专题07 二次函数的压轴题型专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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1．（2023·湖北鄂州·统考二模）已知二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】①由，，且当时，，可画出图象草图，进行判断即可；②可得，进行化简即可；③由时，，进行判断即可；④由进行判断即可；⑤可求，可化 ，进行判断即可．
【详解】解：①，，且当时，，
二次函数的草图如下：

，，
，
，
，
，
故此项正确；
②由①得：，
，
，
故此项正确；
③当时，，
，
，
故此项正确；
④当时，，
；
当时，，
；
，
故此项正确；
⑤当时，，
，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
综上所述：共有项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的系数符号特征及其性质进行判断求解，掌握二次函数的基本性质及系数符号判断方法是解题的关键．
2．（2023·湖北黄冈·统考二模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（ ）
A．①③④B．①②C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】根据抛物线的对称轴计算公式可判断①，根据二次函数与轴的交点判断一元二次方程的解，继而判断②，根据图像与x轴的另一个交点在和之间，可得抛物线与
轴的交点之间的距离大于3，利用韦达定理得到之间的关系，继而判断③，根据可得抛物线开口向上且与轴交于上半轴，利用二次函数的性质，即可判断④，继而得到答案．
【详解】解：二次函数的图像经过，
，
若图像对称轴在y轴左侧，则，故同号，
异号，
，故①正确；
根据可得，
有一个根为，
当时，成立，
是方程的一个根，故②正确；
若图像与x轴的另一个交点在和之间，则，
，
，
可得，
变形可得，故③正确；
若，则抛物线开口向上且与轴交于上半轴，
，
，
对称轴为，
时，的大小关系无法确定，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，熟练运用韦达定理是解题的关键．
3．（2023·江苏南通·统考一模）二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，，则a的值为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】D
【分析】作轴，交x轴于点D，设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，根据勾股定理进行线段之间的转换，列出方程，再根据韦达定理，即可解答．
【详解】
解：如图，作轴，
设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，
轴，
，
，
，
，
，
整理得，，
二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，
是的解，
，
，
，
∵点在抛物线上，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的关系式与系数的关系，结合题意绘图解答是解题的关键．
4．（2023·湖北随州·统考一模）如图是二次函数图像的一部分，且经过点，对称轴是直线，下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点，是函数图像上的两点，则；④设该抛物线与坐标轴的交点为，，，若是等腰三角形，则，其中正确的个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断选项①；由图象得出时对应的函数值等于0，即可判断②；由二次函数图象上点的坐标特征即可判断③；根据二次函数的性质，分类讨论，即可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴正半轴相交，
，
对称轴在轴右侧，
，异号，
，
，故①正确；
图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
是关于x的方程的一个根，故②正确；
∵点，是函数图像上的两点，对称轴为直线，
∴在抛物线上，
∵当时，随的增大而减小，，
则故③正确，
设该抛物线与坐标轴的交点为，，，
则，，
，
∵是等腰三角形，

当时
在中，，
∴，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：
当时，

在,，
∴
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴是等腰三角形，则或，故④不正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题
5．（2023春·广东·九年级统考学业考试）已知二次函数与轴交于点，点（其中点在点的左侧），记二次函数的最低点为点，过点，点作二次函数的两条切线（即直线与二次函数有且仅有一个交点）交于点，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，可得，，由，得该函数图像的最低点为，设函数图像过点的切线为，可求得，由，根据一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式的值为，列方程得，求得，则，用同样的方法可得过点的切线为，再解由两条切线解析式所构成的方程组即可得到，则可得到问题的答案．
【详解】解：∵二次函数与轴交于点，点（其中点在点的左侧），
当时，，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
设过点的切线：，
∴，得：，
过点的切线为，
∴，
∴，
由切线的定义可知：直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴，
解得：，
∴过点的切线：，
设过点的切线：，
∴，得：，
过点的切线为，
∴，
∴，
由切线的定义可知：直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴，
解得：，
∴过点的切线：，
∵过点，点作二次函数的两条切线交于点，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴线段的长度为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，用待定系数法求函数的关系式，一元二次方程根的判别式等知识，根据一元二次方程有两个相等的实数根列方程求出点的坐标是解题的关键．
6．（2023·福建泉州·统考模拟预测）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“关联函数”，点与点则为一对“关联点”．已知函数和互为“关联函数”，则n不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设在，则在上，得出，求得最大值为，即可求解．
【详解】解：设在，则在上，
∴
∴
∴当时，的最大值为,
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·山东济南·统考三模）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．若，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，又可得出，即可求出，再根据抛物线的对称性即可得出的取值范围．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
∵点，，在抛物线上，且，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵点和点关于对称轴对称，
∴当时，，
当时，，
∴的取值范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象和性质和函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在抛物线上取两点，根据对称性求出对应坐标，代入抛物线中计算出的值即可．
【详解】∵抛物线：
∴抛物线过，，
∵抛物线：与抛物线：关于直线对称，
∴抛物线：过，，
代入可得，
解得，
∴点
∴抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据对称性求出的值是解题的关键．
9．（2023·山东泰安·统考一模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：① ② ③ ④若m的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（ ）
A．①②③④B．①②C．③④D．②③④
【答案】C
【分析】根据图像，可直接判断的符号；根据二次函数和横轴的交点坐标可得对称轴；两个函数的交点可直接画出图像进行判断．
【详解】（1）由图可知，或，故错误；
（2）由（1）可知，当；当；而，则或，故错误；
（3）对称轴为，故正确；
（4）如图，
当时，一次函数是直线；当时，一次函数是直线；由图可知，时，直线与的图象有4个公共点，故正确；
故选：C
【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是此题中的绝对值表示所有的函数值非负，即可画出图像，重难点是一次函数中m的取值范围影响一次函数和轴的交点位置，而交点个数看图直接判断即可．
10．（2023·湖南岳阳·统考一模）若将抛物线F：图象位于y轴右侧的部分沿着直线l：翻折，其余部分保持不变，组成新图形H，点为图形H上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】C
【分析】求得的对称轴为，与轴交点为，分当时，即对称轴在轴左侧；当时，即对称轴为轴；当时，即对称轴在轴又侧时进行讨论即可求解．
【详解】解：的对称轴为：
，
与轴交点为：，
关于对称轴的对称点为
当时，即对称轴在轴左侧，如图：
点为图形H上两点，且，
则位于直线下方，位于直线上方，
则的水平距离大于，
，
解得：；
当时，即对称轴为轴，如图：
点为图形H上两点，恒成立，

当时，即对称轴在轴又侧，如图：
与轴交点为：，
关于对称轴的对称点为
点为图形H上两点，且
则位于直线下方，位于直线上方，
则的水平距离大于，
，
解得：；
综上所述：；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，翻折的性质；解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，正确作图分析．
11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）抛物线（为常数，其中）经过，两点，下列结论：
①；
②；
③；
④不等式的解集是或．
其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】
【分析】易得方程的根为，，即对称轴为：，结合，，可得①②正确；根据，，，可得，，即可判断③正确；由，可得，确定直线与x轴交于点，与y轴交于点，再确定抛物线与y轴交于点，画出图形，即可判断④正确．
【详解】∵抛物线（为常数，其中）经过，，
∴方程的根为，，
∴对称轴为：，
∵，，
∴，
∴，
即：，，故①错误，②正确；
∵，，，
∴，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
直线，
当时，，
当时，，
即直线与x轴交于点，与y轴交于点，
抛物线，当时，，
即抛物线与y轴交于点，
画出图形，如下：

由图可知：不等式的解集为：或，
即不等式的解集是或，故④正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与系数的关系，利用图解法解关于x的不等式的解集等知识，注重数形结合，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
12．（2023·广东广州·校考二模）已知二次函数满足：（1）； （2）；（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有_____．
①； ②； ③； ④．
【答案】①②④
【分析】由可得图像过点，由、可得可判断①；图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2，则另一交点坐标在右侧，再代入解析式可判断②且图像对称轴一定在x轴的正半轴，即；再结合a，b异号可判定③；由可得，再代入可得，然后再根据不等式的性质给两边同除以即可解答．
【详解】解：∵
∴图像过点
∵，，
∴，故①正确；
∵图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2
∴图像一定不过，且另一交点坐标在右侧，
∴，即②正确；
∴图像对称轴一定在x轴的正半轴，
∴，
∵a，b异号，
∴，故③此选项错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④选项正确．
故答案为①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、不等式的性质等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关键．
13．（2023·安徽安庆·校考三模）已知，是二次函数图象上两个不同的点．
（1）若，，则实数a的值是___________；
（2）若，当时，恒有，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】（1）利用抛物线的对称性即可得出对称轴为直线，且，即可求解；
（2）根据题意可得，均位于抛物线对称轴的右侧，即，且，即可求解得到a的取值范围．
【详解】（1）∵，是二次函数图象上两个不同的点，且
∴，关于抛物线的对称轴对称
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：．
（2）由题意知，抛物线的对称轴是直线
∵当，时，恒有
∴，均位于抛物线对称轴的右侧
∴
解得
即实数a的取值范围为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．（2023·安徽芜湖·统考三模）二次函数的图象经过点．
（1）该二次函数图象的顶点坐标是________；
（2）一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，的取值范围是________．
【答案】
【分析】（1）把代入求出，再将解析式化为顶点式即可得出答案；
（2）先求出一次函数解析式，把代入一次函数得出，把代入得出，再由，得出关于的不等式，利用二次函数的性质求解不等式的解集即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，
∴．
∴．
∴．
∴该二次函数图象的顶点坐标是．
故答案是．
（2）∵一次函数的图象经过点，
∴．
∴．
∴．
∵点在一次函数的图象上，
∴．
∵点在二次函数的图象上，
∴．
∵，
∴，即．
令，
当时，，
解得：，，
∴抛物线与横轴交点为，．
∵抛物线开口向上，
∴的解集为．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解题的关键．
15．（2023秋·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则________；若，则m的取值范围是________．
【答案】 或
【分析】若，先求二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性对称两点的横坐标之和的一半等于对称轴横坐标即可解答；若，分两种情况：当对称轴在y轴右侧时，当对称轴在y轴左侧时，结合二次函数图象的特性分别进行解答即可．
【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴是直线，
①∵，
∴点P、Q关于对称轴对称，
∴，解得；
②∵抛物线与y轴的交点为，当时，或，
∴与关于对称轴对称，
当对称轴在y轴右侧时，，
∵，
∴，且，
解得；
当对称轴在y轴左侧时，，此时，
P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大，
∵，
∴，
解得；
∴综上，m的取值范围是或．
故答案为：；或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质，并能够熟练运用数形结合是解题的关键．
16．（2023·四川成都·统考二模）某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为______．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意可知该二次函数过点，，再利用待定系数法即可求出其解析式；由题意可知，再根据t的取值范围，即得出的取值范围．
【详解】解：如图，
由题意可知，．
则，
解得：，
∴球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为；
由题意可知，
∵，
∴，
∴，即．
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，绝对值的性质，不等式的性质．理解题意，正确求出与之间的函数关系式和与之间的函数关系式是解题关键．
17．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（是常数），过顶点两点，且下列四个结论：①；
②；
③若点在抛物线上，，且，则；
④当图象经过点时，方程的两根为，，则．正确的是______________（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】利用二次函数的性质逐个分析即可．
【详解】∵抛物线（是常数），过顶点两点，且，
∴二次函数开口向上，顶点在第三象限，与y轴交点位于正半轴，对称轴为直线，
∴，，，
∴，故①正确；
∵对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最小值，即最小，
∵当时，，
∴，
整理得，故②错误；
∵，且，
∴，，
当时在对称轴右边，y随x的增大而增大，此时，
当时，由对称轴为直线，可得经过，此时，且y随x的增大而增大，此时，故③正确；
当图象经过点时，由对称轴为直线，可得经过，
∴方程的两根为，则，故④正确．
综上所述，正确的是①③④；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是理解二次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）二次函数的图象的顶点在直线上，该图象与直线，在内各有一个交点，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据二次函数的图象的顶点在直线上，确定，代入解析式中，分两种情况：①当抛物线的左半部分与两直线在内各有一个交点时，满足：时，，时，，列不等式组求出解集；②当抛物线的右半部分与两直线在内各有一个交点，则满足：当时，，当时，，列不等式组求出解集即可．
【详解】解：二次函数的图象的顶点在直线上，
，
，
，
如图所示：分两种情况：
①当抛物线的左半部分与两直线在内各有一个交点，
则满足时，，
时，，
即，
解得：；
②当抛物线的右半部分与两直线在内各有一个交点，
则满足：当时，，
当时，，
即，
解得：；
综上所述，则的取值范围是：或；
故答案为：或．
【点睛】本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了二次函数和一次函数的图象的性质，有难度，根据已知条件，利用数形结合的思想解决此题，并与不等式组相结合，利用不等式组的解集确定的取值范围．
19．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）抛物线的对称轴是直线，该抛物线与x轴两个交点的距离为4，方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先利用对称轴得出，再利用抛物线与x轴两个交点的距离得出a与c之间的数量关系，从而将方程表示成只含有字母参数a的一元二次方程，已知该方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，得到一个不等式；将方程转化成一个函数表达式的形式，然后把和分别代入这个函数表达式中，分和两种情况，利用函数图象及性质，得到不等式组，然后与上面由根与系数的关系得到的不等式进行联立，求解即可．
【详解】∵抛物线的对称轴是直线，
∴，即．
∵抛物线的对称轴是直线，该抛物线与x轴两个交点的距离为4，
∴该抛物线与x轴两个交点的坐标分别为，，
将点的坐标代入，
得，
∴方程可转化为．
∵方程有两个不相等的实数根，，且，
∴．
将方程转化成g关于x的函数为．
把代入，
得；
把代入，
得．
当时，解得；
当时，无解．
综上可知，a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系：二次函数跟x轴的交点的横坐标，就是相对应的一元二次方程的根，还考查了一元二次方程的根与系数的关系、解不等式组、二次函数的图象与性质等，综合性较强，解题的关键是掌握二次函数的相关知识，注意数形结合．
20．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 _____，△BDE面积的最大值为 _____．
【答案】 10
【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，设，则，继而根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于，
，，，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
设，则，
，
，
的最大值为，
故答案为，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
21．（2023·河北石家庄·校考二模）如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点到水面的距离是4米．

(1)①直接写出、两点的坐标：（ ），（ ）；
②求抛物线对应的函数解析式；
(2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？
(3)如图2，桥拱所在的抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图像，将新函数图像向右平移个单位长度，平移后的函数图像在时，的值随值的增大而减小，结合函数图像，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，②
(2)米
(3)
【详解】（1）①∵，且点A在x轴上，
∴，
根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线，
∴点，
故答案为：，．
②设抛物线的解析式为，把原点代入得
，
解得，
∴此二次函数的表达式．
（2）∵二次函数的表达式，
令得：
，
解得：，，
∴小船的最大宽度为：米．
（3）根据平移规律得到点O平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点A平移后的对应点为，根据图像性质，得到函数在上，满足y随x的增大而减小，
∴或，
解得或（舍去），
故n的取值范围是．

【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键．
22．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数的图象称为“类抛物线T”，已知“类抛物线T”经过原点，．
(1)求m，c的值；
(2)当时，
①若点B在“类抛物线T”上，判断是否可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形？并说明理由；
②，是“类抛物线T”上的任意两点，其中，．试探究是否存在实数b，使得当时，始终有x1＋x2＜0，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形，理由见解析；②存在实数，使得，，当时，始终有
【分析】（1）将和代入函数解析式求出c、m的值即可；
（2）①如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，证明，得出，，求出，将代入中，求出，与矛盾，得出不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形；
②根据，，且当时，始终有，得出，，设点N关于y轴的对称点为P，根据点N在抛物线上，得出点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，与抛物线交于点，得出时，函数在上随x的增大而增大，根据题意得出，求出即可．
【详解】（1）解：将原点代入中，
解得，
将代入中，则有，
解得
∴，.
（2）解：①不可能；理由如下：
如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，如图所示：

∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将代入中，得，
解得．
∵，矛盾，
∴不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形．
②∵，，且当时，始终有，
∴，，
设点N关于y轴的对称点为P，
∴，
∵点N在抛物线上，
∴点P在抛物线上，
过点P作x轴垂线，与抛物线交于点．
∵函数在上随x的增大而增大，
又∵，
∴当时，函数在上随x的增大而增大，
∵，
∴，又，
∴，
∵点在抛物线上，在抛物线上．
∴当时，抛物线在抛物线上方，
即在上，，
整理得，在成立，
∵，
∴，要使得，
只需当时，，即，
解得：，
综上所述存在实数，使得，，当时，始终有．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出相应的辅助线，数形结合．
23．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)假设将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点、平移后的对应点分别记为点、，当点在点右侧时，求以、、、为顶点的四边形周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）根据平移的图像可得，当在这条抛物线上，且满足点在点右侧时，以、、、为顶点的四边形周长的最大，过点作于点，根据平行四边形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，代入求得，根据勾股定理可得，，即可求得．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴
将，代入抛物线
得
解得
∴抛物线的解析式为：
（2）当在这条抛物线上时，如图：

当在这条抛物线上时，且满足点在点右侧，如图：

故当在这条抛物线上，且满足点在点右侧时，以、、、为顶点的四边形周长的最大
∵抛物线与轴交于点
∴坐标为
如图，过点作于点

∵线段平移后得到
故四边形为平行四边形
∴
∴
∴
∴
将代入
解得，（舍去）
所以
在中，
在中，
以、、、为顶点的四边形周长为
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是通过图像分析得到当在这条抛物线上，且满足点在点右侧时，以、、、为顶点的四边形周长的最大．
24．（2023春·北京·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小明对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完成：
(1)函数的自变量的取值范围是_______；
(2)下表是与的几组对应值．
①________；
②若，为该函数图象上的两点，则________0（填“>”、“<”或“=”）；
(3)在平面直角坐标系中，，为该函数图象上的两点，且为范围内的最低点，点的位置如图所示．
①标出点的位置；
②画出函数的图象；
③利用函数图象写出不等式的解集________．
【答案】(1)全体实数
(2)①；②
(3)①见解析；②见解析；③或
【分析】（1）根据题意可知函数的自变量没有任何限制，即自变量的取值范围为全体实数；
（2）①把代入函数解析式中进行求解即可；②分别求出，，由此即可得到答案；
（3）①观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点对称，作点A关于点的对称点，再在函数图象上找与点纵坐标相等的点即可；②先描点，再连线画出函数图象即可；③画出函数的函数图象，利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，函数的自变量的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数；
（2）解：①在中，当时，，
∴，
故答案为：；
②∵为该函数图象上的两点，
∴
，
同理
，
∴，
故答案为：；
（3）解：①如图所示，即为所求；
②如图所示，即为所求；

③由函数图象可知，不等式的解集为或，
故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了多次函数的图象与性质，画函数图象，函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析式法等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
25．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点C，轴，交抛物线于点D，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上是否存在一点Q，连接，，使，若存在，求点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】(1)根据抛物线解析式确定点，根据勾股定理，得到，确定抛物线的对称轴，把点A代入解析式计算即可．
(2)设，分类用m的代数式表示三角形的面积，建立方程计算即可．
【详解】（1）∵，
令，得.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴抛物线对称轴为，
∴.
∴.
将点代入中，
得.
∴，
∴抛物线解析式为．
（2）∵，，
∴.
设，
当时，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为.
过点A作轴，交于点E，

则,
∴,
∴,
∵,
∴，
解得（舍去）
故Q的横坐标为；
当时，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为.
过点D作轴，交于点G，则,
∴,
∴,
∵,
∴，
解得（舍去）
故Q的横坐标为；
∴点Q的横坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，交点法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，灵活分割表示三角形的面积是解题的关键．
26．（2023·湖南永州·统考二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．
(1)求、两点的坐标（用含的式子表示）；
(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围；
(3)已知直线：，点在二次函数的图象上，点的横坐标为，二次函数的图象在、之间的部分记为（包括点，），图象上恰有一个点到直线的距离为，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）当时，，解方程即可求解；
（2）画出函数图象，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；
（3）由题可知，到直线的距离为2的点在直线和上，分别求出， ，画出函数图象，分①当C点在B点左侧，同时C点在直线上方时；②当C点在B点右侧，且在的下方时，两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）
当时，
即
解得：
∴，
（2）解：当时，，
解得或，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
如图1，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

如图2，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

综上所述：或时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；
（3）解：由题可知，到直线的距离为2的点在直线和上，
当时，，
∴，
如图当点在点左侧，同时点在直线上方时，都符合题意，如图所示，

当在上时，
∴
解得：或
∴
如图所示，当点在上或者的下方时，且在对称轴的右侧时，
解得：或（舍去）

综上所述，或时，图象M上恰有一个点到直线l距离为2；
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
27．（2023·湖北武汉·统考一模）已知二次函数的图象经过点，直线AB与抛物线相交于A、B两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若直线AB的解析式为，且的面积为35，求k的值；
(3)如图2，若，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）把代入函数解析式即可得到荅案；
（2）先求出，可得，结合，可得方程，结合，即可求解；
（3）设，，过点P作直线轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，由可得，联立方程组，可得，，进而即可求解.
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图1，已知直线AB的解析式为，
令，则，
∴直线AB过定点，
∵，
∴轴，，
∴，
∴，
令，整理得，
∴，，
∴，
整理得，
解得或；
（3）设，，
如图2，过点P作直线轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，设直线AB的解析式为，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴①，
联立方程组，
∴，
∴，②，
将②代入①，得化简，得，
∴直线AB的解析式为，即，
∴直线AB经过定点．

【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二次方程问题是关键.
28．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．

(1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少?
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点的坐标求出直线的解析式，再由点的横坐标代入直线的解析式求出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线解析式求，从而得到抛物线的函数表达式；
（2）过点作轴于点，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，过点作于点，由点和点的坐标求线段、和的长度，得到，结合速度可知时间为，然后利用“角所对的直角边是斜边的一半”得，从而得到，进而求得此时点坐标．
【详解】（1）解：对于，当时，或，
∴，，
将点代入，得：
∴，
则直线的解析式为：，
当时，，
∴，
将点代入，得：，
∴，
∴抛物线的表达式为：；
（2）由题意得：点的运动时间为，
过点作轴于点，

∵，，
∴，，，
∴，
过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，此时，
∴与直线的交点即为所求点，
∵，
∴当时，，
∴点的坐标为时，点在整个运动过程中用时最少．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“角所对的直角边是斜边的一半”将进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点坐标．
29．（2023年天津市红桥区中考三模数学试题）已知拋物线（为常数，）经过点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，在该拋物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)为轴上方拋物线上的动点，过点作直线，分别交抛物线的对称轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，调求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
(3)是，
【分析】（1）用待定系数法，将点代入即可进行解答；
（2）根据题意进行分类讨论：①当点在上方时，易证，则点P和点C纵坐标相等，即可求解；②当点在下方时，设与轴相交于点，有．根据列出方程求出m的值，即可求出直线的解析式，即可进行解答；
（3）根据题意可得．设， 用待定系数法求解直线的解析式为．即可得出点．同理可得直线的解析式为．则点．得出．即可进行解答．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴解得．
∴该拋物线的解析式为．
（2）解：存在，理由如下．
根据题意，可得点．设．
①如图，当点在上方时，

∵，
∴．
∴，
解得（舍去）或．
∴点的坐标为．
②如图，当点在下方时，

设与轴相交于点，有．
∵，
∴．
在中，．
有，
解得．
∴．
设直线的解析式为，
由解得
∴直线的解析式为．
由，
解得（舍去）或．
又，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
（3）解：由，得对称轴为直线．
∴．

设，其中．
设直线的解析式为，
则解得
∴直线的解析式为．
当时，．
∴点．
同理可得直线的解析式为．
当时，．
∴点．
∴．
∴．
∴的值为定值．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，正确画出图形，根据图形进行分类讨论．
30．（2023·江苏南通·统考一模）定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2
(1)点在的图象上，“域差值”，求m的值；
(2)已知函数，求证该函数的“域差值”；
(3)点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意得到的值，再由，列方程解答，即可；
（2）设函数图象上存在点，且满足，，可得，再利用不等式的性质即可得出，即；
（3）当两部分组成的图象上所有的点满足“域差值”时，则，可得，对于函数的图象沿直线翻折后的图象即为：，利用对称性可得，即可解答．
【详解】（1）解：∵点，在的图象上，
∵“域差值”，
，
即，
整理，得：，
解得：，，
经检验，，均是方程的解，
∴m的值为或；
（2）证明：设函数图象上存在点，且满足，
当时，，
当时，，
，
，
，
，
即，
故该函数的“域差值”；
（3）
解：∵点为函数图象上的一点，
，
由（2）得：，
当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，
则，
解得：，
∴如图，当时，函数的图象上所有的点都满足“域差值”．
对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为，
可得：，
∴．
【点睛】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想，解题的关键是正确理解题意并运用新定义解决问题．
…
0
1
2
3
4
5
6
…
…
0
0
0
6
24
60
…