最新高考理数考点一遍过讲义 考点12 导数的应用

这是一份最新高考理数考点一遍过讲义 考点12 导数的应用，共38页。学案主要包含了导数与函数的单调性，利用导数研究函数的极值和最值，生活中的优化问题等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题12 导数的应用
1．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
2．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a，b)内：
（1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;
（2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;
（3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
（3）函数f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a，b)内恒成立，且在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有，不影响函数f (x)在区间内的单调性.
二、利用导数研究函数的极值和最值
1．函数的极值
一般地，对于函数y=f (x)，
（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.
（2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.
解决优化问题的基本思路是：
考向一 利用导数研究函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
典例1 若，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】①令，则，∴在上单调递增，
∴当时，，即，故A正确，B错误.
②令，则，令，则，
当时，；当时，，∴在上单调递增，
在上单调递减，易知C，D不正确.
故选A．
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.
典例2 已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【解析】由题意得：的定义域为，
（1）当时，，则，
当时，；当时，，
的单调递增区间为：.
（2）.
①当时，在上恒成立，
在上单调递增，可知满足题意；
②当时，，
当时，；当时，，
在上单调递减；在上单调递增，不满足题意.
综上所述：.
【名师点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间、根据函数在区间内的单调性求解参数取值范围的问题，关键是能够明确导数和函数单调性之间的关系，根据导函数的符号来确定函数的单调性.
1．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，证明：对任意，.
考向二 利用导数研究函数的极值和最值
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
典例3 若函数有极大值和极小值，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，则.
因为有极大值和极小值，所以有两个不等的实数根.
所以，即，解得或.
所以所求的取值范围是.
故选D.
【名师点睛】本题考查函数的极值与导数.三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数(二次函数)有两个不等的实数根.求解时，三次函数有极大值和极小值，则有两个不等的实数根，答案易求.
典例4 已知函数．
（1）当时，试判断函数的单调性；
（2）若，求证：函数在上的最小值小于．
【解析】（1）由题可得，
设，则，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，
因为，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
（2）由（1）知在上单调递增，
因为，
所以，
所以存在，使得，即，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，
令，，则恒成立，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以，即当时，
故函数在上的最小值小于．
2．已知函数，其中为实常数.
（1）若是的极大值点，求的极小值；
（2）若不等式对任意，恒成立，求b的最小值.
考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系
1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.
典例 5 设函数（，，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是
【答案】D
【解析】，因为函数在处取得极值，所以是的一个根，整理可得，所以，对称轴为.
对于A，由图可得，适合题意；
对于B，由图可得，适合题意；
对于C，由图可得，适合题意；
对于D，由图可得，不适合题意，
故选D.
3．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是
A．B．
C．D．
考向四 生活中的优化问题
1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.
2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．
典例6 如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，∠CAB=π3，AB⊥BD，BC是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线，其中P为BC上异于B，C的一点，PQ与AB平行，设∠PAB=θ.
（1）证明：观光专线的总长度随θ的增大而减小；
（2）已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.
【解析】（1）由题意，∠CAP=π3−θ，所以，
又PQ=AB−APcsθ=1−csθ，
所以观光专线的总长度为f(θ)=π3−θ+1−csθ =−θ−csθ+π3+1，01x，即f'(x)−1x>0，
设gx=fx−lnx，x>0，则g'x=f'(x)−1x>0，所以函数gx在(0，+∞)上为单调递增函数，
则g2>g1，即f2−ln2>f1−ln1，所以f2−f1>ln2，故选A．
5．【答案】A
【解析】∵函数fx=exx+2，∴，
当−20，即函数fx在(−1，+∞)上为增函数.
∴f(x)min=f(−1).
∵函数fx=exx+2在−2，a上有最小值，∴a>−1.故选A．
6．【答案】D
【解析】由题意可知函数f（x）是（﹣∞，0）上的单调递减函数，且当x＜0时，，
由，可得：2axex+1≥0，即 恒成立，
令g（x）＝xex（x＜0），则g'（x）＝ex（x+1），据此可得函数g（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，
在区间（﹣1，0）上单调递增，函数g（x）的最小值为，则 ，
可得：实数的取值范围是．
故选D．
【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中档题．求解时，由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数的取值范围即可．
7．【答案】C
【解析】当x≥2时，设ℎ(x)=x2+2xex，则ℎ'(x)=(2x+2)ex−(x2+2x)exe2x=−x2−2ex，
易知当x>2时，ℎ'(x)0，而x≤2时，f(x)=x+2是增函数，f(2)=4．
g(x)=f(x)−m有两个零点，即y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点，所以00时，g(x)>0，g(1)=1e，所以a∈ 0，1e.
10．【答案】
【解析】∵为偶函数，∴的图象关于对称，
∴的图象关于对称，∴.
又，∴.
设，则.
又∵，∴，∴，∴在上单调递减.
∵，∴，即.
又∵，∴，∴.
【名师点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查函数图象变换，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数解不等式，综合性较强，属于中档题.求解本题时，根据为偶函数可得的图象关于对称，由此求得，构造函数，利用导数研究的单调性，将原不等式转化为，由此求得的取值范围.
11．【答案】
【解析】因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，
故球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为点，
设，则，
在中，有，故，
正四棱锥的高为，
正四棱锥的体积为，
令，，
故，即，
对求导得，，
令，即，解得，或（舍），
当，，单调递增，
当，，单调递减，
故当时，.
【名师点睛】本题考查了四棱锥与外接球的位置关系问题，解题的关键是找准外接球的球心，建立出四棱锥的体积函数，通过导数进行求解体积的最值.设出底面正方形的边长，根据内接关系，得出正四棱锥的高，进而得出正四棱锥的体积的函数式，求导得出最值.
12．【解析】（1）由题意，函数，则，
，
而，代入切线方程：，
解得.
（2）由（1）得，知，
令，解得；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
根据图象的变换可得，当时，函数，
再设，，
则，，
令，解得；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∵的定义域为，
∴在上的最大值为.
【名师点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；
(2)利用导数求函数的单调区间，以及函数单调性，求解参数；
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．
13．【解析】（1）函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=(x−1)(mx−1)x2，
当m=0时，f'(x)=−x+1x2，函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减；
当m0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=1处取得极小值，符合题意；
②013时，0–1，b