第二十二章 二次函数（压轴精选40题）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

这是一份第二十二章 二次函数（压轴精选40题）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版），文件包含第二十二章二次函数压轴精选40题原卷版docx、第二十二章二次函数压轴精选40题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共118页， 欢迎下载使用。

1．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3＜n≤﹣1或B．﹣3＜n＜﹣1或
C．n≤﹣1或D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
【答案】A
【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1．
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，
故选：A．
2．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（ ）
A．①③⑤B．①②③④⑤C．①③④D．①②③⑤
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：B．
3．定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】A
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，
∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；
③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：A．
二．填空题（共2小题）
4．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝2x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝2x2，
则AE＝2a2，BF＝2b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即．
化简得：m＝2ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，即，
化简得4ab＝1．
则，说明直线AB过定点D，D点坐标为．
∵，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为时，点C到y轴的距离最大．
故答案为：．
5．二次函数y＝x2的图象如图．点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An﹣1BnAn∁n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠An﹣1BnAn＝60°，则△A0B1A1的边长为 ，菱形An﹣1BnAn∁n的周长为 ．
【答案】，．
【解答】解：过点B1作B1D1垂直x轴于点D1，过点B2作B2D2垂直x轴于点D2，过点B3作B3D3垂直x轴于点D3，过点A1E1⊥B2D2于点E1，过点A2E2⊥B3D3于点E2，
∵四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形．An﹣1BnAn∁n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝⋅⋅⋅＝∠An﹣1BnAn＝60°，
∴△A0B1A1是等边三角形，
设点B1坐标为（x，y），则：y＝x2，
∵∠A0B1A1＝60°，
∴∠B1A0D1＝30°，
在Rt△B1D1A0中，，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，
∴△A0B1A1的边长为，
∴菱形A0B1A1C1的周长＝；
设点B2坐标为（x，y），在Rt△B2E1A1中，，
且y＝x2，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形A1B2A2C2的周长＝；
同法可得：菱形A2B3A3C3的周长＝；
∴菱形An﹣1BnAn∁n的周长为：；
故答案为：，．
三．解答题（共35小题）
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）（0，0）或（0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，3+3）；
（3）存在，P（﹣1，3﹣），Q（﹣4，﹣）或P（﹣1，3+），Q（﹣4，）或P（﹣1，1），Q（﹣2，2）或P（﹣1，），Q（2，3+）或P（﹣1，﹣），Q（2，3﹣）．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（1，0）两点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
等腰△ACD，如图甲，
当以点D为顶点时，DA＝DC，点D与原点O重合，
∴D（0，0）；
当以点A为顶点时，AC＝AD，AO是等腰△ACD中线，
∴OC＝OD，
∴D（0，﹣3）；
当以点C为顶点时，AC＝CD＝＝＝3，
∴点D的纵坐标为3﹣3或3+3，
∴D（0，3﹣3）或（0，3+3）；
综上所述，点D的坐标为（0，0）或（0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，3+3）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为：x＝﹣1，
设P（﹣1，t），Q（m，n），
∵A（﹣3，0），C（0，3），
则AC2＝（﹣3）2+32＝18，
AP2＝（﹣1+3）2+t2＝t2+4，
PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图1，
∴t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝3±，
∴P1（﹣1，3﹣），P2（﹣1，3+），
∵四边形ACPQ是菱形，
∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，
当P1（﹣1，3﹣）时，
∴＝，＝，
解得：m＝﹣4，n＝﹣，
∴Q1（﹣4，﹣），
当P2（﹣1，3+）时，
∴＝，＝，
解得：m＝﹣4，n＝，
∴Q2（﹣4，）；
②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图2，
∴t2﹣6t+10＝t2+4，
解得：t＝1，
∴P3（﹣1，1），
∵四边形APCQ是菱形，
∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝﹣2，n＝2，
∴Q3（﹣2，2）；
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图3，
∴t2+4＝18，
解得：t＝±，
∴P4（﹣1，），P5（﹣1，﹣），
∵四边形ACQP是菱形，
∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝2，n＝3±，
∴Q4（2，3+），Q5（2，3﹣）；
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：P（﹣1，3﹣），Q（﹣4，﹣）或P（﹣1，3+），Q（﹣4，）或P（﹣1，1），Q（﹣2，2）或P（﹣1，），Q（2，3+）或P（﹣1，﹣），Q（2，3﹣）．
7．已知函数y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m（m为常数）．
（1）试判断该函数的图象与x轴的公共点的个数；
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上；
（3）若直线y＝x与二次函数图象交于A、B两点，当﹣4≤m≤2时，求线段AB的取值范围．
【答案】（1）2个；
（2）证明见解答过程；
（3）4≤|AB|≤8．
【解答】（1）解：∵Δ＝（m﹣3）2+8m＝（m+1）2+8＞0，
∴该函数图象与x轴的公共点的个数2个；
（2）证明：∵y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m
＝﹣（x﹣）2+，
把x＝代入y＝x2+4x+6＝（x+2）2+2得：
y＝（+2）2+2＝+2
＝，
∴不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上．
（3）解：过A作AC∥x轴，过B作BC∥y轴，如图，则△ACB是等腰直角三角形，
设直线y＝x与y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），
联立方程得：，
化简得：x2﹣（m﹣4）x﹣2m＝0，
∴x1+x2＝m﹣4，x1x2＝﹣2m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2
＝（m﹣4）2﹣4（﹣2m）
＝m2+16，
∴|AB|＝，
∵﹣4≤m≤2，
∴当m＝0时，|AB|有最小值为4，
当m＝﹣4时，|AB|有最大值为8，
∴4≤|AB|≤8．
8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P为直线BC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P的坐标为（1，4）时，求△PBC的面积；
（3）当∠BCP＝∠CAB时，求点P的坐标；
（4）若点P的坐标为（2，3），连接PA，交直线BC于点E，交y轴于点F，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线AP于点K．点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）3；
（3）；
（4）点Q的坐标为（5，2）或或．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点代入y＝ax2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）可知：y＝﹣x2+2x+3，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4，
∵点P的坐标为（1，4），
∴点P即为抛物线的顶点，
过点P作PM∥y轴，交BC于点M，
∵B（3，0）、C（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝k1x+b1，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
∵PM∥y轴，P（1，4），M（1，2），
∴PM＝2，
∴S△PBC＝S△PCM+S△BPM＝，＝＝3；
（3）过B点作BD⊥x轴交射线CP于D，如图所示：
∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴AB＝4，OB＝OC＝3，
∴，∠ABC＝∠DBC＝45°，
∵∠BCP＝∠CAB，
∴△ABC～△CBD，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线CD的解析式为：y＝k2x+3，
将代入得，，
∴，
∴直线CD的解析式为：，
∴，
解得：或，
∴
（4）∵P（2，3），A（﹣1，0）
设直线CD的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线AP的解析式为：y＝x+1，
∴F（0，1），
∴OF＝OA＝1，
∴∠EAB＝45°，
∵∠EBA＝45°，
∴∠AEB＝90°，
∴AP⊥BC，
由（1）可知：直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
∴，
解得：，
∴E（1，2），
∵以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形，
∴分两种情况讨论，：
①当EH⊥EK时，H点在BC上，K点在AP上，如图所示：

∵点H在抛物线上，
∴点H为直线BC与抛物线的交点，
∴，
∴或，H（0，3）或H（3，0），
当H（0，3）时，，
∴，
∴K（0，1），
∴HK的中点为（0，2），则EQ的中点也为（0，2），
∴Q（﹣1，2），
但此时HK与y轴重合，不符合与y轴平行，
∴Q（﹣1，2）不符合题意；
当H（3，0）时，，
∴，
∴K（3，4），
∴HK的中点为（3，2），则EQ的中点也为（3，2），
∴Q（5，2），
②当EH⊥HK时，此时EH⊥y轴，如图所示：

∵y＝﹣x2+2x+3，
令y＝2，则﹣x2+2x+3＝2，
解得：，
∴或，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴；
综上所述：当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形，点Q的坐标为（5，2）或或．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求线段AC的长度；
（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于点E．求3PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度，得到一条新抛物线y′，M为射线CA上的动点，过点M作MF∥x轴交新抛物线y′的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
​
【答案】（1）线段AC的长度为；
（2）3PD+PE取最大值6，P的坐标为（﹣2，﹣2）；
（3）N的坐标为（，﹣2）或（﹣6，）或（，﹣2）或（，﹣2）．
【解答】解：（1）在y＝x2+x﹣2中，
令x＝0得y＝﹣2；
∴C（0，﹣2）；
令y＝0得：0＝x2+x﹣2，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AC＝＝，
∴线段AC的长度为；
（2）∵y＝x2+x﹣2＝（x+1）2﹣，
∴抛物线y＝x2+x﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，
设P（m，m2+m﹣2），
由A（﹣3，0），C（0，﹣2）得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，
∴D（m，﹣m﹣2），
∴PD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∵PE关于直线x＝﹣1对称，
∴PE＝2（﹣1﹣m）＝﹣2﹣2m，
∴3PD+PE＝3（﹣m2﹣2m）﹣2﹣2m＝﹣2m2﹣8m﹣2＝﹣2（m+2）2+6，
∵﹣2＜0，
∴当m＝﹣2时，3PD+PE取最大值6，
此时P的坐标为（﹣2，﹣2）；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），
∴将抛物线y＝（x+1）2﹣沿着射线CA方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴新抛物线解析式为y'＝（x+1+3）2﹣+2＝（x+4）2﹣，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝﹣4；
设M（t，﹣t﹣2），N（p，q），则F（﹣4，﹣t﹣2），
而P（﹣2，﹣2），
①若MN，FP为对角线，则MN，FP的中点重合，且PM＝PN，
∴，
解得：或（此时M不在射线CA上，舍去）；
∴N（，﹣2）；
②若MF，NP为对角线，则MF，NP的中点重合，且PM＝PF，
∴，
解得：（此时N，P重合，舍去）或，
∴N（﹣6，）；
③若MP，NF为对角线，则MP，NF的中点重合，且MF＝PF，
∴，
解得：或，
∴N（，﹣2）或（，﹣2）；
综上所述，N的坐标为（，﹣2）或（﹣6，）或（，﹣2）或（，﹣2）．
10．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C．点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标；
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为：（1，﹣4）；
（2）N的坐标为（）；
（3）G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
顶点坐标为：（1，﹣4）．
（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，如图：
在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），则Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，
∴NQ＝n﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，
∴S△BCN＝NQ•|xB﹣xC|＝（﹣n2+3n）×3＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当n＝时，S△BCN有最大值为，
此时n2﹣2n﹣3＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴N的坐标为（）；
（3）设D点坐标为（1，t ），G点坐标为（ m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）．
分情况讨论：
①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由对角线互相平分及中点坐标公式可知，
解得，
经检验此时四边形 DCGB 为平行四边形，此时点G的坐标为（2，﹣3）．
②当 DB 为对角线时，则另一对角线是GC，由对角线互相平分及中点坐标公式可知，
，
解得，
经检验此时四边形 DCBG 为平行四边形，此时点G的坐标为（4，5）．
③当 DC 为对角线时，则另一对角线是 GB，由对角线互相平分及中点坐标公式可知，
，
解得，
经检验此时四边形 DGCB 为平行四边形，此时点G的坐标为（﹣2，5）．
综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）．
11．已知抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，且tan∠ACO＝．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，在第一象限内的抛物线上是否存在点D，满足条件∠DCB＝∠ACO？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，设P是y轴上的一个动点，连接AP并延长交抛物线于另一点M，连接BP并延长交抛物线于另一点N，若M、N的横坐标分别为m、n．试探究m、n之间的数量关系．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在；D（4，5）；
（3）m+3n＝0．
【解答】解：（1）由题意可得点C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OA＝OC•tan∠ACO＝1，
∴点A的坐标为：（﹣1，0），′
代入y＝x2+bx﹣3，得0＝1﹣b﹣3，
∴b＝﹣2，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在．设CD交x轴于点E，
由（1）可得：B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠DCB＝∠ACO，
∴∠AEC＝∠DCB+45°＝∠ACO+45°，
又∵∠ACB＝∠ACO+45°，
∴∠AEC＝∠ACB，
而∠CAB＝∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴．
其中AB＝4，AC＝，
∴AE＝，
∴OE＝AE﹣OA＝，
即点E（，0）．
设CD：y＝kx+a，把C、E的坐标代入，得：
，
解得：，
∴CD：y＝2x﹣3，
联立方程组得：，
解得：或（舍去），
∴D（4，5）；
（3）设点P的坐标为（0，t），
由A（﹣1，0），P（0，t）可得：AP：y＝tx+t．
把y＝tx+t代入y＝x2﹣2x﹣3，
消去y，并化简得：x2﹣（t+2）x﹣t﹣3＝0，
∵xA＝﹣1，xM＝m是上面方程的两个根，
∴xA•xM＝﹣t﹣3，
∴m＝t+3①；
同理可得BP：y＝﹣x+t．
把y＝x+t代入y＝x2﹣2x﹣3，
消去y，并化简得：x﹣t﹣3＝0，
∵xB＝3，xN＝n是上面方程的两个根，
∴xB•xN＝﹣t﹣3，
∴3n＝﹣t﹣3②，
由①+②得：m+3n＝0．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点B的坐标是（﹣8，0），点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D为（0，4），连接BD．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）依题补图1：连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q；当△OPQ和△OBD相似时，求m的值；
（3）如图2，过点P作直线PQ∥BD，和x轴交点为Q，在点P沿着抛物线从点A到点B运动过程中，当PQ与抛物线只有一个交点时，求点Q的坐标．
【答案】（1）；
（2）m的值为﹣4或；
（3）．
【解答】解：（1）把A（0，8），B（﹣8，0）代入得，，解得，
∴该二次函数的表达为；
（2）如图：
设，
由∠OQP＝∠BOD＝90°，分两种情况：
当△POQ∽△BDO时，，
∴，
∴PQ＝2OQ，
即，
解得m＝﹣4，或m＝8（舍去）；
当△POQ∽△DBO时，，
∴OQ＝2PQ，
即，
解或（舍去），
综上所述，m的值为﹣4或；
（3）如图，
设直线BD解析式为y＝kx+n，
∴，
解得，
∴直线BD解析式为，
∵PQ∥BD，
∴设直线PQ的解析式为，
当直线PQ与的图象只有一个交点时，
联立，
整理得x2+6x﹣32+4n2＝0，
∴Δ＝62﹣4×（﹣32+4n2）＝0，
解得，
∴当时，直线PQ的解析式为，
此时直线PQ与的图象只有一个交点，
令y＝0，则，解得，
此时．
13．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取，）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，设第一次落地时，
抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+4．
由已知：当x＝0时y＝1．
即1＝36a+4，
∴a＝﹣．
∴表达式为y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）由题意得：0＝﹣（x﹣6）2+4
解得：x1＝4+6≈13，x2＝﹣4+6＜0（舍去），
∴点C坐标为（13，0）．
设第二次落地的抛物线为y＝﹣（x﹣k）2+2．
将C点坐标代入得：0＝﹣（13﹣k）2+2．
解得：k1＝13﹣2＜13（舍去），k2＝13+2≈18．
∴y＝﹣（x﹣18）2+2．
0＝﹣（x﹣18）2+2．
x1＝18﹣2（舍去），x2＝18+2≈23，
∴BD＝23﹣6＝17（米）．
答：运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑17米．
14．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当动点P运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；
（3）如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y2＝x2﹣2x﹣3；
（2）当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为；
（3）存在，、；M3（1，0）；M5（1，﹣1）．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
S四边形ACPB＝S△AOC+S△COP+S△BOP，
＝
＝＝，
∵，
∴当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为，
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设点M的坐标为（1，t），则：AM2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2，AC2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，CM2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣t）2，
设AC的中点为Q，则点Q的坐标为，即，
∴，，
当AM＝AC时，则AM2＝AC2，
∴（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，
解得，，
∴、，；
当CM＝CA时，则CM2＝CA2，
∴（0﹣1）2+（﹣3﹣t）2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，
解得，t1＝0，t2＝﹣6，
∴M3（1，0）、M4（1，﹣6）（舍去，此时M、A、C三点共线，无法构成菱形）；
当AC为对角线时则有：AQ2+QM2＝AM2，
∴＝（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2，
解得，t＝﹣1，
∴M5（1，﹣1），
∴存在这样的点M、N能够使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：、、M3（1，0）、M5（1，﹣1）．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．
​
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求E点坐标；
（3）在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣2x2﹣4x+6；
（2）E点坐标为（﹣2，6）或（﹣1，8）；
（3）M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣2+6）或（﹣1，2+6）．
【解答】解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，
∴C（0，6），A（﹣3，0），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；
（2）方法一：令﹣2x2﹣4x+6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），
设E（t，﹣2t2﹣4t+6），
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，
∵EF＝BF，
∴＝＝＝，
∵BH＝1﹣t，
∴BG＝BH＝﹣t，
∴点F的横坐标为+t，
∵点F在直线y＝2x+6上，
∴y＝2（+t）+6＝+t，
∴F（+t，+t），
∴﹣2t2﹣4t+6＝（+t），
∴t2+3t+2＝0，
解得t1＝﹣2，t2＝﹣1，
当t＝﹣2时，﹣2t2﹣4t+6＝6，
当t＝﹣1时，﹣2t2﹣4t+6＝8，
∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8），
综上所述：E点坐标为（﹣2，6）或（﹣1，8）；
方法二：过点E作EH⊥x轴交AC于点H，过点B作BM⊥x轴交AC于点M，
∴EH∥BM，
设E（m，﹣2m2﹣4m+6），
∵直线AC解析式为y＝2x+6，
∴H（m，2m+6），M（1，8），
∴EH＝﹣2m2﹣4m+6﹣2m﹣6＝﹣2m2﹣6m，MB＝8，
∵EH∥BM，
∴△EHF∽△BMF，
∴＝＝，
∴＝，
∴m1＝﹣2，m2＝﹣1，
∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8），
综上所述：E点坐标为（﹣2，6）或（﹣1，8）；
（3）∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，8），对称轴方程为x＝﹣1，
在（2）的条件下，
∵点E位于对称轴左侧，
∴E（﹣2，6），
∵点M是抛物线对称轴上一点，
∴设M（﹣1，m），
∵B（1，0），E（﹣2，6），
∴BM2＝（1+1）2+（0﹣m）2＝m2+4，
BE2＝（1+2）2+（0﹣6）2＝45，
ME2＝（﹣1+2）2+（m﹣6）2＝m2﹣12m+37，
①当EB为菱形的边时，BM＝BE，
即BM2＝BE2，
∴m2+4＝45，
∴m＝±，
∴M（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
②当EB为菱形的对角线时，BM＝ME，
即BM2＝ME2，
∴m2+4＝m2﹣12m+37，
∴m＝，
∴M（﹣1，），
③当BE＝ME时，
即BE2＝ME2，
∴45＝m2﹣12m+37，
∴m＝﹣3+6或m＝3+6，
∴M（﹣1，﹣2+6）或（﹣1，2+6）；
综上所述，M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣2+6）或（﹣1，2+6）．
16．如图1，直线y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B．
（1）请直接写出该抛物线的函数解析式；
（2）点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．
①如图2，连接BD，CD，BC，求△BDC面积的最大值；
②如图3，连接OD，将线段OD绕O点顺时针旋转90°，得到线段OE，过点E作EF∥x轴交直线AC于F．求线段EF的最大值及此时点D的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x+2；
（2）①4；②（﹣2，3）．
【解答】解：（1）由题意可得，
当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，
当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得x＝1，
∴A（1，0），B（0，2），
代入y＝﹣+bx+c得，y＝﹣x+2；
（2）①连接OD，，
令y＝0，则﹣x+2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（﹣4，0）D在第二象限，
∴﹣4＜m＜0，
∴S△BCD＝S△BOD+S△COD﹣S△BOC
＝×4×2
＝﹣m2﹣4m
＝﹣（m+2）2+4，
当m＝﹣2时，△BCD的面积最大为4，
②过D作DM⊥x轴于M，EF交y轴于N，
在△ODM和△OEN中，
，
∴△ODM≌△OEN（AAS），
∴DM＝EN＝﹣m+2OM＝ON＝﹣m，
∴，
令y＝﹣m，则﹣m＝﹣2x+2x＝m+1EF＝﹣m﹣1＝﹣﹣2m+1＝﹣（m+2）2+3，
∴当m＝﹣2时EF最大为3，D点的坐标（﹣2，3）．
17．如图1，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的—个动点，使△PBC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标；
（3）过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象（如图2），请你结合新图象解答：当直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点Q（m，n），且n≥﹣8时，求d的取值范围．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）点P的坐标为（1，）或（3，）；
（3）d的取值范围是﹣5≤d＜4或d＞．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）过P作PK∥y轴交BC于K，如图：
在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝6，
∴S△ABC＝×6×4＝12，
由B（4，0），C（0，4）得直线BC函数表达式为y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+m+4），则K（m，﹣m+4），
∴PK＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∵△PBC的面积等于△ABC面积的，
∴×（﹣m2+2m）×4＝12×，
解得m＝1或m＝3，
∴点P的坐标为（1，）或（3，）；
（3）①当公共点Q（m，n）在C（0，4）下方时，
在y＝﹣x2+x+4中，令y＝﹣8得：﹣8＝﹣x2+x+4，
解得x＝6或x＝﹣4，
∵将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，
∴新图象过点（6，﹣8），
当直线y＝﹣x+d与新图象公共点为（6，﹣8）时，﹣8＝﹣×6+d，
解得d＝﹣5，
如图：
∵C（0，4），当﹣5≤d＜4时，观察图象可知直线y＝﹣x+d与翻折后的抛物线无交点，
∴当﹣5≤d＜4时，直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点；
②当公共点Q（m，n）在C（0，4）上方时，如图：
若有两个相等的实数解，即﹣x2+x+4﹣d＝0的Δ＝0，
则（）2﹣4×（﹣）（4﹣d）＝0，
解得d＝；
由图可知，当d＞时，直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点；
综上所述，d的取值范围是﹣5≤d＜4或d＞．
18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝ 1 ；n＝ 3 ；
（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；
（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）1，3；
（3）E的坐标为（﹣1，2）；
（4）点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）把点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n中得：，解得：；
故答案为：1，3；
（3）如图1，由（2）知：直线BC的解析式为y＝x+3，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
直线BC与直线x＝﹣1相交于点E，则EB＝EA，此时AE+CE最小，
此时点E的坐标为（﹣1，2）；
（4）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
分三种情况：
①BC＝BP，如图2，此时点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）；
②当P与O重合时，△BPC也是等腰三角形，此时P（0，0）；
③BC＝CP，如图3，此时点P的坐标为（3，0）；
综上所述，点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 （1，0） ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）直线x＝﹣7，（﹣7，8）；
（2）（1，0）；
（3）y＝x2﹣4x+3；
（4）a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，
∴顶点坐标为（﹣7，8）；
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，
∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，
分两种情况：
①当a＜0时，1+＜1，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y＝0，
而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，
所以此种情况不成立；
②当a＞0时，1+＞1，
i）当1＜1+≤3时，即a≥，
当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，
∴a＝1，
此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
ii）当1+＞3时，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，
所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（4）分三种情况：
①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，
即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，
Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，
∴a＝，
当a＝时，x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1），
②当a＞0时，如图2，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴0＜a＜；
③当a＜0时，如图3，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴﹣5＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中 A（﹣3，0），∠ACB＝90°．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC 于M点，在射线MA上取一点N，使得2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，在（2）中△PMN面积取得最大值的条件下，将抛物线向左平移，当平移后的抛物线过点P时停止平移，平移后点C的对应点为 C'，D为原抛物线上一点，E为直线AC上一点，若以O、C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求符合条件的D点横坐标．
​
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+；
（2）S△PMN最大值为×＝，点P的坐标为（﹣，）；
（3）满足条件的点D坐标为（，）或（，）或（1，0）或（﹣4，﹣）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝，则C（0，），OC＝，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
则tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，又∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴OB＝＝1，则B（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将C（0，）代入，得﹣3a＝，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；
（2）如图1，过P作PH∥y轴交AC于H，则∠PHM＝∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°，
∵PM⊥AC，
∴PM＝PH•sin∠PHM＝PH，
∵AC＝2OC＝2，2MN＝AC，
∴MN＝，
∴S△PMN＝•MN•PM＝PM＝PH，当PH最大时，S△PMN最大；
设直线AC解析式为y＝kx+b′，
将A（﹣3，0）、C（0，）代入，得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+，
由题意，设P（p，﹣p2﹣p+），则H（p，p+），
∴PH＝﹣p2﹣p+﹣（p+）
＝﹣p2﹣p
＝﹣（p+）2+，
∵﹣＜0，﹣3＜p＜0，
∴当p＝﹣时，PH有最大值，最大值为，
即S△PMN最大，最大值为×＝，此时，点P的坐标为（﹣，）；
（3）y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+，
设抛物线向左平移a个单位，则新的抛物线解析式为y＝﹣（x+1+a）2+，
将点P（﹣，）代入，得＝﹣（﹣+1+a）2+，
解得a＝1或a＝0（不合题意，舍去），
∴抛物线向左平移1个单位，
∵C（0，），
∴平移后点C的对应点C′的坐标为（﹣1，），
由题意，设D（m，﹣m2﹣m+），E（n，n+），
若以O、C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则分三种情况：
当OC′、DE为对角线时，
则，
消去n，得m2+3m﹣2＝0，
解得：m＝，
则点D坐标为（，）或（，）；
当OD、C′E为对角线时，
则，
消去n，得m2+3m+4＝0，
∵Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴方程无实数根，即点D不存在；
当OE、C′D为对角线时，
则，
消去n，得m2+3m﹣4＝0，
解得：m＝1或m＝﹣4，
∴点D的坐标为（1，0）或（﹣4，﹣），
综上，满足条件的点D坐标为（，）或（，）或（1，0）或（﹣4，﹣）．
21．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、点B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1，对称轴交x轴于点E，交BC于点F．
（1）求顶点D的坐标；
（2）如图2所示，过点C的直线交线段BD于点M，交抛物线于点N．
①若直线CM将△BCD分成的两部分面积之比为2：1，求点M的坐标；
②若∠NCB＝∠DBC，求点N的坐标．
（3）如图1，若点P为线段OC上的一动点，请直接写出2AP+CP的最小值．
【答案】（1）（1，4）；
（2）①或者；
②；
（3）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3得：0＝a﹣b+3①，
∵顶点D的横坐标为1，
∴，即b＝﹣2a②，
联立①②解得a＝﹣1，b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3，
当x＝1时，y＝4，
∴D（1，4）；
（2）①由（1）得y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），即BO＝3，
如图，取DB的三等分点M1，M2，过点M1，M2分别作x轴，y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q，
∴△DGM1∽△DHM2∽△DEB，△BQM2∽△BPM1∽△BED，且相似比为1：2：3，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴点M的坐标为：，；
②∵∠NCB＝∠DBC，
∴CM＝MB，
取线段BC的中点G，作直线GM，
∵点B（3，0），点C（0，3），
∴中点G的坐标为，OB＝OC＝3，
∵CM＝MB，
∴点M、点O、点G在线段BC的垂直平分线上，
∴GM⊥BC，
∴设直线GM为y＝x+m，
将代入得m＝0，
∴lGM：y＝x①，
设直线BD为y＝kx+n，
将B，D坐标代入得k＝﹣2，n＝6，
∴lBD：y＝﹣2x+6②，
联立①②并解得，
∴M（2，2），
设直线MC为y＝k2x+n2，
将M（2，2），C（0，3）坐标代入得，n2＝3，
∴y＝﹣x+3③，
联立③与y＝﹣x2+2x+3并解得，（不合题意舍去），
∴，
故N的坐标为；
（3）作∠OCH＝30°，过A点作AG⊥CH于G点，AG交OC于点P，如图，
∵∠OCH＝30°，
∴在Rt△PCG中，，
∴，
根据A、P、G三点共线，可知此时最小，最小值为AG，
∴2AG＝2AP+PC，此时2AP+CP有最小值，
此时∵∠AOP＝∠AGP＝90°，∠APO＝∠APG，
∴∠OAP＝∠GCP＝30°，
∵OA＝1，OC＝3，
∴，
∴，，
∴，
即2AP+CP的最小值为．
22．已知抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）与x轴交于A、B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，其顶点为D，O为坐标原点．
（1）求A、B两点坐标；
（2）若以A、B、D三点为顶点的三角形为直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，⊙E是经过A、B、D三点的圆，点P是⊙E上一动点，连接CP．
①连接OP，求的最小值和此时点P的坐标；
②若点M是线段CP的中点，连接OM，请直接写出线段OM的取值范围．
【答案】（1）A（1，0），B（5，0）；
（2）或；
（3）①；或．
②≤OM≤．
【解答】解：（1）把y＝0，代入y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）中，
∴ax2﹣6ax+5a＝0，
∴x1＝1，x2＝5，
∴A（1，0），B（5，0）；
（2）连接AD，BD，则AD＝BD，过点D作DG⊥AB于点G，则AG＝DG，
∵A（1，0），B（5，0），
∴，
设D（3，y），
根据两点间距离公式：|y|＝AG＝3﹣1＝2，
∵点D可能在x轴上方或下方，
∴D（3，2）或（3，﹣2），
∴2＝a（3﹣1）（3﹣5）或﹣2＝a（3﹣1）（3﹣5），
∴或，
∴或；
（3）①由（2）知，圆心E即为点G（3，0），半径为2．
当时，，
，
在x轴上找一点，
∴PE＝2，EO＝3，，
∴EP：EO＝EH：EP，∠HEP＝∠PEO，
∴△EPH∽△EOP，
∴，
∴的最小值＝．
设CH的解析式为：y＝kx+b，把和代入得：
，
∴，
∴直线CH的解析式，
∴设P点坐标为：，且E（3，0），
由PF＝2，得，
，x2＝3（舍去），
∴．
当时，抛物线的解析式为：，，
同理可求得的最小值＝线段，．
②连接CE，并延长交⊙E于P1，P2，
取CE的重点N，连接MN．
∵M是PC的中点，
∴MN＝EP＝1，即点M在⊙N是运动，
∵OE＝3，OC＝，
∴，
∵N是CE的中点，
∴ON＝＝，
∴≤OM≤．
23．如图1，在平面直角坐标系中，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是（3，0）．
（1）点A的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接DE，DF，EF，使得△DEF的周长最小，求F点的坐标．
【答案】（1）（﹣1，0）；
（2）y＝﹣x2+2x+3；
（3）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点B的坐标是（3，0）．
∴A的横坐标为：1﹣（3﹣1）＝1﹣2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点B的坐标是（3，0）．
∴，解得：，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
（3）∵抛物线为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，设平移后的抛物线为：y＝﹣（x﹣1）2+n，
∴n﹣1＝0，即n＝1，
∴平移后的抛物线为：y＝﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x，
令y＝0，则﹣x2+2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，即E（2，0），
如图，
取E关于y轴对称的对称点M（﹣2，0），连接DM，交y轴于F，
则C△DEF＝DE+DF+EF＝DE+DF+MF＝DE+DM，此时周长最短，
设DM的解析式为：y＝kx+e，
∴解得：，
∴DM的解析式为：，
当x＝0时，，
∴．
24．综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B（4，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，4），直线BC经过B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设点P的横坐标为n，四边形OBPC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，在PC的垂直平分线上是否存在一点M，使△BPM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）S最大＝12，点P的坐标为（2，4）；
（3）存在，点M的坐标为（1，1）或或或或．
【解答】解：（1）由题意，将B（4，0），C（0，4）代入抛物线y＝ax2+x+c，
得，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC＝4，直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
∵点P的横坐标为n，
∴，F（n，﹣n+4），
∴，
∴＝＝＝﹣（n﹣2）2+12，
∵﹣1＜0，0＜n＜4．
∴当n＝2时，S有最大值，S最大＝12，
此时，
∴点P的坐标为（2，4）；
（3）由（2）可得：点P的坐标为（2，4），点C的坐标为（0，4），
所以PC的中点坐标为（1，4），
所以线段PC的垂直平分线为直线x＝1，
∴可设点M的坐标为（1，m），
则BM2＝32+m2，PM2＝12+（4﹣m）2，BP2＝（4﹣2）2+42＝20，
若△BPM是等腰三角形，则有以下三种情况：
当BM＝BP时，BM2＝BP2，即32+m2＝20，解得，
此时点P的坐标为或；
当MB＝MP时，MB2＝MP2，即32+m2＝12+（4﹣m）2，解得m＝1，
此时点P的坐标为（1，1）；
当PB＝PM时，PB2＝PM2，即12+（4﹣m）2＝20，解得，
此时点P的坐标为或；
综上所述，存在一点M，使△BPM是等腰三角形，点M的坐标为（1，1）或或或或．
25．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM＝4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标是m，矩形ABCD的周长为L，求L与m的关系式，并求出L的最大值；
（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求F点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x；
（2）当m＝1时，周长L有最大值10；
（3）点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．
【解答】解：（1）依题意得顶点P的坐标（2，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，
把点M（4，0）代入解析式，
解得a＝﹣1，
所以y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x．
（2）∵点D的横坐标是m，
∴点D的纵坐标是﹣m2+4m，BC＝4﹣2m，
∴矩形ABCD的周长L＝2（﹣m2+4m+4﹣2m）＝﹣2（m﹣1）2+10，
∴当m＝1时，周长L有最大值10．
（3）①OM是平行四边形的边时：
点F的横坐标：2﹣4＝﹣2，
纵坐标：y＝﹣（﹣2）2+4×（﹣2）＝﹣12，
此时，点F（﹣2，﹣12）；
或点F的横坐标：2+4＝6，
纵坐标：y＝﹣62+4×6＝﹣12，
此时，点F（6，﹣12）．
②OM是平行四边形的对角线时，EF所在的直线经过OM的中点，
∴EF都在抛物线的对称轴上，
∴点F与点P重合，
∴点F（2，4）．
综上所述，点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．
26．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（0，3），（2，0），顶点为M的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，且与x轴交于点D，E（点D在点E的左侧）．
（1）直接写出点B的坐标，抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）当m≤x≤m+1时，﹣12≤y≤﹣5，求m的值；
（3）平移抛物线y＝﹣x2+bx+c，使抛物线的顶点始终在直线AM上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段BM有公共点时，求抛物线顶点的横坐标a的取值范围．
【答案】（1）B（2，3）；y＝﹣x2+2x+3，点M为（1，4）；
（2）m＝4或m＝﹣3；
（3）≤a≤1或2≤a≤4．
【解答】解：（1）∵点A，C的坐标分别为（0，3），（2，0），且四边形OABC是矩形，
∴B（2，3）；
把点A、B代入抛物线的解析式，则，
解得；
∴y＝﹣x2+2x+3，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点M为（1，4）；
（2）∵顶点坐标M（1，4），抛物线开口向下，
当m+1＜1，即m＜0时，y随x的增大而增大，
∴当m≤x≤m+1时，﹣12≤y≤﹣5，
即x＝m时，y＝﹣12，
∴﹣12＝﹣（m﹣1）2+4，
解得：m1＝﹣3，m2＝5（舍去）
当m＞1，y随x的增大而减小，
∴当m≤x≤m+1时，
∴当x＝m+1时，y＝﹣12，﹣12＝﹣m2+4，
解得：m1＝4，m2＝﹣4（舍去），
综上所述，m＝4或m＝﹣3，
（3）由题意可得A（0，3），B（2，3），M（1，4），
设直线AM，BM的解析式为yAM＝k1x+b1，yBM＝k2x+b2．
∴，，
解得：，，
∴yAM＝x+3，yBM＝﹣x+5．
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线yAM＝x+3上，
∴可设平移中的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣a）2+a+3．
当a＝1时，抛物线y＝﹣（x﹣a）2+a+3即y＝﹣x2+2x+3，此时抛物线y＝﹣（x﹣a）2+a+3与线段BM有两个交点，
当a＞1时，
①当抛物线y＝﹣（x﹣a）2+a+3经过点M（1，4）时，有﹣（1﹣a）2+a+3＝4，
解得：a1＝1（舍去），a2＝2．
②当抛物线y＝﹣（x﹣a）2+a+3经过点B（2，3）时，有﹣（2﹣a）2+a+3＝3，
解得a1＝1（舍去），a2＝4．
综上得 2≤a≤4；
当a＜1且抛物线y＝﹣（x﹣a）2+a+3与直线yBM＝﹣x+5有公共点时，
则方程﹣（x﹣a）2+a+3＝﹣x+5即x2﹣（2a+1）+a2﹣a+2＝0有实数根，
∴（2a+1）2﹣4（a2﹣a+2）≥0，即a≥．
∴≤a＜1．
综上可得≤a≤1或2≤a≤4时，平移后的抛物线与线段BM有公共点．
27．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）当a＝﹣1时，P（n，m）为抛物线在第二象限内一点，点P到直线BC的距离为d，则d与n的函数表达式为 d＝n2﹣n ；
（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于2，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】（1）b＝﹣2a；
（2）d＝n2﹣n；
（3）a的取值范围是a≥或a≤﹣．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣＝1，
整理得：b＝﹣2a；
（2）过P作PH⊥BC于H，过P作PK∥x轴交BC于K，如图：
∵a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+bx+c，
将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
由B（3，0），C（0，3）可得OB＝OC，直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵PK∥x轴，
∴∠PKH＝45°，
∴△PKH是等腰直角三角形，
∴PK＝PH，
∵P（n，m）为抛物线在第二象限内一点，
∴P（n，﹣n2+2n+3），
在y＝﹣x+3中，令y＝﹣n2+2n+3得x＝n2﹣2n，
∴K（n2﹣2n，﹣n2+2n+3），
∴PK＝n2﹣2n﹣n＝n2﹣3n，
∵点P到直线BC的距离为d，即PH＝d，
∴n2﹣3n＝d，
∴d＝n2﹣n；
故答案为：d＝n2﹣n；
（3）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
由（1）知抛物线对称轴为直线x＝1，
当a＞0时，如图：
∵线段MN的长不小于2，
∴M到直线x＝1的距离不小于1，
∴在y＝ax2﹣2ax﹣3a中，当x＝0时，y≤﹣1，
∴﹣3a≤﹣1，
解得a≥；
当a＜0时，如图：
∵线段MN的长不小于2，
∴M到直线x＝1的距离不小于1，
∴在y＝ax2﹣2ax﹣3a中，当x＝0时，y≥2，
∴﹣3a≥2
解得a≤﹣；
综上所述，a的取值范围是a≥或a≤﹣．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）与y轴交于点C，顶点为D．以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．
（1）试用含a的代数式表示c；
（2）若IQ⊥PD恒成立，求出此时该抛物线解析式；
（3）在（2）的条件下，当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
【答案】（1）c＝﹣3a；
（2）；
（3）点Q在以DI中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为π．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴该函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴c＝﹣3a．
（2）连接DI，
∵P是半圆上一点，点Q为PD的中点，且IQ⊥PD，
∴点D在⊙I上，
∴，
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴D（1，﹣2），
把D（1，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：﹣2＝a﹣2a﹣3a，
解得：，
∴该抛物线解析式为：；
（3）∵IQ⊥PD，
∴∠IQD＝90°，
∴点Q在以DI为直径的圆上运动，
∵A（﹣1，0）、B（3，0），D（1，﹣2），
∴当点P与点B重合时，，即Q1（2，﹣1），
当点P与点A重合时，，即Q2（0，﹣1），
∴Q1Q2∥x轴，Q1Q2＝2，
∴点Q在以DI中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为：．
答：它的路径长为π．
29．已知抛物线y＝x2+mx+n经过（0，﹣3），（2，﹣3）两点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为第四象限抛物线上一动点，直线AC与y交于点D，连接BC．
①如图1，若∠ACB＝90°时，求点C的坐标；
②如图2，直线BD与抛物线交于点E，连接AE．问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①，②是定值，定值为，理由见解析．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+n经过（0，﹣3），（2，﹣3）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①由（1）知y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
如图，作CH⊥x轴于点H，
若∠ACB＝90°，则∠HCB+∠HCA＝90°，
∵CH⊥x轴，
∴∠HAC+∠HCA＝90°，
∴∠HAC＝∠HCB，
又∵∠AHC＝∠CHB＝90°，
∴△HAC∽△HCB，
∴，
∴CH2＝AH⋅BH，
∵点C为在抛物线y＝x2﹣2x﹣3的第四象限上，
∴设C（t，t2﹣2t﹣3），
∴AH＝t﹣（﹣1）＝t+1，BH＝3﹣t，CH＝﹣（t2﹣2t﹣3），
∴（t2﹣2t﹣3）2＝（t+1）（3﹣t），
化简得t2﹣2t﹣2＝0，
解得，
∵点C在第四象限上，
∴t＞0，
∴，
此时，
∴点C的坐标为；
②是定值，定值为，理由如下：
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣1，0），C（t，t2﹣2t﹣3）代入y＝kx+b，
可得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝（t﹣3）x+（t﹣3），
令x＝0，则y＝t﹣3，
∴D（0，t﹣3）．
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
将B（3，0），D（0，t﹣3）代入y＝mx+n，
可得，
解得，
∴直线BD的解析式为，
联立，
解得x＝3或，
∴点E的横坐标为，
∴点E的纵坐标为：，
∴，，
∴．
30．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x+1；（2）P（﹣2，0）；（3）存在，P（1，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，
得：，
解得，
∴解析式y＝x2﹣x+1．
（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB﹣PC|＜BC，当点P在点A 处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．
∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），
∴P（﹣2，0）．
（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；
∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，
∴∠OBP＝∠FPC，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴，
即，
整理得a2﹣4a+3＝0，
解得a＝1或a＝3；
∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述：满足条件的点P共有2个．
31．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（3，﹣8）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数的解析式写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标．
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是 ﹣9≤t＜0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意得，
，
②分别代入①、③得，
a﹣b＝5④，
3a+b＝﹣1⑤，
④+⑤得，4a＝4，
解得a＝1，
把a＝1代入④得，1﹣b＝5，
解得b＝﹣4，
∴方程组的解是
，
∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）y＝x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+4﹣4﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣9，
顶点坐标为（2，﹣9），
对称轴为x＝2，
设另一点坐标为B（a，0），
则﹣1+a＝2×2，
解得a＝5，
∴点B的坐标是B（5，0）；
（3）由（1）可知二次函数解析式为y＝x2﹣4x﹣5，
即y＝（x﹣2）2﹣9，
x＝﹣1时，y＝9﹣9＝0，
x＝3时，y＝1﹣9＝﹣8，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有解相当于y＝ax2+bx+c与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣9≤t＜0时，在﹣1＜x＜3的范围内有解．
故答案为：﹣9≤t＜0．
32．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A、B两点，点A为（﹣1，0），OB＝OC．直线l：y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M在N左边），交y轴于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若b＝1，过C点作CD⊥l于点D，连接AD、AC，若此时AD＝AC，求M点的横坐标；
（3）如图2，若k＝﹣4，连接BM、BN，过原点O作直线BN的垂线，垂足为E，以OE为半径作⊙O．
求证：⊙O与直线BM相切．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3．
（2）点M的横坐标为．
（3）证明过程见解答部分．
【解答】解：（1）由题意可知，C（0，c），B（﹣c，0），A（﹣1，0），
代入解析式中，得，，
解得a＝1，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，延长CA交直线l于点P，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵CD⊥l，AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AP＝AD＝AC，
∴△AQP≌△AOC（AAS），
∴PQ＝OC＝3，AQ＝OA＝1，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+1，
令﹣x+1＝x2﹣2x﹣3，解得x＝．
∵点M在点N的左边，
∴点M的横坐标为．
（3）联立直线l与抛物线得：，
整理得x2+2x﹣3﹣b＝0，
由根与系数的关系知：xM+xN＝﹣2，
∵B（3，0），
∴可设直线BM、BN的解析式分别为y＝k1（x﹣3），y＝k2（x﹣3），
分别令k1（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，k2（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3
整理可求得xM＝k1﹣1，xN＝k2﹣1，
代入上述根与系数的关系式中得：xM+xN＝k1﹣1+k2﹣1＝﹣2，
整理得，k1+k2＝0，
如图2，设直线BM、BN与y轴交点分别为G，H，
∴G（0，3k1），H（0，﹣3k2），
∴OG＝OH，
∵OB⊥GH，即BO垂直平分GH，
∴BG＝BH，
∴BO平分∠GBH，
过点O作OF⊥BM于点F，
∵OE⊥BN，
∴OF＝OE，
由切线的判定可知：⊙O与直线BM相切．
33．抛物线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标为A （﹣2，0） ，B （3，0） ，C （0，4） ；
（2）连接AP，CP，AC，若S△APC＝2，求点P的坐标；
（3）连接AP，BC，是否存在点P，使得∠PAB＝∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（﹣2，0），（3，0），（0，4）；
（2）点P的坐标为（1，4）；
（3）点P的坐标为．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
令y＝0，则﹣x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0），C（0，4）．
故答案为：（﹣2，0），（3，0），（0，4）；
（2）如图，连接OP，
设，
则S△PAC＝S△AOC+S△POC﹣S△AOP
＝
＝4+2m+m2﹣m﹣4
＝m2﹣m
＝2，
解得：m1＝1，m2＝﹣3（舍），2m方/3+4m/3＝2
∴点P的坐标为（1，4）；
（3）存在点P使得，理由如下：
如图2，在AB的延长线上截取BF＝BC，连接CF，过点B作BE⊥x轴，交CF于点E，连接AE，
在Rt△BOC中，
∵OB＝3，OC＝4，
∴BC＝BF＝5，
∵AO＝2，
∴AB＝BF＝5，
∵BE⊥x轴，
∴AE＝EF，
∴∠EAB＝∠EFB＝ABC，
∵F（8，0），C（0，4）．
∴直线CF的解析式为：y＝﹣x+4，
令x＝3，则y＝，
∴E（3，），
∵A（﹣2，0），
∴直线AE的解析式为：y＝x+1，
联立：，
解得：（舍），
∴点P的坐标为．
34．已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．
【答案】（1）（Ⅰ）y＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）P（2，﹣3）或（，﹣）；
（2）b＞或b＜﹣．
【解答】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：
∵B（0，﹣3），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），
∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，
当PH＝3HM时，
﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），
化简得，
m2﹣5m+6＝0，
∴m1＝2，m2＝3，
当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴P（2，﹣3），
当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
此时P（3，0）（舍去），
当PH＝HM时，
﹣m2+2m+3＝（3﹣m），
化简得，
2m2﹣7m+3＝0，
∴m3＝3（舍去），m2＝，
当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P（，﹣），
综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；
（2）如图1，
∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），
∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，
∴c＝3b﹣9，
∴y＝x2+bx+（3b﹣9），
把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，
0＝+n，
∴n＝4，
∴OC＝4，
∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，
∴CD＝5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE＝CD＝5，
∴E（5，4），
当﹣＜0时，即b＞0时，
当x＝0时，y＝3b﹣9，
∴G（0，3b﹣9），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴3b﹣9＞4，
∴b＞，
当b＜0时，
当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，
∴H（5，8b+16），
∵抛物线与CE没有交点，
∴8b+16＜4，
∴b＜﹣，
综上所述：b＞或b＜﹣．
35．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为 y3＞y1＞y2 ；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当m＝2时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）①∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
∴函数对称轴为直线x＝﹣＝m；
②∵函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，
∴离对称轴距离越远，函数值越大，
∵m﹣1＜m＜m+3，且点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，
∴y3＞y1＞y2；
故答案为：y3＞y1＞y2；
（3）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b的表达式并解得：b＝3，
则B（0，3），直线AB的表达式为：y＝x+3，
如图，
在直线y＝3上，当∠AOP＝90°时，点P与B重合，
当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，
则x＝m±2，
∵点P在对称轴的左侧，
∴x＝m+2＞m不符合题意，舍去，
则点P（m﹣2，3），
当△OAP为钝角三角形时，
则0＜m﹣2＜m或m﹣2＜﹣3，
解得：m＞2或m＜﹣1，
∴m的取值范围是：m＞2或m＜﹣1．
36．如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，y＝x﹣3与“蛋圆”中的抛物线y＝x2+bx+c交于B，C两点．
（1）求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段BD的长．
（2）“蛋圆”上是否存在点P使△APC是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“蛋圆”上一点，连结AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S1，△ABF的面积记为S2，求的最小值．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3．BD＝5；
（2）存在，符合题意的点P的坐标为：（，）或（（，﹣）或（0，﹣3）或（3，﹣3）．
（3）的最小值为．
【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣3，交 坐标轴BC两点，
∴B（0，﹣3），C（4，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c过B，C两点，
∴，
解得：，
即y＝x2﹣x﹣3．
∴抛物线与x轴交点A（﹣1，0），
∴AC＝5，
如图2，记半圆的圆心为O'，连接O'D，
∴O'A＝O'D＝O'C＝AC＝，
∴OO'＝OC﹣O'C＝4﹣＝，
在Rt△O'OD中，OD＝＝＝2，
∴D（0，2），
∴BD＝2﹣（﹣3）＝5；
（2）存在，理由如下：
若△APC是等腰三角形，则需要分以下三种情况：
①AP＝PC，此时点P在线段AC的垂直平分线上，
∵A（﹣1，0），C（4，0），
∴点P的横坐标为：，
当点P在半圆上时，P（，）；
当点P在抛物线上时，y＝×（）2﹣×﹣3＝﹣．
∴此时点P的坐标为：（，）或（（，﹣）；
③CA＝CP，此时∠APC＝∠CAP，
如图2，
∵AC是半圆的直径，
∴半圆上除点A，C外任意一点Q，都有∠AQC＝90°，
∴点P只能在抛物线部分上，
∵B（0，﹣3），C（4，0），
∴BC＝5，
∵AC＝5，
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
当∠APC＝∠CAP时，点P和点B重合，即：P（0，﹣3），
③AP＝AC，此时∠ACP＝∠APC＝∠ABC，且点P只能在抛物线上，
结合②，由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为（3，﹣3），
综上，符合题意的点P的坐标为：（，）或（（，﹣）或（0，﹣3）或（3，﹣3）．
（3）如图3，
∵A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，
过点E作EG∥BC交x轴于G，
∵△ABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h，
∴S△ABF＝AF•h，S△BEF＝EF•h，
∴＝，
∵的最小值，即最小，
∵CF∥GE，
∴＝＝，
∴当CG最大时，即最小，的最小值，
∴EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大，
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设直线EG的解析式为y＝x+m①，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3②，
联立①②化简得，3x2﹣12x﹣12﹣4m＝0，
∴Δ＝144+4×3×（12+4m）＝0，抛物线和直线只有一个交点．
解得：m＝﹣6，
∴直线EG的解析式为y＝x﹣6，
∴直线EG与x轴交点坐标（8，0）．
∴CG＝4，
∴＝＝＝；
综上，的最小值为．
37．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点M是线段OB上一动点，连接CM．
（1）点A坐标是 （﹣1，0） ；点B坐标是 （3，0） ；抛物线的函数表达式是 y＝﹣x2+2x+3 ；
（2）当CM＝2BM时，则OM：OC的值是 ；
（3）如图2，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E．
①当OM＝ 时，四边形ABEC的面积最大？此时四边形ABEC的最大面积是 ；
②如图3，在①的条件下，将CM右侧的抛物线沿CM对折，交y轴于点F，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）（﹣1，0）；（3，0）；
（2）．
（3）①；．
②点．
【解答】（1）将C（0，3）代入y＝﹣x2+2x+c得c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3．
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
故答案为：（﹣1，0）；（3，0）；
（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3．
设BM＝a，则CM＝2a，OM＝3﹣a．
在Rt△COM中，32+（3﹣a）2＝（2a）2，
解得，（舍去），
∴．
故答案为：．
（3）①设点M（m，0），则E（m，﹣m2+2m+3），
∴ME＝﹣m2+2m+3．
∴．
∴当时，四边形ABEC面积最大，最大面积为．
故答案为：；．
②设点O，F关于CM的对称点分别为O′，F'，连结CF，则点O'在CF′上，
过点M作x轴垂线交CF′于点G，
∴CO＝CO'＝3，CG＝MG，
设GM＝CG＝x，则GO'＝3﹣x．
在Rt△MGO'中，（3﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝．
∴G（，）．
∴直线CG的表达式为：y＝﹣x+3，
∴F′（，），CF′＝CF＝，OF＝，
∴点．
38．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝x+3相交于点A和点B，点A在x轴上，点B在y轴上．抛物线的顶点为P．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值；
（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ＝2S△ABP，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）m的值为2；
（3）点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
当y＝0时，x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把A（﹣3，0）和B（0，3）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c中得：
，解得：，
∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
将抛物线向右平移m个单位，P对应点为（﹣1+m，4），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣m）2+4，
把B（0，3）代入得，3＝﹣（1﹣m）2+4，
解得m1＝2，m2＝0（舍去），
故m的值为2；
（3）∵S△ABP＝S△APD+S梯形PDOB﹣S△AOB＝+×（3+4）×1﹣＝3，
∴S△ABQ＝2S△ABP＝6，
设点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），
分两种情况：
①如图1，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE∥y轴交直线AB于E，
∴S△ABQ＝（a+3+a2+2a﹣3）（﹣a+3+a）＝6，
解得：a1＝﹣4，a2＝1（舍），
∴Q（﹣4，﹣5）；
②如图2，当Q在对称的右侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE∥y轴交直线AB于E，
同理可得a＝1，
∴Q（1，0），
综上，点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．
39．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是OC的中点，P是抛物线上位于第一象限的动点，连接PD，PB、BD，求△PBD面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线水平向右平移，使点A落在点E（1，0）处，点M是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）△PBD面积的最大值是，此时点P的坐标是时（，）；
（3）点N的坐标为（2，3）或（4，3）或（﹣2，﹣21）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过P作PE∥y轴交BD于E，如图：
在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵点D是OC的中点，
∴D（0，），
设直线BD为y＝kx+，
将B（3，0）代入得：3k+＝0，
∴k＝﹣，
∴直线BD为y＝﹣x+，
设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+），
∴PE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+）＝﹣m2+m+，
∴S△PDB＝PD•|xB﹣xD|＝（﹣m2+m+）×3＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，S△PDB最大为，
此时P（，），
答：△PBD面积的最大值是，此时点P的坐标是时（，）；
（3）由y＝﹣x2+2x+3得原抛物线对称轴是直线x＝1，
∵将原抛物线水平向右平移，使点A（﹣1，0）落在点E（1，0）处，
∴原抛物线水平向右平移了2个单位，即平移后的抛物线是y＝﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）+3＝﹣x2+6x﹣5，
设M（1，s），N（t，﹣t2+6t﹣5），而B（3，0），C（0，3），
①以MN、BC为对角线，则MN的中点即是BC中点，
∴，解得t＝2，
∴N（2，3），
②以MB、NC为对角线，则MB的中点即是NC中点，
∴，解得t＝4，
∴N（4，3）；
③以MC、NB为对角线，则MC的中点即是NB中点，
∴，解得t＝﹣2，
∴N（﹣2，﹣21），
综上所述，点N的坐标为（2，3）或（4，3）或（﹣2，﹣21）．
40．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2（m≥0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）过点A（0，1）作y轴的垂线l，点B在直线l上且横坐标是2m+1．
①若m的值等于1时，求抛物线与线段AB的交点个数；
②若抛物线与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）（m，0）．
（2）①2个．
②0≤m＜1．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2＝（x﹣m）2，
∴顶点坐标为（m，0）．
（2）①由题意，抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2，A（0，1），B（3，1），
观察图象可知，抛物线与线段AB的交点个数为2个．
②由①可知，m＝1时，抛物线与线段AB有两个交点，
当抛物线经过B（2m+1，1）时，1＝（m+1）2，
解得m＝0或﹣2（舍弃），
观察图象可知满足条件的m的值为0≤m＜1．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/26 11:34:48；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713