第二十一章 一元二次方程（压轴精选30题）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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1．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2009B．2010C．2011D．2012
【答案】B
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣＝﹣1，
并且a2+a﹣2011＝0，
∴a2+a＝2011，
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2011﹣1＝2010．
故选：B．
2．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【答案】B
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
3．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝cB．a＝bC．b＝cD．a＝b＝c
【答案】A
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，
即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c．
故选：A．
4．设α，β是方程x2+9x+1＝0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0B．1C．2000D．4 000 000
【答案】D
【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+1＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣9，α•β＝1．
（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）
＝（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
又∵α，β是方程x2+9x+1＝0的两个实数根，
∴α2+9α+1＝0，β2+9β+1＝0．
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
＝2000α•2000β
＝2000×2000αβ，
而α•β＝1，
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）＝4 000 000．
故选：D．
5．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1，x2，那么代数式+的值为（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【答案】B
【解答】解：∵x的一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝＝﹣4，
则＝＝﹣．
故选：B．
6．关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（﹣m﹣1）＝4m2+4m+4＝（4m2+4m+1）+3＝（2m+1）2+3＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）
A．32B．126C．135D．144
【答案】D
【解答】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：
x（x+16）＝192，
解得：x1＝8，x2＝﹣24，（不合题意舍去），
故最小的三个数为：8，9，10，
下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，
第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，
故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144．
故选：D．
8．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．b2﹣4ac≥0D．b2﹣4ac≤0
【答案】C
【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0
当x＝﹣1时，原方程化为a﹣b+c＝0
所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根，
所以b2﹣4ac≥0．
故选：C．
9．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（ ）
A．0或B．0或2C．2或D．0或或2
【答案】D
【解答】解：∵x2≥0，2[x]＝x2，
∴x≥0，
①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；
②1≤x＜2时，x2＝2，解得x＝或x＝﹣（舍）；
③2≤x＜3时，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；
④x≥3时，方程无解；
综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x＝，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
10．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为 ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
则原式＝＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣
11．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 （9﹣2x）•（5﹣2x）＝12 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得（9﹣2x）•（5﹣2x）＝12，
故填空答案：（9﹣2x）•（5﹣2x）＝12．
12．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根，那么代数式2m2+4n2﹣6n+1999的值＝ 2011 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根，
∴m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，m+n＝3，
∴m2＝3m﹣1，n2＝3n﹣1，
∴2m2+4n2﹣6n+1999
＝2（3m﹣1）+4（3n﹣1）﹣6n+1999
＝6m﹣2+12n﹣4﹣6n+1999
＝6（m+n）+1993
＝6×3+1993
＝2011．
13．设α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝ ﹣6056 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两实数根，
∴α2+2013α﹣2＝0，β2+2013β﹣2＝0，α+β＝﹣2013，αβ＝﹣2，
则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝（α2+2013α﹣2+3α+1）（β2+2013β﹣2+3β+1）＝（3α+1）（3β+1）＝9αβ+3（α+β）+1＝﹣18﹣6039+1＝﹣6056．
故答案为：﹣6056．
14．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 2018 ；
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，
∴a2+a＝2019，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，
故答案为：2018．
15．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为 2019 ．
【答案】2019．
【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1．
∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020
＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020
＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020
＝﹣（a+1﹣a）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故答案为：2019．
16．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 9 cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x）•x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案为：9．
17．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝ 7 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）
＝（m+4）（n+4）
＝mn+4（m+n）+16
＝﹣1+4×（﹣2）+16
＝7，
故答案为：7．
三．解答题（共13小题）
18．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
19．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出 （300+100×） 只粽子，利润为 （1﹣m）（300+100×） 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出（300+100×）只粽子，利润为 （1﹣m）（300+100×）元．
（2）令（1﹣m）（300+100×）＝420．
化简得，100m2﹣70m+12＝0．
即，m2﹣0.7m+0.12＝0．
解得m＝0.4或m＝0.3．
可得，当m＝0.4时卖出的粽子更多．
答：当m为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
20．某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出100x÷0.1＝1000x张．
（0.3﹣x）（500+1000x）＝120，
解得x1＝﹣0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x2＝0.1．
答：每张贺年卡应降价0.1元．
21．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0
解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0可化为
（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．
（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 x＞4或x＜﹣4 ；
（2）分式不等式的解集为 x＞3或x＜1 ；
（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）
∴x2﹣16＞0可化为
（x+4）（x﹣4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜﹣4，
∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4，
即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4．
（2）∵
∴或
解得：x＞3或x＜1
（3）∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3）
∴2x2﹣3x＜0可化为
x（2x﹣3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
或
解不等式组①，得0＜x＜，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜．
22．某种产品的年产量不超过1 000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润＝销售额﹣费用）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设年产量为t吨，费用为y（万元），每吨销售价为z（万元），则0≤t≤1000，
由图（1）可求得y＝10t，
由图（2）求得z＝﹣t+30．
设毛利润为w（万元），
则w＝tz﹣y＝t（﹣t+30）﹣10t＝﹣t2+20t．
∴﹣t2+20t＝7500，
∴t2﹣2000t+750000＝0，
解得t1＝500，t2＝1500（不合题意，舍去）．
故年产量是500吨时，当年可获得7500万元毛利润．
23．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，
解得：m≥﹣；
（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，
∴（﹣3）2+2m＝11，
解得：m＝1．
24．某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过550个．
（1）设销售商一次订购量为x个，旅行包的实际出厂单价为y元，写出当一次订购量超过100个时，y与x的函数关系式；
（2）求当销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润6000元？（售出一个旅行包的利润＝实际出厂单价﹣成本）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y＝60﹣（x﹣100）×0.02
＝62﹣0.02x（100＜x≤550）；
（2）根据题意可列方程为：6000＝[60﹣（x﹣100）0.02]x﹣40x，
整理可得：x2﹣1100x+300000＝0．
（x﹣500）（x﹣600）＝0
x1＝500，x2＝600（舍去）
答：销售商订购500个时，该厂可获利润6000元．
25．甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．
（1）求甲乙两件服装的进价各是多少元；
（2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；
（3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设甲服装的进价为x元，则乙服装的进价为（500﹣x）元，
根据题意得：90%•（1+30%）x+90%•（1+20%）（500﹣x）﹣500＝67，
解得：x＝300，
500﹣x＝200．
答：甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元．
（2）∵乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，
∴设每件乙服装进价的平均增长率为y，
则200（1+y） 2＝242，
解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：每件乙服装进价的平均增长率为10%；
（3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调，
∴再次上调价格为：242×（1+10%）＝266.2（元），
∵商场仍按9折出售，设定价为a元时，
0.9a﹣266.2＞0，
解得：a＞．
故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润．
26．把一张边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．要使折成的长方体盒子底面周长为120cm．那么剪掉的正方形的边长为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设剪掉的正方形的边长为xcm，由题意得：
4（40﹣2x）＝120，
解得x＝5．
答：剪掉的正方形的边长为5cm．
27．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2＝361，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
28．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
29．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．
30．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝•PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意，•（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
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