新高考数学满分训练必做题 专题11.1 古典概率、几何概率与条件概率（基础+提升2000题1419~1502）

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题11.1 古典概率、几何概率与条件概率
【1419】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
【1420】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
【1421】．（2022·全国·高考真题·★★★）
从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.
故选：C.
【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；
方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；
【1422】．（2011·浙江·高考真题·★★★）
从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：从装有个红球，个白球的袋中任取个球，共有基本事件种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取个球中至少有个白球的概率为，故选D.
考点：古典概型及其概率的计算.
【1423】．（2009·重庆·高考真题·★★★）
锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为
．
【1424】．（2014·全国·高考真题·★★★★）
4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六、日各2人，有种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，选D．
【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式．
【1425】．（2012·安徽·高考真题·★★★）
袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意．
故选B．
【1426】．（2015·湖北·高考真题·★★★★）
我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石B．169石C．338石D．1365石
【答案】B
【详解】设夹谷石，则，
所以，
所以这批米内夹谷约为石，故选B.
考点：用样本的数据特征估计总体.
【1427】．（2015·广东·高考真题·★★★★）
袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为
A．B．C．D．1
【答案】B
【详解】试题分析：首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．
解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；
∴基本事件总数为105；
设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；
则A包含的基本事件个数为=50；
∴P（A）=．
故选B．
点评：考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．
【1428】．（2007·四川·高考真题·★★★★）
已知一组抛物线，其中为2、4、6、8中任取的一个数，为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】这一组抛物线共条，从中任意抽取两条，共有种不同的方法．它们在与直线交点处的切线的斜率．若，有两种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有四种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有两种情形，从中取出两条，有种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有种，故所求概率为．本题是把关题．
【1429】．（2018·全国·高考真题·★★★）
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
【1430】．（2016·北京·高考真题·★★★★）
袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】B
【详解】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B.
【考点】概率统计分析
【名师点睛】本题创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.
【1431】．（2007·辽宁·高考真题·★★★★）
一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出一共的可能性，然后求出至少有1个球的编号为偶数的可能性，计算出结果
【详解】从坛子中任取两个球共有种取法
从坛子中取两个红球，且至少有1个球的编号为偶数的取法可以分两类：
第一类，两个球的编号均为偶数，有种取法；
第二类，两个球的编号为一奇一偶，有种取法，
因此所求的概率为.
故选
【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，理解古典概型的特征，学会运用分类讨论的思想来解决概率的计算问题．
【1432】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1)岁；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
（1）
平均年龄
（岁）．
（2）
设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以
．
（3）
设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
【1433】．（2014·山东·高考真题·★★★）
海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
（1）求这6件样品中来自A，B，C三个地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【答案】（1）1，3，2；（2）.
【解析】（1）由分层抽样的性质运算即可得解；
（2）利用列举法，结合古典概型概率的计算公式，即可得解.
【详解】（1）由题意，样品中来自A地区商品的数量为，
来自B地区商品的数量为，
来自C地区商品的数量为；
（2）设来自地区的样品编号为，来自地区的样品编号为,,，
来自地区的样品编号为,，
则从6件样品中抽取2件产品的所有基本事件为:
,,,,,,,,
,,,,,,,共15个；
抽取的这2件产品来自相同地区的基本事件有:
,,,,共4个；
故所求概率.
【点睛】本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.
【1434】．（2019·北京·高考真题·★★★）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】（Ⅰ）400人；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）见解析.
【分析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；
(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；
(Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.
【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，
由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，
所以样本中两种支付方式都使用的有，
所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）.
（Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，
所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为，
因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，
依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.
【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【1435】．（2019·天津·高考真题·★★★★）
2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.
【答案】（I）6人，9人，10人；
（II）（i）见解析；（ii）.
【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，
所以，事件M发生的概率.
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
【1436】．（2011·四川·高考真题·★★★）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．
（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．
【答案】本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．
解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则
，．
答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、．
（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则
．
答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为
【详解】略
【1437】．（2014·四川·高考真题·★★★★）
一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，.
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.
【答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率；
（2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．
试题解析：（1） 所有的可能结果共有种，
而满足的有、、共计3个
故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为
（2） 所有的可能结果共有种
满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个
故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为
所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为
考点：独立事件的概率．
【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
【1438】．（2018·天津·高考真题·★★★★）
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．
（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
【1439】．（2015·天津·高考真题·★★★★）
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（Ⅰ）由已知，有
所以事件发生的概率为.
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望
考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.
【1440】．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测·★★★★）
现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．考虑第一次取球甲、乙都取到红球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球或第一次取球甲、乙都取到白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，分别求出其概率，即可求出答案.
【详解】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为，
则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，
第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为，
故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，
盒子A有8个球的概率为，
同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，
盒子A中有8个球的概率为，所以两次取球后，
盒子A中恰有8个球的概率是．
故选:A．
【1441】．（2022·河南洛阳·模拟预测·★★★★）
我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概型公式求出和，再利用条件概率公式计算即可得到本题答案.
【详解】由题可得，，，
所以．
故选：D
【1442】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★★）
“庆冬奥，树新风，向未来”，某中学将开展自由式滑雪表演.自由式滑雪表演设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参演选手每人展示其中一个项目，且要求相邻出场选手展示不同项目.现安排甲、乙两名男生和A，B两名女生共四位同学参演，若四位同学的出场顺序为甲、A、乙、B，则两位女生中至少一人展示雪上芭蕾且三个项目均有同学展示的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合实际运用排列组合的方法来计算古典概型的概率即可.
【详解】依据出场顺序甲、A、乙、B，四位同学展示的基本事件的总数为3×2×2×2＝24个.
在三个项目均有同学展示的情况下，共有个基本事件，
若两位女生均选空中技巧（或雪上技巧）展示，则共有个基本事件，
若两位女生分别在空中技巧和雪上技巧中各选一个，则共有个基本事件，
故两位女生中至少一人展示雪上芭蕾且三个项目均有同学展示的概率为.
故选：D
【1443】．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测·★★★★）
某校为落实“双减”政策；在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率计算公式求解即可
【详解】四个同学，四个不同的项目，所有可能的方案数为：
恰有两人参加同一活动的方案根据分布计数原理：
第一步，从四名同学中选两人安排一个项目；
第二部，剩下的两名同学各安排一个项目
则
所以恰有两人参加同一活动的概率为：
故选：C
【1444】．（2022·湖北·模拟预测·★★★★）
奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件C，则（ ）
A．事件A与B相互独立B．事件A与C相互独立
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可求，，，，根据若事件A与B相互独立，则判断A、B的正误；根据条件概率的计算公式分别计算判断C、D．
【详解】将甲、乙在内5名医生派往①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生有个基本事件，它们等可能．
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则
事件AC含有的基本事件数为，则
，
即事件A与B相互不独立，事件A与C相互不独立，故A、B不正确；
，，
故选：C．
【1445】．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测·★★★）
我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩，在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为0.4，利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：931，502，659，491，275，937，740，632，845，302.由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有2轮成功”的概率为（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
【答案】B
【分析】根据古典概型的计算公式即可求解.
【详解】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳中至少有2轮成功”的有931，502，632，302，共4个，所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有2轮成功”的概率为，
故选：B.
【1446】．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测·★★★★）
食物链亦称“营养链”，是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动，必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系．如图为某个生态环境中的食物链，若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，则这两种生物不能构成摄食关系的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用列举法写出构成的摄食关系，计数后可求得概率．
【详解】从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，共有10种选法：鹰麻雀，鹰兔，鹰田鼠，鹰蝗虫，麻雀兔，麻雀田鼠，麻雀蝗虫，兔田鼠，兔蝗虫，田鼠蝗虫．
其中田鼠鹰，兔鹰，麻雀鹰，蝗虫麻雀共四种可构成摄食关系，不能构成摄食关系的有6种，
所以概率为．
故选：A．
【1447】．（2022·全国·模拟预测·多选题·★★★★）
甲、乙两个盒子中分别装有红球、白球和黑球若干，从甲盒子中取出一个红球的概率为，取出一个白球的概率为；从乙盒子中取出一个红球的概率和取出一个白球的概率均为.现从两个盒子中各取出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．两个球都是黑球的概率为B．两个球中一个红球一个白球的概率为
C．两个球中恰有一个黑球的概率为D．两个球中至少有一个红球的概率
【答案】ACD
【分析】利用相互独立事件的概率求解.
【详解】解：由题意得：甲盒子中取出一个黑球的概率为，乙盒子中取出一个黑球的概率为.
对于选项A，两个球都是黑球的概率为，选项A正确；
对于选项B，两个球中一个红球一个白球的概率为，选项B错误；
对于选项C，两个球中恰有一个黑球的概率为，选项C正确；
对于选项D，两个球中至少有一个红球的概率为，选项D正确.
故选：ACD.
【1448】．（2021·全国·模拟预测·多选题·★★★★）
某市组织2022年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛.比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2021年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件，“乙队分在第一小组”为事件，“甲、乙两队分在同一小组”为事件，则（ ）
A．B．
C．D．事件与事件相互独立
【答案】ABD
【分析】A选项可以直接得到答案；B选项利用组合知识分别求出分组的所有情况和事件包含的情况，从而求出相应的概率；C选项，分别求出，，验证是否等于；D选项利用若，则事件A与B相互独立来验证事件与事件是否相互独立.
【详解】对于A，因为甲队分在第一小组和第二小组的概率相等，且两种情况等可能，所以，故A正确；
对于B，8支球队抽签分组共有种不同方法，甲、乙两队分在同小组共有种不同方法，所以甲、乙两队分在同一小组的概率，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，因为，，所以，所以事件与事件相互独立，故D正确.
故选：ABD.
【1449】．（2021·全国·模拟预测·多选题·★★★★）
一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．，，两两相互独立
【答案】BC
【分析】根据各事件的交补集中的事件数，应用古典概型求概率的方法求、、、，由两两相互独立事件的概率性质判断A、B、C是否相互独立.
【详解】由题意， ，，，
∴，同理，，
由，则，故A错误；
由，则，故B正确；
由，则，而，故C正确；
因为，，，所以事件，，不两两相互独立，故D错误.
故选：BC.
【点睛】易错点睛：对于两个事件，，可将对应的积事件看成一个事件，利用古典概型的概率公式计算，一般地，对于两个事件，，概率公式为，
使用概率的计算公式，必须注意前提条件：
对于两个事件，，有；
当，为互斥事件时，有.
若事件，，，有时，不一定有，，两两相互独立.
【1450】．（2016·山东·高考真题·★★★★）
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若，则奖励玩具一个；
②若，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
【详解】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），
（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．
满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为．
（Ⅱ） 满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为；
小亮获得饮料的概率为，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
【1451】．（2015·北京·高考真题·★★★）
某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
【答案】（Ⅰ）0.2；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）同时购买丙的可能性最大.
【详解】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数，计算出概率；（Ⅱ）先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的人数，再计算概率；（Ⅲ）由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为，顾客同时购买甲和丙的人数为，顾客同时购买甲和丁的人数为，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.
试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这位顾客中，有位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.
（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这位顾客中，有位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率可以估计为.
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
考点：统计表、概率.
【1452】．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测·★★★）
某公司全体员工的年龄的频率分布表如下表所示，其中男员工年龄的频率分布直方图如图所示.已知该公司年龄在35岁以下的员工中，男、女员工的人数相等.
(1)求图中实数a的值，并估计该公司男员工的平均年龄；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)若从年龄在[55，60）的员工中随机抽取2人参加活动，求这2人中至少有1名女员工的概率.
【答案】(1)0.016，；
(2).
【分析】（1）根据频率分布直方图的定义和性质，求得a的值以及平均年龄；
（2）先求出[55，60）的员工中男女员工人数，再列出取出2人的所有的情况，由古典概型可得至少有1名女员工的概率.
（1）
由男员工年龄的频率分布直方图得（0.012+2a十2×0.024+0.048+0.060 )×5=1，解得a=0.016.
则男员工的平均年龄
（2）
该校年龄在35岁以下的男女员工人数相等,且共14人，年龄在35岁以下的男员工共7人.
由（1）知，男员工年龄在[25, 35 )的频率为，
所以男员工共有（人），女员工共有（人），
所以年龄在[55,60 ）的员工中，男员工为0.016×5×50=4（人），不妨设为，则女员工为1人，设为，从年龄在[55,60 ）的员工中随机抽取2人，
则有，共有10种可能情形，其中至少有1名女员工的有4种，故所求概率为.
【1453】．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测·★★★★）
甲，乙两队进行篮球比赛，已知甲队每局赢的概率为，乙队每局赢的概率为．每局比赛结果相互独立．有以下两种方案供甲队选择：
方案一：共比赛三局，甲队至少赢两局算甲队最终获胜；
方案二：共比赛两局，甲队至少赢一局算甲队最终获胜．
(1)当时，若甲队选择方案一，求甲队最终获胜的概率；
(2)设方案一、方案二甲队最终获胜的概率分别为，讨论的大小关系；
(3)根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）分别算出甲队赢3局和赢2局的概率，然后相加即可；
（2）分别计算，然后比较大小；
（3）根据的大小关系解释成实际意义即可.
（1）
（1）设甲队选择方案一最终获胜为事件A
.
（2）
（2）若甲队选择方案一，则甲队最终获胜的概率为
若甲队选择方案二，则甲队最终获胜的概率为
因为所以.
（3）
在方案一中，若甲队第一局赢，则甲队最终获胜概率会变大，此时继续比赛即为方案二，故方案二甲最终获胜的概率会变大．
【1454】．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测·★★★★）
为了减轻学生的过重的课业负担，增加学生的体育､音乐､美术培训的时间和机会，某学校增加社团活动时间，组织同学进行象棋比赛.同学甲分别与乙､丙两同学进行象棋比赛，甲与乙进行比赛时，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3；甲与丙进行比赛时，如果每局比赛甲､丙获胜的概率均为0.5.
(1)若采用3局2胜制，分别求两场比赛甲获胜的概率；
(2)若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？据此说明赛制与选手的实力对比赛结果的影响？
【答案】(1)甲、乙比赛，甲获胜的概率，甲、丙比赛，甲获胜的概率；
(2)甲、乙比赛，甲获胜的概率，甲、丙比赛，甲获胜的概率，比赛局数越多对实力较强者越有利.
【分析】（1）（2）根据相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；
(1)
解：采用3局2胜制，甲获胜有两种可能的比分为：或；
因为每局比赛的结果是独立的，所以
甲、乙比赛，甲获胜的概率为；
甲、丙比赛，甲获胜的概率为
(2)
解：采用5局3胜制，甲获胜有3种可能的比分为：、、，因为每局比赛的结果是相互独立的，所以
甲、乙比赛，甲获胜的概率为；
甲、丙比赛，甲获胜的概率为，
因为，所以甲、乙比赛，采用5局3胜制对甲有利；
因为，所以甲、丙比赛，采用5局3胜制还是采用3局2胜制对甲获胜的结果一样，这说明比赛局数越多对实力较强者越有利；
【1455】．（2022·陕西·交大附中模拟预测·★★★★）
据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．
【答案】(1)该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀概率为；该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀概率为；
(2).
【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式，互斥事件、相互独立事件分别计算报考甲、乙大学恰好有一门笔试科目优秀的概率.
（2）分别计算报考甲、乙大学达到优秀科目个数的期望，再列出不等式并求解作答.
（1）
设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则；
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则．
（2）
该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，
依题意，，则，
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3．
，
，，
随机变量的分布列：
，
因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得，
所以的范围为：.
【1456】．（2022·江苏·盐城中学模拟预测·★★★★）
某军事训练模拟软件设定敌机的耐久度为100%，当耐久度降到0%及以下，就判定敌机被击落．对空导弹的威力描述如下：命中机头扣除敌机100%耐久度，命中其他部位扣除敌机60%耐久度．假设训练者使用对空导弹攻击敌人，其命中非机头部位的命中率为50%，命中机头部位的命中率为25%，未命中的概率为25%，则训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件加法，即可得出训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率.
【详解】用分别表示命中机头，命中非头部位和未命中三个事件，则
又训练者每次是否击中敌机相互独立，利用独立事件乘法公式及互斥事件加法可得训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率：.
故选：D.
【1457】．（2022·山东日照·三模·★★★★）
若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率D．事件A、B同时发生的概率
【答案】A
【分析】根据图示，表示出涂色部分的面积，利用条件概率的概率公式整理化简，即可求得答案.
【详解】由题意可得，如图所示的涂色部分的面积为
,
故选：A
【1458】．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测·★★★）
“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上中下三等．一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制．已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快．若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场，则田忌获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设齐王有上、中、下三等的三匹马A、、，田忌有上、中、下三等的三匹马、、，列举出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】设齐王有上、中、下三等的三匹马A，B，C，田忌有上、中、下三等的三匹马a，b，c，所有比赛的方式有：，，；，，；，，；，，；，，；，，，一共6种．其中田忌能获胜的方式只有，，1种，故此时田忌获胜的概率为．
故选：D.
【1459】．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测·★★★★）
甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A，B，C三个景区中的一个景区旅游，甲乙去A，B，C三个景区旅游的概率分别如表：则甲、乙去不同景区旅游的概率为（ ）
A．0.66B．0.58C．0.54D．0.52
【答案】A
【分析】由题可得甲、乙去同一景区旅游的概率，然后利用对立事件的概率公式即得.
【详解】由题可得甲乙去A，B，C三个景区旅游的概率分别如表：
故甲、乙去同一景区旅游的概率为，
故甲、乙去不同景区旅游的概率为.
故选：A.
【1460】．（2022·江西萍乡·三模·★★★★）
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年.该书前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出从这7章里任选4章进行选修的选法总数，再求出学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的选法总数，由古典概型的概率公式即可得出答案.
【详解】数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修共有：种选法；
学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章共有：种选法，
故学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为：.
故选：B.
【1461】．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测·★★★★）
将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”，B表示事件“医生乙派往①村庄”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由古典概型概率计算公式求出，，，再由条件概率的概率公式计算可得；
【详解】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件含有的基本事件数为，则，同理，
事件含有的基本事件个数为，则，
所以；
故选：A
【1462】．（2022·甘肃兰州·一模·★★★）
莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据排列组合知识求得基本事件的个数后可得概率．
【详解】8个开放洞窟中有3个最值得参观，
所求概率为．
故选：B．
【1463】．（2022·江西景德镇·三模·★★★★）
购买盲盒是当下年轻人的潮流之一，某款盲盒产品共有3种玩偶，小婧每次购买一个盲盒，恰能在第四次集齐3种玩偶的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可知试验的所有结果数及所求事件的结果，然后利用古典概型概率公式即得.
【详解】由题可知每次购买一个盲盒都有3种结果，故四次共有种结果，
恰能在第四次集齐3种玩偶则前三次得到的是其中的两种玩偶，共有种，
故恰能在第四次集齐3种玩偶的概率为.
故选：B.
【1464】．（2022·云南·二模·★★★★）
某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店的顾客，都能抽一次奖，每位进店的顾客得到一个不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球2个，黄球3个，蓝球1个，除颜色外，小球的其它方面，诸如形状、大小、质地等完全相同，每个小球上均写有获奖内容，顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球，然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖．设X表示某顾客在一次抽奖时，从自己得到的那个盒子取出的2个小球中红球的个数，则X的数学期望（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算出X为0，1，2的概率，再按照期望公式计算即可.
【详解】由题意知：X的取值为0，1，2，，，，
故.
故选：C.
【1465】．（2022·四川攀枝花·三模·★★★★）
算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五；梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．如图，在十位档拨上一颗上珠和二颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74．若在个、十、百、千位四档中随机选择一档拨上一颗下珠，再从这四档中随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字小于560的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】在个、十、百、千位四档中随机选择一档拨上一颗下珠，再从这四档中随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，共有种不同情况.
表示的数字小于560包括：56、65、155、506、516、551共6种情况，
所以所表示的数字小于560的概率为.
故选：C
【1466】．（2022·湖南湘潭·三模·★★★★）
写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来.例如计算89×61，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5429.类比此法画出354×472的表格，若从表内的18个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中任取2个数字，则它们之和大于10的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出的表格，从中任取个，得到种不同的取法，再结合它们之和大于的取法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】画出的表格，如图所示，则表内不同的数有，
从中任取个，共有种不同的取法，
其中与各个，与各个，
从中任取个，它们之和大于的取法为，
故所求概率为
故选：D.
【1467】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）
在一个边长为的正方形的四边上分别取一个距顶点最近的四等分点，连接成正方形，再在新的正方形中，以同样的方式形成一个更小的正方形，如此重复次，得到如图所示的一个优美图形.若在这个大正方形内部随机投掷一粒豆子，则这粒豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设重复第次所得的正方形的边长为，面积为，分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，求出，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】重复第次所得的正方形的边长为，面积为，
则，所以，，
且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，所求概率为.
故选：C.
【1468】．（2022·全国·高考真题·★★★）
从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】##0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
【1469】．（2020·天津·高考真题·★★★★）
已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.
【1470】．（2010·辽宁·高考真题·★★★）
三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为__________．
【答案】
【详解】题中三张卡片随机地排成一行,共有三种情况:BEE,EBE,EEB,∴概率为P=.
【1471】．（2012·浙江·高考真题·★★★）
从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点则该两点间的距离为的概率是___________．
【答案】
【详解】从这5个点中任取2个点共有10种取法；而该两点间的距离为的点只有四个顶点分别和中心的距离符合条件，即事件A有4种，于是两点间的距离为的概率为
【考点定位】本题主要考察随机事件的概率，分两步做即可
【1472】．（2014·上海·高考真题·★★★）
为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是_______（结构用最简分数表示）.
【答案】
【详解】任意选择3天共有种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为．
【考点】古典概型．
【1473】．（2009·浙江·高考真题·★★★）
有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，其中．
从这张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到
标有的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于”为，
则_________．
【答案】
【详解】解：卡片如图所示．（0,1）（1,2）…..（19,20）共20张．
任取一张“其各位数字之和小于14”的分两种情况：
② 两个1位数从(0,1)到（6,7）共有7种选法；
②有两位数的卡片从（9,10）（10，11）（15,16）和（19,20）共8种选法，
故得P（A）=1-(7+8)/20=1-3/4=1/4．
故答案为1/4．
【1474】．（2007·广东·高考真题·★★★★）
甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示）
【答案】
【详解】从甲、乙两袋中各随机取出一个球的取法共有36种，都是红球的取法有4种，所以取出的两球都是红球的概率为.
【1475】．（2011·江西·高考真题·★★★★）
小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_________.
【答案】
【详解】试题分析：设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A、B、C，则这三个事件互斥，而且
，又，，所以；
考点：1．几何概型；2．互斥事件；
【1476】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）
下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量，，则
B．若随机变量，则
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，0.5
D．从10名男生､5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率
【答案】AC
【分析】四个选项分别利用正态曲线的性质，二项分布方差的有关性质，非线性回归方程线性化的方法，考虑对立事件即可求概率，即可判断正误.
【详解】解：对于A：随机变量，，则，故A正确；
对于B：陏机变量，则，故，故B错误；
对于C：因为，所以两边取对数得，
令，可得，因为，所以，，所以，故C正确；
对于D：从10名男生､5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生分为：1名女生3名男生､2名女生2名男生､3名女生1名男生和4名都是女生四种情况.
共有种情况.
而，所以其中至少有一名女生的概率为，故D错误.
故选：AC.
【1477】．（2022·江苏南京·模拟预测·★★★★）（多选题）
甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据古典概型求概率公式得到，由全概率公式计算，由条件概率计算BD选项中的概率.
【详解】因为甲罐中有2个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；
因为，所以选项C正确；
因为，，所以，故选项D正确；
因为，所以选项B错误；
故选：ACD
【1478】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）（多选题）
一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲､乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”.设甲评为“智答能手”为事件A，乙评为“智答能手”为事件B，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．甲､乙至多有一人评为“智答能手”的概率为
D．甲､乙至少有一人评为“智答能手”的概率为
【答案】ABD
【分析】先计算出，，由可得，事件A，B相互独立，由条件概率即可判断A、B选项；计算出甲、乙都评为“智答能手”的概率和甲、乙都没有被评为“智答能手”的概率，结合对立事件即可判断C、D选项.
【详解】由题意，可得，，由，
所以，事件A，B相互独立，所以，故A正确；
，由条件概率的性质得，故B正确；
因为事件A，B相互独立，所以A与，与，与也都相互独立.甲、乙都评为“智答能手”的概率，
所以甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为，故C错误；
甲､乙都没有被评为“智答能手”的概率，
所以甲､乙至少有一人评为“智答能手”的概率为，故D正确.
故选：ABD.
【1479】．（2022·海南华侨中学模拟预测·★★★★）（多选题）
袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A=“第一次抽到的是白球”，事件B=“第二次抽到的是白球”，则（ ）
A．事件A与事件B互斥B．事件A与事件B相互独立
C．D．
【答案】CD
【分析】根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断A,B; 事件B=“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，由此判断C;根据条件概率的公式计算，可判断D.
【详解】对于A,由于第一次抽到的是白球和第二次抽到白球，可以同时发生，
故事件A与事件B不互斥，A错误；
对于B，由于是从袋中不放回的依次抽取2个球，因此第一次抽球的结果对第二次抽到什么颜色的球是有影响的，因此事件A与事件B不是相互独立关系，B错误；
对于C，事件B=“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，
故，故C正确；
对于D， ,故,故D正确，
故选：CD
【1480】．（2022·上海闵行·二模·★★★★）
核酸检测是疫情防控的一项重要举措.某相邻两个居民小区均计划在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则这两个居民小区至少有一天同时做核酸检测的概率为___________；
【答案】##0.76
【分析】先求出在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，两个居民小区总的选择情况，再计算出两个小区没有一天同时做核酸的情况，相减后得到两个居民小区至少有一天同时做核酸的情况，进而求出相应的概率.
【详解】在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，两个居民小区均有5种选择，分别为1日至3日，2日至4日，3日至5日，4日至6日，5日至7日，故总的情况有种，
其中两个小区没有一天同时做核酸的情况有一个小区选择1日至3日，另一个小区选择4日至6日或5日至7日，一个小区选择2日至4日，另一个小区选择5日至7日，共有3种情况，再进行排列，所以共有种情况，
则两个居民小区至少有一天同时做核酸的情况个数为，
所以两个居民小区至少有一天同时做核酸的概率为
故答案为：
【1481】．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测·★★★★）
年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧，引来国内外粉丝争相购买，竟出现了“一墩难求”的局面．已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率为．现引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下用该设备进行检测，检测结果有的可能为不合格，但在该产品为正品的前提下，检测结果也有的可能为不合格．现从生产的冰墩墩中任取一件用该设备进行检测，则检测结果为合格的概率是______________．
【答案】##
【分析】记事件检测结果为合格，记事件产品为正品，利用全概率公式计算出，再利用对立事件的概率公式可求得.
【详解】记事件检测结果为合格，记事件产品为正品，
则，，，
由全概率公式可得，
所以，检测结果为合格的概率为.
故答案为：.
【1482】．（2022·福建省福州第一中学三模·★★★★）
产品质量检验过程主要包括进货检验（），生产过程检验（），出货检验（）三个环节.已知某产品单独通过率为，单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为，则___________.
【答案】
【分析】利用独立事件和互斥事件概率求解.
【详解】设：第次通过，：第次通过.
由题意知，
即，
解得或（舍去）.
故答案为：.
【1483】．（2022·河南·模拟预测·★★★）
小李与小张计划周日上午到某景区游玩，他们各自从不同地方出发去往景区售票点．当天上午小李八点到达景区售票点，小张未到，他决定最多等他四十分钟，如果超过四十分钟小张未到，他就先进景区．若小张将在八点十分到九点的任意时刻到达景区售票点，则小李与小张一同进入景区的概率为______．
【答案】##0.6
【分析】根据小李最多等待的时间，以及小张到达景区的可能时间，利用几何概型的概率计算可得答案.
【详解】依题意可得，小张八点四十之前到达景区售票点，两人可一同进景区，
所以所求概率为,
故答案为：
【1484】．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测·★★★★）
A､B两辆货车计划于同一时刻达到某一港口.已知在货车B准点的情况下，货车A晚点的概率为；而在货车A晚点的情况下，货车B准点的概率为.若货车A､B准点的概率相同，且货车到达该港口只有准点与晚点两种情况，则货车B晚点的概率为___________.
【答案】
【分析】设A晚点为事件X，B准点为事件Y，由条件概率公式得，从而得到答案.
【详解】设A晚点为事件X，B准点为事件Y，因为，所以.
由条件概率公式得，，
因此，可以求解得到，因此B晚点的概率为.
故答案为：
【1485】．（2022·上海徐汇·二模·★★★）
上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是______________．（结果用最简分数表示）
【答案】
【分析】考虑反面，4个人恰好分配到4个学校的情况，再作减法即得.
【详解】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.
故答案为：.
【1486】．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测·★★★★）
龙马负图如图所示．数千年来被认为是中华文化的源头，传说伏羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，墨点为阴数．若从阳数和阴数中分别随机抽出1个，则被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为______．
【答案】##0.4
【分析】根据给定条件，用列举法写出所有可能结果，再利用古典概率公式计算作答.
【详解】依题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，
从阳数和阴数中分别随机抽出1个有：
，共25个结果，
被抽到的2个数的数字之和超过12的有：，共10种，
所以被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为.
故答案为：
【1487】．（2021·湖南·长郡中学模拟预测·★★★★）
算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为___________
【答案】
【分析】先分析所有表示的数的种数，然后考虑所表示的数不大于的种数：①下珠在个、十位档上、②下珠在百位档上，根据种数相除即可求解出数字不大于的概率，则所表示的数字大于的概率可求.
【详解】由题意，在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，
再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，共有种，
①当在个､十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个､十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有种；
②当在百位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个､十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有种；
所以所拨数字大于300的概率为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解每个位档上一个算珠所表示的数字大小以及“正难则反”思想的运用，利用排列组合的思想先分析数字小于的种数，最后结合古典概型的概率计算方法完成求解.
【1488】．（2021·上海普陀·模拟预测·★★★★）
高三某位同学参加物理､化学､政治科目的等级考，已知这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+概率分别为，这三门科目考试成绩互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率为___________.
【答案】
【分析】设这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+的事件分别为A，B，C，则，，，∴这位考生至少得2个A+的概率为：
接下来利用相互独立事件概率的乘法公式计算即可.
【详解】解：设这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+的事件分别为A，B，C，
则，，，
∴这位考生至少得2个A+的概率为：
=.
故答案为：.
【点睛】求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定各事件是相互独立的；
（2）再确定格式件会同时发生；
（3）求出每个事件发生的概率，再求积.
【1489】．（2021·上海杨浦·二模·★★★★）
非空集合中所有元素乘积记为. 已知集合 ，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是__________．（结果用最简分数表示）
【答案】
【分析】先求出集合的所有非空子集的个数，然后求出为奇数的集合的个数，从而求出为偶数的集合的个数，最后由古典概型的概率计算公式可求．
【详解】解：因为集合，所以集合的所有非空子集共有个，
若为奇数，则中元素全部为奇数，
又的非空子集个数，共有个，
所以为偶数的共有个，
故为偶数的概率是．
故答案为：．
【点睛】结论点睛：若集合A有n个元素，则集合A的子集有个，非空子集有个.
【1490】．（2021·黑龙江·铁人中学一模·★★★★）
2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宣肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.
【答案】
【分析】根据题意选择一药一方的共有9个组合，其中甲有种选择方案，乙有种选择方案，故两名患者可选择的药方共有(种)，其中选择药方完全不同的情况有(种)，进而根据古典概型得答案.
【详解】将三药分别记为，，，三方分别记为，，，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有(种)，两名患者可选择的药方共有(种)，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查古典概型，排列组合，考查运算求解能力､推理论证能力和数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中解题的关键在于正确理解题意，正确计算选择药方完全不同时的情况，即：甲患者选择药方有种，选择药方完全不同时，此时乙患者只有种选择，故两名患者选择药方完全不同的情况有(种).
【1491】．（2020·湖南·长郡中学模拟预测·★★★★）
甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________．
①；②；③事件B与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件
【答案】②④
【分析】根据每次取一球，易得，，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，，再逐项判断.
【详解】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故④正确；
因为，
所以，故②正确；
同理，
所以，
故①③错误.
故答案为：②④
【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
【1492】．（2020·黑龙江·哈尔滨三中二模·★★★★）
《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现规定每场比赛从双方的马匹中随机各选取一匹进行比试，若有优势的马一定获胜，且每场比赛相互独立，则采取三局两胜制齐王获胜的概率为________.
【答案】
【分析】列出所有情况，统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率，再根据独立事件计算得到答案.
【详解】设齐王的上中下等马为，田忌的上中下等马为，
则共有9种情况，
其中齐王获胜的有6种情况，故，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
【1493】．（2020·江西·横峰中学模拟预测·★★★）
盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球，设表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则=______.
【答案】
【解析】由题意表示抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，计算概率即可.
【详解】当时，随机取出4个球中有3个红球、1个其他色，共有种取法，
随机取出4个球中有3个黄球、1个其他色，共有种取法，
所以当取出的三种颜色球的个数的最大数为3时，共有种取法，
所以,
故答案为：
【点睛】本题主要考查了组合的实际应用，古典概型，考查了推理运算能力，属于中档题.
【1494】．（2020·江西·南昌二中模拟预测·★★★★）
为响应党中央提出的“稳疆兴疆，富民固边”战略，2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师（不同姓）到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人.则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为___________.
【答案】
【分析】先分情况求解所有的安排的情况数,再分析当李老师与杨老师去同一学校的情况数,进而得到概率即可.
【详解】由题,3所学校所有可能接受的老师数量可能为1,1,3或1,2,2.
故所有可能的安排情况有种.
当李老师与杨老师去同一学校时满足的安排情况有种.
故李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用组合的方法求解概率的问题,需要根据题意先分类,再分步计算满足条件的情况数.属于中档题.
【1495】．（2020·贵州黔东南·模拟预测·★★★）
小林手中有六颗不同的糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分三种口味的糖果的概率为________.
【答案】
【解析】先求得糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人共有20种分法，再求得这两个孩子都分到三种口味的糖果分法的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，价格牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味的六颗不同的糖果，
将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人，共有种分法，
其中这两个孩子都分到三种口味的糖果共有种分法，
所以这两个孩子都分三种口味的糖果的概率为,
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理利用排列、组合的知识求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
【1496】．（2019·湖北·一模·★★★★）
设计下面的实验来估计圆周率的值：从区间内随机抽取200个实数对，其中，，1三个数能构成三角形且为钝角三角形的数对共有58个，则用随机模拟的方法估计的近似值为______.
【答案】
【分析】根据三角形的性质求出满足的条件，得出数对所对的平面区域，根据模拟法计算此区域的面积即可求解.
【详解】因为，，1组成钝角三角形，且，
所以且，
在平面直角坐标系中作出边长为的正方形和单位圆，
则符合条件的数对表示的点的区域为阴影部分弓形，如图所示：
所以阴影部分的面积为，
解得.
故答案为：
【点睛】本题考查利用模拟方法估计与面积有关的几何概型的概率；考查运算求解能力和数形结合思想；熟练掌握与面积有关的几何概型概率公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
【1497】．（2022·广西·模拟预测·★★★★）
我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成两组，组3人，服用甲种中药，组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，组中每人康复的概率都为，组3人康复的概率分别为.
(1)设事件表示组中恰好有1人康复，事件表示组中恰好有1人康复，求；
(2)求组康复人数比组康复人数多的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二项分布概率公式求得,利用独立、互斥事件的概率公式求得,进而利用的独立性求得；
（2）先仿照（1）中的方法求得A组中服用甲种中药康复的人数的分布列和B组中服用乙种中药康复的人数的分布列，再根据独立、互斥事件概率公式计算A组康复人数比B组康复人数多的概率.
（1）
解：依题意有，，
，
又事件与相互独立，
则；
（2）
解：设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
，
，
，
设组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为，
，
，
A组康复人数比B组康复人数多的概率
【1498】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★★）
新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生的某次历史测试成绩（满分100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后画出如图所示的部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求出这100名学生中历史成绩低于50分的人数．
(2)根据调查，本次历史测试成绩不低于70分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于70分的学生，高考将选考物理科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人高考都选考历史科目的概率．
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）先求出低于50分的频率，再求出低于50分的人数.
（2）求出学生成绩在和的频数，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，，先求出从这5人中任意选取2人的方法总数，再求出这2人高考都选考历史科目的方法总数，再由古典概率公式即可求出答案.
（1）
因为各组的频率和等于1，
所以低于50分的频率为，
所以低于50分的人数为．
（2）
由（1）可知，学生成绩在的频数为，学生成绩在的频数为．按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，．
从中任意选取2人，有，，，，，，，，，这10种选法，其中高考都选考历史科目的选法有，，3种．
所以这2人高考都选考历史科目的概率为．
【1499】．（2022·山东泰安·模拟预测·★★★★）
某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立.
(1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；
(2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出甲第一局获胜、第一局平局第二局获胜的概率可得答案；
（2）分别求出乙恰好经过一局､两局､三局比赛晋级决赛的概率，由三局比赛晋级决赛的概率除以经过一局､两局､三局比赛晋级决赛的概率和可得答案.
(1)
设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，
则.
(2)
记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B、C、D，
则，
，
，
故在乙最后晋级决赛的前提下，
乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为.
【1500】．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测·★★★★）
2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩，北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，并对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶，现将100名喜爱冰雪运动的学生参赛成绩制成如下频率分布表，若第三组与第五组的频之和是第一组的6倍，试回答以下问题；
(1)求表中a，b的值及受奖励的分数线的估计值：
(2)如果规定竞赛成绩在（80，90]为“良好”，竞赛成绩在（90，100]为“优秀”，从受奖励的15名学生中利用分层抽样抽取5人，现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个“优秀”的概率.
【答案】(1)，估计值为85
(2)
【分析】（1）由题意结合频率之和等于1得出，再由频率、频数的关系得出受奖励的分数线的估计值；
（2）分别求出良好、优秀的人数，再由分层抽样的性质结合列举法得出所求概率.
（1）
，∴
竞赛成绩在[90，100]分的人数为，
竞赛成绩在[80，90）的人数为，故受奖励分数线在[80，90）之间，
设受奖励分数线为x，则
解得，故受奖励分数线的估计值为85.
（2）
由（1）知，受奖励的15人中，分数在[85，90]的人数为9，分数在（90，100]的人数为6，利用分层抽样，可知分数在[85，90]的抽取3人，分数在（90，100]的抽取2人，
设分数在（90，100]的2人分别为，，分数在[85，90]的3人分别为，，，所有的可能情况有（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共10种，
满足条件的情况有（，），（，），（，），（，），（，），（，）共6种，故所求的概率为.
【1501】．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测·★★★★）
哈三中从甲､乙两个班级中选拔一个班级代表学校参加知识竞赛，在校内组织预测试，为测试两班平均水准，要求每班参加预测试的代表学生应按班级人数的随机选出，现甲班学生60人，乙班学生40人.
(1)若乙班将学生按1，2，3…39，40进行编号，采用系统抽样的方法等距抽取，若第二段被抽取的学生编号为7，求第四段抽取的学生编号（直接写出结果，无需过程）；
(2)现从甲乙两班代表学生中分层抽样选取5人，再从5人中随机抽取2人参加加试，求抽取的2人恰好来自一个班级的概率.
【答案】(1)17
(2)
【分析】（1）根据系统抽样的方法抽样即可得答案；
（2）根据古典概型求解即可.
(1)
解：由系统抽样得，乙班的抽样人数为，故组距为，
因为第二段被抽取的学生编号为7，则第四段抽取的学生编号.
(2)
解：设“抽取的2名同学来自同一班级”为事件A
由题意知，甲班同学中抽取3人，分别用表示，
乙班同学中抽取2人，分别用表示，
从这5名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：
共10种
抽取的2名同学来自同一班级的结果有：
共4种
所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为
【1502】．（2022·江西萍乡·三模·★★★★）
袋中装有个形状、大小完全相同的球，其中标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个.规定取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分.在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的球.规定取出球的总积分多者获胜.
(1)求甲、乙平局的概率；
(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.
【答案】(1)
(2)先后取球的顺序不影响比赛的公平性
【分析】（1）记标数字“”的球为、，标数字“”的球为、，标数字“”的球为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用古典概型的概率公式计算出先取者获胜的概率，再利用对立事件的概率概率计算后取者获胜的概率，比较大小后可得出结论.
(1)
解：记标数字“”的球为、，标数字“”的球为、，标数字“”的球为、，
则甲的可能取球共有以下种情况：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
由于个小球总分为：分，故甲、乙平局时都得分，
所以甲取出的三个小球是个数字“”的球和个数字“”的球和个数字“”的球，
即、、、、、、、，共有种情况，
故平局的概率.
(2)
解：先后取球的顺序不影响比赛的公平性.理由如下：
甲获胜，得分只能是分或分，即取出的是个数字“”的球和个数字“”的球，
或个数字“”的球和个数字“”的球，或个数字“”的球和个数字“”的球，
即、、、、、，共种情况.
故先取者获胜的概率，后取者获胜的概率.
即，先取后取获胜的概率一样，故先后取球的顺序不影响比赛的公平性.
地区
A
B
C
数量/件
50
150
100
员工项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
甲
乙
丙
丁
√
×
√
√
×
√
×
√
√
√
√
×
√
×
√
×
√
×
×
×
×
√
×
×
年龄（岁）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50）
[50，55）
[55，60）
合计
人数
6
8
11
23
18
9
5
80
0
1
2
3
去A景区旅游
去B景区旅游
去C景区旅游
甲
0.4
0.2
乙
0.3
0.6
去A景区旅游
去B景区旅游
去C景区旅游
甲
0.4
0.2
0.4
乙
0.1
0.3
0.6
成绩分组
（50，60]
（60，70]
（70，80]
（80，90]
（90，100]
频率
b
0.26
a
0.18
0.06