新高考数学满分训练必做题 专题2.4 函数与方程（基础+提升2000题436~475）

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2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
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4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
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专题2.4 函数与方程
【436】．（2021·天津·高考真题·★★★★）
设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】
最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
【437】．（2020·天津·高考真题·★★★★）
已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】
注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

【点晴】
本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
【438】．（2019·全国·高考真题·★★）
函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】
由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】
本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
【439】．（2019·浙江·高考真题·★★★★）
已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】
当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
【450】．（2014·重庆·高考真题·★★★★）
已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：令，分别作出与的图像如下，
由图像知是过定点的一条直线，当直线绕着定点转动时，与图像产生不同的交点.
当与相切时，设切点为，
由，则切线方程为，
则，解得，此时
当直线在轴和直线及切线和直线之间时，
与图像产生两个交点，此时或
故答案选.
考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.
【451】．（2013·安徽·高考真题·★★★）
已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为
A．3B．4
C．5D．6
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是或，根据题意画图：
所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.
考点：导数、零点、函数的图象
【452】．（2011·全国·高考真题·★★★）
在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
【453】．（2017·天津·高考真题·★★★★）
已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
满足题意时的图象恒不在函数下方，
当时，函数图象如图所示，排除C,D选项；
当时，函数图象如图所示，排除B选项，
本题选择A选项.
【454】．（2015·天津·高考真题·★★★）
已知函数,函数,则函数的零点的个数为
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】
【详解】
当时,所以,,此时函数 的小于零的零点为 ;当 时, ,函数无零点;当 时, ,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.
考点：本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.
【455】．（2013·重庆·高考真题·★★★）
若，则函数的两个零点分别位于区间
A．和内B．和内
C．和内D．和内
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点.
考点：零点与二分法.
【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.
【456】．（2015·湖南·高考真题·★★★）
若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【详解】
函数有两个零点，
和的图象有两个交点，
画出和的图象，如图，要有两个交点，那么
【457】．（2018·全国·高考真题·★★★）
函数在的零点个数为________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．
【详解】
详解：
由题可知，或
解得,或
故有3个零点．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．
【458】．（2011·北京·高考真题·★★★★）
已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】（0,1）
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：函数的图象如下图所示：
由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，
即方程f（x）=k有两个不同的实根
考点：1．函数图像及性质；2．方程与函数的转化
【459】．（2022·江西·二模·★★★★）
已知，若且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，可知，求得，，，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的值域，即为所求.
【详解】
设，作出函数和的图象如下图所示：
由图象可知，当时，函数和的图象有三个交点，
且，
由已知可得，所以，，，，
所以，，
令，其中，则，
令，可得，列表如下：
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，则，
因为，，故，
所以，函数在上的值域为，
因此，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于通过设，将、、用含的代数式加以表示，再将所求代数式的取值范围转化为关于的函数值域问题，结合导数法求解.
【460】．（2022·安徽·模拟预测·★★★★）
已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解.
【详解】
解：令，得，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：若有4个零点，
则实数a的取值范围是，
故选：A
【461】．（2022·黑龙江大庆·三模·★★★★）
已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
令，由已知可得函数与的图象在区间上关于直线对称，利用对称性即可求解.
【详解】
解：因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：
由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，
故选：A.
【462】．（2022·江西·上高二中模拟预测·★★★★）
已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为_________
【答案】
【解析】
【分析】
先求出关于轴对称的函数，则将问题转化为在上有解，利用参数分离法进行转化，转化为直线与的图象有交点，然后利用导数求出的极值和单调区间可求得结果
【详解】
的定义域为，则关于轴对称的函数为
，
则条件等价为在上有解，
得，
令，则
，
当时，，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增，
，
因为当时，，
所以当时，直线与的图象有交点，即在上有解，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为在上有解，然后利用参数分离法进行转化求解，考查数学转化思想，属于较难题
【463】．（2022·陕西·西安中学一模·★★★）
函数的所有零点之和为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，得到其函数图象关于直线的对称，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象得到两函数有6个公共点，且两两关于直线的对称，进而求得，即可得到答案.
【详解】
由，可得，令，
可得函数与的图象都关于直线的对称，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图所示，
由图象可得，函数与的图象有6个公共点，
其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线的对称，所以，
所以，
即函数的所有零点之和为.
故答案为：.
【464】．（2022·浙江嘉兴·模拟预测·★★★★）
已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
方程有4个不同的实数解，则方程有4个不同的实数解，即直线与曲线有4个公共点，利用数形结合处理．
【详解】
由题知：方程有4个不同的实数解，即有4个不同的实数解．
作出图像（如图所示），即直线与曲线有4个公共点．
易知：．
故答案为：．
【465】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★★）
若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令得，利用导数研究的图像，由函数有三个零点可知，若令，则可知方程的一根必在内，另一根或或上，分类讨论即可求解.
【详解】
由得，令，
由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，则的图像如图所示：
即函数的最大值为，
令，则，
由二次函数的图像可知，二次方程的一根必在内，另一根或或上，
当时，，则另一根，不满足题意，
当时，a＝0，则另一根，不满足题意，
当时，由二次函数的图像可知，
解得，
则实数的取值范围是，
故选：D.
【466】．（2022·山东烟台·三模·★★★）
已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
解：作出函数的图象如图：
依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，
因为必过，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，
设切点坐标为，则，即，
则切线方程为，
即，
切线方程为，
且，则，所以，
即当时与在上有且仅有一个交点，
要使方程有且仅有三个的实数解，
则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，
所以，
故选：B
【467】．（2022·河南·模拟预测·★★★）
已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（ ）．
A．0B．1C．2D．e
【答案】C
【解析】
【分析】
先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到或，再次构造关于的函数，研究其单调性，解出不等式，求出数a的最大值.
【详解】
令，得到，
函数至多有2个不同的零点，等价于至多有两个不同的根，
即函数与至多有2个不同的交点
令，
则，
当时，，单调递增，
当或时，，单调递减，
所以与为函数的极值点，且，
且在R上恒成立，
画出的图象如下：
有图可知：或时，符合题意，
其中，解得：
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由可得：，所以，
综上：实数a的最大值为2
故选：C
【点睛】
对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结合进行解决.
【468】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）
已知函数方程的不等实根个数不可能是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．6个
【答案】D
【解析】
【分析】
画出函数图象，令，则，则或，分类讨论与图象的交点个数，即可求出答案.
【详解】
因为，根据题意作出的图象.函数在单调递减；在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减.
图象如下：

对于方程，
令，则，则或.
当时，与的图象有2个交点；
当时，因为，与的图象可以有0、1、2个交点.
所以方程的不等实根个数可以是2、3、4个.
故选：D.
【469】．（2022·广东·深圳科学高中高一期中·★★★★）
已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
画出的图像. 要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根;再由一元二次函数根的分布列出不等式组，即可求出答案.
【详解】
的图像如图所示：
则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根;
则解得：.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的零点.属于难题.本类题型常常需要数形结合列出不等式组.
【470】．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习·★★★）
已知，函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数的意义将方程恰有两个互异的实数解，转化为各段上根的个数问题分类推理讨论求解.
【详解】
因为关于x的方程恰有两个互异的实数解，则有：
有两个不同的实根，且无实根，
或与各有一个实根，
或无实根，且有两个不同的实根，
当时，，函数为增函数，
则函数在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立，
当函数在上有一个零点时，必有，即，此时，，
因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根，
当，时，，
设函数，
而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点，
因此，方程必有一个实根，
于是得当时，与各有一个实根，
若方程无实根，必有，
此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点，
当且仅当，解得，
于是得当时，有两个不同的实根，且无实根，
综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.
【471】．（2022·全国·高三专题练习·★★★★）
已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．2D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
令，令，得出，求出关于的方程的根或，然后再考查直线或与函数的图象的交点个数，即可得出答案．
【详解】
令，令，则,
当时，则，所以 ，，
当时，，则，
作出函数的图象如下图所示，
直线与函数的图象只有1个交点，
线，与函数的图象只有2个交点，
因此，函数只有3个零点，
故选：．
【472】．（2022·天津·二模·★★★★）
已知且，函数在上是单调函数，若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分析，且可得只能是减函数，再结合分段函数的单调性可得，再画图分析与的图象恰有2个交点时满足的不等式求解即可
【详解】
先分析函数，且
易得，因为，可得图象：
因为函数在上是单调函数，故只能是减函数，且，即.故当时，，结合可得.故，又关于的方程恰有2个互异的实数解，即与的图象恰有2个交点，画出图象：
可得，解得.综上有
故选：A
【473】．（2022·天津滨海新·模拟预测·★★★★）
已知，函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
与分段函数有关的方程根的问题需要分段讨论根的个数，首先讨论时，的根的个数，利用函数的单调性得出时，在上有一个根，在时，在上无实数根，由此可知需要在时，方程的解的个数情况，即在时，需要有一个根，时，需要有两个根，结合二次方程的根的分布可得．
【详解】
时，方程为，，
函数在上是增函数，时，，，，
所以时在上有一个解，时，在时无实数解，
因为方程恰有两个互异的实数解，
所以时，在时，方程只有一个解或两个相等的实解，
时，时，方程有两个不等实解．
由得，
，，
，不合要求，
时，，方程无实数解，不合题意．
或时，方程有两个不等的实数解，
记，
时，的对称轴为，又，所以的两个实数解都小于1，满足题意，
时，的对称轴为，因此的两个根一个大于也即大于1，此根不是的根，因此要使得另一根小于1，
，，又，所以，
综上，或．
故选：D．
【474】．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测·★★★）
已知函数，若，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，可得，，得，所以，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围
【详解】
的图象如图，
因为，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，则，
所以，
令，则，
当时，，
所以在上递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：
【475】．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测·★★★★）
已知函数则方程的根___________.
【答案】或2##2或-1
【解析】
【分析】
利用导数判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理确定在上的解，再求方程的正根即可.
【详解】
当时，，所以，
令，得，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故当时，有唯一根，
当时，，
令，解得（舍去）或2，
故当时，的根为2，
综上，根为或2.
故答案为：或2.
减
极小值
增