不合题意；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；选项为真命题，符合题意；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。选项为真命题，符合题意；
综上，正确的有②④⑤，共3个.
故答案为：C.
【思路点拨】本题考查真命题的定义。 如果一个命题的题设成立时，保证结论一定成立，那么这样的命题叫作真命题。如果一个命题的题设成立时，不能保证结论一定成立，那么这样的命题叫作假命题。
【变式训练2-3】（2023七下·孝义期末）下列命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④对顶角相等．真命题个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【规范解答】解：①∵“ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ”是真命题，∴①正确；
②∵“ 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ”是真命题，∴②正确；
③∵“两直线平行，同位角相等”，∴③不正确；
④∵“ 对顶角相等 ”是真命题，∴④正确；
∴真命题的序号为：①②④，
∴共有3个真命题；
故答案为：C.
【思路点拨】利用真命题的定义逐项判断即可.
重点考向03：证明过程
【典例精讲】（2023七下·石家庄期末） 定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线，被直线所截，．
对说明理由．
下列说法正确的是（ ）
A．方法只要测量够组内错角进行验证，就能说明该定理的正确性
B．方法用特殊到一般的数学方法说明了该定理的正确性
C．方法用严谨的推理说明了该定理的正确性
D．方法还需说明其他位置的内错角，对该定理的说明才完整
【答案】C
【规范解答】∵方法1利用测量的方法总是有误差的，∴不严谨，且说法不正确；
∵方法2时用严谨的推理说明了该定理的正确，
故答案为：C.
【思路点拨】利用对顶角相等可得∠1=∠3，再利用等量代换可得∠2=∠3，再利用平行线的判定方法可得答案.
【变式训练3-1】（2023七下·东莞期中）如图，点在直线上，，．
求证：．
【答案】证明：已知，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
，
，
等式的性质，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
【思路点拨】由同旁内角互补，两直线平行可得AD∥CD，由两直线平行，内错角相等可得∠BAP=∠APC，进而根据等量减去等量差相等可得∠3=∠4，再由内错角相等，两直线平行得AE∥PF，最后根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠F.
【变式训练3-2】（2023七下·东莞期中）完成下面的证明．在括号中注明理由
已知：如图，，，
求证：．
证明：，已知
，（ ）
又，已知
▲ ，（ ）
▲ ，（ ）
等量代换
【答案】证明：，已知
，两直线平行，同位角相等
又，已知
，内错角相等，两直线平行
，两直线平行，内错角相等
等量代换．
故答案为：两直线平行，同位角相等；DE，内错角相等，两直线平行；∠E，两直线平行，内错角相等.
【思路点拨】先根据两直线平行，同位角相等的∠2=∠C，再由内错角相等，两直线平行得AC∥DE，进而由两直线平行，内错角相等得∠2=∠E，最后由等量代换可得∠C=∠E.
【变式训练3-3】（2023七下·丹东期末）完成下面的说理过程：
已知：如图，，，，
求证：．
证明：因为已知，
所以（ ）.
因为，
所以（ ）°．
因为，
所以（ ）°，
所以（ ）
【答案】解：证明：因为已知，
所以两直线平行，内错角相等．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以同旁内角互补，两直线平行．
【思路点拨】根据两直线平行，内错角相等得：进而求出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，证明.
重点考向04：完全平方公式及运用
【典例精讲】计算（x+3y）2-（3x+y）2的结果是（ ）
A．8x2-8y2B．8y2-8x2C．8（x+y）2D．8（x-y）2
【答案】B
【规范解答】解：原式=
故答案为：B.
【思路点拨】利用完全平方公式，进行展开计算，得出结果。
【变式训练4-1】（1）已知求下列各式的值：①
②(a-b)².
（2） 若求的值.
【答案】（1）①
②26
（2）
【变式训练4-2】 已知a+b=5， ab=3.求：
（1） 的值.
（2） 的值.
（3） 的值.
【答案】（1）解：∵a+b=5， ab=3，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=3×5=15；
（2）解：∵a+b=5， ab=3，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19；
（3）解：∵a+b=5， ab=3，
∴(a2-b2)2=[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2=(a+b)2[(a+b)2-4ab]=52×(52-4×3)=325.
【思路点拨】（1）将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案；
（2）将待求式子利用完全平方公式变形为(a+b)2-2ab，然后整体代入计算可得答案；
（3）先将待求式子的底数利用平方差公式分解因式，再根据积的乘方法则进行计算，进而利用完全平方公式将式子变形为(a+b)2[(a+b)2-4ab]，最后整体代入计算可得答案.
【变式训练4-3】若二次多项式是一个完全平方式，则实数k的值是 .
【答案】4或-4
【规范解答】解：∵二次多项式是一个完全平方式，
∴
∴
故答案为：4或-4.
【思路点拨】先找到两个平方项，进而可确定完全平方公式的乘积的二倍，进而即可求解.
重点考向05：平方差公式及应用
【典例精讲】（2023七下·长春月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【思路点拨】（1）利用单项式乘多项式的计算方法求解即可；
（2）先利用平方差公式展开，再求解即可.
【变式训练5-1】计算：
（1）
（2）
（3）(2m-3n)(3n-2m)-(2m-3n)(3n+2m).
【答案】（1）-7
（2）t⁶
（3）-8m²+12mn
【规范解答】解：（1）原式=-8+1=-7；
（2）；
（3） (2m-3n)(3n-2m)-(2m-3n)(3n+2m)
=-(2m-3n)2-(2m)2+(3n)2
=-8m²+12mn
【思路点拨】(1)先计算负指数幂、0指数幂，再作加法；
(2)先利用积的乘方与幂的乘方法则计算，再合并同类项；
(3)先利用完全平方公式、平方差公式分别计算后，合并同类项.
【变式训练5-2】下列计算中，不正确的是（ ）
A．
B．×100=25600
C．49²+49=49×(49+1)=49×50=2450
D．=81
【答案】D
【变式训练5-3】计算+1的结果是 （ ）
A．3¹²+1B．C．3³¹D．3²²
【答案】D
【规范解答】解：原式= +1
故答案为：.
【思路点拨】利用平方差公式进行计算即可求解.
重点考向06：等式的性质
【典例精讲】（2023八上·榆林月考）定义新运算：对于任意实数、约定关于的一种运算如下：．例如：．若，且，则的值是 ．
【答案】
【规范解答】解：根据定义新运算可得：；.
①+②，得：3x+3y=12，
∴x+y=4.
故第1空答案为：4.
【思路点拨】首先根据新定义运算列出等式①②，然后根据等式的性质，①+②即可得出答案。
【变式训练6-1】2023七下·长沙期末）已知方程组，则的值为 ．
【答案】1
【规范解答】解： ，两式相减得：3x-3y=3.
∴x-y=1.
故第1空答案为：1.
【思路点拨】根据等式的性质，直接把两式相减，即可得到答案。
【变式训练6-2】（2023七下·房山期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．同角的补角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果，，那么
D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【答案】D
【规范解答】解：A、同角的补角相等，真命题，故不符合题意；
B、 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题，故不符合题意；
C、如果，，那么， 真命题，故不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补 ，原命题是假命题，故符合题意；
故答案为：D.
【思路点拨】根据补角的性质、垂线的性质、等式的性质、平行线的性质分别判断即可.
【变式训练6-3】（2023七下·蜀山期末）已知实数、、满足，下列结论正确的是（ ）
A．可能为
B．若、、中有两个数相等，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【规范解答】解：A、当a=-1时， 为-1-b=-b，即得-1=0，等式不成立，
∴原说法不正确，故不符合题意；
B、假如a=c，由无法得出a=0，b=0或c=0，则abc≠0，故不符合题意；
C、∵，
∴b-a=ab，与原等式矛盾，原说法不正确，故不符合题意；
D、若c=1，则a-b=ab=1，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=1+2=3，原说法正确，故符合题意；
故答案为：D.
【思路点拨】A、把a=-1代入等式中即可判断；
B、假如a=c，代入等式中无法得出a=0，b=0或c=0，据此判断即可；
C、由可得b-a=ab，显然与原等式矛盾，即可判断；
D、若c=1，则a-b=ab=1，由a2+b2=（a-b）2+2ab，整体代入求值即可判断.
重点考向07：平行线的判定
【典例精讲】如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行D．内错角相等，两直线平行
【答案】C
【规范解答】如图：
∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：C．
【思路点拨】利用平行线的判定方法求解即可。
【变式训练7-1】如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线.已知∠APD=120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 °(提示：∠ADP=∠CDE，三角形的内角和等于180°).
【答案】30
【规范解答】解：要使DE∥AB，则∠APD=∠PDE，
∵∠APD=120°，
∴∠PDE=120°，
∵ ∠ADP=∠CDE， ∠ADP+∠PDE+∠CDE=180°，
∴ ∠ADP=∠CDE=30°，
∴∠CAB=180°-∠APD-∠ADP=30°.
故答案为：30.
【思路点拨】根据内错角相等，二直线平行，可得∠PDE=120°，由光的反射原理及平角的定义可得 ∠ADP=∠CDE=30°，最后根据三角形的内角和定理，由∠CAB=180°-∠APD-∠ADP可算出答案.
【变式训练7-2】若要求作业纸上两条相交直线 AB，CD 所夹锐角的大小，但其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量的方案：
对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是 （ ）
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ，Ⅱ都可行D．Ⅰ，Ⅱ都不可行
【答案】C
【规范解答】解：方案Ⅰ：，
，
直线AB、CD所夹锐角的大小等于直线AB、MN所夹锐角的大小，
测量的大小即可得到直线AB、CD所夹锐角的大小，
方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：直线AB、CD所夹锐角与和可组成三角形的三内角，
即直线AB、CD所夹锐角为：，
方案Ⅱ可行.
故答案为：C．
【思路点拨】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理．根据内错角相等，两直线平行，可判断方案Ⅰ可行；根据三角形内角和定理，可判断方案Ⅱ可行，即可得到答案．
【变式训练7-3】如图，AB⊥AC，∠1与∠B互余.
（1）AD 与 BC 平行吗？ 为什么？
（2）若∠B=∠D，则 AB 与 CD 平行吗？ 为什么？
【答案】（1）结论：AD∥BC.
理由：∵
∴
∵∠1与∠B互余，
∴
∴
∴.
（2）结论：AB∥CD.
理由：∵
∴
∴
∴.
【思路点拨】（1）根据垂直的定义和已知条件得到最后根据"内错角相等，两直线平行"，进而即可求解；
（2）根据已知条件得到最后根据"内错角相等，两直线平行"，进而即可求解.
重点考向08：平行线的判定与性质
【典例精讲】如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD.
（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由.
【答案】（1）解：∵EG平分∠BEF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵FG平分∠EFD，
∴ .
（2）解：∵EG平分∠BEF，EH平分∠AEF，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
同理，由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ，
可得： ，
∴ ，
所以 ，
∴ .
【思路点拨】（1）由角平分线的定义可得，从而求出，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得（2）由角平分线的定义可得从而求出∠HEG=，同理求出，利用三角形内角和求出∠G=90°，从而得出，利用平行线的判定即证结论.
【变式训练8-1】如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF=180°。
（1）若∠ABC=70°，求∠BCF的值.
（2）试说明：DE∥CF.
（3）若CB是∠ACF 的平分线，∠ADB=k∠ABD，求k的值。
【答案】（1）∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，∴∠ABD=∠BCF，∵BD是∠ABC的平分线，=35°。
（2）∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，∴∠ABD=∠BCF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠DBC=∠BCF，∴DE∥CF。
（3）由(2)知，DE∥CF，∴∠ADB=∠ACF，∵CB是∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠BCF，∴∠ADB=2∠BCF，由(1)知∠ABD=∠BCF，∴∠ADB=2∠ABD，∵∠ADB=k∠ABD，∴k=2。
【变式训练8-2】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连结OF.
（1）判断ED是否平行于AB，请说明理由.
（2）若OD平分∠BOF，∠OFD=80°，求∠1的度数.
【答案】（1）解：ED∥AB，理由如下：
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠1+∠DOB=180°-∠COD=90°，
∵∠1与∠D互余，
∴∠1+∠D=90°，
∴∠D=∠BOD，
∴AB∥ED；
（2）解：∵∠DFO=80°，DE∥AB，
∴∠BOF=180°-∠DFO=100°，
∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD=∠BOF=50°，
∴∠1=90°-∠BOD=40°.
【思路点拨】（1）由垂直定义及平角定义可得∠1+∠BOD=90°，由互余定义可得∠1+∠D=90°，由同角的余角相等得∠D=∠BOD，最后根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥ED；
（2）由二直线平行，同旁内角互补可得∠BOF=100°，由角平分线的定义可得∠BOD=50°，最后根据∠1=90°-∠BOD可算出答案.
【变式训练8-3】如图，AD∥BC，∠DAC=127°，∠ACF=15°，∠EFC=142°.
（1）试说明：EF∥AD.
（2）连结 CE，若 CE平分∠BCF，求∠FEC的度数.
【答案】（1）证明：∵ AD∥BC ，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴；
（2）解：∵CF平分∠BCF
∴
∵
∴
答：∠FEC的度数19°．
【思路点拨】（1）先根据二直线平行，同旁内角互补得到∠ACB的度数，进而根据角的和差得出∠FCB的度数，再根据∠EFC=142°，即可得到∠EFC+∠FCB=180°，由同旁内角互补，两直线平行即可得到EF∥BC，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥AD；
（2）先根据CE平分∠BCF，可得∠BCE=19°，再根据二直线平行，内错角相等，即可得到∠FEC=19°．
重点考向09：三角形内角和定理
【典例精讲】一把含30°角的三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置.若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．100°C．110°D．120°
【答案】C
【规范解答】解：如图，
△ABC中，∵∠A=90°，∠B=30°，
∴∠C=180°-90°-30°=60°，
∵a∥b，
∴∠4=∠1=50°（两直线平行，内错角相等），
∴∠3=180°-∠4-∠C=70°，
∴∠2=180°-∠3=110°.
故答案为：C.
【思路点拨】首先由三角形的内角和定理算出∠C=60°，再根据二直线平行，内错角相等，得∠4=∠1=50°，再根据三角形的内角和定理算出∠3的度数，最后根据邻补角求出∠2的度数.
【变式训练9-1】如图，已知DB∥AC，AB∥EC，且点D，A，E在同一条直线上，设∠BAC=x，∠D+∠E=y．
（1）试用含x的代数式表示y．
（2）当x=90°，且∠D=2∠E时，求∠D与∠E的度数．并说明DB与CE具有怎样的位置关系？
【答案】（1）解：∵AC∥BD，
∴∠CAE=∠D，
∵∠D+∠E=y，
∴∠CAE+∠E=y，
∵AB∥EC，
∴∠BAC=∠ACE=x，
在△ACE中，
∵∠E+∠CAE+∠ACE=180°，
∴x+y=180°，
∴y=180°-x；
（2）解：DB⊥CE，理由如下：
∵x=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥CE，
∵BD∥AC，
∴BD⊥CE；
∵x=90°，y=180°-x，
∴y=90°，即∠D+∠E=90°，
又∵∠D=2∠E，
∴3∠E=90°，
∴∠E=30°，∠D=60°.
【思路点拨】（1）由二直线平行，同位角相等得∠CAE=∠D，结合已知得∠CAE+∠E=y，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠ACE=x，进而在△ACE中，利用三角形的内角和定理即可解决此题；
（2）DB⊥CE，理由如下：由垂直的定义得AC⊥CE，进而结合平行线的性质可推出BD⊥CE；将x=90°代入y=180°-x可得y=90°，即∠D+∠E=90°，进而结合∠D=2∠E即可解决此题了.
【变式训练9-2】（2023七下·浙江期中）如图1所示，AB，BC被直线AC所截，D是线段AC上的点，过点D作DE∥ AB，连结AE，∠B=∠E=70°。
（1）请说明AE∥BC的理由。
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连结DQ。
①如图2所示，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．
②在整个运动过程中，当∠Q=2∠EDQ时，求∠Q的度数．
【答案】（1）解：∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E=180°，
∵∠B=∠E，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴AE∥BC.
（2）解：①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠FDP=∠DPQ；
∵∠E=70°，
∴∠EDF=110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=360°-110°-90°=160°，
∴∠DPQ+∠QDP=160°，
∴∠Q=180°-160°=20°.
②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF+∠Q=180°，
∵∠Q=2∠EDQ，
∴，
∵∠E=70°，PQ∥AE，
∴∠EDF=110°，
即，
∴；
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF+∠Q=180°，
∵∠Q=2∠EDQ，
∴，
∵∠E=70°，
∴∠EDF=110°，
∴，
∴∠Q=140°，
综上所述，或140°.
【思路点拨】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAE+∠E=180°，推得∠BAE+∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）①过D作DF∥AE交AB于F，根据平行于同一条直线的两直线平行可得DF∥PQ；根据两直线平行，内错角相等可得∠FDP=∠DPQ；根据两直线平行，同旁内角互补可得∠EDF=110°；求得∠FDQ=160°；推得∠DPQ+∠QDP=160°；结合三角形内角和是180°，即可求解；
②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行于同一条直线的两直线平行可得DF∥PQ；根据两直线平行，同旁内角互补可得∠QDF+∠Q=180°；根据题意可得；根据两直线平行，同旁内角互补可得∠EDF=110°；结合三角形内角和是180°，即可求解；
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行于同一条直线的两直线平行可得DF∥PQ；根据两直线平行，同旁内角互补可得∠QDF+∠Q=180°；根据题意可得；根据两直线平行，同旁内角互补可得∠EDF=110°；结合三角形内角和是180°，即可求解.
【变式训练9-3】（2023八上·安庆期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高.
（1）若∠ACB＝100°，求∠CAE的度数；
（2）若S△ABC＝12，CD＝4，求高AE的长.
【答案】（1）∵AE是BC边上的高，
∴∠E＝90°，
又∵∠ACB＝100°，∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝80°，
∵∠CAE+∠ACE+∠E＝180°
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣80°＝10°；
（2）∵AD是BC上的中线，DC＝4，
∴D为BC的中点，
∴BC＝2DC＝8，
∵AE是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABC＝ BC•AE，
即 ×8×AE＝12，
∴AE＝3.
【思路点拨】（1）首先根据邻补角的性质可得∠ACE的度数，然后根据三角形内角和定理就可求出∠CAE的度数；
（2）由已知条件可得BC=8，然后根据三角形面积公式就可求出AE的值.
重点考向10：三角形的外角性质
【典例精讲】（2024八上·乾安期末）如图，已知△ABC，∠A＝∠B＝70°．请按如下要求操作并解答：
（1）在图中，过点A画直线MP∥BC，过点C画直线NP⊥AB，直线MP与NP交于点P，求∠APC的度数；
（2）在（1）的前提下，直线PM上存在点D，且∠ABD＝∠ADB，求直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数．
【答案】（1）解：如图所示，∵PC⊥AB，
∴∠CNB＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BCN＝20°，
∵MP∥BC，
∴∠APC＝∠BCN＝20°
（2）解：∵MP∥BC，
∴∠ADB+∠CBD＝180°，
∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝70°，
∴∠ABD＝∠ADB＝55°，
∵∠BNE＝90°，
∴∠BEN＝90°﹣55°＝35°，
∴直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数为35°
【思路点拨】（1）根据垂直的定义可得∠CNB＝90°，利用三角形内角和可求出∠BCN＝20°，根据两直线平行内错角相等，可得∠APC＝∠BCN＝20° .
（2）根据两直线平行同旁内角互补，可得∠ADB+∠CBD＝180°，由ABD＝∠ADB可得∠ABD＝∠ADB＝55°，利用直角三角形两锐角互余可得∠BEN＝35°，据此即得结论.
【变式训练10-1】（2024九上·黄埔期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB=20°，求∠CAE及∠B的度数．
【答案】解：根据旋转的性质可知CA=CE，且∠ACE=90°，
所以△ACE是等腰直角三角形．
所以∠CAE=45°；
根据旋转的性质可得∠BDC=90°，
∵∠ACB=20°．
∴∠ACD=90°-20°=70°．
∴∠EDC=45°+70°=115°．
所以∠B=∠EDC=115°．
【思路点拨】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE=45°，易知∠ACD=90°-20°=70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC=∠B，则可求．
【变式训练10-2】．已知直线 AB∥CD，经过直线AB上的定点 P 的直线 EF 交CD 于点O，M，N为直线CD 上的两点，且点 M 在点O右侧，在点 N 的左侧，连结 PM，PN，满足∠MPN=∠MNP.
（1）如图1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，则∠COP的度数为 °.
（2）如图2，若射线PQ为∠MPE的平分线，请用等式表示∠NPQ与∠POM之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）125
（2）∠POM=2∠NPQ.理由略
【变式训练10-3】将一个三角尺按如图所示的方式放置，∠ACB=90°，∠ABC=60°，点B，C分别在直线PQ，MN 上.若 PQ∥MN，∠ACM=44°，则∠PBC的度数为（ ）
A．46°B．44°C．22°D．20°
【答案】A
【规范解答】解：∵PQ∥MN，
∴∠ACM=∠QPC=44°，
∵∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴∠ABP=∠QPC-∠A=44°-30°=14°，
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=60°-14°=46°.
故答案为：A.
【思路点拨】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACM=∠QPC=44°；根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠ABP=14°；即可求解.
重点考向11：逆命题
【典例精讲】（2023七下·招远期末） 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．互为相反数的两个数绝对值相等
C．等边三角形是锐角三角形
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】D
【规范解答】A、∵逆命题是“对应角相等的三角形全等”是假命题，∴A不符合题意；
B、∵逆命题是“绝对值相等的两个数互为相反数”是假命题，∴B不符合题意；
C、∵逆命题是“锐角三角形是等边三角形”是假命题，∴C不符合题意；
D、∵逆命题“两直线平行，同旁内角互补”是真命题，∴D符合题意；
故答案为：D.
【思路点拨】先分别求出各选项的逆命题，再逐项判断即可.
【变式训练11-1】（2023八上·浙江期中）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为 ．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【规范解答】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形.
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形.
【思路点拨】 先找出原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，可得到原命题的逆命题.
【变式训练11-2】（2023七下·淄川期末）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等D．正方形的四个角都是直角
【答案】B
【规范解答】解：
A、逆命题是“相等的角为对顶角”，为假命题，A不符合题意；
B、逆命题是“同位角相等，两直线平行”，为真命题，B符合题意；
C、逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，为假命题，C不符合题意；
D、逆命题是“四个角是直角的四边形是正方形”，为假命题，D不符合题意；
故答案为：B
【思路点拨】运用平行线的判定、正方形的定义、全等三角形的性质及邻补角定义对选项逐一判断即可求解。
【变式训练11-3】（2023八下·番禺期中）命题“对顶角相等”的逆命题是
【答案】相等的角为对顶角
【规范解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
【思路点拨】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题方法：
如图，量角器测量所得，
对顶角相等，
角的度数相等．
同位角相等，两直线平行．
方法：
如图，已知，
对顶角相等，
等量代换，
同位角相等，两直线平行．
方案Ⅰ
①作一直线GH，分别交AB，CD于点E，F.
②作∠HEN=∠CFG.
③测量∠AEM的大小即可.
方案Ⅱ
①作一直线GH，分别交AB，CD于点E，F.
②测量∠AEH，∠CFG的大小.
③计算180°- ∠AEH-∠CFG即可.
1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会判断一个命题的真假；
2．了解综合法的证明步骤和书写格式.
3．运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解决一些简单的问题，用几何语言进行简单的推理论证.
4.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立.会判断一个命题的逆命题的真假.
知识点01：定义、命题、真命题、假命题
定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义.
命题：判断一件事情的句子叫命题．
真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.
【易错点剖析】命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.
知识点02：证明
根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理.
证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.
证明的步骤：1.根据题意，画出图形；
2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
3.写出证明过程.
【易错点剖析】推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.
知识点03：三角形的内角和定理及其推论
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.
【易错点剖析】(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
(2)三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（4）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
知识点04：互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.
把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了.
【易错点剖析】每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.
反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.
重点考向01：定义、命题及定理的概念
重点考向02：真命题与假命题
重点考向03：证明过程
重点考向04：完全平方公式及运用
重点考向05：平方差公式及应用
重点考向06：等式的性质
重点考向07：平行线的判定
重点考向08：平行线的判定与性质
重点考向09：三角形内角和定理
重点考向10：三角形的外角性质
重点考向11：逆命题
重点考向01：定义、命题及定理的概念
【典例精讲】（2023八上·怀远期中）如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【答案】解：已知：，
求证：
证明：如图，
∵
又
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
【思路点拨】利用命题的定义，平行线的判定方法和性质求解即可。
【变式训练1-1】（2023七下·武昌期末）下列命题正确的是（ ）
A．同位角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知真线垂直
C．互补的两个角是邻补角
D．直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c
【答案】D
【规范解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故选项A错误；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项B错误；
C、 邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；故选项C错误；
D、直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c。平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；故选项D正确。
故答案为：D
【思路点拨】 命题（判断）是指一个判断句的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。
【变式训练1-2】（2023七下·松原月考）如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题.
（1）这三个命题中，真命题有 个；
（2）选择一个真命题，并且完成证明过程.
【答案】（1）3
（2）解：已知，.求证：.
证明：，，
，，，
，，，.
【规范解答】解：（1）根据题意，所有的命题为①②③，①③②，②③①，且均为真命题；
（2） ，，
，，，
，，，.
【思路点拨】（1）根据题意表示出所有命题，判断命题的真假；
（2）任选一个命题，由直线平行的判定定理和性质进行证明。
【变式训练1-3】（2023七下·玄武月考）如图，有三个条件：①，②，③，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：
以③作为结论的命题是：如图，已知，，求证：
（1）请按要求写出命题：
以①作为结论的命题是： ；
以②作为结论的命题是： ；
（2）请证明以②作为结论的命题．
【答案】（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．
（2）解：∵∠1＝∠2
∴DB//EC
∴∠DBA=∠C
∵∠A＝∠F
∴DF//AC
∴∠D=∠DBA
∴∠C=∠D．
【规范解答】解：（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．
如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．
【思路点拨】（1）以①作为结论的命题是：已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；以②作为结论的命题是：已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D；
（2）根据∠1＝∠2可得DB//EC，由平行线的性质可得∠DBA=∠C ，根据∠A＝∠F可得DF//AC， 由平行线的性质可得∠D=∠DBA，据此可得结论.
重点考向02：真命题与假命题
【典例精讲】（2023八上·宣城期中）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．两个锐角之和一定为钝角B．相等的两个角是对顶角
C．同位角相等D．垂线段最短
【答案】D
【规范解答】解：A、两个锐角之和不一定为钝角
反例： ， ，则此项为假命题
B、相等的两个角不一定是对顶角，则此项为假命题
C、只有当两直线平行时，同位角才相等，则此项为假命题
D、由垂线段公理得：垂线段最短，则此项为真命题
故答案为：D．
【思路点拨】根据角的分类与运算、对顶角的性质、同位角的定义、垂线段公理逐项判断即可．
【变式训练2-1】（2023七下·辛集期末） 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，，
．
，
，
，
．
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则
B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等
D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【规范解答】根据题干中的证明过程，可得：
证明的真命题是：在同一平面内，若，且，则，
故答案为：A.
【思路点拨】先阅读题干，再根据题干中的证明步骤分析求解即可.
【变式训练2-2】（2023七下·西青期末）下列命题：
①互补的两个角一定是邻补角；②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；③两直线平行，同旁内角相等；④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【规范解答】解：
①互补的两个角可以是邻补角，还可以是同旁内角。选项为假命题，不合题意；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；选项为真命题，符合题意；
③两直线平行，同旁内角互补，可能是相等的；选项为假命题，不合题意；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；选项为真命题，符合题意；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。选项为真命题，符合题意；
综上，正确的有②④⑤，共3个.
故答案为：C.
【思路点拨】本题考查真命题的定义。 如果一个命题的题设成立时，保证结论一定成立，那么这样的命题叫作真命题。如果一个命题的题设成立时，不能保证结论一定成立，那么这样的命题叫作假命题。
【变式训练2-3】（2023七下·孝义期末）下列命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④对顶角相等．真命题个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【规范解答】解：①∵“ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ”是真命题，∴①正确；
②∵“ 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ”是真命题，∴②正确；
③∵“两直线平行，同位角相等”，∴③不正确；
④∵“ 对顶角相等 ”是真命题，∴④正确；
∴真命题的序号为：①②④，
∴共有3个真命题；
故答案为：C.
【思路点拨】利用真命题的定义逐项判断即可.
重点考向03：证明过程
【典例精讲】（2023七下·石家庄期末） 定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线，被直线所截，．
对说明理由．
下列说法正确的是（ ）
A．方法只要测量够组内错角进行验证，就能说明该定理的正确性
B．方法用特殊到一般的数学方法说明了该定理的正确性
C．方法用严谨的推理说明了该定理的正确性
D．方法还需说明其他位置的内错角，对该定理的说明才完整
【答案】C
【规范解答】∵方法1利用测量的方法总是有误差的，∴不严谨，且说法不正确；
∵方法2时用严谨的推理说明了该定理的正确，
故答案为：C.
【思路点拨】利用对顶角相等可得∠1=∠3，再利用等量代换可得∠2=∠3，再利用平行线的判定方法可得答案.
【变式训练3-1】（2023七下·东莞期中）如图，点在直线上，，．
求证：．
【答案】证明：已知，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
，
，
等式的性质，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
【思路点拨】由同旁内角互补，两直线平行可得AD∥CD，由两直线平行，内错角相等可得∠BAP=∠APC，进而根据等量减去等量差相等可得∠3=∠4，再由内错角相等，两直线平行得AE∥PF，最后根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠F.
【变式训练3-2】（2023七下·东莞期中）完成下面的证明．在括号中注明理由
已知：如图，，，
求证：．
证明：，已知
，（ ）
又，已知
▲ ，（ ）
▲ ，（ ）
等量代换
【答案】证明：，已知
，两直线平行，同位角相等
又，已知
，内错角相等，两直线平行
，两直线平行，内错角相等
等量代换．
故答案为：两直线平行，同位角相等；DE，内错角相等，两直线平行；∠E，两直线平行，内错角相等.
【思路点拨】先根据两直线平行，同位角相等的∠2=∠C，再由内错角相等，两直线平行得AC∥DE，进而由两直线平行，内错角相等得∠2=∠E，最后由等量代换可得∠C=∠E.
【变式训练3-3】（2023七下·丹东期末）完成下面的说理过程：
已知：如图，，，，
求证：．
证明：因为已知，
所以（ ）.
因为，
所以（ ）°．
因为，
所以（ ）°，
所以（ ）
【答案】解：证明：因为已知，
所以两直线平行，内错角相等．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以同旁内角互补，两直线平行．
【思路点拨】根据两直线平行，内错角相等得：进而求出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，证明.
重点考向04：完全平方公式及运用
【典例精讲】计算（x+3y）2-（3x+y）2的结果是（ ）
A．8x2-8y2B．8y2-8x2C．8（x+y）2D．8（x-y）2
【答案】B
【规范解答】解：原式=
故答案为：B.
【思路点拨】利用完全平方公式，进行展开计算，得出结果。
【变式训练4-1】（1）已知求下列各式的值：①
②(a-b)².
（2） 若求的值.
【答案】（1）①
②26
（2）
【变式训练4-2】 已知a+b=5， ab=3.求：
（1） 的值.
（2） 的值.
（3） 的值.
【答案】（1）解：∵a+b=5， ab=3，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=3×5=15；
（2）解：∵a+b=5， ab=3，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19；
（3）解：∵a+b=5， ab=3，
∴(a2-b2)2=[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2=(a+b)2[(a+b)2-4ab]=52×(52-4×3)=325.
【思路点拨】（1）将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案；
（2）将待求式子利用完全平方公式变形为(a+b)2-2ab，然后整体代入计算可得答案；
（3）先将待求式子的底数利用平方差公式分解因式，再根据积的乘方法则进行计算，进而利用完全平方公式将式子变形为(a+b)2[(a+b)2-4ab]，最后整体代入计算可得答案.
【变式训练4-3】若二次多项式是一个完全平方式，则实数k的值是 .
【答案】4或-4
【规范解答】解：∵二次多项式是一个完全平方式，
∴
∴
故答案为：4或-4.
【思路点拨】先找到两个平方项，进而可确定完全平方公式的乘积的二倍，进而即可求解.
重点考向05：平方差公式及应用
【典例精讲】（2023七下·长春月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【思路点拨】（1）利用单项式乘多项式的计算方法求解即可；
（2）先利用平方差公式展开，再求解即可.
【变式训练5-1】计算：
（1）
（2）
（3）(2m-3n)(3n-2m)-(2m-3n)(3n+2m).
【答案】（1）-7
（2）t⁶
（3）-8m²+12mn
【规范解答】解：（1）原式=-8+1=-7；
（2）；
（3） (2m-3n)(3n-2m)-(2m-3n)(3n+2m)
=-(2m-3n)2-(2m)2+(3n)2
=-8m²+12mn
【思路点拨】(1)先计算负指数幂、0指数幂，再作加法；
(2)先利用积的乘方与幂的乘方法则计算，再合并同类项；
(3)先利用完全平方公式、平方差公式分别计算后，合并同类项.
【变式训练5-2】下列计算中，不正确的是（ ）
A．
B．×100=25600
C．49²+49=49×(49+1)=49×50=2450
D．=81
【答案】D
【变式训练5-3】计算+1的结果是 （ ）
A．3¹²+1B．C．3³¹D．3²²
【答案】D
【规范解答】解：原式= +1
故答案为：.
【思路点拨】利用平方差公式进行计算即可求解.
重点考向06：等式的性质
【典例精讲】（2023八上·榆林月考）定义新运算：对于任意实数、约定关于的一种运算如下：．例如：．若，且，则的值是 ．
【答案】
【规范解答】解：根据定义新运算可得：；.
①+②，得：3x+3y=12，
∴x+y=4.
故第1空答案为：4.
【思路点拨】首先根据新定义运算列出等式①②，然后根据等式的性质，①+②即可得出答案。
【变式训练6-1】2023七下·长沙期末）已知方程组，则的值为 ．
【答案】1
【规范解答】解： ，两式相减得：3x-3y=3.
∴x-y=1.
故第1空答案为：1.
【思路点拨】根据等式的性质，直接把两式相减，即可得到答案。
【变式训练6-2】（2023七下·房山期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．同角的补角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果，，那么
D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【答案】D
【规范解答】解：A、同角的补角相等，真命题，故不符合题意；
B、 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题，故不符合题意；
C、如果，，那么， 真命题，故不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补 ，原命题是假命题，故符合题意；
故答案为：D.
【思路点拨】根据补角的性质、垂线的性质、等式的性质、平行线的性质分别判断即可.
【变式训练6-3】（2023七下·蜀山期末）已知实数、、满足，下列结论正确的是（ ）
A．可能为
B．若、、中有两个数相等，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【规范解答】解：A、当a=-1时， 为-1-b=-b，即得-1=0，等式不成立，
∴原说法不正确，故不符合题意；
B、假如a=c，由无法得出a=0，b=0或c=0，则abc≠0，故不符合题意；
C、∵，
∴b-a=ab，与原等式矛盾，原说法不正确，故不符合题意；
D、若c=1，则a-b=ab=1，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=1+2=3，原说法正确，故符合题意；
故答案为：D.
【思路点拨】A、把a=-1代入等式中即可判断；
B、假如a=c，代入等式中无法得出a=0，b=0或c=0，据此判断即可；
C、由可得b-a=ab，显然与原等式矛盾，即可判断；
D、若c=1，则a-b=ab=1，由a2+b2=（a-b）2+2ab，整体代入求值即可判断.
重点考向07：平行线的判定
【典例精讲】如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行D．内错角相等，两直线平行
【答案】C
【规范解答】如图：
∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：C．
【思路点拨】利用平行线的判定方法求解即可。
【变式训练7-1】如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线.已知∠APD=120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 °(提示：∠ADP=∠CDE，三角形的内角和等于180°).
【答案】30
【规范解答】解：要使DE∥AB，则∠APD=∠PDE，
∵∠APD=120°，
∴∠PDE=120°，
∵ ∠ADP=∠CDE， ∠ADP+∠PDE+∠CDE=180°，
∴ ∠ADP=∠CDE=30°，
∴∠CAB=180°-∠APD-∠ADP=30°.
故答案为：30.
【思路点拨】根据内错角相等，二直线平行，可得∠PDE=120°，由光的反射原理及平角的定义可得 ∠ADP=∠CDE=30°，最后根据三角形的内角和定理，由∠CAB=180°-∠APD-∠ADP可算出答案.
【变式训练7-2】若要求作业纸上两条相交直线 AB，CD 所夹锐角的大小，但其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量的方案：
对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是 （ ）
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ，Ⅱ都可行D．Ⅰ，Ⅱ都不可行
【答案】C
【规范解答】解：方案Ⅰ：，
，
直线AB、CD所夹锐角的大小等于直线AB、MN所夹锐角的大小，
测量的大小即可得到直线AB、CD所夹锐角的大小，
方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：直线AB、CD所夹锐角与和可组成三角形的三内角，
即直线AB、CD所夹锐角为：，
方案Ⅱ可行.
故答案为：C．
【思路点拨】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理．根据内错角相等，两直线平行，可判断方案Ⅰ可行；根据三角形内角和定理，可判断方案Ⅱ可行，即可得到答案．
【变式训练7-3】如图，AB⊥AC，∠1与∠B互余.
（1）AD 与 BC 平行吗？ 为什么？
（2）若∠B=∠D，则 AB 与 CD 平行吗？ 为什么？
【答案】（1）结论：AD∥BC.
理由：∵
∴
∵∠1与∠B互余，
∴
∴
∴.
（2）结论：AB∥CD.
理由：∵
∴
∴
∴.
【思路点拨】（1）根据垂直的定义和已知条件得到最后根据"内错角相等，两直线平行"，进而即可求解；
（2）根据已知条件得到最后根据"内错角相等，两直线平行"，进而即可求解.
重点考向08：平行线的判定与性质
【典例精讲】如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD.
（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由.
【答案】（1）解：∵EG平分∠BEF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵FG平分∠EFD，
∴ .
（2）解：∵EG平分∠BEF，EH平分∠AEF，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
同理，由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ，
可得： ，
∴ ，
所以 ，
∴ .
【思路点拨】（1）由角平分线的定义可得，从而求出，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得（2）由角平分线的定义可得从而求出∠HEG=，同理求出，利用三角形内角和求出∠G=90°，从而得出，利用平行线的判定即证结论.
【变式训练8-1】如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF=180°。
（1）若∠ABC=70°，求∠BCF的值.
（2）试说明：DE∥CF.
（3）若CB是∠ACF 的平分线，∠ADB=k∠ABD，求k的值。
【答案】（1）∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，∴∠ABD=∠BCF，∵BD是∠ABC的平分线，=35°。
（2）∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，∴∠ABD=∠BCF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠DBC=∠BCF，∴DE∥CF。
（3）由(2)知，DE∥CF，∴∠ADB=∠ACF，∵CB是∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠BCF，∴∠ADB=2∠BCF，由(1)知∠ABD=∠BCF，∴∠ADB=2∠ABD，∵∠ADB=k∠ABD，∴k=2。
【变式训练8-2】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连结OF.
（1）判断ED是否平行于AB，请说明理由.
（2）若OD平分∠BOF，∠OFD=80°，求∠1的度数.
【答案】（1）解：ED∥AB，理由如下：
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠1+∠DOB=180°-∠COD=90°，
∵∠1与∠D互余，
∴∠1+∠D=90°，
∴∠D=∠BOD，
∴AB∥ED；
（2）解：∵∠DFO=80°，DE∥AB，
∴∠BOF=180°-∠DFO=100°，
∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD=∠BOF=50°，
∴∠1=90°-∠BOD=40°.
【思路点拨】（1）由垂直定义及平角定义可得∠1+∠BOD=90°，由互余定义可得∠1+∠D=90°，由同角的余角相等得∠D=∠BOD，最后根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥ED；
（2）由二直线平行，同旁内角互补可得∠BOF=100°，由角平分线的定义可得∠BOD=50°，最后根据∠1=90°-∠BOD可算出答案.
【变式训练8-3】如图，AD∥BC，∠DAC=127°，∠ACF=15°，∠EFC=142°.
（1）试说明：EF∥AD.
（2）连结 CE，若 CE平分∠BCF，求∠FEC的度数.
【答案】（1）证明：∵ AD∥BC ，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴；
（2）解：∵CF平分∠BCF
∴
∵
∴
答：∠FEC的度数19°．
【思路点拨】（1）先根据二直线平行，同旁内角互补得到∠ACB的度数，进而根据角的和差得出∠FCB的度数，再根据∠EFC=142°，即可得到∠EFC+∠FCB=180°，由同旁内角互补，两直线平行即可得到EF∥BC，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥AD；
（2）先根据CE平分∠BCF，可得∠BCE=19°，再根据二直线平行，内错角相等，即可得到∠FEC=19°．
重点考向09：三角形内角和定理
【典例精讲】一把含30°角的三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置.若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．100°C．110°D．120°
【答案】C
【规范解答】解：如图，
△ABC中，∵∠A=90°，∠B=30°，
∴∠C=180°-90°-30°=60°，
∵a∥b，
∴∠4=∠1=50°（两直线平行，内错角相等），
∴∠3=180°-∠4-∠C=70°，
∴∠2=180°-∠3=110°.
故答案为：C.
【思路点拨】首先由三角形的内角和定理算出∠C=60°，再根据二直线平行，内错角相等，得∠4=∠1=50°，再根据三角形的内角和定理算出∠3的度数，最后根据邻补角求出∠2的度数.
【变式训练9-1】如图，已知DB∥AC，AB∥EC，且点D，A，E在同一条直线上，设∠BAC=x，∠D+∠E=y．
（1）试用含x的代数式表示y．
（2）当x=90°，且∠D=2∠E时，求∠D与∠E的度数．并说明DB与CE具有怎样的位置关系？
【答案】（1）解：∵AC∥BD，
∴∠CAE=∠D，
∵∠D+∠E=y，
∴∠CAE+∠E=y，
∵AB∥EC，
∴∠BAC=∠ACE=x，
在△ACE中，
∵∠E+∠CAE+∠ACE=180°，
∴x+y=180°，
∴y=180°-x；
（2）解：DB⊥CE，理由如下：
∵x=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥CE，
∵BD∥AC，
∴BD⊥CE；
∵x=90°，y=180°-x，
∴y=90°，即∠D+∠E=90°，
又∵∠D=2∠E，
∴3∠E=90°，
∴∠E=30°，∠D=60°.
【思路点拨】（1）由二直线平行，同位角相等得∠CAE=∠D，结合已知得∠CAE+∠E=y，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠ACE=x，进而在△ACE中，利用三角形的内角和定理即可解决此题；
（2）DB⊥CE，理由如下：由垂直的定义得AC⊥CE，进而结合平行线的性质可推出BD⊥CE；将x=90°代入y=180°-x可得y=90°，即∠D+∠E=90°，进而结合∠D=2∠E即可解决此题了.
【变式训练9-2】（2023七下·浙江期中）如图1所示，AB，BC被直线AC所截，D是线段AC上的点，过点D作DE∥ AB，连结AE，∠B=∠E=70°。
（1）请说明AE∥BC的理由。
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连结DQ。
①如图2所示，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．
②在整个运动过程中，当∠Q=2∠EDQ时，求∠Q的度数．
【答案】（1）解：∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E=180°，
∵∠B=∠E，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴AE∥BC.
（2）解：①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠FDP=∠DPQ；
∵∠E=70°，
∴∠EDF=110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=360°-110°-90°=160°，
∴∠DPQ+∠QDP=160°，
∴∠Q=180°-160°=20°.
②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF+∠Q=180°，
∵∠Q=2∠EDQ，
∴，
∵∠E=70°，PQ∥AE，
∴∠EDF=110°，
即，
∴；
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF+∠Q=180°，
∵∠Q=2∠EDQ，
∴，
∵∠E=70°，
∴∠EDF=110°，
∴，
∴∠Q=140°，
综上所述，或140°.
【思路点拨】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAE+∠E=180°，推得∠BAE+∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）①过D作DF∥AE交AB于F，根据平行于同一条直线的两直线平行可得DF∥PQ；根据两直线平行，内错角相等可得∠FDP=∠DPQ；根据两直线平行，同旁内角互补可得∠EDF=110°；求得∠FDQ=160°；推得∠DPQ+∠QDP=160°；结合三角形内角和是180°，即可求解；
②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行于同一条直线的两直线平行可得DF∥PQ；根据两直线平行，同旁内角互补可得∠QDF+∠Q=180°；根据题意可得；根据两直线平行，同旁内角互补可得∠EDF=110°；结合三角形内角和是180°，即可求解；
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行于同一条直线的两直线平行可得DF∥PQ；根据两直线平行，同旁内角互补可得∠QDF+∠Q=180°；根据题意可得；根据两直线平行，同旁内角互补可得∠EDF=110°；结合三角形内角和是180°，即可求解.
【变式训练9-3】（2023八上·安庆期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高.
（1）若∠ACB＝100°，求∠CAE的度数；
（2）若S△ABC＝12，CD＝4，求高AE的长.
【答案】（1）∵AE是BC边上的高，
∴∠E＝90°，
又∵∠ACB＝100°，∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝80°，
∵∠CAE+∠ACE+∠E＝180°
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣80°＝10°；
（2）∵AD是BC上的中线，DC＝4，
∴D为BC的中点，
∴BC＝2DC＝8，
∵AE是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABC＝ BC•AE，
即 ×8×AE＝12，
∴AE＝3.
【思路点拨】（1）首先根据邻补角的性质可得∠ACE的度数，然后根据三角形内角和定理就可求出∠CAE的度数；
（2）由已知条件可得BC=8，然后根据三角形面积公式就可求出AE的值.
重点考向10：三角形的外角性质
【典例精讲】（2024八上·乾安期末）如图，已知△ABC，∠A＝∠B＝70°．请按如下要求操作并解答：
（1）在图中，过点A画直线MP∥BC，过点C画直线NP⊥AB，直线MP与NP交于点P，求∠APC的度数；
（2）在（1）的前提下，直线PM上存在点D，且∠ABD＝∠ADB，求直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数．
【答案】（1）解：如图所示，∵PC⊥AB，
∴∠CNB＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BCN＝20°，
∵MP∥BC，
∴∠APC＝∠BCN＝20°
（2）解：∵MP∥BC，
∴∠ADB+∠CBD＝180°，
∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝70°，
∴∠ABD＝∠ADB＝55°，
∵∠BNE＝90°，
∴∠BEN＝90°﹣55°＝35°，
∴直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数为35°
【思路点拨】（1）根据垂直的定义可得∠CNB＝90°，利用三角形内角和可求出∠BCN＝20°，根据两直线平行内错角相等，可得∠APC＝∠BCN＝20° .
（2）根据两直线平行同旁内角互补，可得∠ADB+∠CBD＝180°，由ABD＝∠ADB可得∠ABD＝∠ADB＝55°，利用直角三角形两锐角互余可得∠BEN＝35°，据此即得结论.
【变式训练10-1】（2024九上·黄埔期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB=20°，求∠CAE及∠B的度数．
【答案】解：根据旋转的性质可知CA=CE，且∠ACE=90°，
所以△ACE是等腰直角三角形．
所以∠CAE=45°；
根据旋转的性质可得∠BDC=90°，
∵∠ACB=20°．
∴∠ACD=90°-20°=70°．
∴∠EDC=45°+70°=115°．
所以∠B=∠EDC=115°．
【思路点拨】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE=45°，易知∠ACD=90°-20°=70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC=∠B，则可求．
【变式训练10-2】．已知直线 AB∥CD，经过直线AB上的定点 P 的直线 EF 交CD 于点O，M，N为直线CD 上的两点，且点 M 在点O右侧，在点 N 的左侧，连结 PM，PN，满足∠MPN=∠MNP.
（1）如图1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，则∠COP的度数为 °.
（2）如图2，若射线PQ为∠MPE的平分线，请用等式表示∠NPQ与∠POM之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）125
（2）∠POM=2∠NPQ.理由略
【变式训练10-3】将一个三角尺按如图所示的方式放置，∠ACB=90°，∠ABC=60°，点B，C分别在直线PQ，MN 上.若 PQ∥MN，∠ACM=44°，则∠PBC的度数为（ ）
A．46°B．44°C．22°D．20°
【答案】A
【规范解答】解：∵PQ∥MN，
∴∠ACM=∠QPC=44°，
∵∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴∠ABP=∠QPC-∠A=44°-30°=14°，
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=60°-14°=46°.
故答案为：A.
【思路点拨】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACM=∠QPC=44°；根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠ABP=14°；即可求解.
重点考向11：逆命题
【典例精讲】（2023七下·招远期末） 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．互为相反数的两个数绝对值相等
C．等边三角形是锐角三角形
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】D
【规范解答】A、∵逆命题是“对应角相等的三角形全等”是假命题，∴A不符合题意；
B、∵逆命题是“绝对值相等的两个数互为相反数”是假命题，∴B不符合题意；
C、∵逆命题是“锐角三角形是等边三角形”是假命题，∴C不符合题意；
D、∵逆命题“两直线平行，同旁内角互补”是真命题，∴D符合题意；
故答案为：D.
【思路点拨】先分别求出各选项的逆命题，再逐项判断即可.
【变式训练11-1】（2023八上·浙江期中）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为 ．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【规范解答】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形.
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形.
【思路点拨】 先找出原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，可得到原命题的逆命题.
【变式训练11-2】（2023七下·淄川期末）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等D．正方形的四个角都是直角
【答案】B
【规范解答】解：
A、逆命题是“相等的角为对顶角”，为假命题，A不符合题意；
B、逆命题是“同位角相等，两直线平行”，为真命题，B符合题意；
C、逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，为假命题，C不符合题意；
D、逆命题是“四个角是直角的四边形是正方形”，为假命题，D不符合题意；
故答案为：B
【思路点拨】运用平行线的判定、正方形的定义、全等三角形的性质及邻补角定义对选项逐一判断即可求解。
【变式训练11-3】（2023八下·番禺期中）命题“对顶角相等”的逆命题是
【答案】相等的角为对顶角
【规范解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
【思路点拨】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题方法：
如图，量角器测量所得，
对顶角相等，
角的度数相等．
同位角相等，两直线平行．
方法：
如图，已知，
对顶角相等，
等量代换，
同位角相等，两直线平行．
方案Ⅰ
①作一直线GH，分别交AB，CD于点E，F.
②作∠HEN=∠CFG.
③测量∠AEM的大小即可.
方案Ⅱ
①作一直线GH，分别交AB，CD于点E，F.
②测量∠AEH，∠CFG的大小.
③计算180°- ∠AEH-∠CFG即可.
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