最新高考理数考点一遍过讲义 考点21 数列的概念与简单表示法

这是一份最新高考理数考点一遍过讲义 考点21 数列的概念与简单表示法，共26页。学案主要包含了数列的相关概念，数列的表示方法，数列的前n项和与通项的关系等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题21 数列的概念与简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.
一、数列的相关概念
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成简记为．
2．数列与函数的关系
数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集）这一条件.
3．数列的分类
二、数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．
（2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即．
②递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点．
三、数列的前n项和与通项的关系
数列的前n项和通常用表示，记作，则通项．
若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示．
考向一 已知数列的前几项求通项公式
1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
具体策略：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征；
⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用或处理．
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.
2．常见的数列的通项公式：
（1）数列1，2，3，4，…的通项公式为；
（2）数列2，4，6，8，…的通项公式为；
（3）数列1，4，9，16，…的通项公式为；
（4）数列1，2，4，8，…的通项公式为；
（5）数列1，，，，…的通项公式为；
（6）数列，，，，…的通项公式为．
3．根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式．
典例1 根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.
（1）；
（2）8，98，998，9998，…;
（3）;
（4）1，6，12，20，…；
（5）
【解析】（1）符号问题可通过或表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大，故通项公式为.
（2）各项分别加上2，即得数列:10，100，1000，10000， …，
故数列的一个通项公式为an=10n−2.
（3）各项的分母依次为:21，22，23，24， …，
容易看出第2，3，4项的分子比相应分母小3，
再由各项的符号规律，把第1项变形为，既符合符号变化的规律，也满足了分子与分母之间的关系，
故数列的一个通项公式为.
（4）容易看出第2，3，4项满足规律:项的序号×(项的序号+1).
而第1项却不满足，因此考虑分段表示，
即数列的一个通项公式为.
（5）数列变形为
所以.
典例2 如图，图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含的单位正方形的个数是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设第个图包含个互不重叠的单位正方形，
图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，
，，，
，由此类推可得：
.
经检验满足条件.故选C.
【名师点睛】本题解题的关键是研究相邻两项的关系得出递推公式，再由累加法法得出第项的表达式，利用等差数列的求和公式即可得出答案，属于中档题.根据图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，寻找规律，可得第个图包含个互不重叠的单位正方形，求和即可得到答案.
1．数列的通项公式不可能为
A．B．
C．D．
考向二 利用与的关系求通项公式
已知求的一般步骤：
（1）先利用求出；
（2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.
利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起．
典例3 在数列an中，a1=5，a2=4，数列an的前n项和Sn=A⋅2n+B（A，B为常数）.
（1）求实数A，B的值；
（2）求数列an的通项公式.
【解析】（1）由题意得S1=2A+B=a1=5，S2=4A+B=a1+a2=9，
解方程组2A+B=54A+B=9，得A=2B=1，
∴A=2，B=1．
（2）由（1）得Sn=2n+1+1．
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+1−2n=2n，
又当n=1时，a1=S1=5不满足上式，
∴an=5，n=12n，n≥2．
典例4 已知数列的前项和为，且满足，，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
【解析】（1）∵， ，∴．
∴，∴．
（2）由，得．
∴数列是首项为， 公差为的等差数列．
∴，∴．
当时，．
而适合上式，
∴．
2．已知数列的各项都是正数，其前项和满足，，则数列的通项公式为_______．
考向三 由递推关系式求通项公式
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.
已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：
（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式．
（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式．
（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解．
（4）：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解．
（5）：把原递推公式转化为，解法同类型3．
（6）：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．
（7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．
（8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
（9）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
典例5 已知数列{an}中，a1=1，an=n(an+1−an)(n∈).求数列{an}的通项公式.
【解析】方法一(累乘法)
∵an=n(an+1−an)，即，
∴，，，…，(n≥2).
以上各式两边分别相乘，得.
又a1=1，∴an=n(n≥2).
∵a1=1也适合上式，∴an=n.
方法二(迭代法)
由知，，，，…，
则an=a1×a2a1×a3a2×a4a3×…×an−1an−2×anan−1=1×21×32×43×…×n−1n−2×nn−1=n.
典例6 在数列中，，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）由已知有，∴，
∴，
∴
，
又当时，，满足上式．
∴ () ．
（2）由（1）知，
∴，
而，
令 ①，
∴ ②，
①−②得
．
∴．
∴．
3．在数列中，，，，为常数，．
（1）求的值；
（2）设，求数列的通项公式.
考向四 数列的性质
数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.
1．数列的周期性
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．数列的单调性
（1）数列单调性的判断方法：
①作差法：数列是递增数列；
数列是递减数列；
数列是常数列．
②作商法：当时，数列是递增数列；
数列是递减数列；
数列是常数列．
当时，数列是递减数列；
数列是递增数列；
数列是常数列．
（2）数列单调性的应用：
①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．
②根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可．
（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：
①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；
②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围．
典例7 已知数列，其通项公式为 ，判断数列的单调性．
【解析】方法一：，
则 即，
故数列是递增数列.
方法二：，
则 即数列是递增数列．
（注：这里要确定的符号，否则无法判断与的大小）
方法三：令，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，
则函数在上单调递增，故数列是递增数列．
典例8 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a13+a23+a33+⋅⋅⋅+an3=Sn2对任意n∈N∗恒成立.
（1）证明：2Sn=an2+an；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若bn=2Sn+man，数列{bn}是递增数列，求m的取值范围.
【解析】（1）由a13+a23+a33+⋅⋅⋅+an3=Sn2，
得a13+a23+a33+⋅⋅⋅+an−13=Sn−12(n≥2)，
两式相减得an3=Sn2−Sn−12=an(Sn+Sn−1).
又an>0，
所以an2=Sn+Sn−1=2Sn−an，即2Sn=an2+an(n≥2)，
当n=1时，a13=S12，得a1=1，也满足2S1=a12+a1，
所以2Sn=an2+an.
（2）当n≥2时，，
得an2−an−12=an+an−1，
又an>0，所以an−an−1=1，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
故an=1+(n−1)=n.
（3）因为an=n，Sn=n(n+1)2，所以bn=n2+(m+1)n.
所以bn+1−bn=(n+1)2+(m+1)(n+1) −n2−(m+1)n=2n+m+2>0对任意n∈N∗恒成立，
所以m>−2n−2，得m>−4.
故m的取值范围是.
4．已知数列的前项和为，
（1）求数列的通项公式；
（2）判断数列的单调性，并证明.
1．数列，，，，…的一个通项公式是
A．an=(−1)n+1B．an=(−1)n
C．an=(−1)n+1D．an=(−1)n
2．在数列中，，则的值为
A．B．
C．D．以上都不对
3．若数列的前项和，则它的通项公式是
A．B．
C．D．
4．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是
A． B．
C． D．
5．已知数列{}的前n项和为，，（），则
A．32B．64
C．128D．256
6．已知数列满足，则的最小值为
A．B．
C．8D．9
7．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为
A．672B．673
C．1346D．2019
8．若数列满足，则___________．
9．数列的前项和，若，则的最小值为______.
10．已知数列满足，则的通项公式为______．
11．已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有恒成立，则实数λ的取值范围为__________.
12．如图所示的数阵中，第64行第2个数字是________.
13．已知数列{an}的通项公式an=n2−7n−8.
（1）数列中有多少项为负数?
（2）数列{an}是否有最小项?若有，求出其最小项.
14．已知数列的前项和为，且．
（1）求，；
（2）求数列的通项公式．
15．已知数列的前项和满足．
（1）求，，的值；
（2）已知数列满足，，求数列的通项公式．
16．已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，若是递增数列，求实数a的取值范围．
17．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求数列的前项和.
1．（2018新课标全国Ⅰ理科）记为数列的前项和，若，则_________．
2．（2015江苏）数列{an}满足a1=1且an+1−an=n+1(n∈N∗)，则数列的前10项和为 .
3．（2015新课标全国Ⅰ理科）为数列{}的前n项和.已知an>0，an2＋2an＝4Sn＋3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设.求数列{bn}的前n项和.
变式拓展
1．【答案】B
【解析】对于A，当为奇数，，当为偶数，，正确；
对于B，当为奇数，，当为偶数，，不正确；
对于C，当为奇数，，当为偶数，，正确；
对于D，当为奇数，，当为偶数，，正确.
故选B.
【名师点睛】本题考查数列的通项公式，考查分类讨论与计算能力，属于基础题.对分为奇数、偶数讨论即可判断.
2．【答案】
【解析】因为数列的各项都是正数，其前项和满足，，所以
当时，，；
当时，，即，即，所以数列是等差数列，又，因此，，因此，又也满足，所以，.
故答案为.
【名师点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项公式，灵活处理递推公式即可，属于常考题型.求解时，先由递推公式求出，再由时，，整理，求出，进而可求出结果.
3．【解析】（1）将代入，得，
由，，得．
（2）由，得，
即．
当时，，
因为，所以．
因为也适合上式，
所以．
【名师点睛】本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是累加法，注意新数列的首项与原数列首项的关系.
4．【解析】（1）
.
数列是等比数列，
，
，即数列的通项公式为.
（2）数列是递减数列.
证明如下：设，
，
是递减数列，即数列是递减数列.
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及的知识点有：根据数列的递推公式判断其为等比数列，等比数列的求和公式，判断并证明数列的单调性，属于中档题目.
（1）根据题中所给的条件，写出之后两式相减，得到，从而得到数列是等比数列，利用求和公式求得；
（2）将进行化简，之后应用单调性的定义证明数列是递减数列.
专题冲关
1．【答案】C
【解析】对于选项A，当n=2时，a2=，不满足题意，所以A不正确;
对于选项B，当n=1时，a1=，不满足题意，所以B不正确;
对于选项D，当n=2时，a2=，不满足题意，所以D不正确;
当n=1，2，3，4时，an=(−1)n+1均满足题意，C正确.
2．【答案】B
【解析】由题得，
所以数列的周期为3，又2019=3×673，所以.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.先通过列举找到数列的周期，再根据周期求解.
3．【答案】B
【解析】当时，，当n=1时，，满足上式，所以数列的通项公式为.故选B．
4．【答案】D
【解析】由题意知，根据累加法得
＝，故选D.
5．【答案】B
【解析】由，得，又，∴，即，
且，即数列{1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
则，即.
∴．
故选B．
【名师点睛】本题考查了数列递推式，考查利用构造法求数列的通项公式，属于中档题．求解时，由已知数列递推式构造等比数列{1}，求其通项公式得到，再由求解．
6．【答案】C
【解析】由知：，，…，，相加得：，，又，所以时，单调递减，时，单调递增，因为，所以的最小值为，故选.
【名师点睛】本题考查数列通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.先根据叠加法求，再利用数列单调性求最小值.
7．【答案】C
【解析】由数列各项除以2的余数，
可得为，
所以是周期为3的周期数列，一个周期中的三项和为，
因为，
所以数列的前2019项的和为，
故选C.
【名师点睛】本题主要考查了由递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
8．【答案】
【解析】由已知得，，所以，，，，，，．
9．【答案】−12
【解析】当，当n=1，满足上式，故=2n，
=，对称轴为n=，故n=2或3 时，最小值为−12.
故答案为−12.
【名师点睛】本题考查由求数列通项，考查数列最值，考查计算能力，是基础题，注意n为正整数，是易错题.求解时，先由求得，再利用二次函数求的最小值.
10．【答案】
【解析】当时，由，得；
当时，由，可得，
两式相减得，，故．
故答案为：．
【名师点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.
11．【答案】(−3，+∞)
【解析】由{an}为递增数列，得an+1−an=(n+1)2+λ(n+1)−n2−λn=2n+1+λ>0恒成立，即λ>−2n−1在n≥1时恒成立，令f(n)=−2n−1，n∈，则f(n)max=−3.
只需λ>f(n)max=−3即可.故实数λ的取值范围为(−3，+∞).
12．【答案】
【解析】由题意，从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，其中满足，
则，
当时，则，
所以第64行的第2个数字为．
【名师点睛】本题主要考查了数列的应用问题，其中解答中根据题意把从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，求得数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
13．【解析】（1）令an<0，即n2−7n−8<0，得−1又n∈N*，所以n=1，2，3，…，7，
故数列从第1项至第7项均为负数，共7项.
（2）函数y=x2−7x−8图象的对称轴为x==3.5，所以当1≤x≤3时，函数单调递减;
当x≥4时，函数单调递增，
所以当n=3或4时，数列{an}有最小项，且最小项a3=a4=−20.
14．【解析】（1）且，
时，，，
时，，解得．
（2）时，，
化为：．
时上式也成立．
．
【名师点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其性质，属于中档题．已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等差数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.
15．【解析】（1），，.
（2）因为，所以，当时，有，
则，即
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
因为，所以.
则，
，
.
，
以上个式子相加得：，
又因为，所以.
16．【解析】（1），=Sn−1+Sn−2（n≥3）．
相减可得：，
∵an＞0，an−1＞0，
∴an−an−1=1（n≥3）．
n=2时，=a1+a2+a1，即=2+a2，a2＞0，解得a2=2．
因此n=2时，an−an−1=1成立．
∴数列{an}是等差数列，公差为1．
∴an=1+n−1=n．
（2）=（n−1）2+a（n−1），
∵{bn}是递增数列，
∴bn+1−bn=n2+an−（n−1）2−a（n−1）=2n+a−1＞0，即a＞1−2n恒成立，
∴a＞−1，即实数a的取值范围是（−1，+∞）．
【名师点睛】本题考查由前n项和与an的关系求数列的通项公式，考查等差数列的通项公式和数列的单调性问题，属于中档题．
（1）由 an2＝Sn+Sn﹣1（n≥2），可得an﹣12＝Sn﹣1+Sn﹣2 （n≥3），两式相减可得 an﹣an﹣1＝1，再由a1＝1，可得{an}的通项公式．
（2）根据{an}的通项公式化简bn和bn+1，由题意得bn+1﹣bn＞0恒成立，分离变量即可得a的范围．
17．【解析】（1），，
且，即，
由累乘法得，
，
则数列是首项为，公差为的等差数列，通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，
.
【名师点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据递推关系确定采用累乘法求解通项；根据的形式确定裂项的方式，属于常规题型.
（1）根据可得，利用累乘法可求得；
（2）由的通项公式可知数列为等差数列，利用等差数列求和公式求得，得到；再利用裂项相消法求得.
直通高考
1．【答案】
【解析】根据，可得，
两式相减得，即，
当时，，解得，
所以数列是以−1为首项，以2为公比的等比数列，
所以，故答案是.
【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
2．【答案】
【解析】因为a1=1且an+1−an=n+1，所以an=an−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a1=n+n−1+⋯+2+1=n(n+1)2，则，
所以数列{1an}的前10项和为.
3．【解析】（1）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3.
可得an+12−an2+2(an+1−an)=4an+1，
即2(an+1+an)=an+12−an2=(an+1+an)(an+1−an).
由于an>0，可得an+1−an=2.
又a12+2a1=4a1+3，解得a1=−1(舍去)或a1=3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1.
（2）由an=2n+1可知bn=.
设数列{bn}的前n项和为Tn，
则Tn=b1+b2+…+bn=.分类标准
名称
含义
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10
无穷数列
项数无限的数列，如数列1，2，3，4，…
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，…
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，…
常数列
各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，…
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2
按项的有界性
有界数列
任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…
无界数列
不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，…